[enonce]
On souhaite simplifier l'expression suivante :

$ A = \dfrac{2^{5} \times 3^{-2} \times 2^{-3}}{3^{4} \times 2^{-1}} $

Le but est d'obtenir un résultat sous forme de fraction irréductible.
Suivre les étapes pour y parvenir.
[/enonce]

[etape]
Au numérateur, on a deux puissances de $2$ : $2^5$ et $2^{-3}$.

En les regroupant, on obtient $2^{\ldots}$. Quel est l'exposant ? [[exp2num]]
[math id="exp2num" attendu="2"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$2^5 \times 2^{-3} = 2^{5+(-3)} = 2^{2}$.[/reponse]
[reponse motif="8"]Non.
Quand on multiplie des puissances de même base, on additionne les exposants, on ne les multiplie pas.
Calculer $5 + (-3)$.[/reponse]
[reponse motif="-15"]Non.
Les exposants s'additionnent lors d'un produit de puissances de même base.
Calculer $5 + (-3)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quelle opération fait-on sur les exposants quand on multiplie des puissances de même base ?
L'appliquer à $5$ et $-3$.[/reponse]
[aide essai="2"]Quand on multiplie $a^n \times a^m$, on obtient $a^{n+m}$.
Ici : $5 + (-3) = ?$[/aide]
[/math]
[solution]$2^5 \times 2^{-3} = 2^{5+(-3)} = 2^{2}$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Le numérateur contient maintenant $2^{2}$ et le dénominateur contient $2^{-1}$.

En simplifiant $\dfrac{2^{2}}{2^{-1}}$, on obtient $2^{\ldots}$. Quel est l'exposant ? [[exp2tot]]
[math id="exp2tot" attendu="3"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\dfrac{2^{2}}{2^{-1}} = 2^{2-(-1)} = 2^{3}$.[/reponse]
[reponse motif="1"]Non.
Attention au double signe : soustraire un nombre négatif revient à additionner.
Recalculer $2 - (-1)$.[/reponse]
[reponse motif="-3"]Non.
L'exposant du numérateur est $2$, pas $-2$.
Calculer $2 - (-1)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quelle opération fait-on sur les exposants quand on divise des puissances de même base ?
L'appliquer avec l'exposant $2$ au numérateur et $-1$ au dénominateur.[/reponse]
[aide essai="2"]Quand on divise $\dfrac{a^n}{a^m}$, on obtient $a^{n-m}$.
Ici : $2 - (-1) = 2 + 1 = ?$[/aide]
[/math]
[solution]$\dfrac{2^{2}}{2^{-1}} = 2^{2-(-1)} = 2^{3}$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Occupons-nous maintenant de la base $3$ : au numérateur on a $3^{-2}$, au dénominateur $3^{4}$.

En simplifiant $\dfrac{3^{-2}}{3^{4}}$, on obtient $3^{\ldots}$. Quel est l'exposant ? [[exp3tot]]
[math id="exp3tot" attendu="-6"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\dfrac{3^{-2}}{3^{4}} = 3^{-2-4} = 3^{-6}$.[/reponse]
[reponse motif="2"]Non.
L'exposant au numérateur est $-2$, pas $+2$.
Calculer $(-2) - 4$.[/reponse]
[reponse motif="-8"]Non.
On soustrait les exposants lors d'un quotient, on ne les multiplie pas.
Calculer $(-2) - 4$.[/reponse]
[reponse motif="6"]Non.
Attention : c'est le numérateur moins le dénominateur, pas l'inverse.
$(-2) - 4 = ?$[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'exposant au numérateur est $-2$, celui au dénominateur est $4$.
Calculer $(-2) - 4$.[/reponse]
[aide essai="2"]On part de $-2$ et on soustrait encore $4$.
Sur la droite graduée : $-2 - 4 = ?$[/aide]
[/math]
[solution]$\dfrac{3^{-2}}{3^{4}} = 3^{(-2)-4} = 3^{-6}$.[/solution]
[/etape]

[etape]
On a donc $A = 2^{3} \times 3^{-6}$.

Réécrire cette expression sous forme d'une fraction avec des exposants positifs uniquement : $A = \dfrac{2^3}{\ldots}$.

Quel est le dénominateur ? [[den]]
[math id="den" attendu="3^6"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$3^{-6} = \dfrac{1}{3^6}$, donc $A = \dfrac{2^3}{3^6}$.[/reponse]
[reponse motif="3^{-6}"]Non.
Le but est d'éliminer l'exposant négatif.
Comment réécrire $a^{-n}$ avec un exposant positif ?[/reponse]
[reponse motif="6^3"]Non.
La base reste $3$, seul l'exposant change de signe.
Ne pas confondre la base et l'exposant.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un exposant négatif signifie qu'on passe au dénominateur : $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$.
Appliquer cette règle à $3^{-6}$.[/reponse]
[aide essai="2"]$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$, donc $3^{-6} = \dfrac{1}{3^?}$.[/aide]
[/math]
[solution]$3^{-6} = \dfrac{1}{3^6}$, donc $A = \dfrac{2^3}{3^6}$.[/solution]
[/etape]

[etape]
On a $A = \dfrac{2^3}{3^6}$.

Calculer la valeur numérique de $A$ sous forme de fraction irréductible : $A = $ [[res]]
[math id="res" attendu="\frac{8}{729}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$A = \dfrac{8}{729}$.
Cette fraction est irréductible car $8 = 2^3$ et $729 = 3^6$ n'ont aucun facteur premier en commun.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction n'est pas sous forme irréductible. La simplifier.[/reponse]
[reponse motif="\frac{729}{8}"]Attention, la fraction est inversée.
$2^3$ est au numérateur et $3^6$ au dénominateur, pas l'inverse.[/reponse]
[reponse motif="\frac{8}{216}"]Non.
$3^6$ ne vaut pas $216$.
Calculer par étapes : $3^2 = 9$, $3^3 = 27$, $3^4 = 81$, $3^5 = 243$, $3^6 = ?$[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer séparément $2^3$ et $3^6$, puis écrire la fraction.[/reponse]
[aide essai="2"]$2^3 = 8$.
Pour $3^6$, calculer par étapes : $3^3 = 27$, donc $3^6 = 27^2 = ?$[/aide]
[/math]
[solution]$A = \dfrac{2^3}{3^6} = \dfrac{8}{729}$.[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur les règles de calcul avec les puissances. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Quelle est la forme simplifiée de $5^{3} \times 5^{4}$ ?
[qcm]
[option]$5^{12}$[/option]
[option]$25^{7}$[/option]
[option correct="true"]$5^{7}$[/option]
[option]$5^{-1}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Quand on multiplie des puissances de même base, on additionne les exposants :
$5^{3} \times 5^{4} = 5^{3+4} = 5^{7}$.[/reponse]
[reponse motif="$5^{12}$"]Non.
L'erreur fréquente est de multiplier les exposants au lieu de les additionner.
La règle du produit dit : $a^{n} \times a^{m} = a^{n+m}$, donc $5^{3} \times 5^{4} = 5^{3+4} = 5^{7}$.[/reponse]
[reponse motif="$25^{7}$"]Non.
La base ne change pas quand on multiplie des puissances de même base.
$5^{3} \times 5^{4} = 5^{3+4} = 5^{7}$ (pas $25^{7}$).[/reponse]
[reponse motif="$5^{-1}$"]Non.
$5^{-1}$ correspondrait à $5^{3-4}$, c'est-à-dire un quotient, pas un produit.
Pour un produit : $5^{3} \times 5^{4} = 5^{3+4} = 5^{7}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$5^{3} \times 5^{4} = 5^{3+4} = 5^{7}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la forme simplifiée de $\dfrac{2^{5}}{2^{-3}}$ ?
[qcm]
[option]$2^{2}$[/option]
[option correct="true"]$2^{8}$[/option]
[option]$2^{-15}$[/option]
[option]$2^{-8}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On applique la règle du quotient : $\dfrac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n-m}$.
$\dfrac{2^{5}}{2^{-3}} = 2^{5-(-3)} = 2^{5+3} = 2^{8} = 256$.[/reponse]
[reponse motif="$2^{2}$"]Non.
L'erreur fréquente est de calculer $5 - 3 = 2$ en oubliant que l'exposant du dénominateur est $-3$.
$5 - (-3) = 5 + 3 = 8$, donc $\dfrac{2^{5}}{2^{-3}} = 2^{8}$.[/reponse]
[reponse motif="$2^{-15}$"]Non.
L'erreur vient d'une multiplication des exposants au lieu d'une soustraction.
La règle du quotient donne : $2^{5-(-3)} = 2^{8}$.[/reponse]
[reponse motif="$2^{-8}$"]Non.
Le signe de l'exposant est incorrect. On a $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$, pas $-8$.
$\dfrac{2^{5}}{2^{-3}} = 2^{8}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{2^{5}}{2^{-3}} = 2^{5-(-3)} = 2^{8}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la forme simplifiée de $\left(10^{3}\right)^{-2}$ ?
[qcm]
[option]$10^{-5}$[/option]
[option]$10^{1}$[/option]
[option correct="true"]$10^{-6}$[/option]
[option]$10^{5}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On applique la règle puissance de puissance : $\left(a^{n}\right)^{m} = a^{n \times m}$.
$\left(10^{3}\right)^{-2} = 10^{3 \times (-2)} = 10^{-6}$.[/reponse]
[reponse motif="$10^{-5}$"]Non.
L'erreur fréquente est d'additionner les exposants au lieu de les multiplier.
La règle puissance de puissance dit : $\left(a^{n}\right)^{m} = a^{n \times m}$, donc $10^{3 \times (-2)} = 10^{-6}$.[/reponse]
[reponse motif="$10^{1}$"]Non.
$10^{1}$ correspondrait à $10^{3+(-2)}$, qui est la règle du produit.
Ici c'est une puissance de puissance : $10^{3 \times (-2)} = 10^{-6}$.[/reponse]
[reponse motif="$10^{5}$"]Non.
$10^{5}$ correspondrait à $10^{3-(-2)}$, qui est la règle du quotient.
Ici c'est une puissance de puissance : on multiplie les exposants, $3 \times (-2) = -6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\left(10^{3}\right)^{-2} = 10^{3 \times (-2)} = 10^{-6}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle écriture est égale à $\dfrac{1}{7^{3}}$ ?
[qcm]
[option]$7^{3}$[/option]
[option]$7^{\frac{1}{3}}$[/option]
[option]$(-7)^{3}$[/option]
[option correct="true"]$7^{-3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Par définition : $\dfrac{1}{a^{m}} = a^{-m}$.
Donc $\dfrac{1}{7^{3}} = 7^{-3}$.[/reponse]
[reponse motif="$7^{3}$"]Non.
$7^{3} = 343$, alors que $\dfrac{1}{7^{3}} = \dfrac{1}{343}$. C'est l'inverse.
$\dfrac{1}{a^{m}} = a^{-m}$, donc $\dfrac{1}{7^{3}} = 7^{-3}$.[/reponse]
[reponse motif="$7^{\frac{1}{3}}$"]Non.
$7^{\frac{1}{3}}$ est la racine cubique de $7$, pas l'inverse de $7^{3}$.
La règle des exposants négatifs donne : $\dfrac{1}{7^{3}} = 7^{-3}$.[/reponse]
[reponse motif="$(-7)^{3}$"]Non.
$(-7)^{3} = -343$, un nombre négatif. Ce n'est pas l'inverse de $7^{3}$.
$\dfrac{1}{7^{3}} = 7^{-3}$ (exposant négatif, pas base négative).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{1}{a^{m}} = a^{-m}$, donc $\dfrac{1}{7^{3}} = 7^{-3}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la valeur de $(-3)^{4}$ ?
[qcm]
[option]$-81$[/option]
[option]$-12$[/option]
[option correct="true"]$81$[/option]
[option]$12$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'exposant $4$ est pair, donc $(-3)^{4}$ est positif.
$(-3)^{4} = (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) = 9 \times 9 = 81$.[/reponse]
[reponse motif="$-81$"]Non.
L'erreur fréquente est de confondre $(-3)^{4}$ et $-3^{4}$.
$(-3)^{4} = 81$ car l'exposant est pair (le résultat est positif).
$-3^{4} = -(3^{4}) = -81$ (seul le $3$ est élevé à la puissance $4$).[/reponse]
[reponse motif="$-12$"]Non.
L'erreur vient d'une multiplication $-3 \times 4 = -12$ au lieu d'une mise en puissance.
$(-3)^{4} = (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) = 81$.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
L'erreur vient d'une multiplication $3 \times 4 = 12$ au lieu d'une mise en puissance.
$(-3)^{4} = (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) = 81$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$(-3)^{4} = 81$. L'exposant pair donne un résultat positif.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la forme simplifiée de $\dfrac{3^{4} \times 3^{-2}}{3^{5}}$ ?
[qcm]
[option]$3^{7}$[/option]
[option]$3^{-1}$[/option]
[option correct="true"]$3^{-3}$[/option]
[option]$3^{11}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Au numérateur : $3^{4} \times 3^{-2} = 3^{4+(-2)} = 3^{2}$.
Puis : $\dfrac{3^{2}}{3^{5}} = 3^{2-5} = 3^{-3} = \dfrac{1}{27}$.[/reponse]
[reponse motif="$3^{7}$"]Non.
L'erreur fréquente est d'additionner tous les exposants : $4 + (-2) + 5 = 7$.
L'exposant du dénominateur doit etre soustrait : $3^{4+(-2)-5} = 3^{-3}$.[/reponse]
[reponse motif="$3^{-1}$"]Non.
L'erreur vient du calcul d'exposant. L'exposant total est $4 + (-2) - 5 = -3$, pas $-1$.
$\dfrac{3^{4} \times 3^{-2}}{3^{5}} = 3^{-3}$.[/reponse]
[reponse motif="$3^{11}$"]Non.
L'erreur vient d'une multiplication des exposants au lieu d'une addition/soustraction.
Au numérateur : $3^{4+(-2)} = 3^{2}$. Puis $\dfrac{3^{2}}{3^{5}} = 3^{2-5} = 3^{-3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{3^{4} \times 3^{-2}}{3^{5}} = \dfrac{3^{2}}{3^{5}} = 3^{-3} = \dfrac{1}{27}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Simplifier les expressions suivantes en utilisant les règles de calcul sur les puissances.
Donner le résultat sous la forme $ a^{n} $ ou d'un nombre entier.

1. $ A = 2^{3}\times 2^{4} $
2. $ B = \dfrac{5^{7}}{5^{4}} $
3. $ C = \left(3^{2}\right)^{3} $
4. $ D = \dfrac{7^{5}\times 7^{3}}{7^{6}} $
5. $ E = 4^{-2}\times 4^{5} $
6. $ F = \dfrac{6^{3}\times 6^{-1}}{6^{4}} $

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les puissances, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $2^3 \times 2^4 = 2^{12}$
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Quand on multiplie deux puissances de même base, on additionne les exposants.
$2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de multiplier les exposants au lieu de les additionner.
La règle est $a^n \times a^m = a^{n+m}$, donc $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $a^n \times a^m = a^{n+m}$, donc $2^3 \times 2^4 = 2^7 = 128$, et non $2^{12}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $(5^2)^3 = 5^6$
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour une puissance de puissance, on multiplie les exposants : $(5^2)^3 = 5^{2 \times 3} = 5^6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de confondre avec le produit de puissances (où l'on additionne).
Pour une puissance de puissance : $(a^n)^m = a^{n \times m}$, donc $(5^2)^3 = 5^{2 \times 3} = 5^6$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $(a^n)^m = a^{n \times m}$, donc $(5^2)^3 = 5^{2 \times 3} = 5^6$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $10^{-3} = -1\,000$
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'exposant négatif ne rend pas le nombre négatif.
$10^{-3} = \dfrac{1}{10^3} = \dfrac{1}{1\,000} = 0{,}001$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de confondre exposant négatif et nombre négatif.
$10^{-3}$ signifie « l'inverse de $10^3$ » : $10^{-3} = \dfrac{1}{10^3} = \dfrac{1}{1\,000} = 0{,}001$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Un exposant négatif donne l'inverse : $10^{-3} = \dfrac{1}{10^3} = 0{,}001$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $3^2 \times 5^2 = 15^2$
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Quand deux puissances ont le même exposant, on peut regrouper les bases : $3^2 \times 5^2 = (3 \times 5)^2 = 15^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de croire que cette propriété ne fonctionne pas quand les bases sont différentes.
La règle $a^n \times b^n = (a \times b)^n$ s'applique : $3^2 \times 5^2 = (3 \times 5)^2 = 15^2 = 225$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $a^n \times b^n = (a \times b)^n$, donc $3^2 \times 5^2 = 15^2 = 225$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{7^5}{7^2} = 7^3$
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour diviser deux puissances de même base, on soustrait les exposants : $\dfrac{7^5}{7^2} = 7^{5-2} = 7^3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de diviser les exposants au lieu de les soustraire.
La règle est $\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$, donc $\dfrac{7^5}{7^2} = 7^{5-2} = 7^3 = 343$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$, donc $\dfrac{7^5}{7^2} = 7^3 = 343$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $2^3 + 2^3 = 2^6$
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les règles sur les exposants ne s'appliquent pas à l'addition.
$2^3 + 2^3 = 8 + 8 = 16 = 2^4$, et non $2^6 = 64$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est d'appliquer la règle $a^n \times a^m = a^{n+m}$ à une addition.
Il n'existe aucune règle qui simplifie $a^n + a^n$ en $a^{2n}$.
On calcule : $2^3 + 2^3 = 8 + 8 = 16 = 2^4$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Les règles des puissances ne s'appliquent pas à l'addition. $2^3 + 2^3 = 8 + 8 = 16 = 2^4$, et non $2^6 = 64$.
[/solution]
[/etape]