Aire maximale d’un rectangle inscrit dans un triangle
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Soit $ABC$ un triangle rectangle en $B$ tel que $AB = 6$ cm et $BC = 8$ cm.
On place un point $M$ sur le segment $[BC]$ tel que $BM = x$, avec $0 < x < 8$. On construit le rectangle $BMPN$ avec $N$ sur $[BA]$ et $P$ sur $[AC]$.
On cherche à déterminer la valeur de $x$ pour laquelle l'aire du rectangle $BMPN$ est maximale.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Étape 1 : On admet que la droite $(AC)$ a pour équation $y = 6 - \dfrac{3}{4}x$ dans le repère $(B~;~\overrightarrow{BC},~\overrightarrow{BA})$.
Le point $P$ a pour abscisse $x$, donc la hauteur $NP$ du rectangle vaut [[h]].
Le point $P$ a pour abscisse $x$, donc la hauteur $NP$ du rectangle vaut [[h]].
Étape 2 : En déduire l'expression de l'aire $A(x)$ du rectangle $BMPN$ sous forme développée.
$A(x) =$ [[aire]]
$A(x) =$ [[aire]]
Étape 3 : Quelle est la nature de la fonction $A$ ?
- (Incorrect) Fonction affine
- (Correct) Polynôme du second degré
- (Incorrect) Polynôme du troisième degré
Étape 4 : Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle l'aire $A(x)$ est maximale.
$x =$ [[xopt]]
$x =$ [[xopt]]
Étape 5 : Calculer l'aire maximale du rectangle.
$A(4) =$ [[amax]]
$A(4) =$ [[amax]]