QCM Bilan : Limites de fonctions

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : théorèmes de comparaison, théorème des gendarmes, croissances comparées et composition. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ une fonction telle que $f(x) \geqslant x^{2}$ pour tout $x \geqslant 0$. On peut alors affirmer que :
[qcm]
[option correct="true"]$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$[/option]
[option]$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$[/option]
[option]$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0$[/option]
[option]on ne peut pas conclure[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On utilise le théorème de comparaison : si $f(x) \geqslant g(x)$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$, alors $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. Ici $g(x) = x^{2}$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} x^{2} = +\infty$, donc $f$ tend vers $+\infty$.[/reponse]
[reponse motif="$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$"]Non.
$f(x) \geqslant x^{2} \geqslant 0$ : la fonction est minorée par une quantité positive. Sa limite ne peut pas être $-\infty$.[/reponse]
[reponse motif="$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0$"]Non.
$f$ est minorée par $x^{2}$ qui tend vers $+\infty$. Une fonction supérieure à une quantité qui tend vers l'infini ne peut pas tendre vers $0$.[/reponse]
[reponse motif="on ne peut pas conclure"]Non.
On dispose d'une minoration par $x^{2}$ qui tend vers $+\infty$. Le théorème de comparaison s'applique et permet de conclure.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Théorème de comparaison : si $f(x) \geqslant g(x)$ et $g(x) \to +\infty$, alors $f(x) \to +\infty$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour tout $x > 0$, on a $-\dfrac{1}{x} \leqslant g(x) \leqslant \dfrac{1}{x}$. Alors $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)$ vaut :
[qcm]
[option]$+\infty$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]$0$[/option]
[option]on ne peut pas conclure[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On applique le théorème des gendarmes :
$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(-\dfrac{1}{x}\right) = 0$.
Comme $-\dfrac{1}{x} \leqslant g(x) \leqslant \dfrac{1}{x}$ et que les deux bornes ont la même limite $0$, on conclut $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$+\infty$"]Non.
$g(x)$ est encadré par deux fonctions qui tendent vers $0$. La fonction $g$ ne peut donc pas diverger.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
La moyenne des bornes n'est pas une formule valide pour une limite. Ici les deux bornes tendent vers la même valeur ($0$), donc $g$ tend vers cette valeur commune.[/reponse]
[reponse motif="on ne peut pas conclure"]Non.
On a un encadrement par deux fonctions qui ont la même limite : c'est exactement le cadre du théorème des gendarmes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Théorème des gendarmes : si $u(x) \leqslant g(x) \leqslant v(x)$ et $u(x), v(x) \to l$, alors $g(x) \to l$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x}$ vaut :
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option]n'existe pas car $\sin$ oscille[/option]
[option correct="true"]$0$[/option]
[option]on ne peut pas conclure[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Pour tout $x > 0$, on utilise $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$, donc :
$-\dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{\sin x}{x} \leqslant \dfrac{1}{x}$.
Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(-\dfrac{1}{x}\right) = 0$. Par le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x} = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
La limite $\dfrac{\sin x}{x} \to 1$ existe en $0$ (limite classique du nombre dérivé), pas en $+\infty$. À ne pas confondre.[/reponse]
[reponse motif="n'existe pas car $\sin$ oscille"]Non.
$\sin x$ oscille bien entre $-1$ et $1$, mais le facteur $\dfrac{1}{x}$ écrase ces oscillations vers $0$. Une oscillation amortie peut très bien admettre une limite.[/reponse]
[reponse motif="on ne peut pas conclure"]Non.
On dispose d'un encadrement classique grâce à $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$. Le théorème des gendarmes s'applique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Encadrer $\dfrac{\sin x}{x}$ entre $-\dfrac{1}{x}$ et $\dfrac{1}{x}$, qui tendent toutes deux vers $0$, et appliquer les gendarmes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^{x}}{x^{3}}$ vaut :
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$+\infty$[/option]
[option]forme indéterminée sans solution[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On a une forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$. C'est un cas typique de croissance comparée : pour tout entier naturel $n$, $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^{x}}{x^{n}} = +\infty$. Avec $n = 3$, la limite vaut $+\infty$. L'exponentielle « l'emporte » sur toute puissance de $x$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
La limite $\dfrac{x^{3}}{\text{e}^{x}} \to 0$ est correcte (le polynôme est dominé par l'exponentielle), mais ici la fraction est inversée : c'est $\dfrac{\text{e}^{x}}{x^{3}}$, qui tend vers l'infini.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$\text{e}^{x}$ et $x^{3}$ tendent tous deux vers $+\infty$, mais à des vitesses très différentes. Le rapport ne tend pas vers une constante, il diverge.[/reponse]
[reponse motif="forme indéterminée sans solution"]Non.
La forme est indéterminée au départ, mais la croissance comparée la lève : l'exponentielle l'emporte toujours sur tout polynôme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Croissance comparée : pour tout entier $n \geqslant 0$, $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^{x}}{x^{n}} = +\infty$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$\lim\limits_{x \to -\infty} x^{2} \text{e}^{x}$ vaut :
[qcm]
[option]$+\infty$[/option]
[option]$-\infty$[/option]
[option correct="true"]$0$[/option]
[option]forme indéterminée sans solution[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Forme indéterminée $\infty \times 0$ (car $x^{2} \to +\infty$ et $\text{e}^{x} \to 0$ en $-\infty$). C'est un cas direct de croissance comparée : pour tout entier $n$, $\lim\limits_{x \to -\infty} x^{n} \text{e}^{x} = 0$. L'exponentielle écrase la puissance de $x$.[/reponse]
[reponse motif="$+\infty$"]Non.
$\text{e}^{x} \to 0$ en $-\infty$ très rapidement, plus vite que $x^{2} \to +\infty$. Le produit s'écrase vers $0$, il ne diverge pas.[/reponse]
[reponse motif="$-\infty$"]Non.
$x^{2} \geqslant 0$ et $\text{e}^{x} > 0$ : le produit reste positif. Sa limite ne peut pas être négative.[/reponse]
[reponse motif="forme indéterminée sans solution"]Non.
La forme est indéterminée au départ ($\infty \times 0$), mais la croissance comparée donne directement la limite : $\text{e}^{x}$ écrase toute puissance.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Croissance comparée en $-\infty$ : pour tout entier $n$, $\lim\limits_{x \to -\infty} x^{n} \text{e}^{x} = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On pose $X = x^{2} + 1$. Alors $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x^{2} + 1}$ vaut :
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option]$0$[/option]
[option correct="true"]$+\infty$[/option]
[option]$\sqrt{1}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On applique le théorème de composition. Avec $X = x^{2} + 1$ :
$\lim\limits_{x \to +\infty} X = \lim\limits_{x \to +\infty} (x^{2} + 1) = +\infty$.
Puis $\lim\limits_{X \to +\infty} \sqrt{X} = +\infty$. Par composition, $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x^{2} + 1} = +\infty$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$\sqrt{1} = 1$ correspond à la valeur en $x = 0$, pas à la limite en $+\infty$. Quand $x$ grandit, $x^{2} + 1$ explose et sa racine aussi.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
$x^{2} + 1$ ne tend pas vers $0$ en $+\infty$ : c'est l'inverse, il croît sans borne. Sa racine carrée croît également.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{1}$"]Non.
$\sqrt{1} = 1$ : même réponse que « $1$ ». La constante $+1$ devient négligeable devant $x^{2}$ quand $x$ grandit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Composition : $X = x^{2} + 1 \to +\infty$ quand $x \to +\infty$, puis $\sqrt{X} \to +\infty$ quand $X \to +\infty$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Limites de fonctions (4)

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $\left]0~;~+\infty\right[$ par $f(x) = \dfrac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}$.

Affirmation : $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On factorise $x$ au numérateur et au dénominateur :

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x}} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x\!\left(1 - \tfrac{1}{\sqrt{x}}\right)}{x\!\left(1 + \tfrac{1}{\sqrt{x}}\right)} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1 - \tfrac{1}{\sqrt{x}}}{1 + \tfrac{1}{\sqrt{x}}} = \dfrac{1}{1} = 1$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention, avant de conclure face à $\dfrac{+\infty}{+\infty}$, il faut factoriser par $x$ pour simplifier.
En divisant par $x$ : $\dfrac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} = \dfrac{1-\tfrac{1}{\sqrt{x}}}{1+\tfrac{1}{\sqrt{x}}} \to \dfrac{1}{1} = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
En factorisant par $x$, les termes $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ tendent vers $0$ et le rapport tend vers $1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sqrt{x^2+1} - x$.

Affirmation : $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On multiplie par l'expression conjuguée $\sqrt{x^2+1}+x$ :

$f(x) = \dfrac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x} = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} \to 0$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La forme $+\infty - +\infty$ est indéterminée : il faut multiplier par l'expression conjuguée pour lever l'indétermination.
$\sqrt{x^2+1}-x = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} \to 0$ quand $x \to +\infty$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
Multiplication par l'expression conjuguée : $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} \to 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{1}{x(\cos x + 2)}$.

Affirmation : La fonction $f$ n'admet pas de limite quand $x \to +\infty$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour $x > 0$, $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$ donc $1 \leqslant \cos x + 2 \leqslant 3$, d'où :

$\dfrac{1}{3x} \leqslant \dfrac{1}{x(\cos x+2)} \leqslant \dfrac{1}{x}$

Par le théorème des gendarmes : $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le $\cos x$ oscille, mais le facteur $\cos x + 2$ reste compris entre $1$ et $3$. On peut donc encadrer $f$ et appliquer le théorème des gendarmes.
$\dfrac{1}{3x} \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{1}{x} \to 0$, donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
Le théorème des gendarmes donne $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0$ car $\cos x + 2 \in [1, 3]$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x\sin x$.

Affirmation : $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\sin x$ oscille indéfiniment entre $-1$ et $1$.
$f$ n'admet pas de limite quand $x \to +\infty$ : elle prend des valeurs arbitrairement grandes et des valeurs arbitrairement petites (négatives).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas oublier que $\sin x$ peut être négatif : pour $x = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi$, $\sin x = -1$ et donc $x\sin x$ est très négatif.
$x\sin x$ n'a pas de limite en $+\infty$ car $\sin x$ oscille entre $-1$ et $1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
$x\sin x$ n'admet pas de limite en $+\infty$ : elle oscille entre des valeurs très grandes et très négatives.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2(\sin x + 5)$.

Affirmation : $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour tout $x$ : $\sin x \geqslant -1$, donc $\sin x + 5 \geqslant 4$, d'où $x^2(\sin x+5) \geqslant 4x^2$.
Comme $\lim\limits_{x \to -\infty} 4x^2 = +\infty$, par comparaison : $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est de penser que $\sin x$ empêche de conclure. Or le coefficient $+5$ garantit que $\sin x + 5 \geqslant 4 > 0$ en permanence.
$f(x) \geqslant 4x^2 \to +\infty$ : on conclut par comparaison.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$\sin x + 5 \geqslant 4 > 0$ pour tout $x$, donc $f(x) \geqslant 4x^2 \to +\infty$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x + \sin x$.

Affirmation : $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\sin x \leqslant 1$ pour tout $x$, donc $x + \sin x \leqslant x + 1$.
Comme $\lim\limits_{x \to -\infty}(x+1) = -\infty$, par comparaison : $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : $\sin x$ est borné entre $-1$ et $1$. Il ne peut pas contrebalancer la divergence de $x$ vers $-\infty$.
$f(x) \leqslant x+1 \to -\infty$, donc par comparaison $f(x) \to -\infty$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$f(x) \leqslant x + 1 \to -\infty$ : le terme $\sin x$ (borné) ne peut pas compenser $x \to -\infty$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Limites de fonctions (3)

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ telle que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

Affirmation : $\lim\limits_{x \to +\infty} x\,f(x) = +\infty$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est un produit dont chaque facteur tend vers $+\infty$ : la limite est $+\infty$.
Il n'y a pas de forme indéterminée ici.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas confondre ce produit $(+\infty) \times (+\infty)$ avec la forme indéterminée $0 \times (+\infty)$. Ici les deux facteurs tendent vers $+\infty$, donc il n'y a aucune indétermination.
$(+\infty) \times (+\infty) = +\infty$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$(+\infty) \times (+\infty) = +\infty$ : aucune forme indéterminée ici.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $\left]0~;~+\infty\right[$ par $f(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x}$.

Affirmation : $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{x}} = 0$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Avant de conclure à une forme indéterminée $\dfrac{+\infty}{+\infty}$, il faut simplifier : $\dfrac{\sqrt{x}}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$.
$\dfrac{1}{\sqrt{x}} \to 0$ quand $x \to +\infty$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$\dfrac{\sqrt{x}}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{x}} \to 0$ : la racine carrée croît moins vite que $x$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = x - \sqrt{x}$.

Affirmation : $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour $x \geqslant 0$, on factorise : $f(x) = \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)$.
$\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}(\sqrt{x}-1) = +\infty$, donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La forme $+\infty - +\infty$ ne donne pas automatiquement $0$. En factorisant : $f(x) = \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)$.
C'est un produit de deux facteurs tendant vers $+\infty$, donc $f(x) \to +\infty$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
En factorisant : $f(x) = \sqrt{x}(\sqrt{x}-1) \to +\infty \times +\infty = +\infty$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1} = +\infty$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On factorise le numérateur :

$\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1}(x+1) = 2$

La limite est finie, égale à $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, une forme $\dfrac{0}{0}$ n'est pas une limite infinie : c'est une forme indéterminée qu'il faut lever en factorisant.
$\dfrac{x^2-1}{x-1} = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1$ pour $x \neq 1$, donc la limite vaut $2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
En factorisant : $\dfrac{x^2-1}{x-1} = x+1 \to 2$ quand $x \to 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\lim\limits_{\scriptstyle x \to 1^-} \dfrac{x+1}{x-1} = +\infty$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Quand $x \to 1^-$ (par valeurs inférieures à $1$) : le numérateur $x+1 \to 2 > 0$ et le dénominateur $x-1 \to 0^-$.
Donc $\dfrac{x+1}{x-1} \to -\infty$, pas $+\infty$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est d'oublier le signe du dénominateur. $x \to 1^-$ signifie $x < 1$, donc $x - 1 < 0$.
Le numérateur $x+1 \to 2 > 0$ divisé par un nombre négatif proche de $0$ donne $-\infty$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
Pour $x \to 1^-$, le dénominateur $x-1 \to 0^-$, donc $\dfrac{x+1}{x-1} \to -\infty$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x} = 1$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour $x > 0$, $-\dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{\sin x}{x} \leqslant \dfrac{1}{x}$.
Par le théorème des gendarmes : $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x} = 0$.
C'est en $x \to 0$ que $\dfrac{\sin x}{x} \to 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de confondre $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ (limite classique en $0$) avec la limite en $+\infty$, qui vaut $0$ par le théorème des gendarmes.
Par le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sin x}{x} = 0$.
C'est la limite en $0$ (pas en $+\infty$) qui vaut $1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
Par le théorème des gendarmes : $-\dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{\sin x}{x} \leqslant \dfrac{1}{x} \to 0$, donc la limite est $0$.
[/solution]
[/etape]

[ROC] Limites de la fonction exponentielle

Prérequis : La fonction exponentielle (notée $ \text{exp} $ ou $ x\mapsto \text{e}^{x} $) est l'unique fonction dérivable sur $ \mathbb{R} $ telle que :

$ \text{exp}^{\prime}=\text{exp} $

$ \text{exp}\left(0\right)=1 $

La fonction exponentielle est strictement croissante et strictement positive sur $ \mathbb{R} $.

Pour tous réels $ a $ et $ b $ :

$ \text{e}^{a+b}=\text{e}^{a}\times \text{e}^{b} $
$ \text{e}^{ - a}=\dfrac{1}{\text{e}^{a}} $
$ \text{e}^{a - b}=\dfrac{\text{e}^{a}}{\text{e}^{b}} $

L'objectif de cet exercice est de démontrer les principaux résultats concernant les limites de la fonction exponentielle.

Partie A

Soit la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f\left(x\right)=\text{e}^{x} - x $.

Étudier le sens de variation de la fonction $ f $.
En déduire que pour tout réel $ x $ : $ \text{e}^{x} > x $.

Montrer que $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\text{e}^{x}=+\infty $
A l'aide de la question précédente, montrer que $ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\text{e}^{x}=0 $

Partie B

Soit la fonction $ g $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ g\left(x\right)=\text{e}^{x} - \dfrac{x^{2}}{2} $.

Étudier le sens de variation de la fonction $ g $.

Montrer que $ g\left(x\right) > 0 $ pour tout $ x > 0 $.
En déduire la limite quand $ x $ tend vers $ +\infty $ de $ \dfrac{\text{e}^{x}}{x} $.
Montrer que $ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }x \text{e}^{x}=0 $.

Corrigé

Partie A

$ f^{\prime}\left(x\right)=\text{e}^{x} - 1 $

$ f^{\prime}\left(x\right) > 0 \Leftrightarrow \text{e}^{x} - 1 > 0 \Leftrightarrow \text{e}^{x} > 1 \Leftrightarrow \text{e}^{x} > \text{e}^{0} \Leftrightarrow x > 0 $ car le fonction exponentielle est strictement croissante.

Par ailleurs $ f\left(0\right)=\text{e}^{0} - 0=1 $.

On en déduit le tableau de variation de $ f $
Le tableau précédent montre que pour tout $ x \in \mathbb{R} $, $ f\left(x\right) > 0 $, c'est-à-dire $ \text{e}^{x} > x $.

Or $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x=+\infty $. Donc d'après le théorème de comparaison pour les limites infinies : $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\text{e}^{x}=+\infty $
On pose $ X= - x $. Lorsque $ x\rightarrow - \infty $, $ X\rightarrow +\infty $ et :

$ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\text{e}^{x}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\text{e}^{ - X}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{\text{e}^{X}} $

Or d'après la question précédente $ \lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\text{e}^{X}=+\infty $ donc par quotient :

$ \lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{\text{e}^{X}}=0 $

En conclusion : $ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }\text{e}^{x}=0 $

Partie B

$ g^{\prime}\left(x\right)=\text{e}^{x} - x=f\left(x\right) > 0 $ pour tout $ x \in \mathbb{R} $.

Donc la fonction $ g $ est croissante sur $ \mathbb{R} $

On en déduit que pour $ x > 0 $, $ g\left(x\right) > g\left(0\right)=1 > 0 $
Pour $ x $ strictement positif $ g\left(x\right) > 0 $ donc $ \text{e}^{x} - \dfrac{x^{2}}{2} > 0 $ donc $ \text{e}^{x} > \dfrac{x^{2}}{2} $

Par conséquent : $ \dfrac{\text{e}^{x}}{x} > \dfrac{x}{2} $ et comme $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{x}{2}=+\infty $, d'après le théorème de comparaison pour les limites infinies : $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{\text{e}^{x}}{x}=+\infty $
On pose, là encore, $ X= - x $ :

$ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }x \text{e}^{x}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty } - X \text{e}^{ - X}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty } - \dfrac{X}{\text{e}^{X}} $

D'après la question précédente $ \dfrac{\text{e}^{X}}{X} $ tend vers $ +\infty $ lorsque $ X\rightarrow +\infty $ donc $ \dfrac{X}{\text{e}^{X}} $ (qui est son inverse) tend vers $ 0 $.

Donc $ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }x \text{e}^{x}=0 $.

Limites et encadrement

Soit $ f $ une fonction définie sur $ \mathbb{R} $ telle que pour tout réel $ x $ : $ 1\leqslant f\left(x\right)\leqslant 2 $.

Calculer (si cela est possible) les limites suivantes :

$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)+x $
$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }xf\left(x\right) $
$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f\left(x\right)}{x} $
$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f\left(x\right)+x}{x^{2}f\left(x\right)} $

Corrigé

On sait que $ 1\leqslant f\left(x\right) $ donc en ajoutant $ x $ à chaque membre :

$ f\left(x\right)+x \geqslant 1+x $

Or, $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }1+x=+\infty $

donc d'après le théorème de comparaison quand $ x\rightarrow +\infty $ :

$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)+x=+\infty $
De même, $ 1\leqslant f\left(x\right) $ donc pour $ x $ positif $ xf\left(x\right)\geqslant x $

Comme $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x=+\infty $, le même théorème que précédemment permet de conclure que :

$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }xf\left(x\right)=+\infty $
$ 1\leqslant f\left(x\right)\leqslant 2 $ donc pour $ x $ strictement positif, en multipliant chaque membre par $ \dfrac{1}{x} $ (qui est aussi strictement positif) :

$ \dfrac{1}{x}\leqslant \dfrac{f\left(x\right)}{x}\leqslant \dfrac{2}{x} $

Or $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{x}=0 $ et $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{2}{x}=0 $

Donc d'après le théorème des gendarmes :

$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f\left(x\right)}{x}=0 $
On écrit :

$ \dfrac{f\left(x\right)+x}{x^{2}f\left(x\right)}=\dfrac{f\left(x\right)}{x^{2}f\left(x\right)}+\dfrac{x}{x^{2}f\left(x\right)}=\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{xf\left(x\right)} $

$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{x^{2}}=0 $

Ensuite, pour calculer $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{xf\left(x\right)} $ on peut poser $ X=xf\left(x\right) $.

D'après la question 2. :

$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }X=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }xf\left(x\right)=+\infty $

donc $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{xf\left(x\right)}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{X}=0 $

Finalement, par somme :

$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f\left(x\right)+x}{x^{2}f\left(x\right)}=0 $