Suites matricielles affines — gestion de stocks

Un distributeur gère le stock de deux produits A et B. Pour tout entier naturel $ n $, on note $ u_n $ (resp. $ v_n $) le nombre d'unités en stock du produit A (resp. B) en début de la semaine $ n $.

Chaque semaine :

Produit A : 40 % du stock est vendu et 120 nouvelles unités sont livrées : $ u_{n+1} = \dfrac{3}{5}\,u_n + 120 $.
Produit B : la moitié du stock est vendue et 80 nouvelles unités sont livrées : $ v_{n+1} = \dfrac{1}{2}\,v_n + 80 $.

En début de semaine 0, le stock de A est de 50 unités et le stock de B est de 40 unités.

On pose $ U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix} $.

1. Écrire la relation de récurrence sous la forme $ U_{n+1} = A\,U_n + C $, en précisant les matrices $ A $ et $ C $.
2. Calculer $ U_1 $ et $ U_2 $.
On cherche une matrice colonne $ L = \begin{pmatrix} \ell \\ m \end{pmatrix} $ vérifiant $ L = A\,L + C $ (point fixe de la relation).
1. Résoudre le système correspondant et déterminer $ L $.
2. On pose $ V_n = U_n - L $. Montrer que $ V_{n+1} = A\,V_n $.
1. En déduire que, pour tout entier naturel $ n $, $ V_n = A^n\,V_0 $. Donner $ V_0 $.
2. Calculer $ A^n $.
3. En déduire les expressions de $ u_n $ et $ v_n $ en fonction de $ n $.
Vers quelle valeur chacun des stocks converge-t-il lorsque $ n \to +\infty $ ? Interpréter ce résultat.

Corrigé

1. Les deux relations de récurrence s'écrivent matriciellement $ U_{n+1} = A\,U_n + C $ avec :
  
  $ A = \begin{pmatrix} \dfrac{3}{5} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix} $ et $ C = \begin{pmatrix} 120 \\ 80 \end{pmatrix} $.
2. On part de $ U_0 = \begin{pmatrix} 50 \\ 40 \end{pmatrix} $.
  
  $ U_1 = A\,U_0 + C = \begin{pmatrix} \dfrac{3}{5} \times 50 \\ \dfrac{1}{2} \times 40 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 120 \\ 80 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 30 \\ 20 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 120 \\ 80 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 150 \\ 100 \end{pmatrix} $
  
  $ U_2 = A\,U_1 + C = \begin{pmatrix} \dfrac{3}{5} \times 150 \\ \dfrac{1}{2} \times 100 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 120 \\ 80 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 90 \\ 50 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 120 \\ 80 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 210 \\ 130 \end{pmatrix} $
1. La condition $ L = A\,L + C $ donne le système :
  
  $ \left\{\begin{matrix} \ell = \dfrac{3}{5}\,\ell + 120 \\ m = \dfrac{1}{2}\,m + 80 \end{matrix}\right. \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{\begin{matrix} \dfrac{2}{5}\,\ell = 120 \\ \dfrac{1}{2}\,m = 80 \end{matrix}\right. $
  
  On obtient $\mathbf{\ell = 300}$ et $\mathbf{m = 160}$, donc $ L = \begin{pmatrix} 300 \\ 160 \end{pmatrix} $.
2. Pour tout entier naturel $ n $, $ V_{n+1} = U_{n+1} - L $.
  
  Or $ U_{n+1} = A\,U_n + C $ et $ L = A\,L + C $, donc :
  
  $ V_{n+1} = \left(A\,U_n + C\right) - \left(A\,L + C\right) = A\,U_n - A\,L = A\left(U_n - L\right) = A\,V_n $
1. La suite $ \left(V_n\right) $ vérifie $ V_{n+1} = A\,V_n $, donc $ V_n = A^n\,V_0 $.
  
  $ V_0 = U_0 - L = \begin{pmatrix} 50 \\ 40 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 300 \\ 160 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -250 \\ -120 \end{pmatrix} $
2. La matrice $ A $ est diagonale, donc pour tout entier naturel $ n $ :
  
  $ A^n = \begin{pmatrix} \left(\dfrac{3}{5}\right)^n & 0 \\ 0 & \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \end{pmatrix} $
3. On calcule :
  
  $ V_n = A^n\,V_0 = \begin{pmatrix} -250\left(\dfrac{3}{5}\right)^n \\ -120\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \end{pmatrix} $
  
  Comme $ U_n = V_n + L $, on obtient pour tout entier naturel $ n $ :
  
  $\mathbf{u_n = 300 - 250\left(\dfrac{3}{5}\right)^n}$ et $\mathbf{v_n = 160 - 120\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}$.
Comme $ 0 < \dfrac{3}{5} < 1 $ et $ 0 < \dfrac{1}{2} < 1 $, on a $ \left(\dfrac{3}{5}\right)^n \to 0 $ et $ \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \to 0 $ lorsque $ n \to +\infty $.

Donc $ u_n \to $ 300 et $ v_n \to $ 160.

À long terme, le stock du produit A se stabilise à 300 unités et celui du produit B à 160 unités : ce sont les niveaux d'équilibre correspondant au point fixe $ L $.

Pour réviser : Déterminer le terme général d'une suite U(n+1) = AU(n) + C

Vrai/Faux : Suites récurrentes couplées

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les suites récurrentes couplées, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ telles que $\begin{cases} u_{n+1} = u_n - v_n \\ v_{n+1} = 2\,u_n + 3\,v_n \end{cases}$.

Affirmation : La matrice associée à l'écriture matricielle $U_{n+1} = A\,U_n$ est $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La ligne $1$ de $A$ contient les coefficients de $u_n$ et $v_n$ dans $u_{n+1}$, soit $\left(1 \quad -1\right)$. La ligne $2$ contient les coefficients de $v_{n+1}$, soit $\left(2 \quad 3\right)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Lire ligne par ligne le système : la $i$-ème équation devient la $i$-ème ligne de la matrice $A$, en prenant garde aux signes.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Chaque ligne de $A$ correspond à une équation du système, dans l'ordre des suites.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si deux suites couplées $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ vérifient $u_0 = v_0$, alors elles restent égales pour tout $n$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'égalité initiale n'est en général pas conservée par la récurrence. Par exemple, avec $u_{n+1} = 2\,u_n + v_n$ et $v_{n+1} = u_n - v_n$, partir de $u_0 = v_0 = 1$ donne $u_1 = 3$ et $v_1 = 0$ : les suites divergent dès le rang $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'égalité initiale ne suffit pas en général : elle ne se conserve que si la matrice $A$ a une propriété très particulière (par exemple si les deux lignes de $A$ sont identiques).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'égalité initiale n'est pas conservée par la récurrence dans le cas général.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère $\begin{cases} u_{n+1} = u_n + v_n \\ v_{n+1} = u_n \end{cases}$ avec $u_0 = 1$, $v_0 = 0$.

Affirmation : La suite $\left(u_n\right)$ ainsi définie est la suite de Fibonacci $1, 1, 2, 3, 5, 8, \dots$

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On calcule : $u_1 = u_0 + v_0 = 1$, $u_2 = u_1 + v_1 = 1 + 1 = 2$, $u_3 = u_2 + v_2 = 2 + 1 = 3$, $u_4 = u_3 + v_3 = 3 + 2 = 5$, $u_5 = 5 + 3 = 8$. C'est bien la suite de Fibonacci.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Cette modélisation à deux suites couplées est l'écriture matricielle de la récurrence $u_{n+1} = u_n + u_{n-1}$ : la suite auxiliaire $v_n$ « mémorise » $u_{n-1}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La récurrence $u_{n+1} = u_n + u_{n-1}$ se traduit par ce système couplé en posant $v_n = u_{n-1}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $A$ est une matrice carrée d'ordre $2$ et $U_0$ une matrice colonne, alors $U_n = A^n\,U_0$ ne dépend pas de $A$ lorsque $U_0 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Pour toute matrice $A$, $A \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$. Par récurrence, $U_n = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ pour tout $n$, indépendamment de $A$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La matrice nulle est un point fixe pour toute récurrence linéaire homogène : multiplier la matrice colonne nulle par n'importe quelle matrice donne encore la matrice nulle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La matrice colonne nulle est invariante par toute matrice carrée : la suite reste nulle quels que soient $A$ et $n$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'écriture matricielle d'un système couplé permet d'étudier la suite vectorielle $\left(U_n\right)$ via les puissances de la matrice $A$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le passage à la forme matricielle $U_{n+1} = A\,U_n$ ramène l'étude conjointe de $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ à un seul calcul : celui des puissances de $A$, via $U_n = A^n\,U_0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
C'est tout l'intérêt de l'écriture matricielle : transformer un problème couplé (deux suites enchevêtrées) en un problème vectoriel régi par les puissances d'une seule matrice.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'étude des puissances de $A$ permet d'obtenir le terme général de la suite vectorielle, et donc des deux suites simultanément.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On définit $\begin{cases} u_{n+1} = 3\,u_n + v_n \\ v_{n+1} = -u_n + 3\,v_n \end{cases}$.

Affirmation : La suite $w_n = u_n + v_n$ vérifie une récurrence simple, indépendante de $u_n$ et $v_n$ pris séparément.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tout à fait !
$w_{n+1} = u_{n+1} + v_{n+1} = \left(3\,u_n + v_n\right) + \left(-u_n + 3\,v_n\right) = 2\,u_n + 4\,v_n$. Cette expression dépend de $u_n$ et $v_n$ séparément (pas seulement de leur somme). On ne peut pas l'écrire uniquement en fonction de $w_n$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Calculer $w_{n+1}$ à partir des équations du système : on obtient $2\,u_n + 4\,v_n$, qui n'est pas un multiple de $w_n = u_n + v_n$. La somme ne « découple » donc pas le système.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La somme $w_n = u_n + v_n$ ne vérifie pas une récurrence simple ne dépendant que d'elle-même, car les coefficients de $u_n$ et $v_n$ dans $w_{n+1}$ ne sont pas égaux.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Écriture matricielle d’une suite

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur l'écriture matricielle d'une suite de matrices colonnes, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Une matrice colonne $U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}$ est de dimension $1 \times 2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La convention est « lignes $\times$ colonnes ». Une matrice colonne à $2$ lignes est de dimension $2 \times 1$, pas $1 \times 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au sens conventionnel : lignes en premier, colonnes en second. Une matrice colonne à $2$ coefficients alignés verticalement compte $2$ lignes et $1$ colonne.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Une matrice colonne à $2$ lignes est de dimension $2 \times 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $U_{n+1} = A\,U_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, alors $U_n = A^n\,U_0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Cette propriété résulte d'un raisonnement par récurrence : $U_1 = A\,U_0$, $U_2 = A\,U_1 = A^2\,U_0$, et plus généralement $U_n = A^n\,U_0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est peut-être de penser que la formule fait intervenir l'addition. Or à chaque étape on multiplie par $A$, ce qui s'itère en $A^n$ après $n$ étapes.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La formule $U_n = A^n\,U_0$ se démontre par récurrence à partir de la relation $U_{n+1} = A\,U_n$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout système couplé $\begin{cases} u_{n+1} = a\,u_n + b\,v_n \\ v_{n+1} = c\,u_n + d\,v_n \end{cases}$, la matrice associée à $U_{n+1} = A\,U_n$ est $A = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La $i$-ème ligne de $A$ doit contenir les coefficients de la $i$-ème équation du système. Donc $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, et non $\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$ qui correspond à la transposée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Bien repérer la convention : ligne $1$ de $A$ = coefficients de l'équation donnant $u_{n+1}$ ; ligne $2$ = équation donnant $v_{n+1}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La bonne matrice est $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ : la $i$-ème ligne contient les coefficients de la $i$-ème équation.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Soit $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $U_0 = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix}$. Alors $U_2 = U_0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La matrice $A$ échange les coordonnées : $U_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}$, puis $U_2 = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix} = U_0$. On a en fait $A^2 = I_2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Calculer pas à pas : appliquer deux fois une permutation de coordonnées redonne le vecteur initial. C'est l'analogue matriciel de la propriété « deux échanges successifs de deux objets remettent tout en place ».[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Comme $A^2 = I_2$, on a $U_2 = A^2\,U_0 = U_0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour calculer $U_3$ à partir de $U_0$ et de $A$, on doit nécessairement calculer $A^3$ d'abord.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Pour un nombre fini de termes, l'itération directe $U_1 = A\,U_0$, $U_2 = A\,U_1$, $U_3 = A\,U_2$ est plus économique que le calcul de $A^3$ puis du produit $A^3\,U_0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il existe deux approches valides : itérer la relation pas à pas (rapide pour $n$ petit) ou calculer $A^n$ puis multiplier par $U_0$ (utile pour une formule générale). Aucune n'est strictement nécessaire.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. On peut aussi itérer la relation $U_{k+1} = A\,U_k$ pas à pas, ce qui est plus rapide pour un $n$ petit.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $\left(U_n\right)$ et $\left(V_n\right)$ vérifient toutes deux $X_{n+1} = A\,X_n$, alors $\left(U_n + V_n\right)$ vérifie aussi cette relation.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tout à fait !
$U_{n+1} + V_{n+1} = A\,U_n + A\,V_n = A\left(U_n + V_n\right)$ par distributivité du produit matriciel sur l'addition. La relation est donc préservée par somme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La distributivité $A\,X + A\,Y = A\left(X + Y\right)$ est valable pour les matrices comme pour les nombres. La récurrence est dite linéaire : la somme de deux solutions reste solution.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La récurrence $X_{n+1} = A\,X_n$ est linéaire, donc la somme de deux solutions est encore solution.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Puissances de matrices

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les puissances d'une matrice, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pour toute matrice carrée $A$, on a $A^0 = A$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Par convention, $A^0 = I_p$ (matrice identité), pas $A$. C'est l'analogue de la convention $a^0 = 1$ pour les nombres : la « puissance zéro » donne l'élément neutre du produit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Ne pas confondre avec $A^1 = A$. La puissance $0$ donne par convention l'identité $I_p$, ce qui rend cohérente la formule $A^{n+1} = A^n \times A$ même pour $n = 0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Par convention, $A^0 = I_p$, et non $A$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $D = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}$, alors $D^3 = \begin{pmatrix} 64 & 0 \\ 0 & 343 \end{pmatrix}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour une matrice diagonale, la puissance $n$-ième s'obtient en élevant chaque coefficient diagonal à la puissance $n$ : $4^3 = 64$ et $7^3 = 343$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Vérifier : pour une matrice diagonale, le produit matriciel se simplifie énormément. Chaque coefficient diagonal s'élève indépendamment à la puissance $n$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Pour une matrice diagonale, $D^n$ s'obtient en élevant chaque coefficient diagonal à la puissance $n$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour toutes matrices carrées $A$ et $B$ de même ordre, on a $\left(A\,B\right)^2 = A^2\,B^2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La multiplication matricielle n'est pas commutative en général. On a $\left(A\,B\right)^2 = A\,B\,A\,B$, qu'on ne peut simplifier en $A^2\,B^2$ que si $A\,B = B\,A$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de raisonner comme avec des nombres. Pour les matrices, l'égalité $A\,B = B\,A$ n'est pas garantie, et c'est elle qui permettrait d'écrire $\left(A\,B\right)^2 = A^2\,B^2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. En général, $\left(A\,B\right)^2 = A\,B\,A\,B \ne A^2\,B^2$ car les matrices ne commutent pas en général.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $A = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0 \\ 0 & 0{,}5 \end{pmatrix}$, alors $A^n$ tend vers la matrice nulle quand $n \to +\infty$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$A$ étant diagonale, $A^n = \begin{pmatrix} 0{,}9^n & 0 \\ 0 & 0{,}5^n \end{pmatrix}$. Comme $0{,}9 < 1$ et $0{,}5 < 1$, leurs puissances tendent vers $0$, donc $A^n$ tend vers la matrice nulle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Quand un nombre est entre $0$ et $1$ strictement, ses puissances tendent vers $0$. C'est aussi vrai dans le cas matriciel diagonal : chaque coefficient diagonal converge vers $0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les coefficients diagonaux sont strictement compris entre $0$ et $1$, donc leurs puissances tendent vers $0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour toute matrice carrée $A$, $A^p \times A^q = A^{p+q}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le produit $A^p \times A^q = \underbrace{A \times \cdots \times A}_{p \text{ fois}} \times \underbrace{A \times \cdots \times A}_{q \text{ fois}}$ se simplifie en $A^{p+q}$, comme pour les puissances de nombres. Cette propriété ne demande pas la commutativité (chaque facteur est la même matrice $A$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La règle « $A^p \times A^q = A^{p+q}$ » s'applique aux puissances d'une même matrice : tous les facteurs sont $A$, donc l'ordre n'a pas d'importance et on peut compter les exposants.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La règle $A^p \times A^q = A^{p+q}$ est valable pour toute matrice carrée.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, alors $A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ pour tout entier $n \geqslant 0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tout à fait !
On le démontre par récurrence. Initialisation : $A^0 = I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, ce qui correspond à la formule pour $n = 0$. Hérédité : $A^{n+1} = A^n \times A = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & n + 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Tester sur des petites valeurs : $A^1 = A$ donne bien $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ; $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. La progression est claire et la récurrence se vérifie facilement.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Une démonstration par récurrence donne $A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
[/solution]
[/etape]

QCM : Puissances d’une matrice

[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul des puissances d'une matrice et leurs propriétés. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $2$. Par convention, que vaut $A^0$ ?
[qcm]
[option]La matrice nulle $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.[/option]
[option correct="true"]La matrice identité $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.[/option]
[option]La matrice $A$ elle-même.[/option]
[option]$A^0$ n'est pas défini.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Par convention, pour toute matrice carrée $A$, on pose $A^0 = I_p$ (matrice identité de même ordre). Cette convention rend cohérente la formule $A^{n+1} = A^n \times A$ pour $n = 0$.[/reponse]
[reponse motif="La matrice nulle $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$."]Non.
Confusion avec la convention $0 \times A$. La puissance $A^0$ joue le rôle de l'élément neutre du produit matriciel, pas de l'élément absorbant.[/reponse]
[reponse motif="La matrice $A$ elle-même."]Non.
$A$ correspond à $A^1$, pas à $A^0$. La convention $A^0 = I_p$ est analogue à $a^0 = 1$ pour les nombres : la « puissance zéro » donne l'élément neutre.[/reponse]
[reponse motif="$A^0$ n'est pas défini."]Non.
$A^0$ est bien défini par convention : c'est $I_p$. Cette convention permet d'écrire les formules de récurrence sur les puissances même au rang $0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Par convention, $A^0 = I_p$ pour toute matrice carrée d'ordre $p$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$. Quelle est l'expression de $D^n$ pour tout entier $n \geqslant 0$ ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} 2n & 0 \\ 0 & 5n \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & 5^n \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 10^n & 0 \\ 0 & 10^n \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Pour une matrice diagonale, la puissance $n$-ième s'obtient en élevant chaque coefficient diagonal à la puissance $n$. Les coefficients hors diagonale restent nuls.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 2n & 0 \\ 0 & 5n \end{pmatrix}$"]Non.
Confusion entre puissance et multiplication par $n$. $D^n$ désigne le produit $D \times D \times \cdots \times D$ ($n$ fois), pas $n \times D$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$"]Non.
La puissance $n$ s'applique à tous les coefficients diagonaux, pas seulement au premier. Vérifier en calculant $D^2$ pour confirmer.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 10^n & 0 \\ 0 & 10^n \end{pmatrix}$"]Non.
Cela reviendrait à multiplier d'abord les coefficients diagonaux entre eux ($2 \times 5 = 10$). Or pour une matrice diagonale, chaque coefficient diagonal s'élève indépendamment à la puissance $n$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour une matrice diagonale, $D^n$ s'obtient en élevant chaque coefficient diagonal à la puissance $n$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Que vaut $A^2$ ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$A^2 = A \times A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Le coefficient $1\times 1 + 1\times 0 = 1$ pour la diagonale, et $1\times 1 + 1\times 1 = 2$ pour le coin supérieur droit.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$"]Non.
Cela reviendrait à dire que $A^2 = A$. Or $A$ n'est pas la matrice identité : effectuer le produit matriciel ligne par colonne donne un coefficient $2$ en haut à droite.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$"]Non.
Cela serait $A^2 = I_2$, ce qui n'est vrai que pour des matrices très particulières (par exemple les matrices de symétrie). Vérifier le coefficient $\left(1, 2\right)$ par calcul direct.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$"]Non.
Confusion avec $2A$. La puissance carrée s'obtient par produit matriciel, pas par multiplication scalaire par $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Effectuer le produit ligne par colonne : $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $P$ la matrice de transition d'une chaîne de Markov à $2$ états. Que représente le coefficient $\left(P^3\right)_{1,2}$ ?
[qcm]
[option]La probabilité de passer de l'état $1$ à l'état $2$ en au plus $3$ étapes.[/option]
[option correct="true"]La probabilité de passer de l'état $1$ à l'état $2$ en exactement $3$ étapes.[/option]
[option]La distance entre les états $1$ et $2$.[/option]
[option]Le triple de la probabilité de passer de l'état $1$ à l'état $2$ en une étape.[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
D'après le théorème du cours, le coefficient $\left(i, j\right)$ de $P^n$ donne la probabilité de passer de l'état $E_i$ à l'état $E_j$ en exactement $n$ étapes.[/reponse]
[reponse motif="La probabilité de passer de l'état $1$ à l'état $2$ en au plus $3$ étapes."]Non.
Confusion entre « exactement » et « au plus ». $P^n$ ne renseigne que sur les trajets de longueur exactement $n$. Pour cumuler plusieurs longueurs, il faudrait combiner différemment les coefficients.[/reponse]
[reponse motif="La distance entre les états $1$ et $2$."]Non.
La notion de « distance » entre états n'a pas de sens dans une chaîne de Markov. Le coefficient de $P^n$ est une probabilité, donc un nombre entre $0$ et $1$.[/reponse]
[reponse motif="Le triple de la probabilité de passer de l'état $1$ à l'état $2$ en une étape."]Non.
Confusion entre puissance et multiplication par $3$. $P^3 = P \times P \times P$ (produit matriciel), et non $3 \times P$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\left(P^n\right)_{i,j}$ donne la probabilité de passer de $E_i$ à $E_j$ en exactement $n$ étapes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $A$ une matrice carrée. Quelle relation est toujours vraie ?
[qcm]
[option]$A^2 \times A^3 = A^6$[/option]
[option correct="true"]$A^2 \times A^3 = A^5$[/option]
[option]$\left(A^2\right)^3 = A^8$[/option]
[option]$A^2 + A^3 = A^5$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Comme pour les puissances de nombres, on a $A^p \times A^q = A^{p+q}$ pour toute matrice carrée et tous entiers $p, q \geqslant 0$. Ici $A^2 \times A^3 = A^{2+3} = A^5$.[/reponse]
[reponse motif="$A^2 \times A^3 = A^6$"]Non.
Confusion entre $\times$ et puissance. La règle est $A^p \times A^q = A^{p+q}$ : on additionne les exposants, on ne les multiplie pas.[/reponse]
[reponse motif="$\left(A^2\right)^3 = A^8$"]Non.
Pour la composition de puissances, on multiplie les exposants : $\left(A^p\right)^q = A^{p \times q}$. Ici $\left(A^2\right)^3 = A^{2\times 3} = A^6$, pas $A^8$.[/reponse]
[reponse motif="$A^2 + A^3 = A^5$"]Non.
On ne combine pas l'addition matricielle avec la puissance. $A^2$ et $A^3$ sont deux matrices, leur somme reste une matrice mais pas une puissance entière de $A$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La règle générale est $A^p \times A^q = A^{p+q}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $A = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{3} \end{pmatrix}$. Vers quelle matrice $A^n$ tend-elle lorsque $n \to +\infty$ ?
[qcm]
[option]$I_2$[/option]
[option correct="true"]La matrice nulle $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$A$[/option]
[option]$+\infty$ (la suite diverge)[/option]
[reponse statut="correct"]Tout à fait !
Pour cette matrice diagonale, $A^n = \begin{pmatrix} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n & 0 \\ 0 & \left(\dfrac{1}{3}\right)^n \end{pmatrix}$. Comme $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ et $\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$ tendent vers $0$, $A^n$ tend vers la matrice nulle.[/reponse]
[reponse motif="$I_2$"]Non.
Aucun coefficient diagonal ne tend vers $1$ : $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ et $\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$ tendent vers $0$. La limite n'est donc pas l'identité.[/reponse]
[reponse motif="$A$"]Non.
Une matrice ne tend pas vers elle-même au cours d'un calcul de puissance, sauf si $A$ est idempotente ($A^2 = A$). Vérifier : $A^2 = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{4} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{9} \end{pmatrix} \ne A$.[/reponse]
[reponse motif="$+\infty$ (la suite diverge)"]Non.
Les coefficients diagonaux sont entre $0$ et $1$ strictement, donc leurs puissances tendent vers $0$, pas vers l'infini. La suite converge.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Chaque coefficient diagonal de $A^n$ tend vers $0$ : la limite est la matrice nulle.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Suites couplées et récurrence matricielle

[enonce]
Ce QCM porte sur les suites couplées et leur écriture matricielle. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
On considère le système $\begin{cases} u_{n+1} = u_n + 2\,v_n \\ v_{n+1} = -u_n + 3\,v_n \end{cases}$ avec $u_0 = 1$ et $v_0 = 1$. Que vaut le couple $\left(u_1, v_1\right)$ ?
[qcm]
[option]$\left(2, 2\right)$[/option]
[option correct="true"]$\left(3, 2\right)$[/option]
[option]$\left(1, 4\right)$[/option]
[option]$\left(3, 3\right)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$u_1 = u_0 + 2\,v_0 = 1 + 2 \times 1 = 3$ et $v_1 = -u_0 + 3\,v_0 = -1 + 3 \times 1 = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$\left(2, 2\right)$"]Non.
Le calcul de $u_1$ a oublié le coefficient $2$ devant $v_0$ : il faut écrire $u_1 = 1 + 2\times 1$, pas $1 + 1$.[/reponse]
[reponse motif="$\left(1, 4\right)$"]Non.
La première coordonnée n'a pas été calculée : $u_1$ n'est pas $u_0$. Reprendre la formule du système avec les valeurs $u_0 = 1$ et $v_0 = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$\left(3, 3\right)$"]Non.
Pour $v_1$, le signe du coefficient devant $u_0$ est $-1$, pas $+1$. On obtient $v_1 = -1 + 3 = 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Substituer $u_0 = v_0 = 1$ dans le système donne $u_1 = 3$ et $v_1 = 2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le système couplé $\begin{cases} u_{n+1} = 4\,u_n - v_n \\ v_{n+1} = 2\,u_n + v_n \end{cases}$ s'écrit $U_{n+1} = A\,U_n$ avec $U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}$. Quelle est la matrice $A$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La ligne $1$ de $A$ regroupe les coefficients de $u_n$ et $v_n$ dans l'expression de $u_{n+1} = 4\,u_n + (-1)\,v_n$ : c'est $\left(4 \quad -1\right)$. La ligne $2$ vient de $v_{n+1} = 2\,u_n + 1\,v_n$ : c'est $\left(2 \quad 1\right)$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$"]Non.
Les coefficients ont été disposés en colonnes. Pour respecter $U_{n+1} = A\,U_n$, il faut placer la $i$-ème équation sur la $i$-ème ligne de $A$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$"]Non.
Erreur de signe sur le coefficient de $v_n$ dans $u_{n+1}$ : c'est $-1$ et non $+1$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$"]Non.
Erreur de signe sur le coefficient de $v_n$ dans $v_{n+1}$ : c'est $+1$ et non $-1$. Bien lire la deuxième équation.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lire les coefficients du système ligne par ligne en respectant les signes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $u_n$ et $v_n$ deux suites couplées et $U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}$. On a calculé $A^5\,U_0 = \begin{pmatrix} 12 \\ 7 \end{pmatrix}$ où $A$ est la matrice associée au système. Que vaut $u_5$ ?
[qcm]
[option]$7$[/option]
[option correct="true"]$12$[/option]
[option]$12 + 7 = 19$[/option]
[option]Impossible à dire sans calculer $A^5$.[/option]
[reponse statut="correct"]Tout à fait !
Comme $U_n = A^n\,U_0$, on a $U_5 = \begin{pmatrix} u_5 \\ v_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 7 \end{pmatrix}$. La première coordonnée est $u_5 = 12$.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
$7$ correspond à la deuxième coordonnée, c'est $v_5$ et non $u_5$. Bien identifier la convention $U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}$ : $u_n$ est en haut.[/reponse]
[reponse motif="$12 + 7 = 19$"]Non.
Il ne faut pas additionner les deux coordonnées de $U_5$ : chacune représente une suite distincte. $u_5$ correspond uniquement à la coordonnée du haut de $U_5$.[/reponse]
[reponse motif="Impossible à dire sans calculer $A^5$."]Non.
On a déjà l'information : $A^5\,U_0$ est explicitement donné. Il suffit de lire la première coordonnée pour obtenir $u_5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$u_5$ est la première coordonnée de $U_5 = A^5\,U_0$, soit $u_5 = 12$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On définit $U_{n+1} = A\,U_n$ avec $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ et $U_0 = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ (où $a$ et $b$ sont des réels quelconques). Que vaut $U_2$ ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} a \\ -b \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} -a \\ b \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2$. Donc $U_2 = A^2\,U_0 = I_2\,U_0 = U_0$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} a \\ -b \end{pmatrix}$"]Non.
C'est $U_1$, pas $U_2$. À chaque application de $A$, le signe de la deuxième coordonnée change ; après deux applications, il retrouve sa valeur d'origine.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} -a \\ b \end{pmatrix}$"]Non.
La matrice $A$ ne change que le signe de la deuxième coordonnée (à cause du $-1$ en bas à droite). La première coordonnée reste inchangée à chaque étape.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$"]Non.
Aucune coordonnée n'est annulée par la matrice $A$ : les coefficients diagonaux non nuls préservent les coordonnées (au signe près).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $A^2$ : on trouve $I_2$, donc $U_2 = U_0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour calculer le terme $U_5$ d'une suite définie par $U_{n+1} = A\,U_n$ avec $U_0$ donné, quelle méthode est la plus efficace lorsque $A$ n'est pas diagonale ?
[qcm]
[option correct="true"]Itérer la relation : $U_1 = A\,U_0$, $U_2 = A\,U_1$, …, $U_5 = A\,U_4$.[/option]
[option]Calculer $A^5$ d'abord, puis multiplier par $U_0$.[/option]
[option]Diviser $U_0$ par $A$ cinq fois.[/option]
[option]Élever $U_0$ à la puissance $5$.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Pour un nombre limité de termes, l'itération $U_{k+1} = A\,U_k$ est plus rapide que le calcul de $A^5$ : chaque étape se ramène à un seul produit matrice $\times$ vecteur, beaucoup moins coûteux qu'un produit matrice $\times$ matrice.[/reponse]
[reponse motif="Calculer $A^5$ d'abord, puis multiplier par $U_0$."]Pas tout à fait.
Cette méthode donne le bon résultat mais elle est moins efficace pour un petit $n$ : calculer $A^5$ requiert plusieurs produits matrice $\times$ matrice, plus longs que les produits matrice $\times$ vecteur de l'itération.[/reponse]
[reponse motif="Diviser $U_0$ par $A$ cinq fois."]Non.
La division matricielle n'est pas définie comme telle ; il faudrait inverser $A$, ce qui n'a aucun lien avec le calcul de $U_5$. La récurrence multiplie par $A$, pas par $A^{-1}$.[/reponse]
[reponse motif="Élever $U_0$ à la puissance $5$."]Non.
$U_0$ est une matrice colonne : on ne peut pas calculer ses puissances (le produit $U_0 \times U_0$ n'est pas défini).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour un $n$ petit, itérer la récurrence est la méthode la plus rapide.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ deux suites couplées dont l'écriture matricielle est $U_{n+1} = A\,U_n$ avec $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $U_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Que vaut $U_3$ ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 8 \\ 5 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$U_1 = A\,U_0 = \begin{pmatrix} 1+1 \\ 1+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $U_2 = A\,U_1 = \begin{pmatrix} 2+1 \\ 2+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$, $U_3 = A\,U_2 = \begin{pmatrix} 3+2 \\ 3+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$"]Non.
Cette valeur est $U_2$. Il faut appliquer $A$ une fois de plus pour obtenir $U_3$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$"]Non.
La première coordonnée n'est pas correcte. Reprendre l'itération à partir de $U_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ : la première ligne donne $3 + 2 = 5$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 8 \\ 5 \end{pmatrix}$"]Non.
Cette valeur est $U_4$. Bien suivre l'indice : un calcul de plus que $U_3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Itérer trois fois la relation $U_{k+1} = A\,U_k$ donne $U_3 = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$ (suite de Fibonacci).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Écriture matricielle d’une suite

[enonce]
Ce QCM porte sur l'écriture matricielle d'une suite de matrices colonnes définie par une relation $U_{n+1} = A\,U_n$. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $\left(U_n\right)$ une suite de matrices colonnes telle que $U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}$. Quelle est la dimension de $U_n$ ?
[qcm]
[option]$1 \times 1$[/option]
[option]$1 \times 2$[/option]
[option correct="true"]$2 \times 1$[/option]
[option]$2 \times 2$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$U_n$ comporte $2$ lignes et $1$ colonne : sa dimension est donc $2 \times 1$. C'est une matrice colonne à $2$ lignes.[/reponse]
[reponse motif="$1 \times 1$"]Non.
Une matrice $1 \times 1$ ne contiendrait qu'un seul nombre. Or $U_n$ contient deux coefficients distincts $u_n$ et $v_n$.[/reponse]
[reponse motif="$1 \times 2$"]Non.
La convention est : nombre de lignes $\times$ nombre de colonnes. Or $U_n$ a $2$ lignes (les deux coefficients sont écrits l'un en dessous de l'autre), pas $2$ colonnes.[/reponse]
[reponse motif="$2 \times 2$"]Non.
$U_n$ n'a qu'une seule colonne (les coefficients sont alignés verticalement). Une matrice $2 \times 2$ aurait $4$ coefficients organisés en carré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$U_n$ est une matrice colonne à $2$ lignes : sa dimension est $2 \times 1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ et $U_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$. La suite $\left(U_n\right)$ est définie par $U_{n+1} = A\,U_n$. Que vaut $U_1$ ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} 1 \\ 6 \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$U_1 = A\,U_0 = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\times 1 + (-1)\times 2 \\ 0\times 1 + 3\times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 1 \\ 6 \end{pmatrix}$"]Non.
La première coordonnée n'est pas correcte : il faut effectuer $2 \times 1 + (-1) \times 2$ et non $2 \times 1 - 1$. Le coefficient $-1$ se multiplie par la deuxième coordonnée de $U_0$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$"]Non.
Cela revient à effectuer un produit terme à terme $2 \times 1$ puis $3 \times 2 - 1$. Or le produit matriciel se fait ligne par colonne : la première coordonnée vaut $2\times 1 + (-1)\times 2$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$"]Non.
Erreur de signe sur le coefficient $-1$ : il intervient en soustraction et non en addition. Reprendre $2\times 1 + (-1)\times 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Effectuer le produit ligne par colonne avec attention au signe : $U_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La suite $\left(U_n\right)$ est définie par $U_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et la relation $U_{n+1} = A\,U_n$ où $A$ est une matrice carrée d'ordre $2$. Quelle expression donne $U_n$ pour tout entier $n \geqslant 0$ ?
[qcm]
[option]$U_n = n\,A\,U_0$[/option]
[option]$U_n = A\,U_0^{n}$[/option]
[option correct="true"]$U_n = A^{n}\,U_0$[/option]
[option]$U_n = A^{n} + U_0$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La récurrence $U_{n+1} = A\,U_n$ s'itère en : $U_1 = A\,U_0$, $U_2 = A\,U_1 = A^2\,U_0$, et plus généralement $U_n = A^n\,U_0$.[/reponse]
[reponse motif="$U_n = n\,A\,U_0$"]Non.
Confusion avec une suite arithmétique. Ici la relation est multiplicative à chaque pas : on multiplie par $A$, et non par $n$. À chaque étape, on applique la matrice $A$ une fois de plus.[/reponse]
[reponse motif="$U_n = A\,U_0^{n}$"]Non.
$U_0$ est une matrice colonne : son produit avec elle-même n'est pas défini ($U_0 \times U_0$ n'a pas de sens car les dimensions ne se composent pas). C'est la matrice carrée $A$ qui est élevée à une puissance.[/reponse]
[reponse motif="$U_n = A^{n} + U_0$"]Non.
La récurrence est multiplicative, pas additive. À chaque étape, $U_{n+1} = A\,U_n$ multiplie le terme précédent par $A$ ; il n'y a pas d'ajout de $U_0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La formule à retenir est $U_n = A^n\,U_0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La suite $\left(U_n\right)$ vérifie $U_{n+1} = A\,U_n$ avec $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $U_0 = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$. Que vaut $U_2$ ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 8 \\ 8 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La matrice $A$ échange les deux coordonnées : $U_1 = A\,U_0 = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$, puis $U_2 = A\,U_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$. On retrouve donc $U_0$, ce qui traduit le fait que $A^2 = I_2$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$"]Non.
Cette valeur est $U_1$, pas $U_2$. Il faut appliquer $A$ une deuxième fois pour obtenir $U_2$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$"]Non.
La matrice $A$ ne contient que des $0$ et des $1$, mais elle agit comme un échange de coordonnées : aucun coefficient n'est annulé. Reprendre soigneusement le produit ligne par colonne.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 8 \\ 8 \end{pmatrix}$"]Non.
Cela reviendrait à additionner les coordonnées au lieu de les échanger. La matrice $A$ transforme $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ en $\begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La matrice $A$ échange les coordonnées ; appliquée deux fois, elle redonne le vecteur initial : $U_2 = U_0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le système couplé $\begin{cases} u_{n+1} = 3\,u_n + 2\,v_n \\ v_{n+1} = u_n - v_n \end{cases}$ s'écrit sous la forme matricielle $U_{n+1} = A\,U_n$ avec $U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}$. Quelle est la matrice $A$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La ligne $1$ de $A$ contient les coefficients de $u_n$ et $v_n$ dans l'expression de $u_{n+1}$ : $\left(3 \quad 2\right)$. La ligne $2$ contient ceux de l'expression de $v_{n+1}$ : $\left(1 \quad -1\right)$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$"]Non.
Les coefficients ont été disposés en colonnes au lieu d'en lignes. Pour la matrice $A$ telle que $U_{n+1} = A\,U_n$, il faut placer les coefficients de $u_{n+1}$ sur la première ligne et ceux de $v_{n+1}$ sur la deuxième ligne.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$"]Non.
Erreur de signe à la deuxième ligne, deuxième colonne : le coefficient de $v_n$ dans $v_{n+1} = u_n - v_n$ est $-1$, et non $1$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$"]Non.
La première ligne de $A$ correspond à l'expression de $u_{n+1}$ donnée dans l'énoncé, soit $\left(3 \quad 2\right)$. Vérifier l'ordre des coefficients en relisant le système.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lire les coefficients ligne par ligne dans le système : la $i$-ème ligne de $A$ contient les coefficients de la $i$-ème équation.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $\left(U_n\right)$ vérifiant $U_{n+1} = A\,U_n$ avec $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $U_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$. Que peut-on dire de la suite $\left(U_n\right)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]Elle est constante égale à $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.[/option]
[option]Elle est nulle dès $n = 1$.[/option]
[option]Elle tend vers $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.[/option]
[option]Elle vérifie $U_n = \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}$.[/option]
[reponse statut="correct"]Tout à fait !
$U_1 = A\,U_0 = \begin{pmatrix} 1\times 1 + 1\times 0 \\ 0\times 1 + 1\times 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = U_0$. Donc tous les termes suivants sont aussi égaux à $U_0$ : la suite est constante.[/reponse]
[reponse motif="Elle est nulle dès $n = 1$."]Non.
Effectuer soigneusement le produit $A\,U_0$ ligne par colonne : la première coordonnée vaut $1 \times 1 + 1 \times 0 = 1$, pas $0$.[/reponse]
[reponse motif="Elle tend vers $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$."]Non.
La suite ne se rapproche pas de $0$ : son premier terme calculé est déjà égal à $U_0$. Le second coordonnée de $U_0$ est nulle, ce qui « gèle » l'effet de la matrice.[/reponse]
[reponse motif="Elle vérifie $U_n = \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}$."]Non.
Cela serait le cas si la deuxième coordonnée de $U_0$ valait $1$. Avec $U_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, le terme additif $v_n$ est nul à chaque étape, donc $u_n$ ne s'incrémente pas.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $U_1 = A\,U_0$ : on obtient $U_0$ lui-même. La suite est donc constante.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]