Vrai/Faux : Formules d’addition et étude des fonctions trigonométriques

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les formules d'addition, de duplication et l'étude des fonctions trigonométriques, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pour tous réels $a$ et $b$, $\cos(a + b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
La formule correcte est $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$. Le « $+$ » apparaît au contraire dans la formule de soustraction $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il faut bien retenir le signe : pour la somme, c'est un « $-$ » entre les produits, pour la différence un « $+$ ».
La formule correcte est $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La formule juste est $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ ; le « $+$ » correspond à $\cos(a - b)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout réel $a$, $\sin(2a) = 2 \sin a \cos a$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est la formule de duplication : on l'obtient en posant $b = a$ dans $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel de la formule de duplication : $\sin(2a) = 2 \sin a \cos a$ (et $\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a$).
On l'obtient en appliquant la formule d'addition à $\sin(a + a)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la formule de duplication du sinus : $\sin(2a) = 2 \sin a \cos a$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout réel $a$, $\cos^2 a - \sin^2 a = 1$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est ça !
L'identité fondamentale est $\cos^2 a + \sin^2 a = 1$ (avec un « $+$ »). L'expression $\cos^2 a - \sin^2 a$ est une autre quantité : elle vaut $\cos(2a)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au signe : l'identité valable pour tout $a$ est $\cos^2 a + \sin^2 a = 1$ (théorème de Pythagore appliqué au cercle).
La quantité $\cos^2 a - \sin^2 a$ vaut $\cos(2a)$, qui dépend de $a$ et n'est pas constante.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'identité fondamentale est $\cos^2 a + \sin^2 a = 1$, et $\cos^2 a - \sin^2 a = \cos(2a)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\cos \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
Comme $\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4}$, on applique $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$ :
$\cos \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Indice : $\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4}$ permet d'utiliser la formule de soustraction du cosinus.
On obtient $\cos\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec $\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4}$ et la formule $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$, on obtient $\dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~\pi]$ par $f(x) = \sin x$.

Affirmation : $f$ est strictement croissante sur $[0~;~\pi]$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
La fonction sinus est croissante sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ puis décroissante sur $\left[\dfrac{\pi}{2}~;~\pi\right]$ : par exemple $f(\pi) = 0 < 1 = f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Une vérification numérique suffit : $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$ et $f(\pi) = 0$, donc $f$ ne peut pas être croissante jusqu'à $\pi$.
La fonction $\sin$ est croissante sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ puis décroissante sur $\left[\dfrac{\pi}{2}~;~\pi\right]$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La fonction sinus est croissante sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ puis décroissante sur $\left[\dfrac{\pi}{2}~;~\pi\right]$ ; elle atteint un maximum en $\dfrac{\pi}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tout à fait !
C'est une limite usuelle qui s'obtient avec le nombre dérivé de $\sin$ en $0$ : $\sin'(0) = \cos 0 = 1$, donc $\dfrac{\sin x - \sin 0}{x - 0} \to 1$ quand $x \to 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Cette limite ne se devine pas : elle s'établit en interprétant $\dfrac{\sin x - \sin 0}{x - 0}$ comme un taux d'accroissement, dont la limite est le nombre dérivé $\sin'(0) = \cos 0 = 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La limite de référence $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ correspond au nombre dérivé de $\sin$ en $0$.
[/solution]
[/etape]

Étude de fonctions trigonométriques – Équations/Inéquations

Partie A

Résoudre dans $ \mathbb{R} $, l'équation $ \sin\left(x\right)=\dfrac{1}{2} $
A l'aide de la courbe représentative de la fonction sinus, résoudre dans $ \mathbb{R} $ l'inéquation $ \sin\left(x\right) < \dfrac{1}{2} $

Partie B

Soit la fonction $ f $ définie par $ f\left(x\right)=\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right) $

Calculer $ \sin\left(x+\dfrac{\pi }{4}\right) $
A l'aide de la question précédente, résoudre dans $ \mathbb{R} $ l'équation $ f\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $
Résoudre dans $ \mathbb{R} $ l'inéquation $ f\left(x\right) < \dfrac{\sqrt{2}}{2} $

Corrigé

Partie A

On rappelle que la fonction $\sin(x)$ est périodique, de période $2\pi$.

Sur l'intervalle $[0 ; 2\pi[$, l'équation $\sin(x) = \dfrac{1}{2}$ admet deux solutions :

$ x_1 = \dfrac{\pi}{6} $ et $ x_2 = \dfrac{5\pi}{6} $

Dans $\mathbb{R}$, l'ensemble des solutions pour $x$ de l'équation $\sin(x) = \dfrac{1}{2}$ est :

$ \left\{ \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi, \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi \right\} $ avec $ k \in \mathbb{Z} $
La figure ci-dessous donne la représentation graphique de $\sin(x)$ et de la droite d'équation $y = \dfrac{1}{2}$.

Dans l'intervalle de périodicité $\left[ \dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{\pi}{6} + 2\pi \right]$, l'inéquation $\sin(x) < \dfrac{1}{2}$ est vérifiée pour $\dfrac{5\pi}{6} < x < \dfrac{13\pi}{6}$, ce qui donne sur $\mathbb{R}$ :

$ \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi < x < \dfrac{13\pi}{6} + 2k\pi $ avec $ k \in \mathbb{Z} $

Partie B

Soit $f$ définie par $f(x) = \sin(x) + \cos(x)$.

En rappelant que $\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$ et que $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, on a :

$ \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \sin(x)\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + \cos(x)\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) $

$ \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} [\sin(x) + \cos(x)] = \dfrac{\sqrt{2}}{2} f(x) $
On déduit de ce qui précède que $f(x) = \dfrac{2}{\sqrt{2}} \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$.
Résoudre l'équation $f(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ revient à résoudre $\sqrt{2} \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, c'est-à-dire :

$ \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{2} $

D'après la question A.1, l'ensemble des solutions de cette équation pour $x + \dfrac{\pi}{4}$ dans $\mathbb{R}$ est :

$ \left\{ \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi, \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi \right\} $ avec $ k \in \mathbb{Z} $

Ce qui donne pour $x$ :

$ \left\{ \dfrac{\pi}{6} - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi, \dfrac{5\pi}{6} - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \right\} = \left\{ -\dfrac{\pi}{12} + 2k\pi, \dfrac{7\pi}{12} + 2k\pi \right\} $
En raisonnant similairement avec le résultat trouvé en A.2, on résout l'inéquation $f(x) < \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ dans $\mathbb{R}$ :

$ \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi < x + \dfrac{\pi}{4} < \dfrac{13\pi}{6} + 2k\pi $

$ \dfrac{5\pi}{6} - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi < x < \dfrac{13\pi}{6} - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi $

$ \dfrac{7\pi}{12} + 2k\pi < x < \dfrac{23\pi}{12} + 2k\pi $ avec $ k \in \mathbb{Z} $

Calculs trigonométriques

$ a $ désigne un réel quelconque. Calculer :

$ A=\sin\left(a\right)+\sin\left(a+\dfrac{2\pi }{3}\right)+\sin\left(a+\dfrac{4\pi }{3}\right) $

Corrigé

On utilise la formule d'addition $ \sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b $.

On calcule $ \sin\left(a+\dfrac{2\pi}{3}\right) $ en utilisant $ \cos \dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2} $ et $ \sin \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $ :
$ \sin\left(a+\dfrac{2\pi}{3}\right) = \sin a \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) + \cos a \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = -\dfrac{1}{2}\sin a + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos a $

On calcule $ \sin\left(a+\dfrac{4\pi}{3}\right) $ en utilisant $ \cos \dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac{1}{2} $ et $ \sin \dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ :
$ \sin\left(a+\dfrac{4\pi}{3}\right) = \sin a \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) + \cos a \times \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\dfrac{1}{2}\sin a - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos a $

On additionne les trois termes :
$ A = \sin a + \left(-\dfrac{1}{2}\sin a + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos a\right) + \left(-\dfrac{1}{2}\sin a - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos a\right) $
$ A = \sin a - \dfrac{1}{2}\sin a - \dfrac{1}{2}\sin a + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos a - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos a $
$ A = \sin a - \sin a = 0 $

Donc pour tout réel $ a $ :

$\mathbf{A = 0}$