Étude de f(x) = (ln x)² − 2 ln(x)

Soit $ f $ la fonction définie sur $ ]0\,;+\infty[ $ par

$ f(x) = \bigl(\ln(x)\bigr)^{2} - 2\ln(x) $

Démontrer que pour tout $ x > 0 $ : $ f^{\prime}(x) = \dfrac{2\bigl(\ln(x) - 1\bigr)}{x} $.
Déterminer les limites de $ f $ en $ 0^{+} $ et en $ +\infty $.
Étudier le signe de $ f^{\prime}(x) $, puis dresser le tableau de variations de $ f $.
Résoudre dans $ ]0\,;+\infty[ $ l'équation $ f(x) = 0 $.
Indication : poser $ X = \ln(x) $.
Résoudre dans $ ]0\,;+\infty[ $ l'inéquation $ f(x) \leqslant 0 $.

Corrigé

La fonction $ x \mapsto \ln(x) $ est dérivable sur $ ]0\,;+\infty[ $, donc $ f $ est dérivable sur ce même intervalle.
On dérive en utilisant la formule $ \bigl(u^{2}\bigr)^{\prime} = 2u \times u^{\prime} $ avec $ u(x) = \ln(x) $ :
$ \bigl((\ln x)^{2}\bigr)^{\prime} = 2\ln(x) \times \dfrac{1}{x} = \dfrac{2\ln(x)}{x} $.
Et $ \bigl(-2\ln(x)\bigr)^{\prime} = -\dfrac{2}{x} $.
Donc $ f^{\prime}(x) = \dfrac{2\ln(x)}{x} - \dfrac{2}{x}$ = $\mathbf{\dfrac{2\bigl(\ln(x) - 1\bigr)}{x}}$.
Limite en $ 0^{+} $ : on pose $ X = \ln(x) $. Quand $ x \to 0^{+} $, $ X \to -\infty $.
$ f(x) = X^{2} - 2X = X(X - 2) $.
Quand $ X \to -\infty $, $ X \to -\infty $ et $ X - 2 \to -\infty $, donc par produit $ X(X - 2) \to +\infty $.
Donc $ \displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = +\infty $.

Limite en $ +\infty $ : de même, $ f(x) = \ln(x)\bigl(\ln(x) - 2\bigr) $.
Quand $ x \to +\infty $, $ \ln(x) \to +\infty $ et $ \ln(x) - 2 \to +\infty $.
Par produit : $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $.
Pour tout $ x > 0 $, $ \dfrac{2}{x} > 0 $. Le signe de $ f^{\prime}(x) $ est donc celui de $ \ln(x) - 1 $.
$ \ln(x) - 1 = 0 \iff \ln(x) = 1 \iff x = e $.
$ \ln(x) - 1 < 0 \iff \ln(x) < 1 \iff x < e $ (par stricte croissance de $ \ln $).
$ \ln(x) - 1 > 0 \iff x > e $.
- Sur $ ]0\,;e[ $ : $ f^{\prime}(x) < 0 $, donc $ f $ est strictement décroissante.
- En $ x = e $ : $ f^{\prime}(e) = 0 $.
- Sur $ ]e\,;+\infty[ $ : $ f^{\prime}(x) > 0 $, donc $ f $ est strictement croissante.
Le minimum est atteint en $ x = e $ et vaut $ f(e) = 1^{2} - 2 \times 1 = -1 $.
On pose $ X = \ln(x) $. L'équation devient :
$ X^{2} - 2X = 0 $
$ X(X - 2) = 0 $
$ X = 0 $ ou $ X = 2 $.

On revient à $ x $ :
- $ X = 0 \iff \ln(x) = 0 \iff x = 1 $.
- $ X = 2 \iff \ln(x) = 2 \iff x = e^{2} $.
Les deux solutions sont strictement positives, donc :
$ S$ = $\mathbf{\{1\,;\,e^{2}\}}$.
Avec le même changement de variable $ X = \ln(x) $, l'inéquation devient :
$ X^{2} - 2X \leqslant 0 $
$ X(X - 2) \leqslant 0 $.

Le trinôme $ X(X - 2) $ est négatif entre ses racines $ 0 $ et $ 2 $, donc :
$ X(X - 2) \leqslant 0 \iff 0 \leqslant X \leqslant 2 $.

On revient à $ x $ : $ 0 \leqslant \ln(x) \leqslant 2 $.
Comme $ \ln $ est strictement croissante, $ \ln(x) \geqslant 0 \iff x \geqslant 1 $ et $ \ln(x) \leqslant 2 \iff x \leqslant e^{2} $.

$ S$ = $\mathbf{[1\,;\,e^{2}]}$.

→ Pour réviser : Étudier une fonction contenant ln

Équations simples avec ln et exp

Résoudre dans $ \mathbb{R} $ les équations suivantes.

$ \ln(x) = 2 $
$ \ln(x) = -3 $
$ e^{x} = 7 $
$ \ln(2x - 1) = 0 $
$ \ln(x + 3) = \ln(2x - 5) $

Pour chaque équation, on précise d'abord le domaine de validité (chaque expression placée dans un $ \ln $ doit être strictement positive), puis on utilise soit la définition $ \ln(x)=k \iff x = e^{k} $, soit l'injectivité de $ \ln $.

Domaine : $ x > 0 $.
$ \ln(x) = 2 \iff x = e^{2} $.
Comme $ e^{2} > 0 $, la solution est dans le domaine.
$ S$ = $\mathbf{\{e^{2}\}}$.
Domaine : $ x > 0 $.
$ \ln(x) = -3 \iff x = e^{-3} = \dfrac{1}{e^{3}} $.
Comme $ e^{-3} > 0 $, la solution est dans le domaine.
$ S$ = $\mathbf{\left\{\dfrac{1}{e^{3}}\right\}}$.
L'équation $ e^{x} = 7 $ est définie sur $ \mathbb{R} $.
$ e^{x} = 7 \iff x = \ln(7) $.
$ S$ = $\mathbf{\{\ln(7)\}}$.
Domaine : $ 2x - 1 > 0 \iff x > \dfrac{1}{2} $.
$ \ln(2x - 1) = 0 \iff 2x - 1 = e^{0} = 1 \iff x = 1 $.
Comme $ 1 > \dfrac{1}{2} $, la solution est dans le domaine.
$ S$ = $\mathbf{\{1\}}$.
Domaine : $ x + 3 > 0 $ et $ 2x - 5 > 0 $, soit $ x > \dfrac{5}{2} $.
$ \ln(x + 3) = \ln(2x - 5) \iff x + 3 = 2x - 5 \iff x = 8 $.
Comme $ 8 > \dfrac{5}{2} $, la solution est dans le domaine.
$ S$ = $\mathbf{\{8\}}$.

→ Pour réviser : Résoudre une équation contenant ln

Vrai/Faux : Équations, inéquations et signe de ln

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la résolution d'équations, d'inéquations et le signe du logarithme népérien, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pour tout $x \in ]0\,;\,1[$, on a $\ln(x) < 0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$ et $\ln(1) = 0$.
Donc pour $0 < x < 1$, on a $\ln(x) < \ln(1) = 0$ : le logarithme y est strictement négatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$ et s'annule en $1$.
Pour $x \in ]0\,;\,1[$, $x < 1$ donc $\ln(x) < \ln(1) = 0$ : $\ln(x)$ est strictement négatif.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Comme $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$ et $\ln(1) = 0$, pour tout $x \in ]0\,;\,1[$ on a $\ln(x) < \ln(1) = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tous $a > 0$ et $b > 0$, $\ln(a) = \ln(b)$ équivaut à $a = b$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$, donc bijective de $]0\,;\,+\infty[$ vers $\mathbb{R}$.
Sur son domaine, deux nombres ont le même logarithme si et seulement s'ils sont égaux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la fonction $\ln$ étant strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$, elle est injective.
Pour $a > 0$ et $b > 0$, $\ln(a) = \ln(b) \Longleftrightarrow a = b$ : c'est exactement ce qui permet de résoudre les équations $\ln(\ldots) = \ln(\ldots)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La fonction $\ln$ est strictement croissante donc injective sur $]0\,;\,+\infty[$ : pour $a, b > 0$, $\ln(a) = \ln(b) \Longleftrightarrow a = b$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $\ln(x) = -2$ n'a pas de solution dans $]0\,;\,+\infty[$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La fonction $\ln$ réalise une bijection de $]0\,;\,+\infty[$ vers $\mathbb{R}$ : tout réel admet un unique antécédent par $\ln$.
Ici, $\ln(x) = -2 \Longleftrightarrow x = \text{e}^{-2}$, qui est bien un nombre strictement positif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : $\ln$ prend toutes les valeurs réelles, y compris les valeurs négatives, sur $]0\,;\,+\infty[$.
L'équation $\ln(x) = -2$ admet pour unique solution $x = \text{e}^{-2} \approx 0{,}135$, qui appartient à $]0\,;\,+\infty[$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La fonction $\ln$ étant bijective de $]0\,;\,+\infty[$ vers $\mathbb{R}$, l'équation $\ln(x) = -2$ a pour unique solution $x = \text{e}^{-2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'inéquation $\ln(x) \geqslant 1$ a pour ensemble de solutions $[\text{e}\,;\,+\infty[$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On part du domaine $x > 0$ et on utilise la croissance stricte de $\ln$.
$\ln(x) \geqslant 1 \Longleftrightarrow \ln(x) \geqslant \ln(\text{e}) \Longleftrightarrow x \geqslant \text{e}$ : l'ensemble des solutions est bien $[\text{e}\,;\,+\infty[$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour résoudre $\ln(x) \geqslant 1$, on écrit $1 = \ln(\text{e})$ puis on utilise la croissance stricte de $\ln$.
On obtient $\ln(x) \geqslant \ln(\text{e}) \Longleftrightarrow x \geqslant \text{e}$, avec la condition $x > 0$ déjà satisfaite : $S = [\text{e}\,;\,+\infty[$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec $x > 0$, $\ln(x) \geqslant 1 \Longleftrightarrow \ln(x) \geqslant \ln(\text{e}) \Longleftrightarrow x \geqslant \text{e}$. L'ensemble des solutions est $[\text{e}\,;\,+\infty[$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $\ln(x-2) = \ln(3-x)$ admet $x = \dfrac{5}{2}$ et $x = -1$ comme solutions.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le domaine impose $x - 2 > 0$ ET $3 - x > 0$, soit $x \in ]2\,;\,3[$.
L'équation devient $x - 2 = 3 - x$, soit $2x = 5$ et $x = \dfrac{5}{2}$. La valeur $-1$ n'appartient pas au domaine et n'est donc pas solution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Avant tout calcul, il faut déterminer le domaine : $x - 2 > 0$ ET $3 - x > 0$, soit $x \in ]2\,;\,3[$.
On obtient bien $x = \dfrac{5}{2}$ qui est dans le domaine, mais $x = -1$ n'apparaît pas comme solution car la valeur d'inconnue ne sort pas de l'équation $x-2 = 3-x$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le domaine de validité est $]2\,;\,3[$. L'équation $\ln(x-2) = \ln(3-x)$ équivaut, sur ce domaine, à $x - 2 = 3 - x$, soit $x = \dfrac{5}{2}$. C'est l'unique solution ; $x = -1$ n'est pas solution.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tous $a > 0$ et $b > 0$, $\ln(a) > \ln(b)$ équivaut à $a < b$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$, et non décroissante.
Par conséquent, pour $a, b > 0$ : $\ln(a) > \ln(b) \Longleftrightarrow a > b$, et non l'inverse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au sens de variation : $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$.
L'équivalence correcte est donc $\ln(a) > \ln(b) \Longleftrightarrow a > b$ (et non $a < b$).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La fonction $\ln$ étant strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$, on a pour $a, b > 0$ : $\ln(a) > \ln(b) \Longleftrightarrow a > b$.
[/solution]
[/etape]

QCM : Équations et inéquations avec ln

[enonce]
Ce QCM porte sur la résolution d'équations et d'inéquations contenant le logarithme népérien. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Question 1. L'équation $\ln(x)=3$ admet pour unique solution :
[qcm]
[option correct="true"]$x=e^3$[/option]
[option]$x=3$[/option]
[option]$x=3e$[/option]
[option]$x=\dfrac{1}{e^3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact.
La fonction $\ln$ est la bijection réciproque de $\exp$ sur $]0\,;\,+\infty[$, donc $\ln(x)=3 \iff x=e^3$.
On vérifie : $\ln(e^3)=3$.[/reponse]
[reponse motif="$x=3$"]La fonction $\ln$ n'est pas l'identité.
$\ln(3) \approx 1{,}10$, ce n'est pas égal à $3$.
Pour résoudre $\ln(x)=3$, il faut composer par la fonction réciproque de $\ln$.[/reponse]
[reponse motif="$x=3e$"]Ce n'est pas la bonne opération.
$\ln(3e)=\ln(3)+\ln(e)=\ln(3)+1 \approx 2{,}10$, ce qui n'est pas égal à $3$.
Pour passer de $\ln(x)=3$ à $x$, on utilise la fonction réciproque de $\ln$.[/reponse]
[reponse motif="$x=\dfrac{1}{e^3}$"]Attention au signe.
On a $\ln\!\left(\dfrac{1}{e^3}\right)=-\ln(e^3)=-3$, pas $3$.
Le passage de $\ln(x)=3$ à $x$ ne fait pas apparaître de signe moins.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Pour résoudre $\ln(x)=k$, on applique la fonction exponentielle aux deux membres : $x=e^k$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Question 2. La solution de l'équation $\ln(x)=-1$ est :
[qcm]
[option]$x=-e$[/option]
[option]$x=e$[/option]
[option correct="true"]$x=\dfrac{1}{e}$[/option]
[option]$x=-1$[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu.
$\ln(x)=-1 \iff x=e^{-1}=\dfrac{1}{e} \approx 0{,}37$.
Cette valeur est bien strictement positive, donc dans le domaine de définition de $\ln$.[/reponse]
[reponse motif="$x=-e$"]Le logarithme népérien n'est défini que sur $]0\,;\,+\infty[$.
Une solution négative est donc impossible.
Le signe « $-$ » de $-1$ doit apparaître autrement après passage à l'exponentielle.[/reponse]
[reponse motif="$x=e$"]Attention au signe de l'exposant.
$\ln(e)=1$, pas $-1$.
Il faut tenir compte du signe « $-$ » du second membre lors du passage à l'exponentielle.[/reponse]
[reponse motif="$x=-1$"]Le logarithme népérien n'est défini que pour $x>0$.
$\ln(-1)$ n'existe pas, donc $x=-1$ ne peut pas être solution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Penser à l'équivalence $\ln(x)=k \iff x=e^k$, valable pour tout réel $k$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Question 3. L'ensemble des solutions de l'équation $\ln(2x-4)=0$ est :
[qcm]
[option]$\{0\}$[/option]
[option]$\{2\}$[/option]
[option correct="true"]$\left\{\dfrac{5}{2}\right\}$[/option]
[option]$\emptyset$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait.
On utilise $\ln(X)=0 \iff X=1$, soit ici $2x-4=1$, donc $x=\dfrac{5}{2}$.
Vérification du domaine : $2 \times \dfrac{5}{2}-4=1>0$, donc la valeur est admissible.[/reponse]
[reponse motif="$\{0\}$"]Vérifier la condition de définition.
Pour $x=0$ : $2 \times 0 - 4 = -4 < 0$, donc $\ln(2 \times 0 - 4)$ n'existe pas.
De plus, $\ln$ s'annule en $1$, pas en $0$.[/reponse]
[reponse motif="$\{2\}$"]Confusion sur la valeur d'annulation de $\ln$.
$\ln(X)=0$ équivaut à $X=1$ (et non $X=0$).
Reprendre l'équation $2x-4=1$.[/reponse]
[reponse motif="$\emptyset$"]L'équation admet bien une solution.
La condition $2x-4>0$ donne $x>2$, et il existe un réel strictement supérieur à $2$ vérifiant $2x-4=1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Penser à l'équivalence $\ln(X)=0 \iff X=1$, puis vérifier la condition d'existence $X>0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Question 4. L'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln(x)<2$ est :
[qcm]
[option]$]-\infty\,;\,2[$[/option]
[option]$]-\infty\,;\,e^2[$[/option]
[option correct="true"]$]0\,;\,e^2[$[/option]
[option]$]e^2\,;\,+\infty[$[/option]
[reponse statut="correct"]Très bien.
La fonction $\ln$ est définie sur $]0\,;\,+\infty[$ et strictement croissante : $\ln(x)<2 \iff \ln(x)<\ln(e^2) \iff x<e^2$.
En combinant avec la condition de définition $x>0$, on obtient $0<x<e^2$.[/reponse]
[reponse motif="$]-\infty\,;\,2[$"]Deux erreurs à éviter ici.
D'une part, $\ln$ n'est définie que pour $x>0$, donc l'ensemble ne peut pas contenir de réels négatifs.
D'autre part, l'application de la réciproque transforme $2$ en $e^2$, pas en $2$.[/reponse]
[reponse motif="$]-\infty\,;\,e^2[$"]La borne supérieure est correcte, mais la borne inférieure ne l'est pas.
Le domaine de définition de $\ln$ est $]0\,;\,+\infty[$, donc aucun réel négatif ou nul ne peut être solution.[/reponse]
[reponse motif="$]e^2\,;\,+\infty[$"]Le sens de l'inégalité est inversé.
$\ln$ est strictement croissante, donc $\ln(x)<\ln(e^2)$ donne $x<e^2$, et non $x>e^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Toujours commencer par déterminer le domaine de définition, puis utiliser la stricte croissance de $\ln$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Question 5. La solution de l'équation $\ln(x+1)=\ln(2x-3)$ est :
[qcm]
[option]$x=-2$[/option]
[option]$x=2$[/option]
[option correct="true"]$x=4$[/option]
[option]$x=\dfrac{4}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent.
Conditions de définition : $x+1>0$ et $2x-3>0$, soit $x>\dfrac{3}{2}$.
La fonction $\ln$ est strictement croissante (donc injective) : $x+1=2x-3 \iff x=4$.
Comme $4>\dfrac{3}{2}$, la valeur est admissible.[/reponse]
[reponse motif="$x=-2$"]Vérifier les conditions d'existence.
Pour $x=-2$ : $x+1=-1<0$, donc $\ln(x+1)$ n'existe pas.
La résolution algébrique doit toujours être validée par le domaine.[/reponse]
[reponse motif="$x=2$"]Erreur de calcul lors de la résolution de $x+1=2x-3$.
Reprendre cette équation linéaire : on isole $x$ d'un seul côté.[/reponse]
[reponse motif="$x=\dfrac{4}{3}$"]Vérifier les conditions d'existence.
Pour $x=\dfrac{4}{3}$ : $2x-3=\dfrac{8}{3}-3=-\dfrac{1}{3}<0$, donc $\ln(2x-3)$ n'existe pas.
De plus, l'équation $x+1=2x-3$ ne donne pas cette valeur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Utiliser l'injectivité de $\ln$ : $\ln(A)=\ln(B) \iff A=B$, après avoir vérifié que $A>0$ et $B>0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Question 6. Le nombre de solutions réelles de l'équation $\ln(x^2-1)=0$ est :
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$4$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo.
On a $\ln(x^2-1)=0 \iff x^2-1=1 \iff x^2=2 \iff x=\sqrt{2}$ ou $x=-\sqrt{2}$.
Pour ces deux valeurs, $x^2-1=1>0$, donc l'expression $\ln(x^2-1)$ est bien définie.
L'équation admet donc exactement deux solutions.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]L'équation admet bien des solutions.
$\ln(X)=0$ est équivalente à $X=1$, soit ici $x^2-1=1$, qui possède des solutions réelles.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Attention, l'équation $x^2=2$ possède deux solutions réelles distinctes.
Penser aux deux racines carrées d'un nombre strictement positif.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Une équation du type $x^2=k$ avec $k>0$ admet exactement deux solutions, et non quatre.
Reprendre l'étape $x^2-1=1$ et compter les solutions.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Commencer par traduire $\ln(X)=0$ par $X=1$, puis résoudre l'équation polynomiale en $x$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]