QCM : Valeur moyenne et encadrement d’intégrales

[enonce]
Ce QCM porte sur la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle et l'encadrement d'une intégrale à partir d'un encadrement de la fonction. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
$f$ est continue sur $[a\,;\,b]$ avec $a < b$. Comment se calcule la valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;\,b]$ ?
[qcm]
[option]$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$[/option]
[option]$(b - a)\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$[/option]
[option]$\dfrac{f(a) + f(b)}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La valeur moyenne d'une fonction continue sur $[a\,;\,b]$ est par définition $\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$.
On divise l'intégrale par la longueur de l'intervalle.[/reponse]
[reponse motif="$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$"]Non.
L'intégrale seule donne la « somme accumulée », pas la moyenne. Diviser par la longueur de l'intervalle est essentiel pour obtenir une moyenne.[/reponse]
[reponse motif="$(b - a)\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$"]Non.
Mauvais sens du facteur : on divise par $b - a$, on ne multiplie pas. Une moyenne se calcule en divisant la somme par le nombre/la longueur.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{f(a) + f(b)}{2}$"]Non.
Ceci est la moyenne des valeurs aux bornes, pas la valeur moyenne sur tout l'intervalle. Elles coïncident seulement pour les fonctions affines.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Définition : $\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la valeur moyenne de la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x$ sur l'intervalle $[0\,;\,4]$ ?
[qcm]
[option]$2$[/option]
[option]$8$[/option]
[option]$16$[/option]
[option correct="true"]$4$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
$\displaystyle\int_{0}^{4} 2x\,\mathrm{d}x = \left[x^2\right]_0^4 = 16$.
Valeur moyenne $\mu = \dfrac{1}{4 - 0} \times 16 = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
$2$ est la dérivée de $f$, donc la pente — pas la valeur moyenne. Calculer l'intégrale puis diviser par la longueur de l'intervalle.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
$8$ ressemble à $\dfrac{16}{2}$ : peut-être que la division par $b - a = 4$ a été remplacée par une division par $2$.[/reponse]
[reponse motif="$16$"]Non.
$16$ est la valeur de l'intégrale. La valeur moyenne s'obtient en divisant cette intégrale par la longueur $b - a = 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\displaystyle\int_0^4 2x\,\mathrm{d}x$, puis diviser par $4 - 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ continue sur $[1\,;\,3]$ avec $2 \leqslant f(x) \leqslant 5$ pour tout $x \in [1\,;\,3]$. Comment encadrer $\displaystyle\int_{1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x$ ?
[qcm]
[option]$2 \leqslant \displaystyle\int_{1}^{3} f \leqslant 5$[/option]
[option correct="true"]$4 \leqslant \displaystyle\int_{1}^{3} f \leqslant 10$[/option]
[option]$2 \leqslant \displaystyle\int_{1}^{3} f \leqslant 10$[/option]
[option]$1 \leqslant \displaystyle\int_{1}^{3} f \leqslant \dfrac{5}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On intègre l'encadrement $2 \leqslant f(x) \leqslant 5$ sur $[1\,;\,3]$ (longueur $2$) :
$2 \times 2 \leqslant \displaystyle\int_{1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x \leqslant 5 \times 2$, soit $4 \leqslant \displaystyle\int_{1}^{3} f \leqslant 10$.[/reponse]
[reponse motif="$2 \leqslant \displaystyle\int_{1}^{3} f \leqslant 5$"]Non.
Les bornes de l'encadrement de $f$ ont été reprises telles quelles. Il faut les multiplier par la longueur de l'intervalle ($b - a = 2$).[/reponse]
[reponse motif="$2 \leqslant \displaystyle\int_{1}^{3} f \leqslant 10$"]Non.
La borne supérieure $10 = 5 \times 2$ est correcte, mais la borne inférieure $2$ ne l'est pas. Multiplier aussi la borne inférieure par la longueur : $2 \times 2 = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$1 \leqslant \displaystyle\int_{1}^{3} f \leqslant \dfrac{5}{2}$"]Non.
On dirait qu'on a divisé par $2$ au lieu de multiplier. L'intégration multiplie l'encadrement par la longueur de l'intervalle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Si $m \leqslant f \leqslant M$ sur $[a\,;\,b]$ avec $a < b$, alors $m(b - a) \leqslant \displaystyle\int_a^b f \leqslant M(b - a)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La valeur moyenne d'une fonction $f$ sur $[0\,;\,5]$ est égale à $7$. Que vaut $\displaystyle\int_{0}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x$ ?
[qcm]
[option]$7$[/option]
[option correct="true"]$35$[/option]
[option]$\dfrac{7}{5}$[/option]
[option]$12$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La relation $\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f$ donne $\displaystyle\int_a^b f = \mu \times (b - a)$.
Ici $\displaystyle\int_0^5 f = 7 \times 5 = 35$.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
$7$ est la valeur moyenne, pas l'intégrale. Pour retrouver l'intégrale, multiplier la moyenne par la longueur.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{7}{5}$"]Non.
Mauvais sens du facteur : on multiplie par $b - a = 5$, on ne divise pas par $5$.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
$12 = 7 + 5$ : addition au lieu de multiplication. Or la formule liant valeur moyenne et intégrale est $\displaystyle\int = \mu \times (b - a)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Inverser la formule de la valeur moyenne : $\displaystyle\int_a^b f = \mu \times (b - a)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ continue sur $[0\,;\,2]$ avec $0 \leqslant f(x) \leqslant 1$ pour tout $x \in [0\,;\,2]$. Que peut-on dire de la valeur moyenne $\mu$ de $f$ sur $[0\,;\,2]$ ?
[qcm]
[option]$\mu = 0{,}5$[/option]
[option correct="true"]$0 \leqslant \mu \leqslant 1$[/option]
[option]$0 \leqslant \mu \leqslant 2$[/option]
[option]$\mu \geqslant 1$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est juste !
On intègre $0 \leqslant f \leqslant 1$ sur $[0\,;\,2]$ : $0 \leqslant \displaystyle\int_0^2 f \leqslant 2$.
Puis $\mu = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^2 f$, donc $0 \leqslant \mu \leqslant 1$.
La valeur moyenne reste comprise entre les bornes de la fonction, c'est cohérent.[/reponse]
[reponse motif="$\mu = 0{,}5$"]Non.
$0{,}5$ est le milieu de $[0\,;\,1]$, pas une valeur exacte de $\mu$. Sans connaître $f$ précisément, on peut seulement encadrer $\mu$.[/reponse]
[reponse motif="$0 \leqslant \mu \leqslant 2$"]Non.
La borne supérieure est trop large. La valeur moyenne est encadrée par les mêmes bornes que la fonction $f$ : $0 \leqslant \mu \leqslant 1$.[/reponse]
[reponse motif="$\mu \geqslant 1$"]Non.
$\mu \geqslant 1$ ne serait possible que si $f \geqslant 1$ partout. Or ici $f \leqslant 1$, donc $\mu \leqslant 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Encadrer l'intégrale puis diviser par $b - a$ pour encadrer la valeur moyenne.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$f$ est continue sur $[0\,;\,4]$ et vérifie $0 \leqslant f(x) \leqslant x^2$ pour tout $x \in [0\,;\,4]$. Quelle est la meilleure majoration de $\displaystyle\int_{0}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x$ qu'on peut donner ?
[qcm]
[option]$\displaystyle\int_{0}^{4} f \leqslant 16$[/option]
[option correct="true"]$\displaystyle\int_{0}^{4} f \leqslant \dfrac{64}{3}$[/option]
[option]$\displaystyle\int_{0}^{4} f \leqslant 4$[/option]
[option]On ne peut pas majorer car $f$ est inconnue[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On utilise la croissance de l'intégrale : si $f(x) \leqslant g(x)$ sur $[a\,;\,b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f \leqslant \displaystyle\int_a^b g$.
Ici $g(x) = x^2$, donc $\displaystyle\int_{0}^{4} f \leqslant \displaystyle\int_{0}^{4} x^2\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^4 = \dfrac{64}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$\displaystyle\int_{0}^{4} f \leqslant 16$"]Non.
$16 = 4^2$ est la valeur maximale de $x^2$ sur $[0\,;\,4]$ (donc une majoration grossière du type $M(b-a)$ donnerait $16 \times 4 = 64$). Mieux : intégrer la majoration $x^2$ directement, pour obtenir une majoration plus fine.[/reponse]
[reponse motif="$\displaystyle\int_{0}^{4} f \leqslant 4$"]Non.
Cette majoration est trop petite. Elle correspondrait à $f \leqslant 1$ sur $[0\,;\,4]$, ce qui n'est pas l'hypothèse. Intégrer $x^2$ sur $[0\,;\,4]$.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas majorer car $f$ est inconnue"]Non.
On peut majorer une intégrale dès qu'on dispose d'une majoration de la fonction (croissance de l'intégrale).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Croissance de l'intégrale : $\displaystyle\int_0^4 f \leqslant \displaystyle\int_0^4 x^2\,\mathrm{d}x$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Aire entre deux courbes exponentielles

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $ (O,\vec{i},\vec{j}) $ d'unité graphique 1 cm.
On considère les fonctions $ f $ et $ g $ définies sur $ \mathbb{R} $ par :

$ f(x) = e^{-x} $ et $ g(x) = e^{-2x} $

On note $ \mathcal{C}_f $ et $ \mathcal{C}_g $ leurs courbes représentatives.

Courbes de f(x)=exp(-x) et g(x)=exp(-2x) avec aire entre les deux sur [0; ln 2]

Étudier la position relative des courbes $ \mathcal{C}_f $ et $ \mathcal{C}_g $ sur l'intervalle $ [0\,;+\infty[ $.
Déterminer une primitive sur $ \mathbb{R} $ de la fonction $ f - g $.
Calculer l'aire $ \mathcal{A} $, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par les courbes $ \mathcal{C}_f $, $ \mathcal{C}_g $ et les droites d'équations $ x = 0 $ et $ x = \ln 2 $. En déduire l'aire en cm².
Pour tout réel $ a > 0 $, on pose :

$ \mathcal{A}(a) = \displaystyle\int_{0}^{a} \left(f(x) - g(x)\right)\,dx $
1. Exprimer $ \mathcal{A}(a) $ en fonction de $ a $.
2. Déterminer la limite de $ \mathcal{A}(a) $ lorsque $ a $ tend vers $ +\infty $. Interpréter géométriquement le résultat.

Corrigé

Pour tout réel $ x $, on calcule :

$ f(x) - g(x) = e^{-x} - e^{-2x} = e^{-x}\left(1 - e^{-x}\right) $

Pour tout $ x \in [0\,;+\infty[ $, on a $ -x \leqslant 0 $ donc $ e^{-x} \leqslant 1 $, ce qui donne $ 1 - e^{-x} \geqslant 0 $.
De plus, $ e^{-x} > 0 $. Le produit est donc positif :

$ f(x) - g(x) \geqslant 0 \text{ sur } [0\,;+\infty[ $

La courbe $ \mathcal{C}_f $ est donc au-dessus de la courbe $ \mathcal{C}_g $ sur $ [0\,;+\infty[ $, avec contact uniquement en $ x = 0 $.
La fonction $ f - g $ est continue sur $ \mathbb{R} $, elle admet donc des primitives.
On rappelle qu'une primitive de $ x \mapsto e^{-x} $ est $ x \mapsto -e^{-x} $, et qu'une primitive de $ x \mapsto e^{-2x} $ est $ x \mapsto -\dfrac{1}{2}e^{-2x} $.

Par linéarité, une primitive de $ f - g $ sur $ \mathbb{R} $ est :

$\mathbf{H(x) = -e^{-x} + \dfrac{1}{2}e^{-2x}}$

Vérification : $ H^{\prime}(x) = e^{-x} + \dfrac{1}{2} \times (-2)e^{-2x} = e^{-x} - e^{-2x} = f(x) - g(x) $.
Comme $ f \geqslant g $ sur $ [0\,;\ln 2] $, l'aire cherchée est :

$ \mathcal{A} = \displaystyle\int_{0}^{\ln 2} \left(f(x) - g(x)\right)\,dx = \left[H(x)\right]_{0}^{\ln 2} $

On utilise $ e^{-\ln 2} = \dfrac{1}{2} $ et $ e^{-2\ln 2} = \left(e^{-\ln 2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} $ :

$ H(\ln 2) = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{4} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8} = -\dfrac{3}{8} $

$ H(0) = -1 + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{2} $

D'où :

$ \mathcal{A} = -\dfrac{3}{8} - \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{3}{8} + \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{8} $

L'aire vaut donc $ \dfrac{1}{8} $ u.a.

L'unité graphique étant 1 cm, l'unité d'aire vaut $ 1 \times 1 = 1 $ cm². L'aire est donc $ \dfrac{1}{8} $ cm² = $ 0{,}125 $ cm².
1. Pour $ a > 0 $ :
  
  $ \mathcal{A}(a) = \left[H(x)\right]_{0}^{a} = \left(-e^{-a} + \dfrac{1}{2}e^{-2a}\right) - \left(-1 + \dfrac{1}{2}\right) $
  
  $ \mathcal{A}(a) = -e^{-a} + \dfrac{1}{2}e^{-2a} + \dfrac{1}{2} $
  
  soit $\mathbf{\mathcal{A}(a) = \dfrac{1}{2} - e^{-a} + \dfrac{1}{2}e^{-2a}}$.
2. On a $ \displaystyle\lim_{a \to +\infty} e^{-a} = 0 $ et $ \displaystyle\lim_{a \to +\infty} e^{-2a} = 0 $. Par somme :
  
  $ \displaystyle\lim_{a \to +\infty} \mathcal{A}(a) = \dfrac{1}{2} - 0 + 0 = \dfrac{1}{2} $
  
  Interprétation : lorsque $ a $ devient très grand, l'aire du domaine compris entre les deux courbes et les droites d'équations $ x = 0 $ et $ x = a $ tend vers une limite finie égale à $ \dfrac{1}{2} $ u.a. L'aire totale entre les deux courbes sur $ [0\,;+\infty[ $ est donc finie, bien que le domaine soit non borné.

→ Pour réviser : Calculer une aire entre deux courbes

Distance parcourue et vitesse moyenne d’un coureur

Un coureur effectue un sprint d'entraînement de 6 secondes. Sa vitesse instantanée, exprimée en mètres par seconde, est modélisée par la fonction $ v $ définie sur $ [0\,;6] $ par :

$ v(t) = 4t - 0{,}5\,t^2 $

où $ t $ désigne le temps écoulé depuis le départ, en secondes.

On admet que la distance parcourue (en mètres) entre les instants $ t = a $ et $ t = b $ est égale à $ \displaystyle\int_{a}^{b} v(t)\,dt $.

Vérifier que $ v(t) \geqslant 0 $ pour tout $ t \in [0\,;6] $.
Déterminer l'instant $ t_0 $ pour lequel la vitesse du coureur est maximale, ainsi que la valeur de cette vitesse maximale.
Calculer la distance totale parcourue par le coureur pendant les 6 secondes du sprint.
En déduire la vitesse moyenne du coureur sur $ [0\,;6] $, exprimée en m/s puis en km/h.

Corrigé

On factorise :

$ v(t) = 4t - 0{,}5\,t^2 = 0{,}5\,t\,(8 - t) $

Pour $ t \in [0\,;6] $, on a $ t \geqslant 0 $ et $ 8 - t \geqslant 2 > 0 $, donc le produit est positif. Ainsi $ v(t) \geqslant 0 $ sur $ [0\,;6] $.
La fonction $ v $ est dérivable sur $ [0\,;6] $ et $ v^{\prime}(t) = 4 - t $.
$ v^{\prime}(t) = 0 $ pour $ t = 4 $, $ v^{\prime}(t) > 0 $ sur $ [0\,;4[ $ et $ v^{\prime}(t) < 0 $ sur $ ]4\,;6] $.
La vitesse est donc maximale en $ t_0 = 4 $ s, et :

$ v(4) = 4 \times 4 - 0{,}5 \times 16 = 16 - 8 = 8 $

La vitesse maximale est $ 8 $ m/s, atteinte au bout de $ 4 $ secondes.
La distance parcourue entre $ t = 0 $ et $ t = 6 $ est :

$ d = \displaystyle\int_{0}^{6} v(t)\,dt = \displaystyle\int_{0}^{6} (4t - 0{,}5\,t^2)\,dt $

Une primitive de $ v $ sur $ [0\,;6] $ est $ V(t) = 2t^2 - \dfrac{t^3}{6} $. Donc :

$ d = \left[2t^2 - \dfrac{t^3}{6}\right]_{0}^{6} = \left(2 \times 36 - \dfrac{216}{6}\right) - 0 = 72 - 36 $

Le coureur parcourt $ 36 $ m pendant les 6 secondes.
La vitesse moyenne sur $ [0\,;6] $ est, par définition :

$ \mu = \dfrac{1}{6 - 0}\displaystyle\int_{0}^{6} v(t)\,dt = \dfrac{36}{6} = 6 $

La vitesse moyenne est $ 6 $ m/s. Comme $ 1 $ m/s $ = 3{,}6 $ km/h, on obtient :

$ 6 \times 3{,}6 = 21{,}6 $

Soit $ 21{,}6 $ km/h.

→ Pour réviser : Calculer la valeur moyenne d'une fonction

Calculer des intégrales simples

Calculer les intégrales suivantes.

$ A = \displaystyle\int_{0}^{2} (3x^2 + 1)\,dx $
$ B = \displaystyle\int_{1}^{e} \dfrac{1}{x}\,dx $
$ C = \displaystyle\int_{0}^{1} e^x\,dx $
$ D = \displaystyle\int_{1}^{4} \dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx $

Corrigé

Pour chaque intégrale, on cherche une primitive de l'intégrande puis on applique la formule $ \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a) $.

Une primitive de $ x \mapsto 3x^2 + 1 $ sur $ \mathbb{R} $ est $ F(x) = x^3 + x $.

$ A = \left[x^3 + x\right]_{0}^{2} = (2^3 + 2) - (0 + 0) = 10 $

soit $\mathbf{A = 10}$.
Une primitive de $ x \mapsto \dfrac{1}{x} $ sur $ ]0\,;+\infty[ $ est $ F(x) = \ln(x) $.

$ B = \left[\ln(x)\right]_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 $

soit $\mathbf{B = 1}$.
La fonction exponentielle est sa propre primitive.

$ C = \left[e^x\right]_{0}^{1} = e^1 - e^0 $

soit $\mathbf{C = e - 1}$.
Une primitive de $ x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}} $ sur $ ]0\,;+\infty[ $ est $ F(x) = 2\sqrt{x} $.

$ D = \left[2\sqrt{x}\right]_{1}^{4} = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{1} = 4 - 2 $

soit $\mathbf{D = 2}$.

Primitive composée et condition initiale

On considère la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par :

$ f(x) = \dfrac{4x}{x^2 + 1} $

Justifier que $ f $ admet des primitives sur $ \mathbb{R} $.
Déterminer une primitive $ G $ de $ f $ sur $ \mathbb{R} $.
Déterminer la primitive $ F $ de $ f $ qui vérifie $ F(0) = 3 $.
Calculer $ \displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx $. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée arrondie au centième.

Corrigé

La fonction $ x \mapsto x^2 + 1 $ est continue et strictement positive sur $ \mathbb{R} $, donc $ f $ est continue sur $ \mathbb{R} $ comme quotient de fonctions continues. Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives, donc $ f $ admet des primitives sur $ \mathbb{R} $.
Posons $ u(x) = x^2 + 1 $. Alors $ u^{\prime}(x) = 2x $ et $ u(x) > 0 $ sur $ \mathbb{R} $.
On peut écrire :

$ f(x) = \dfrac{4x}{x^2 + 1} = 2 \times \dfrac{2x}{x^2 + 1} = 2 \times \dfrac{u^{\prime}(x)}{u(x)} $

$ f $ est de la forme $ 2\,\dfrac{u^{\prime}}{u} $, dont une primitive sur un intervalle où $ u > 0 $ est $ 2\ln(u) $. Une primitive de $ f $ sur $ \mathbb{R} $ est donc :

$\mathbf{G(x) = 2\ln(x^2 + 1)}$
Les primitives de $ f $ sur $ \mathbb{R} $ sont les fonctions $ F(x) = 2\ln(x^2 + 1) + k $, où $ k \in \mathbb{R} $.
On cherche $ k $ tel que $ F(0) = 3 $ :

$ F(0) = 2\ln(0^2 + 1) + k = 2\ln(1) + k = k $

On a donc $ k = 3 $, soit :

$\mathbf{F(x) = 2\ln(x^2 + 1) + 3}$
On utilise la primitive $ G $ trouvée à la question 2 :

$ \displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx = \left[2\ln(x^2 + 1)\right]_{0}^{1} = 2\ln(2) - 2\ln(1) = 2\ln(2) $

On obtient $ 2\ln(2) \approx 1{,}386$.

La valeur exacte est $\mathbf{2\ln(2)}$ et la valeur approchée au centième est $\mathbf{1{,}39}$.

Vrai/Faux : Intégrale et aire

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur le lien entre intégrale et aire, indiquer si elle est Vraie ou Fausse. Faire un schéma au brouillon si nécessaire.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ continue et positive sur $[a\,;\,b]$ avec $a < b$.

Affirmation : L'aire (en unités d'aire) du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$ vaut $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est la définition même de l'intégrale d'une fonction positive : l'aire géométrique du domaine sous la courbe.
La condition « $f$ positive » est essentielle pour cette interprétation directe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
C'est l'interprétation géométrique fondamentale de l'intégrale d'une fonction continue positive : aire en unités d'aire.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la définition de l'intégrale d'une fonction positive en termes d'aire.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -x^2 - 1$.

Affirmation : L'aire (géométrique) du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 2$ vaut $\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Sur $[0\,;\,2]$, $f(x) = -x^2 - 1 < 0$ (la courbe est en dessous de l'axe). L'intégrale donne donc un nombre négatif, alors qu'une aire géométrique est positive.
L'aire vaut $\displaystyle\int_{0}^{2}(-f(x))\,\mathrm{d}x = \displaystyle\int_{0}^{2}(x^2 + 1)\,\mathrm{d}x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Quand $f$ est négative sur l'intervalle, son intégrale est négative — or une aire est positive. Pour obtenir l'aire géométrique, il faut intégrer $-f$ (ou $|f|$).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Comme $f \leqslant 0$ sur $[0\,;\,2]$, l'intégrale est négative ; l'aire géométrique vaut $\displaystyle\int_0^2 -f(x)\,\mathrm{d}x$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'intégrale d'une fonction continue sur $[a\,;\,b]$ correspond toujours à l'aire géométrique du domaine sous la courbe.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Cette identification n'est valable que pour les fonctions positives sur $[a\,;\,b]$. Pour une fonction qui change de signe (ou est négative), l'intégrale est l'aire algébrique, qui peut être négative.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège : oublier l'hypothèse de positivité. L'intégrale d'une fonction négative est négative, alors qu'une aire (géométrique) est toujours positive ou nulle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'identification intégrale = aire géométrique est valable uniquement pour les fonctions positives. Sinon, l'intégrale est l'aire algébrique.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère deux fonctions $f$ et $g$ continues sur $[0\,;\,1]$ telles que $f(x) \geqslant g(x) \geqslant 0$ sur cet intervalle.

Affirmation : L'aire (en u.a.) du domaine compris entre les courbes de $f$ et $g$ sur $[0\,;\,1]$ vaut $\displaystyle\int_{0}^{1}(f(x) - g(x))\,\mathrm{d}x$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La courbe de $f$ étant au-dessus de celle de $g$, l'aire entre les deux vaut « aire sous $f$ moins aire sous $g$ », c'est-à-dire $\displaystyle\int_0^1 f - \displaystyle\int_0^1 g = \displaystyle\int_0^1 (f - g)$ par linéarité.
Comme $f - g \geqslant 0$, l'intégrale est positive : on retrouve une aire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour l'aire entre deux courbes, faire « courbe du haut $-$ courbe du bas » et intégrer. Ici $f \geqslant g$ donc $f$ est au-dessus, et l'aire vaut $\displaystyle\int (f - g)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'aire entre les deux courbes vaut $\displaystyle\int_0^1 (f(x) - g(x))\,\mathrm{d}x$ puisque $f \geqslant g$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction impaire continue sur $\mathbb{R}$ (c'est-à-dire $f(-x) = -f(x)$).

Affirmation : $\displaystyle\int_{-3}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x = 0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La parité impaire entraîne une symétrie centrale de la courbe par rapport à l'origine. Sur $[-3\,;\,3]$, l'aire algébrique « à gauche » (sous l'axe si $f > 0$ à droite) compense exactement celle « à droite ».
Plus formellement : $\displaystyle\int_{-3}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x = -\displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x$, donc la somme est nulle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Une fonction impaire vérifie $f(-x) = -f(x)$ : la courbe est symétrique par rapport à l'origine. Les contributions à l'intégrale sur $[-3\,;\,0]$ et sur $[0\,;\,3]$ s'annulent.
Exemple : $\displaystyle\int_{-3}^{3} x\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_{-3}^3 = \dfrac{9}{2} - \dfrac{9}{2} = 0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'intégrale d'une fonction impaire sur un intervalle symétrique autour de $0$ est nulle.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ continue sur $[0\,;\,4]$ avec $f(x) \geqslant 0$ sur $[0\,;\,2]$ et $f(x) \leqslant 0$ sur $[2\,;\,4]$. On note $\mathcal{A}_+$ et $\mathcal{A}_-$ les aires (positives) des deux domaines.

Affirmation : L'aire géométrique totale (aire absolue du domaine entre la courbe et l'axe) vaut $\displaystyle\int_{0}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\displaystyle\int_0^4 f = \mathcal{A}_+ - \mathcal{A}_-$ (aire algébrique). L'aire géométrique totale est $\mathcal{A}_+ + \mathcal{A}_-$, qu'on obtient en calculant $\displaystyle\int_0^2 f - \displaystyle\int_2^4 f$ ou en intégrant $|f|$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'intégrale globale est l'aire algébrique : la partie négative se soustrait, alors qu'en aire géométrique, elle s'ajouterait. Pour la totale géométrique, séparer l'intervalle au point d'annulation et prendre $|f|$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'intégrale donne l'aire algébrique $\mathcal{A}_+ - \mathcal{A}_-$, pas l'aire géométrique totale $\mathcal{A}_+ + \mathcal{A}_-$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Valeur moyenne et encadrement

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur la valeur moyenne d'une fonction et l'encadrement d'intégrales, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ continue sur $[a\,;\,b]$ avec $a < b$.

Affirmation : La valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;\,b]$ vaut $\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est la définition de la valeur moyenne d'une fonction continue sur un intervalle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Définition exacte : on divise l'intégrale par la longueur de l'intervalle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la définition de la valeur moyenne.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La valeur moyenne de la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2$ sur l'intervalle $[0\,;\,3]$ vaut $9$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{27}{3} = 9$.
Mais la valeur moyenne s'obtient en divisant par $b - a = 3$ : $\mu = \dfrac{1}{3} \times 9 = 3$.
La valeur correcte est $3$, pas $9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas oublier de diviser par la longueur de l'intervalle : la valeur $9$ est l'intégrale, pas la moyenne. La moyenne vaut $\dfrac{9}{3} = 3$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $\mu = \dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = 3$, et non $9$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ continue sur $[a\,;\,b]$ avec $a < b$, et $m \leqslant f(x) \leqslant M$ pour tout $x \in [a\,;\,b]$.

Affirmation : La valeur moyenne $\mu$ de $f$ sur $[a\,;\,b]$ vérifie $m \leqslant \mu \leqslant M$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On intègre $m \leqslant f \leqslant M$ sur $[a\,;\,b]$ : $m(b - a) \leqslant \displaystyle\int_a^b f \leqslant M(b - a)$.
Diviser par $b - a > 0$ donne $m \leqslant \mu \leqslant M$.
La valeur moyenne reste comprise entre les bornes de la fonction, ce qui est cohérent.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Une moyenne ne peut pas dépasser le maximum ni descendre sous le minimum des valeurs. C'est une conséquence directe de la croissance de l'intégrale.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Si $m \leqslant f \leqslant M$, alors $m \leqslant \mu \leqslant M$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soient $f$ et $g$ continues sur $[1\,;\,4]$ avec $f(x) \leqslant g(x)$ pour tout $x \in [1\,;\,4]$.

Affirmation : $\displaystyle\int_{1}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x \geqslant \displaystyle\int_{1}^{4} g(x)\,\mathrm{d}x$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La croissance de l'intégrale donne le contraire : $\displaystyle\int_1^4 f \leqslant \displaystyle\int_1^4 g$ (avec $1 < 4$).
L'inégalité entre fonctions se transmet aux intégrales dans le même sens, pas dans le sens inverse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le sens de l'inégalité est inversé : si $f \leqslant g$ sur $[a\,;\,b]$ avec $a < b$, alors $\displaystyle\int f \leqslant \displaystyle\int g$ (même sens).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Par croissance, $\displaystyle\int_1^4 f \leqslant \displaystyle\int_1^4 g$, et non l'inverse.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ continue sur $[0\,;\,5]$ avec $1 \leqslant f(x) \leqslant 4$ pour tout $x$.

Affirmation : On peut affirmer que $\displaystyle\int_{0}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x \leqslant 20$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On intègre la majoration $f(x) \leqslant 4$ sur $[0\,;\,5]$ : $\displaystyle\int_0^5 f \leqslant 4 \times 5 = 20$.
La majoration $20$ est donc correcte (et atteinte si $f$ est constante égale à $4$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Méthode : utiliser l'encadrement de $f$ et la croissance de l'intégrale. Sur $[0\,;\,5]$ (longueur $5$), si $f \leqslant 4$, alors $\displaystyle\int f \leqslant 4 \times 5 = 20$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\displaystyle\int_0^5 f \leqslant 4 \times 5 = 20$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction continue sur $[0\,;\,2]$ telle que la valeur moyenne de $f$ sur $[0\,;\,2]$ vaut $7$.

Affirmation : $\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x = 7$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La relation est $\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f$, soit $\displaystyle\int_a^b f = \mu \times (b - a)$.
Ici $\displaystyle\int_0^2 f = 7 \times 2 = 14$, pas $7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège : confondre valeur moyenne et intégrale. L'intégrale vaut $\mu \times (b - a)$, donc ici $7 \times 2 = 14$.
La valeur moyenne et l'intégrale ne coïncident que lorsque $b - a = 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $\displaystyle\int_0^2 f = \mu \times (2 - 0) = 14$, pas $7$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Calcul d’intégrales

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur le calcul d'intégrales, indiquer si elle est Vraie ou Fausse. Poser chaque calcul avant de se prononcer.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $\displaystyle\int_{0}^{2} 4x^3\,\mathrm{d}x = 16$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Une primitive de $4x^3$ est $x^4$.
$\displaystyle\int_{0}^{2} 4x^3\,\mathrm{d}x = \left[x^4\right]_{0}^{2} = 16 - 0 = 16$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Méthode : trouver une primitive (ici $x^4$) et appliquer $F(2) - F(0)$.
$F(2) = 16$, $F(0) = 0$, donc l'intégrale vaut bien $16$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\left[x^4\right]_0^2 = 16$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} \dfrac{2}{x}\,\mathrm{d}x = 2$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Par linéarité, une primitive de $\dfrac{2}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ est $2\ln x$.
$\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} \dfrac{2}{x}\,\mathrm{d}x = \left[2\ln x\right]_{1}^{\mathrm{e}} = 2\ln(\mathrm{e}) - 2\ln(1) = 2 \times 1 - 2 \times 0 = 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln x$, et $\ln(\mathrm{e}) = 1$, $\ln(1) = 0$.
Avec la linéarité : $\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} \dfrac{2}{x} = 2(1 - 0) = 2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\left[2\ln x\right]_1^{\mathrm{e}} = 2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x = 1 - \dfrac{1}{\mathrm{e}}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Une primitive de $\mathrm{e}^{-x}$ est $-\mathrm{e}^{-x}$ (vérification : $(-\mathrm{e}^{-x})^{\prime} = -(-\mathrm{e}^{-x}) = \mathrm{e}^{-x}$).
$\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x = \left[-\mathrm{e}^{-x}\right]_{0}^{1} = -\mathrm{e}^{-1} - (-\mathrm{e}^{0}) = -\dfrac{1}{\mathrm{e}} + 1 = 1 - \dfrac{1}{\mathrm{e}}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Repère : la primitive de $\mathrm{e}^{ax}$ est $\dfrac{1}{a}\,\mathrm{e}^{ax}$. Avec $a = -1$, on obtient $-\mathrm{e}^{-x}$.
Évaluer ensuite aux bornes $0$ et $1$ : $-\mathrm{e}^{-1} - (-1) = 1 - \dfrac{1}{\mathrm{e}}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\left[-\mathrm{e}^{-x}\right]_0^1 = -\dfrac{1}{\mathrm{e}} + 1 = 1 - \dfrac{1}{\mathrm{e}}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\displaystyle\int_{0}^{2} (3x^2 - 2x)\,\mathrm{d}x = 4$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Par linéarité, une primitive de $3x^2 - 2x$ est $x^3 - x^2$.
$\displaystyle\int_{0}^{2} (3x^2 - 2x)\,\mathrm{d}x = \left[x^3 - x^2\right]_{0}^{2} = (8 - 4) - 0 = 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Méthode : primitiver terme à terme ($3x^2 \to x^3$, $-2x \to -x^2$), puis évaluer entre les bornes.
$F(2) - F(0) = (8 - 4) - 0 = 4$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\left[x^3 - x^2\right]_0^2 = 4 - 0 = 4$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ est bien défini et vaut un nombre fini.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La fonction $\dfrac{1}{x}$ n'est pas définie en $0$ : elle n'est donc pas continue sur $[0\,;\,1]$.
La condition pour calculer $\displaystyle\int_a^b f$ est que $f$ soit continue (ou au moins définie) sur $[a\,;\,b]$. L'intégrale n'a pas de sens dans le cadre du programme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Vérifier le domaine : la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ a une asymptote verticale en $0$. L'intervalle $[0\,;\,1]$ contient une valeur où $f$ n'est pas définie.
Une primitive sur $]0\,;\,+\infty[$ existe ($\ln x$), mais l'intégrale entre $0$ et $1$ sort du cadre du programme (intégrale impropre).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La fonction $\dfrac{1}{x}$ n'est pas définie en $0$ : on ne peut pas calculer son intégrale sur $[0\,;\,1]$ dans le cadre du programme.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{2x}{x^2 + 1}\,\mathrm{d}x = \ln 2 - 1$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La fonction est de la forme $\dfrac{u^{\prime}}{u}$ avec $u(x) = x^2 + 1 > 0$ : une primitive est $\ln(x^2 + 1)$.
$\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{2x}{x^2 + 1}\,\mathrm{d}x = \left[\ln(x^2 + 1)\right]_{0}^{1} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 - 0 = \ln 2$.
La valeur correcte est $\ln 2$, pas $\ln 2 - 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège : croire que $\ln 1 = 1$. En réalité $\ln 1 = 0$, donc $\left[\ln(x^2 + 1)\right]_0^1 = \ln 2 - 0 = \ln 2$, et non $\ln 2 - 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $\left[\ln(x^2 + 1)\right]_0^1 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$, et non $\ln 2 - 1$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Propriétés de l’intégrale

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur les propriétés de l'intégrale (linéarité, Chasles, signe), indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soient $f$ et $g$ continues sur $[a\,;\,b]$ et $\lambda$ un réel.

Affirmation : $\displaystyle\int_{a}^{b}\big(\lambda f(x) + g(x)\big)\,\mathrm{d}x = \lambda\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x + \displaystyle\int_{a}^{b} g(x)\,\mathrm{d}x$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est l'expression complète de la linéarité de l'intégrale : on peut « sortir » les coefficients et séparer les sommes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La linéarité signifie deux choses : on peut sortir un facteur multiplicatif ($\lambda$) et on peut séparer une somme. Cette identité regroupe les deux propriétés.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la propriété de linéarité de l'intégrale.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soient $f$ continue sur un intervalle contenant $a$, $b$ et $c$.

Affirmation : $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = \displaystyle\int_{a}^{c} f(x)\,\mathrm{d}x + \displaystyle\int_{c}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$, même si $c$ n'est pas situé entre $a$ et $b$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La relation de Chasles est valable pour toutes positions des trois réels $a$, $b$, $c$ (du moment que $f$ est continue sur un intervalle qui les contient tous), pas seulement pour $a < c < b$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège classique : penser que Chasles n'est valable que pour des bornes dans l'ordre $a < c < b$. En réalité, c'est une identité algébrique qui se vérifie dans tous les cas, en utilisant aussi l'inversion des bornes.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La relation de Chasles est valable quelle que soit la position relative de $a$, $b$, $c$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\displaystyle\int_{0}^{2}(f(x) \times g(x))\,\mathrm{d}x = \displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x \times \displaystyle\int_{0}^{2} g(x)\,\mathrm{d}x$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales !
Contre-exemple : avec $f(x) = g(x) = 1$ sur $[0\,;\,2]$, $\displaystyle\int_0^2 1 \times 1 = 2$, mais $\displaystyle\int_0^2 1 \times \displaystyle\int_0^2 1 = 2 \times 2 = 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La linéarité concerne l'addition et la multiplication par une constante, pas la multiplication entre fonctions. Un contre-exemple simple suffit pour s'en convaincre.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'intégrale n'est pas multiplicative : $\displaystyle\int (fg) \neq \displaystyle\int f \times \displaystyle\int g$ en général.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x = 0$, alors $f$ est nécessairement la fonction nulle sur $[0\,;\,2]$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Un contre-exemple immédiat : $f(x) = x - 1$. Alors $\displaystyle\int_0^2 (x - 1)\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2} - x\right]_0^2 = (2 - 2) - 0 = 0$.
La fonction n'est pas nulle, mais ses parties positives et négatives se compensent.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Une fonction qui change de signe peut très bien avoir une intégrale nulle (compensation des aires algébriques). La condition supplémentaire « $f \geqslant 0$ continue » est indispensable pour conclure que $f$ est identiquement nulle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Une fonction non nulle qui change de signe peut avoir une intégrale nulle (compensation), comme $f(x) = x - 1$ sur $[0\,;\,2]$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ continue sur $[a\,;\,b]$ avec $a < b$, et telle que $f(x) \leqslant 0$ pour tout $x \in [a\,;\,b]$.

Affirmation : $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x \geqslant 0$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le lien signe-fonction / signe-intégrale donne le contraire : si $f \leqslant 0$ sur $[a\,;\,b]$ avec $a < b$, alors $\displaystyle\int_a^b f \leqslant 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le signe de l'intégrale suit le signe de la fonction : une fonction négative donne une intégrale négative (ou nulle), pas positive.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Si $f \leqslant 0$ sur $[a\,;\,b]$ avec $a < b$, alors $\displaystyle\int_a^b f \leqslant 0$, pas $\geqslant 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On donne $\displaystyle\int_{0}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x = 5$ et $\displaystyle\int_{0}^{4} g(x)\,\mathrm{d}x = 2$.

Affirmation : $\displaystyle\int_{0}^{4} (3 f(x) - 2 g(x))\,\mathrm{d}x = 11$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Par linéarité : $\displaystyle\int_0^4 (3f - 2g) = 3\displaystyle\int_0^4 f - 2\displaystyle\int_0^4 g = 3 \times 5 - 2 \times 2 = 15 - 4 = 11$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Méthode : appliquer la linéarité.
$3 \times 5 = 15$ et $2 \times 2 = 4$. La soustraction donne $15 - 4 = 11$, ce qui valide bien l'affirmation.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $3 \times 5 - 2 \times 2 = 11$.
[/solution]
[/etape]

QCM : Propriétés de l’intégrale

[enonce]
Ce QCM porte sur les propriétés de l'intégrale : linéarité, relation de Chasles, inversion des bornes et lien entre signe de la fonction et signe de l'intégrale. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
On suppose $\displaystyle\int_{2}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x = 7$. Que vaut $\displaystyle\int_{5}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x$ ?
[qcm]
[option]$7$[/option]
[option correct="true"]$-7$[/option]
[option]$0$[/option]
[option]$\dfrac{1}{7}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Échanger les bornes change le signe de l'intégrale : $\displaystyle\int_{b}^{a} f = -\displaystyle\int_{a}^{b} f$.
Ici $\displaystyle\int_{5}^{2} f = -\displaystyle\int_{2}^{5} f = -7$.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
Inverser les bornes ne laisse pas l'intégrale inchangée : il y a un changement de signe.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
L'intégrale est nulle uniquement quand les bornes sont égales ($\displaystyle\int_a^a f = 0$). Ici $a \neq b$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{7}$"]Non.
Inverser les bornes n'inverse pas la valeur (au sens d'inverse multiplicatif) : c'est l'opposé qui apparaît.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Propriété d'inversion des bornes : $\displaystyle\int_{b}^{a} f = -\displaystyle\int_{a}^{b} f$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On suppose $\displaystyle\int_{0}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x = 10$ et $\displaystyle\int_{0}^{4} g(x)\,\mathrm{d}x = -3$. Que vaut $\displaystyle\int_{0}^{4} \big(2 f(x) - g(x)\big)\,\mathrm{d}x$ ?
[qcm]
[option]$13$[/option]
[option correct="true"]$23$[/option]
[option]$17$[/option]
[option]$-23$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
Par linéarité : $\displaystyle\int_{0}^{4}(2f - g) = 2\displaystyle\int_{0}^{4} f - \displaystyle\int_{0}^{4} g = 2 \times 10 - (-3) = 20 + 3 = 23$.[/reponse]
[reponse motif="$13$"]Non.
Le facteur $2$ devant $f$ semble avoir été oublié. La linéarité donne $\displaystyle\int (2f) = 2\displaystyle\int f$.[/reponse]
[reponse motif="$17$"]Non.
Erreur de signe sur $g$ : $-(-3) = +3$, pas $-3$. Le signe $-$ devant $g$ change le signe de la valeur, qui est elle-même négative.[/reponse]
[reponse motif="$-23$"]Non.
Erreur de signe globale. Le calcul correct $2 \times 10 - (-3) = 20 + 3$ donne un résultat positif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la linéarité : $\displaystyle\int (\alpha f + \beta g) = \alpha\displaystyle\int f + \beta\displaystyle\int g$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On suppose $\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x = 5$ et $\displaystyle\int_{0}^{7} f(x)\,\mathrm{d}x = 12$. Que vaut $\displaystyle\int_{2}^{7} f(x)\,\mathrm{d}x$ ?
[qcm]
[option]$17$[/option]
[option correct="true"]$7$[/option]
[option]$-7$[/option]
[option]$60$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est juste !
Par la relation de Chasles : $\displaystyle\int_{0}^{7} f = \displaystyle\int_{0}^{2} f + \displaystyle\int_{2}^{7} f$.
Donc $\displaystyle\int_{2}^{7} f = \displaystyle\int_{0}^{7} f - \displaystyle\int_{0}^{2} f = 12 - 5 = 7$.[/reponse]
[reponse motif="$17$"]Non.
$17 = 12 + 5$ correspondrait à une addition, mais ici on cherche un morceau intermédiaire : il faut soustraire le morceau connu.[/reponse]
[reponse motif="$-7$"]Non.
Erreur de signe. La relation de Chasles donne $\displaystyle\int_2^7 = \displaystyle\int_0^7 - \displaystyle\int_0^2 = 12 - 5$, soit $+7$.[/reponse]
[reponse motif="$60$"]Non.
$60 = 12 \times 5$ correspondrait à un produit. L'intégrale n'est pas multiplicative : la relation de Chasles est additive.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Relation de Chasles : $\displaystyle\int_a^c = \displaystyle\int_a^b + \displaystyle\int_b^c$. En déduire $\displaystyle\int_b^c$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$f$ est continue sur $[0\,;\,4]$ avec $f(x) \leqslant 0$ sur tout l'intervalle. Que peut-on dire de $\displaystyle\int_{0}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x$ ?
[qcm]
[option]Strictement positive[/option]
[option correct="true"]Négative ou nulle[/option]
[option]Strictement négative[/option]
[option]On ne peut rien dire[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Propriété : si $f \leqslant 0$ sur $[a\,;\,b]$ avec $a < b$, alors $\displaystyle\int_a^b f \leqslant 0$.
On obtient $0$ si $f$ est identiquement nulle, d'où la conclusion « négative ou nulle ».[/reponse]
[reponse motif="Strictement positive"]Non.
La propriété est l'inverse : une fonction négative donne une intégrale négative (interprétation graphique : aire algébrique sous l'axe).[/reponse]
[reponse motif="Strictement négative"]Pas tout à fait.
Si $f$ est identiquement nulle (cas limite où $f \leqslant 0$), l'intégrale vaut $0$. Donc la conclusion est « négative ou nulle », pas strictement négative.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut rien dire"]Non.
Le signe de $f$ détermine bien le signe de l'intégrale : c'est la propriété de positivité, applicable directement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lien signe-fonction / signe-intégrale : si $f \leqslant 0$ sur un intervalle, alors $\displaystyle\int f$ y est négative ou nulle.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$f$ et $g$ sont continues sur $[0\,;\,3]$ et vérifient $f(x) \leqslant g(x)$ pour tout $x \in [0\,;\,3]$. Que peut-on dire des intégrales ?
[qcm]
[option correct="true"]$\displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x \leqslant \displaystyle\int_{0}^{3} g(x)\,\mathrm{d}x$[/option]
[option]$\displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x \geqslant \displaystyle\int_{0}^{3} g(x)\,\mathrm{d}x$[/option]
[option]$\displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x = \displaystyle\int_{0}^{3} g(x)\,\mathrm{d}x$[/option]
[option]On ne peut rien comparer[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Par croissance de l'intégrale (avec $a < b$) : si $f \leqslant g$ sur $[a\,;\,b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f \leqslant \displaystyle\int_a^b g$.
L'inégalité entre les fonctions se transmet aux intégrales en conservant le sens (puisque $a < b$).[/reponse]
[reponse motif="$\displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x \geqslant \displaystyle\int_{0}^{3} g(x)\,\mathrm{d}x$"]Non.
L'inégalité s'inverserait si les bornes étaient inversées ($a > b$), mais ce n'est pas le cas ici. Avec $0 < 3$, le sens est conservé.[/reponse]
[reponse motif="$\displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x = \displaystyle\int_{0}^{3} g(x)\,\mathrm{d}x$"]Non.
L'égalité ne serait vraie que si $f = g$ sur tout l'intervalle, ce qui n'est pas garanti par $f \leqslant g$.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut rien comparer"]Non.
La propriété de croissance de l'intégrale permet justement de comparer les intégrales lorsque les fonctions sont comparées.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Propriété de croissance : $f \leqslant g$ sur $[a\,;\,b]$ avec $a < b$ entraîne $\displaystyle\int f \leqslant \displaystyle\int g$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On donne $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x = 4$, $\displaystyle\int_{1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x = -2$ et $\displaystyle\int_{3}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x = 6$. Que vaut $\displaystyle\int_{0}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x$ ?
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$12$[/option]
[option correct="true"]$8$[/option]
[option]$-8$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Par la relation de Chasles appliquée trois fois :
$\displaystyle\int_{0}^{5} f = \displaystyle\int_{0}^{1} f + \displaystyle\int_{1}^{3} f + \displaystyle\int_{3}^{5} f = 4 + (-2) + 6 = 8$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
Erreur de calcul : $4 - 2 + 6 = 8$, pas $0$. Veiller à n'oublier aucun morceau.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
Le signe de $\displaystyle\int_{1}^{3} f = -2$ a été ignoré : il faut l'ajouter avec son signe ($-2$), pas en valeur absolue.[/reponse]
[reponse motif="$-8$"]Non.
Erreur de signe globale. Vérifier la somme : $4 + (-2) + 6$ donne un résultat positif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Découper $[0\,;\,5]$ en trois morceaux successifs et sommer les intégrales correspondantes (Chasles).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]