[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $0 + \infty$ est une forme indéterminée.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La somme « $0 + \infty$ » est parfaitement déterminée : elle vaut $+\infty$. La forme indéterminée du type « somme » est $\infty - \infty$, pas $0 + \infty$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il y a confusion entre formes déterminées et indéterminées. Si l'une des deux limites est nulle et l'autre infinie, la somme reste infinie. C'est uniquement la situation $+\infty + (-\infty)$ qui pose problème.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La somme $0 + \infty$ vaut $+\infty$, c'est une forme déterminée. La FI est $\infty - \infty$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{0}{0}$ est une forme indéterminée.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le quotient « $\dfrac{0}{0}$ » est l'une des quatre formes indéterminées au programme. La limite peut prendre n'importe quelle valeur : par exemple $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{x} = 1$ mais $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2}{x} = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Quand numérateur et dénominateur tendent simultanément vers $0$, on ne peut pas conclure directement : la limite dépend de la « vitesse » à laquelle chacun tend vers $0$. Il faut transformer l'expression (factorisation, simplification) pour lever l'indétermination.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{0}{0}$ fait partie des formes indéterminées de référence.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{\infty}{\infty}$ est toujours égale à $1$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$\dfrac{\infty}{\infty}$ est une forme indéterminée : la limite peut valoir n'importe quoi. Par exemple, $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^2}{x} = +\infty$, $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{x^2} = 0$, et $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x}{x} = 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège : penser que « infini divisé par infini, ça se simplifie en $1$ ». En réalité, c'est une forme indéterminée. Il faut comparer les ordres de grandeur du numérateur et du dénominateur, généralement en factorisant par le terme dominant.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $\dfrac{\infty}{\infty}$ est une forme indéterminée et la limite dépend des fonctions concernées.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour lever l'indétermination dans $\lim\limits_{x \to +\infty} (x^2 - x)$, on factorise par le terme dominant.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On écrit $x^2 - x = x^2\left(1 - \dfrac{1}{x}\right)$. Comme $x^2 \to +\infty$ et $1 - \dfrac{1}{x} \to 1$, par produit, $\lim\limits_{x \to +\infty} (x^2 - x) = +\infty$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La factorisation par le terme de plus haut degré est la technique standard pour lever une indétermination du type $\infty - \infty$ sur un polynôme. Elle isole le facteur dominant et fait apparaître un facteur de limite finie.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Factoriser par $x^2$ donne $x^2\left(1 - \dfrac{1}{x}\right)$ et permet de conclure $+\infty$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2 + 1}{x^2 + 3} = +\infty$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$ : on factorise par $x^2$. $\dfrac{2x^2 + 1}{x^2 + 3} = \dfrac{x^2\left(2 + \tfrac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1 + \tfrac{3}{x^2}\right)} = \dfrac{2 + \tfrac{1}{x^2}}{1 + \tfrac{3}{x^2}} \to \dfrac{2}{1} = 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège : voir que le numérateur tend vers $+\infty$ et conclure trop vite. Mais le dénominateur fait pareil ! Il faut traiter cela comme une forme indéterminée et factoriser par le terme de plus haut degré. Les coefficients dominants donnent la limite : $\dfrac{2}{1} = 2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La limite vaut $2$ : c'est le rapport des coefficients des termes de plus haut degré.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soient $f$ et $g$ deux fonctions telles que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 2$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$.

Affirmation : $\lim\limits_{x \to +\infty} (f \times g)(x) = +\infty$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Une limite finie non nulle multipliée par $+\infty$ donne $+\infty$ (ou $-\infty$ selon le signe). Ici $2 > 0$, donc le produit tend vers $+\infty$. Ce n'est pas une forme indéterminée : la FI du produit est uniquement $0 \times \infty$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La forme indéterminée du produit est $0 \times \infty$, pas $\ell \times \infty$ avec $\ell$ fini non nul. Quand $f$ tend vers une limite finie strictement positive et $g$ vers $+\infty$, leur produit tend vers $+\infty$ par règle opératoire.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $2 \times (+\infty) = +\infty$ : ce n'est pas une forme indéterminée.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur les formes indéterminées et leur levée : reconnaissance des formes indéterminées, factorisation par le terme dominant et calcul de limites de polynômes et de fonctions rationnelles. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Parmi les expressions suivantes, laquelle correspond à une forme indéterminée ?
[qcm]
[option]$\infty + \infty$[/option]
[option correct="true"]$0 \times \infty$[/option]
[option]$0 + \infty$[/option]
[option]$\dfrac{1}{\infty}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La forme $0 \times \infty$ est indéterminée : le facteur qui tend vers $0$ tire vers $0$, celui qui tend vers $\infty$ tire vers l'infini, et le résultat dépend des vitesses respectives. Les autres formes proposées sont déterminées : $\infty + \infty = +\infty$, $0 + \infty = +\infty$, $\dfrac{1}{\infty} = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$\infty + \infty$"]Non.
Quand deux quantités tendent toutes deux vers $+\infty$, leur somme tend aussi vers $+\infty$. Cette forme est déterminée. Attention à ne pas confondre avec $\infty - \infty$.[/reponse]
[reponse motif="$0 + \infty$"]Non.
Ajouter une quantité bornée (qui tend vers $0$) à une quantité qui tend vers l'infini ne change pas le comportement à l'infini. Cette forme est déterminée.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{\infty}$"]Non.
L'inverse d'une quantité qui tend vers l'infini tend vers $0$. Cette forme est déterminée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Les quatre formes indéterminées classiques sont $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\dfrac{0}{0}$ et $\dfrac{\infty}{\infty}$. Repérer celle qui figure parmi les options.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la limite $\lim\limits_{x \to +\infty} (x^2 - 5x)$ ?
[qcm]
[option]$-\infty$[/option]
[option correct="true"]$+\infty$[/option]
[option]$0$[/option]
[option]$-5$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On rencontre la forme indéterminée $\infty - \infty$. On factorise par le terme de plus haut degré : $x^2 - 5x = x^2\left(1 - \dfrac{5}{x}\right)$. Quand $x \to +\infty$, $x^2 \to +\infty$ et $1 - \dfrac{5}{x} \to 1$. Par produit, la limite vaut $+\infty$.[/reponse]
[reponse motif="$-\infty$"]Non.
Erreur sur le terme dominant : c'est $x^2$ (degré $2$) qui impose son comportement, pas $-5x$ (degré $1$). Le terme de plus haut degré l'emporte toujours à l'infini.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
Les deux termes ne se compensent pas : ils n'ont pas le même degré, donc ne grandissent pas à la même vitesse. Identifier le terme dominant.[/reponse]
[reponse motif="$-5$"]Non.
$-5$ est un coefficient de l'expression, pas une limite. Pour un polynôme, la limite à l'infini se lit sur le terme de plus haut degré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour une expression de la forme $\infty - \infty$, factoriser par la plus haute puissance pour faire apparaître les limites de référence et conclure.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la limite $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x+1}{x-3}$ ?
[qcm]
[option]$+\infty$[/option]
[option]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$0$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On rencontre la forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$. À l'infini, une fonction rationnelle a la même limite que le rapport des termes de plus haut degré : $\dfrac{2x+1}{x-3} \sim \dfrac{2x}{x} = 2$. Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x+1}{x-3} = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$+\infty$"]Non.
Numérateur et dénominateur tendent tous deux vers $+\infty$ à la même vitesse (degré $1$ chacun) : la fraction se stabilise sur une valeur finie.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3}$"]Non.
Confusion avec les termes constants $\dfrac{1}{-3}$ : à l'infini, ce sont les coefficients dominants qui comptent, pas les constantes.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
La limite est nulle uniquement quand le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur. Ici les deux degrés sont égaux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour une fonction rationnelle à l'infini, comparer les degrés du numérateur et du dénominateur. Quand ils sont égaux, la limite est le rapport des coefficients dominants.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la limite $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^2+1}{2x+5}$ ?
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]$+\infty$[/option]
[option]$\dfrac{1}{5}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On rencontre la forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$. Le degré du numérateur ($2$) est strictement supérieur à celui du dénominateur ($1$). En factorisant : $\dfrac{x^2+1}{2x+5} \sim \dfrac{x^2}{2x} = \dfrac{x}{2}$. Comme $\dfrac{x}{2} \to +\infty$, la limite vaut $+\infty$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
La limite est nulle quand le numérateur a un degré strictement inférieur à celui du dénominateur. Ici c'est l'inverse : le numérateur a un degré plus grand.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
Le rapport des coefficients dominants ne donne la limite que lorsque les degrés sont égaux. Ici, les degrés sont différents.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{5}$"]Non.
Le rapport des termes constants $\dfrac{1}{5}$ n'intervient pas à l'infini : ce sont les termes dominants qui comptent.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Comparer le degré du numérateur et du dénominateur. Lorsque le numérateur l'emporte, la limite est infinie ; lorsque le dénominateur l'emporte, la limite est nulle.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la limite $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{3x+2}{x^2-1}$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$0$[/option]
[option]$3$[/option]
[option]$+\infty$[/option]
[option]$-2$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On a une forme $\dfrac{\infty}{\infty}$. Le degré du dénominateur ($2$) est strictement supérieur à celui du numérateur ($1$). En factorisant : $\dfrac{3x+2}{x^2-1} \sim \dfrac{3x}{x^2} = \dfrac{3}{x}$. Comme $\dfrac{3}{x} \to 0$, la limite vaut $0$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
Le rapport des coefficients dominants ne donne la limite que lorsque les degrés sont égaux. Ici les degrés diffèrent : il faut tenir compte de la différence.[/reponse]
[reponse motif="$+\infty$"]Non.
La limite est infinie lorsque le numérateur a un degré strictement supérieur à celui du dénominateur. Ici c'est l'inverse.[/reponse]
[reponse motif="$-2$"]Non.
Le rapport des termes constants $\dfrac{2}{-1}$ n'intervient pas à l'infini. À l'infini, ce sont les termes dominants qui imposent la limite.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quand le dénominateur a un degré strictement supérieur au numérateur, la fonction rationnelle s'écrase vers une valeur limite simple à l'infini.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la limite $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{4x^2-3}{2x^2+x}$ ?
[qcm]
[option]$+\infty$[/option]
[option]$0$[/option]
[option]$-3$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On a une forme $\dfrac{\infty}{\infty}$. Numérateur et dénominateur sont de même degré ($2$). À l'infini, le rapport est équivalent au rapport des termes dominants : $\dfrac{4x^2-3}{2x^2+x} \sim \dfrac{4x^2}{2x^2} = 2$. Donc la limite vaut $2$.[/reponse]
[reponse motif="$+\infty$"]Non.
Numérateur et dénominateur ont le même degré : ils grandissent à la même vitesse, donc leur rapport se stabilise sur une valeur finie.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
La limite est nulle quand le numérateur a un degré strictement inférieur à celui du dénominateur. Ici les degrés sont égaux.[/reponse]
[reponse motif="$-3$"]Non.
$-3$ est le terme constant du numérateur, négligeable à l'infini face à $4x^2$. Examiner le rapport des coefficients dominants.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour une fonction rationnelle à l'infini, comparer les degrés. Quand ils sont égaux, la limite vaut le rapport des coefficients des termes de plus haut degré.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]