[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur l'inégalité triangulaire et la constructibilité d'un triangle, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est précisément l'énoncé de l'inégalité triangulaire : pour les trois côtés $a$, $b$, $c$ d'un triangle, on a $a < b + c$, $b < a + c$ et $c < a + b$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : c'est l'énoncé même de l'inégalité triangulaire, valable pour tout triangle.
Chaque côté est strictement plus petit que la somme des deux autres (sinon le triangle serait aplati ou inexistant).[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la définition même de l'inégalité triangulaire.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : On peut construire un triangle dont les côtés mesurent $4$ cm, $5$ cm et $9$ cm.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La plus grande longueur est $9$ cm, et la somme des deux autres vaut $4 + 5 = 9$ cm.
On a $9 = 9$ : l'inégalité n'est pas stricte. Les trois points sont alignés, le triangle est aplati : ce n'est pas un véritable triangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au cas limite : ici la somme $4 + 5$ vaut exactement $9$, ce qui correspond à un triangle aplati.
L'inégalité triangulaire doit être stricte pour obtenir un véritable triangle.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La plus grande longueur ($9$ cm) est égale à la somme des deux autres ($4 + 5 = 9$ cm), donc le triangle est aplati.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Si trois longueurs sont strictement positives et différentes, alors elles permettent de construire un triangle.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le simple fait que les longueurs soient positives et distinctes ne suffit pas. Par exemple, $1$ cm, $2$ cm et $10$ cm sont strictement positives et différentes, mais $10 > 1 + 2 = 3$ : aucun triangle ne peut être construit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il faut en plus vérifier l'inégalité triangulaire.
Trouve un contre-exemple : $1$, $2$ et $10$ sont positives et différentes, mais $10 > 1 + 2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La condition nécessaire est que la plus grande longueur soit strictement inférieure à la somme des deux autres.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Si la plus grande longueur d'un triangle est strictement inférieure à la somme des deux autres, alors le triangle est constructible.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
C'est exactement la condition de constructibilité : il suffit que la plus grande longueur soit strictement inférieure à la somme des deux autres. Les deux autres inégalités triangulaires sont alors automatiquement vérifiées.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour vérifier qu'un triangle est constructible, il suffit de tester l'inégalité avec la plus grande longueur.
Si $\ell_{\text{max}} < \ell_1 + \ell_2$, alors le triangle est constructible.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Tester l'inégalité avec la plus grande longueur est nécessaire et suffisant.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Dans un triangle $ABC$ tel que $AB = 7$ cm et $AC = 4$ cm, la longueur $BC$ peut valoir $2$ cm.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'inégalité triangulaire impose $BC > AB - AC = 7 - 4 = 3$ cm.
Or $2 < 3$ : la longueur $BC = 2$ cm est trop petite, le triangle ne peut pas être construit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, l'inégalité triangulaire fournit aussi une borne inférieure : $BC > |AB - AC|$.
Calcule $7 - 4$ et compare à $2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. On doit avoir $BC > 7 - 4 = 3$ cm, donc $BC = 2$ cm est impossible.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Trois longueurs égales permettent toujours de construire un triangle.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Si les trois longueurs valent $\ell > 0$, alors la plus grande vaut $\ell$ et la somme des deux autres vaut $2\ell$. Comme $\ell < 2\ell$, l'inégalité triangulaire est respectée : on obtient un triangle équilatéral.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pense au cas du triangle équilatéral : trois longueurs égales construisent toujours un triangle (équilatéral).
Vérifie : $\ell < \ell + \ell$ est toujours vrai pour $\ell > 0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Trois longueurs égales construisent toujours un triangle équilatéral.
[/solution]
[/etape]
