QCM Bilan : Fonction exponentielle
[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : propriétés algébriques, équations et inéquations, dérivée de $\text{e}^{ax+b}$ et lien avec les suites géométriques. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]
[etape]
Simplifier l'expression $A = \dfrac{\text{e}^{2x} \times \text{e}^{-x}}{\left(\text{e}^{x}\right)^{3}}$ et l'écrire sous la forme $\text{e}^{k}$.
[qcm]
[option]$\text{e}^{2x}$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$\text{e}^{-2x}$[/option]
[option]$\text{e}^{-6x}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Au numérateur : $\text{e}^{2x} \times \text{e}^{-x} = \text{e}^{2x + (-x)} = \text{e}^{x}$.
Au dénominateur : $\left(\text{e}^{x}\right)^{3} = \text{e}^{3x}$.
Donc $A = \dfrac{\text{e}^{x}}{\text{e}^{3x}} = \text{e}^{x - 3x} = \text{e}^{-2x}$.[/reponse]
[reponse motif="$\text{e}^{2x}$"]Non.
Erreur de signe dans la soustraction finale : il faut calculer $x - 3x = -2x$, et non $3x - x = 2x$.
L'exposant du numérateur intervient positivement et celui du dénominateur négativement.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Le signe moins de l'exposant $-x$ au numérateur n'a pas été pris en compte.
Avec ce signe, le numérateur donne $\text{e}^{2x - x} = \text{e}^{x}$, pas $\text{e}^{3x}$.[/reponse]
[reponse motif="$\text{e}^{-6x}$"]Non.
Les trois exposants ont été multipliés au lieu d'être sommés et soustraits selon les règles.
Un produit d'exponentielles se traduit par une somme des exposants et un quotient par une soustraction.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Simplifier d'abord numérateur et dénominateur séparément, puis appliquer $\dfrac{\text{e}^{a}}{\text{e}^{b}} = \text{e}^{a-b}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Sur quel intervalle la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \text{e}^{x+1} - \text{e}^{2x}$ est-elle strictement positive ?
[qcm]
[option]$]1~;~+\infty[$[/option]
[option correct="true"]$]-\infty~;~1[$[/option]
[option]$\mathbb{R} \setminus \{1\}$[/option]
[option]$\mathbb{R}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$g(x) > 0 \iff \text{e}^{x+1} > \text{e}^{2x}$.
L'exponentielle étant strictement croissante, cela équivaut à $x + 1 > 2x$, soit $1 > x$, c'est-à-dire $x < 1$.
L'ensemble cherché est donc $]-\infty~;~1[$.[/reponse]
[reponse motif="$]1~;~+\infty[$"]Non.
Le sens de l'inégalité a été inversé lors de l'isolation de $x$.
En partant de $x + 1 > 2x$, on obtient $1 > x$, soit $x < 1$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{R} \setminus \{1\}$"]Non.
Le point $x = 1$ annule la différence, mais il n'y a qu'un seul intervalle où $g$ est strictement positive, pas deux côtés réunis.
Il faut comparer les exposants en conservant le sens de l'inégalité.[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{R}$"]Non.
La différence $\text{e}^{x+1} - \text{e}^{2x}$ change de signe : elle n'est pas toujours positive.
Pour $x$ grand, $\text{e}^{2x}$ dépasse $\text{e}^{x+1}$, donc $g$ devient négative.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Écrire $g(x) > 0 \iff \text{e}^{x+1} > \text{e}^{2x}$, puis utiliser la stricte croissance de l'exponentielle pour comparer les exposants.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On pose, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n} = \text{e}^{2n+1}$. Cette suite est géométrique. Quelle est sa raison ?
[qcm]
[option]$\text{e}$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]$\text{e}^{2n}$[/option]
[option correct="true"]$\text{e}^{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On calcule le rapport de deux termes consécutifs :
$\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} = \dfrac{\text{e}^{2(n+1)+1}}{\text{e}^{2n+1}} = \text{e}^{(2n+3)-(2n+1)} = \text{e}^{2}$.
La raison est donc $q = \text{e}^{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\text{e}$"]Non.
La constante $+1$ dans l'exposant a été confondue avec la raison.
La raison s'obtient en calculant le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}$, ou en factorisant $\text{e}^{2n+1} = \text{e} \times \left(\text{e}^{2}\right)^{n}$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Le coefficient $2$ devant $n$ dans l'exposant a été confondu avec la raison.
La raison d'une suite de la forme $u_{n} = \text{e}^{an+b}$ est $\text{e}^{a}$, pas $a$.[/reponse]
[reponse motif="$\text{e}^{2n}$"]Non.
Une raison est un nombre fixe, indépendant de $n$.
Une expression contenant $n$ ne peut pas être la raison d'une suite géométrique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Factoriser $u_{n} = \text{e}^{2n+1} = \text{e} \times \left(\text{e}^{2}\right)^{n}$ pour reconnaître une suite géométrique de premier terme $\text{e}$ et de raison $\text{e}^{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\text{e}^{x^{2}} \geqslant \text{e}^{2x+3}$.
[qcm]
[option correct="true"]$S = ]-\infty~;~-1] \cup [3~;~+\infty[$[/option]
[option]$S = [-1~;~3]$[/option]
[option]$S = ]-\infty~;~-3] \cup [1~;~+\infty[$[/option]
[option]$S = \mathbb{R}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'exponentielle étant strictement croissante, l'inéquation équivaut à $x^{2} \geqslant 2x + 3$, soit $x^{2} - 2x - 3 \geqslant 0$.
Le discriminant vaut $\Delta = 4 + 12 = 16$, donc les racines sont $x_{1} = -1$ et $x_{2} = 3$.
Le trinôme $x^{2} - 2x - 3$ est du signe de son coefficient dominant (positif) à l'extérieur des racines.
Donc $S = ]-\infty~;~-1] \cup [3~;~+\infty[$.[/reponse]
[reponse motif="$S = [-1~;~3]$"]Non.
Le signe du trinôme à l'extérieur et entre les racines a été inversé.
Pour un trinôme de coefficient dominant positif, il est positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines.[/reponse]
[reponse motif="$S = ]-\infty~;~-3] \cup [1~;~+\infty[$"]Non.
Les racines du trinôme sont incorrectes.
Reprendre la résolution de $x^{2} - 2x - 3 = 0$ avec la formule $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ en identifiant bien $a = 1$, $b = -2$, $c = -3$.[/reponse]
[reponse motif="$S = \mathbb{R}$"]Non.
L'inégalité n'est pas toujours vérifiée : par exemple pour $x = 0$, on a $x^{2} = 0$ et $2x + 3 = 3$, donc $x^{2} < 2x + 3$.
Il faut étudier le signe du trinôme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Se ramener à $x^{2} - 2x - 3 \geqslant 0$ grâce à la croissance stricte de l'exponentielle, puis étudier le signe du trinôme avec ses racines.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \text{e}^{-3x+2}$. Quel est son sens de variation sur $\mathbb{R}$ ?
[qcm]
[option]Strictement croissante sur $\mathbb{R}$.[/option]
[option]Croissante puis décroissante.[/option]
[option correct="true"]Strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.[/option]
[option]Constante sur $\mathbb{R}$.[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On calcule $f'(x) = -3\,\text{e}^{-3x+2}$.
L'exponentielle étant strictement positive, $\text{e}^{-3x+2} > 0$, donc $f'(x) < 0$ sur $\mathbb{R}$.
La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse motif="Strictement croissante sur $\mathbb{R}$."]Non.
Le signe du coefficient $a = -3$ n'a pas été pris en compte.
Pour une fonction $\text{e}^{ax+b}$, c'est le signe de $a$ qui détermine le sens de variation.[/reponse]
[reponse motif="Croissante puis décroissante."]Non.
La dérivée garde un signe constant sur $\mathbb{R}$ : il n'y a pas de changement de variation.
Une fonction $\text{e}^{ax+b}$ est monotone sur $\mathbb{R}$ tout entier.[/reponse]
[reponse motif="Constante sur $\mathbb{R}$."]Non.
Une fonction constante a une dérivée nulle, ce qui n'est pas le cas ici puisque $\text{e}^{-3x+2} > 0$.
La fonction évolue donc réellement en fonction de $x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Étudier le signe de $f'(x) = -3\,\text{e}^{-3x+2}$ en utilisant le fait que l'exponentielle est strictement positive.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\left(\text{e}^{x}\right)^{2} \times \text{e}^{-x} = \text{e}$.
[qcm]
[option]$S = \{0\}$[/option]
[option correct="true"]$S = \{1\}$[/option]
[option]$S = \{2\}$[/option]
[option]$S = \emptyset$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On simplifie le premier membre : $\left(\text{e}^{x}\right)^{2} \times \text{e}^{-x} = \text{e}^{2x} \times \text{e}^{-x} = \text{e}^{2x + (-x)} = \text{e}^{x}$.
L'équation devient $\text{e}^{x} = \text{e}^{1}$, soit $x = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$S = \{0\}$"]Non.
La simplification du premier membre a conduit à une expression incorrecte.
Reprendre : $\left(\text{e}^{x}\right)^{2} = \text{e}^{2x}$, puis $\text{e}^{2x} \times \text{e}^{-x} = \text{e}^{x}$.[/reponse]
[reponse motif="$S = \{2\}$"]Non.
Le facteur $\text{e}^{-x}$ n'a pas été pris en compte dans la simplification.
$\left(\text{e}^{x}\right)^{2} = \text{e}^{2x}$, mais il faut ensuite multiplier par $\text{e}^{-x}$, ce qui retranche $x$ à l'exposant.[/reponse]
[reponse motif="$S = \emptyset$"]Non.
Cette équation admet bien une solution.
Après simplification, elle se ramène à une équation du type $\text{e}^{A} = \text{e}^{B}$, qui équivaut à $A = B$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Simplifier d'abord le premier membre en appliquant $\left(\text{e}^{a}\right)^{n} = \text{e}^{na}$ et $\text{e}^{a} \times \text{e}^{b} = \text{e}^{a+b}$, puis résoudre l'équation obtenue.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]