Budget mensuel d’une famille : synthèse sur les fractions

La famille Mercier dispose d'un budget mensuel de $ 2\,400 $ €. Chaque mois, elle dépense :

$ \dfrac{1}{3} $ du budget pour le logement,
$ \dfrac{1}{4} $ du budget pour la nourriture,
$ \dfrac{1}{8} $ du budget pour les transports.

Le reste du budget couvre les autres dépenses (loisirs, vêtements, épargne).

Calculer le montant en euros consacré chaque mois au logement, à la nourriture et aux transports.
Calculer, sous forme d'une fraction simplifiée au maximum, la part du budget consacrée à ces trois postes réunis (logement + nourriture + transports).
En déduire, sous forme d'une fraction simplifiée, la part du budget consacrée aux autres dépenses.
Calculer le montant en euros consacré aux autres dépenses, et vérifier la cohérence avec le total trouvé à la question 1.
Sur le montant des autres dépenses, la famille décide de consacrer $ \dfrac{3}{7} $ à l'épargne. Calculer le montant épargné chaque mois.
Quelle fraction du budget mensuel total cette épargne représente-t-elle ? Donner la réponse sous forme d'une fraction simplifiée.

Corrigé

Pour chaque poste, on multiplie le budget total par la fraction correspondante.

Logement : $ \dfrac{1}{3} \times 2\,400 = \dfrac{2\,400}{3} = 800 $
La famille dépense $ 800 $ € pour le logement.

Nourriture : $ \dfrac{1}{4} \times 2\,400 = \dfrac{2\,400}{4} = 600 $
La famille dépense $ 600 $ € pour la nourriture.

Transports : $ \dfrac{1}{8} \times 2\,400 = \dfrac{2\,400}{8} = 300 $
La famille dépense $ 300 $ € pour les transports.
On calcule la somme $ \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} $.

Un multiple commun de $ 3 $, $ 4 $ et $ 8 $ est $ 24 $ ($ 24 = 3 \times 8 = 4 \times 6 = 8 \times 3 $).
$ \dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 8}{3 \times 8} = \dfrac{8}{24} $
$ \dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 6}{4 \times 6} = \dfrac{6}{24} $
$ \dfrac{1}{8} = \dfrac{1 \times 3}{8 \times 3} = \dfrac{3}{24} $

$ \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{8}{24} + \dfrac{6}{24} + \dfrac{3}{24} = \dfrac{17}{24} $

La fraction $ \dfrac{17}{24} $ est irréductible ($ 17 $ est premier et n'est pas un diviseur de $ 24 $).

Les trois postes représentent $\mathbf{\dfrac{17}{24}}$ du budget.
Le budget total représente la fraction $ 1 = \dfrac{24}{24} $. La part des autres dépenses est :
$ 1 - \dfrac{17}{24} = \dfrac{24}{24} - \dfrac{17}{24} = \dfrac{7}{24} $

Les autres dépenses représentent $\mathbf{\dfrac{7}{24}}$ du budget.
Montant des autres dépenses :
$ \dfrac{7}{24} \times 2\,400 = \dfrac{7 \times 2\,400}{24} = \dfrac{16\,800}{24} = 700 $

Les autres dépenses s'élèvent à $ 700 $ €.

Vérification : $ 800 + 600 + 300 + 700 = 2\,400 $. On retrouve bien le budget total, ce qui confirme le résultat.
Le montant épargné est $ \dfrac{3}{7} $ des $ 700 $ € :
$ \dfrac{3}{7} \times 700 = \dfrac{3 \times 700}{7} = \dfrac{2\,100}{7} = 300 $

La famille épargne $ 300 $ € chaque mois.
La fraction du budget total consacrée à l'épargne est :
$ \dfrac{300}{2\,400} $

On simplifie par $ 100 $ : $ \dfrac{300}{2\,400} = \dfrac{3}{24} $.
On simplifie par $ 3 $ : $ \dfrac{3}{24} = \dfrac{1}{8} $.

L'épargne représente $\mathbf{\dfrac{1}{8}}$ du budget mensuel.

Pour réviser : Résoudre un problème avec des fractions

Recette de gâteau : adapter les quantités avec une fraction

Enora prépare un gâteau au chocolat. La recette prévue pour $ 6 $ personnes nécessite les ingrédients suivants :

$ 180 $ g de farine,
$ 240 $ g de chocolat,
$ 0{,}2 $ L de lait,
$ 4 $ œufs.

Enora veut faire ce gâteau pour $ 9 $ personnes. Donner, sous forme de fraction simplifiée, le facteur par lequel il faut multiplier chaque quantité de la recette.
Calculer les quantités de farine, de chocolat et de lait nécessaires pour $ 9 $ personnes.
Combien d'œufs faut-il ?
Sa sœur Léna veut, le lendemain, préparer le même gâteau pour $ 4 $ personnes. Donner le facteur correspondant sous forme de fraction simplifiée, puis calculer la quantité de chocolat nécessaire.

Corrigé

Pour passer d'une recette de $ 6 $ personnes à $ 9 $ personnes, on multiplie chaque quantité par $ \dfrac{9}{6} $.
On simplifie par $ 3 $ : $ \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2} $.

Le facteur cherché est $\mathbf{\dfrac{3}{2}}$.
On multiplie chaque quantité par $ \dfrac{3}{2} $.

Farine : $ \dfrac{3}{2} \times 180 = \dfrac{3 \times 180}{2} = \dfrac{540}{2} = 270 $
Il faut $ 270 $ g de farine.

Chocolat : $ \dfrac{3}{2} \times 240 = \dfrac{3 \times 240}{2} = \dfrac{720}{2} = 360 $
Il faut $ 360 $ g de chocolat.

Lait : $ \dfrac{3}{2} \times 0{,}2 = \dfrac{3 \times 0{,}2}{2} = \dfrac{0{,}6}{2} = 0{,}3 $
Il faut $ 0{,}3 $ L de lait.
Pour les œufs : $ \dfrac{3}{2} \times 4 = \dfrac{3 \times 4}{2} = \dfrac{12}{2} = 6 $.
Il faut $ 6 $ œufs.
Pour passer de $ 6 $ personnes à $ 4 $ personnes, on multiplie chaque quantité par $ \dfrac{4}{6} $.
On simplifie par $ 2 $ : $ \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} $.

Le facteur est $\mathbf{\dfrac{2}{3}}$.

Quantité de chocolat :
$ \dfrac{2}{3} \times 240 = \dfrac{2 \times 240}{3} = \dfrac{480}{3} = 160 $
Il faut $ 160 $ g de chocolat pour $ 4 $ personnes.

Pour réviser : Calculer la fraction d'une quantité

Vrai/Faux : Raisonnement et problèmes avec fractions

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur des raisonnements et des situations concrètes avec des fractions, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pierre mange $\dfrac{2}{5}$ d'une tarte et Léa $\dfrac{1}{3}$ de la même tarte. Il reste $\dfrac{4}{15}$ de la tarte.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Total mangé : $\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} = \dfrac{11}{15}$. Reste : $1 - \dfrac{11}{15} = \dfrac{15}{15} - \dfrac{11}{15} = \dfrac{4}{15}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le raisonnement consiste à additionner les deux parts mangées (avec le dénominateur commun $15$) puis à soustraire ce total de $1$. On obtient bien $\dfrac{4}{15}$ pour la part restante.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{11}{15}$, donc il reste $1 - \dfrac{11}{15} = \dfrac{4}{15}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Sur un trajet de $80$ km, Marc parcourt les $\dfrac{3}{4}$ et Léa les $\dfrac{1}{4}$. Marc et Léa ont parcouru exactement la même distance.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Marc parcourt $\dfrac{3}{4} \times 80 = 60$ km, Léa $\dfrac{1}{4} \times 80 = 20$ km. Les distances sont très différentes : Marc parcourt trois fois plus que Léa.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas se fier aux fractions seules : $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{1}{4}$ sont très différentes. Calculer chaque distance : Marc $= 60$ km, Léa $= 20$ km. Donc trois fois plus pour Marc.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Marc parcourt $60$ km et Léa $20$ km : Marc parcourt trois fois plus.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si on prend les $\dfrac{2}{3}$ d'une quantité, puis $\dfrac{1}{3}$ de cette même quantité (pas du résultat précédent), la somme correspond à la quantité totale.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On additionne les deux fractions de la quantité : $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{3} = 1$. Donc la somme des deux parts vaut bien la quantité totale.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Comme les deux parts sont prises de la même quantité initiale, on peut additionner les fractions correspondantes : $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} = 1$. La somme reconstitue donc la totalité.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} = 1$, donc la somme des deux parts reconstitue la quantité totale.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Les $\dfrac{3}{4}$ de $40$ litres font plus que $40$ litres.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La fraction $\dfrac{3}{4}$ est inférieure à $1$ : prendre une fraction inférieure à $1$ d'une quantité donne toujours moins que la quantité. Vérification : $\dfrac{3}{4} \times 40 = 30 < 40$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de croire que $\dfrac{3}{4}$ est « grand ». Or $\dfrac{3}{4}$ est plus petit que $1$, donc les $\dfrac{3}{4}$ d'une quantité sont toujours plus petits que la quantité elle-même : $\dfrac{3}{4} \times 40 = 30 < 40$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Comme $\dfrac{3}{4} < 1$, les $\dfrac{3}{4}$ de $40$ litres font moins que $40$ litres : ici $30$ litres.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour partager équitablement $5$ pizzas entre $4$ personnes, chaque personne reçoit $\dfrac{5}{4}$ de pizza, soit plus d'une pizza entière.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Partager $5$ pizzas entre $4$ personnes, c'est calculer $5 \div 4 = \dfrac{5}{4}$ par personne. Comme $5 > 4$, la fraction $\dfrac{5}{4}$ est supérieure à $1$ : chaque personne reçoit donc plus d'une pizza entière (on peut écrire $\dfrac{5}{4} = 1 + \dfrac{1}{4}$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Ici il y a plus de pizzas que de personnes, donc chacun reçoit plus d'une pizza. Le partage donne $5 \div 4 = \dfrac{5}{4}$ par personne, soit une pizza entière plus un quart.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le partage donne $5 \div 4 = \dfrac{5}{4}$ par personne, soit $1 + \dfrac{1}{4}$ : un peu plus d'une pizza entière.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Une voiture parcourt les $\dfrac{3}{5}$ d'un trajet de $250$ km. Elle a parcouru $100$ km.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Le calcul correct est $\dfrac{3}{5} \times 250 = \dfrac{3 \times 250}{5} = \dfrac{750}{5} = 150$ km. La distance parcourue est donc $150$ km, et non $100$ km.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Vérifier le calcul : $\dfrac{3}{5}$ de $250$, c'est $\dfrac{3 \times 250}{5} = 150$ km. La valeur $100$ correspondrait à $\dfrac{2}{5}$ de $250$, et non $\dfrac{3}{5}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $\dfrac{3}{5}$ de $250$ km font $\dfrac{3 \times 250}{5} = 150$ km, et non $100$ km.
[/solution]
[/etape]