Vrai/Faux : Inéquations du premier degré

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les inéquations du premier degré, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si $3x > 12$, alors $x > 4$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On divise les deux membres par $3$, qui est un nombre positif.
Le sens de l'inégalité est donc conservé : $x > \dfrac{12}{3}$, soit $x > 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Quand on divise les deux membres d'une inégalité par un nombre positif, le sens est conservé.
Ici on divise par $3 > 0$ : $x > \dfrac{12}{3} = 4$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. On divise par $3 > 0$, le sens est conservé : $x > 4$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $-2x > 6$, alors $x > -3$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On divise les deux membres par $-2$, qui est un nombre négatif.
Le sens de l'inégalité doit être inversé : $x < \dfrac{6}{-2}$, soit $x < -3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur classique est d'oublier d'inverser le sens de l'inégalité quand on divise par un nombre négatif.
On divise par $-2 < 0$, donc le sens change : $x < -3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. On divise par $-2 < 0$, il faut inverser le sens : $x < -3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $x = 0$ est solution de l'inéquation $2x + 1 > 0$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On remplace $x$ par $0$ dans l'expression : $2 \times 0 + 1 = 1$.
Comme $1 > 0$, l'inégalité est bien vérifiée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour vérifier, on remplace $x$ par $0$ : $2 \times 0 + 1 = 1$.
Or $1 > 0$, donc $x = 0$ est bien solution de cette inéquation.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. En remplaçant $x$ par $0$ : $2 \times 0 + 1 = 1 > 0$, l'inégalité est vérifiée.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : En multipliant les deux membres d'une inégalité par $-1$, le sens est conservé.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Quand on multiplie (ou divise) les deux membres d'une inégalité par un nombre négatif, on doit inverser le sens.
Par exemple, $3 < 5$ mais $-3 > -5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
C'est une règle fondamentale : multiplier par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.
Par exemple, $3 < 5$ mais $3 \times (-1) > 5 \times (-1)$, c'est-à-dire $-3 > -5$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Multiplier par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'inéquation $x + 5 \leqslant 3$ a pour solutions tous les nombres inférieurs ou égaux à $-2$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On soustrait $5$ aux deux membres : $x \leqslant 3 - 5$, soit $x \leqslant -2$.
Les solutions sont donc bien tous les nombres inférieurs ou égaux à $-2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
On résout : $x + 5 \leqslant 3$, soit $x \leqslant 3 - 5 = -2$.
Les solutions sont tous les nombres $x$ tels que $x \leqslant -2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. On obtient $x \leqslant 3 - 5 = -2$, soit tous les nombres inférieurs ou égaux à $-2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Les solutions de $5x - 3 \geqslant 2$ sont $x \geqslant -\dfrac{1}{5}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On résout correctement : $5x - 3 \geqslant 2$, donc $5x \geqslant 2 + 3 = 5$, soit $x \geqslant 1$.
L'erreur vient d'un mauvais calcul : $2 - 3 = -1$ au lieu de $2 + 3 = 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur est de soustraire $3$ au lieu de l'ajouter quand on passe $-3$ de l'autre côté.
On a $5x \geqslant 2 + 3 = 5$, d'où $x \geqslant 1$ (et non $x \geqslant -\dfrac{1}{5}$).[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. On a $5x \geqslant 2 + 3 = 5$, donc $x \geqslant 1$, et non $x \geqslant -\dfrac{1}{5}$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux Bilan : Équations et inéquations

[enonce]
Ce vrai/faux bilan couvre l'ensemble du chapitre : équations, produit-nul, $\mathbf{x^2 = a}$ et inéquations. Pour chaque affirmation, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : L'équation $4x - 8 = 0$ a pour solution $x = -2$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On résout : $4x - 8 = 0$, donc $4x = 8$, soit $x = \dfrac{8}{4} = 2$.
La solution est $x = 2$ et non $x = -2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur est un mauvais signe lors de la résolution.
$4x = 8$, donc $x = 2$ (et non $-2$).
On peut vérifier : $4 \times (-2) - 8 = -16 \neq 0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $4x = 8$, donc $x = 2$, et non $x = -2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $(x - 1)(x + 1) = 0$ a les mêmes solutions que $x^2 - 1 = 0$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On développe : $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$.
Les deux équations sont donc identiques, avec les mêmes solutions : $x = 1$ ou $x = -1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'identité remarquable $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ donne $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$.
Les deux équations sont identiques et admettent les solutions $x = 1$ ou $x = -1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$ (identité remarquable), donc les deux équations ont les mêmes solutions : $x = 1$ ou $x = -1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $-5x \leqslant 15$, alors $x \leqslant -3$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On divise par $-5$, qui est négatif, donc on inverse le sens de l'inégalité.
$x \geqslant \dfrac{15}{-5}$, soit $x \geqslant -3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur classique est d'oublier d'inverser le sens de l'inégalité quand on divise par un nombre négatif.
On divise par $-5 < 0$, donc le sens change : $x \geqslant -3$ (et non $x \leqslant -3$).[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. On divise par $-5 < 0$, le sens s'inverse : $x \geqslant -3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $x = 2$ est solution à la fois de $3x - 1 = 5$ et de $x^2 = 4$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On vérifie pour $3x - 1 = 5$ : $3 \times 2 - 1 = 5$, c'est bien vérifié.
On vérifie pour $x^2 = 4$ : $2^2 = 4$, c'est aussi vérifié.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
On remplace $x$ par $2$ dans chaque équation.
$3 \times 2 - 1 = 6 - 1 = 5$ : la première équation est vérifiée.
$2^2 = 4$ : la seconde équation est aussi vérifiée.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $3 \times 2 - 1 = 5$ et $2^2 = 4$ : les deux équations sont vérifiées par $x = 2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $x^2 + 4 = 0$ admet deux solutions : $2$ et $-2$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On isole $x^2$ : $x^2 = -4$.
Or un carré est toujours positif ou nul, donc $x^2 = -4$ n'a aucune solution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur est de confondre $x^2 = 4$ (qui admet $2$ et $-2$) avec $x^2 = -4$.
Ici $x^2 = -4$, ce qui est impossible car un carré ne peut pas être négatif.
Cette équation n'a aucune solution.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $x^2 = -4$ est impossible (un carré est toujours positif ou nul), donc cette équation n'a aucune solution.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'inéquation $3 - x > 0$ a pour solutions tous les nombres strictement inférieurs à $3$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On résout : $3 - x > 0$, donc $-x > -3$.
En multipliant par $-1$ (on inverse le sens) : $x < 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
On résout l'inéquation : $3 - x > 0$, soit $-x > -3$.
En multipliant par $-1$, on inverse le sens : $x < 3$.
Les solutions sont bien tous les nombres strictement inférieurs à $3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $3 - x > 0$ donne $x < 3$, soit tous les nombres strictement inférieurs à $3$.
[/solution]
[/etape]

QCM : Inéquations du premier degré

[enonce]
Ce QCM porte sur la résolution d'inéquations du premier degré. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Résoudre $ 3x + 5 > 14 $.
[qcm]
[option correct="true"]$ x > 3 $[/option]
[option]$ x > 9 $[/option]
[option]$ x < 3 $[/option]
[option]$ x > \dfrac{19}{3} $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On isole $ x $ :
$ 3x > 14 - 5 $
$ 3x > 9 $
$ x > 3 $.
Le coefficient de $ x $ est positif, le sens est conservé.[/reponse]
[reponse motif="$ x > 9 $"]Non.
On a $ 3x > 9 $, mais il faut encore diviser par $ 3 $.
$ x > \dfrac{9}{3} $, donc $ x > 3 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x < 3 $"]Non.
On divise par $ 3 $ qui est positif, donc le sens de l'inégalité est conservé (pas d'inversion).
$ 3x > 9 $, donc $ x > 3 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x > \dfrac{19}{3} $"]Non.
En passant $ +5 $ à droite, il change de signe : on calcule $ 14 - 5 = 9 $ et non $ 14 + 5 = 19 $.
$ 3x > 9 $, donc $ x > 3 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$ 3x > 14 - 5 $, soit $ 3x > 9 $, donc $ x > 3 $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre $ -2x > 8 $.
[qcm]
[option]$ x > -4 $[/option]
[option]$ x > 4 $[/option]
[option correct="true"]$ x < -4 $[/option]
[option]$ x < 4 $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On divise par $ -2 $. Comme $ -2 $ est négatif, on inverse le sens de l'inégalité :
$ x < \dfrac{8}{-2} $
$ x < -4 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x > -4 $"]Non.
Quand on divise par un nombre négatif, on inverse le sens de l'inégalité : $ > $ devient $ < $.
$ -2x > 8 $ donne $ x < -4 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x > 4 $"]Non.
Le coefficient de $ x $ est $ -2 $ (négatif), il faut en tenir compte dans la division.
$ \dfrac{8}{-2} = -4 $, et on inverse le sens : $ x < -4 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x < 4 $"]Non.
La division de $ 8 $ par $ -2 $ donne $ -4 $, pas $ 4 $.
$ x < -4 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On divise par $ -2 $ (négatif), on inverse le sens : $ x < -4 $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre $ 5 - 3x \leqslant 14 $.
[qcm]
[option]$ x \leqslant -3 $[/option]
[option correct="true"]$ x \geqslant -3 $[/option]
[option]$ x \geqslant 3 $[/option]
[option]$ x \leqslant 3 $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On isole $ x $ :
$ -3x \leqslant 14 - 5 $
$ -3x \leqslant 9 $
On divise par $ -3 $ (négatif), on inverse le sens :
$ x \geqslant -3 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x \leqslant -3 $"]Non.
On divise par $ -3 $ qui est négatif, donc on inverse le sens de l'inégalité.
$ -3x \leqslant 9 $ donne $ x \geqslant -3 $ (et non $ x \leqslant -3 $).[/reponse]
[reponse motif="$ x \geqslant 3 $"]Non.
La division de $ 9 $ par $ -3 $ donne $ -3 $, pas $ 3 $.
$ x \geqslant -3 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x \leqslant 3 $"]Non.
Deux erreurs se combinent ici. On divise par $ -3 $ (négatif), on inverse le sens, et $ \dfrac{9}{-3} = -3 $.
$ x \geqslant -3 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$ -3x \leqslant 9 $. On divise par $ -3 $ (négatif) et on inverse : $ x \geqslant -3 $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre $ 4x - 7 < 2x + 3 $.
[qcm]
[option]$ x > 5 $[/option]
[option]$ x < -2 $[/option]
[option]$ x < 10 $[/option]
[option correct="true"]$ x < 5 $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On regroupe :
$ 4x - 2x < 3 + 7 $
$ 2x < 10 $
$ x < 5 $.
On divise par $ 2 $ (positif), le sens est conservé.[/reponse]
[reponse motif="$ x > 5 $"]Non.
On divise par $ 2 $ qui est positif, donc le sens de l'inégalité est conservé.
$ 2x < 10 $ donne $ x < 5 $ (et non $ x > 5 $).[/reponse]
[reponse motif="$ x < -2 $"]Non.
En passant $ -7 $ à droite, il change de signe : on calcule $ 3 + 7 = 10 $ et non $ 3 - 7 = -4 $.
$ 2x < 10 $, donc $ x < 5 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x < 10 $"]Non.
On a $ 2x < 10 $, mais il faut encore diviser par $ 2 $.
$ x < \dfrac{10}{2} = 5 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$ 4x - 2x < 3 + 7 $, soit $ 2x < 10 $, donc $ x < 5 $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre $ 2 - 4x \geqslant 10 $.
[qcm]
[option]$ x \geqslant -2 $[/option]
[option correct="true"]$ x \leqslant -2 $[/option]
[option]$ x \leqslant 2 $[/option]
[option]$ x \geqslant 2 $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On isole $ x $ :
$ -4x \geqslant 10 - 2 $
$ -4x \geqslant 8 $
On divise par $ -4 $ (négatif), on inverse le sens :
$ x \leqslant -2 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x \geqslant -2 $"]Non.
On divise par $ -4 $ qui est négatif, donc on inverse le sens de l'inégalité.
$ -4x \geqslant 8 $ donne $ x \leqslant -2 $ (et non $ x \geqslant -2 $).[/reponse]
[reponse motif="$ x \leqslant 2 $"]Non.
La division de $ 8 $ par $ -4 $ donne $ -2 $, pas $ 2 $.
$ x \leqslant -2 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x \geqslant 2 $"]Non.
Deux erreurs se combinent ici. On divise par $ -4 $ (négatif), on inverse le sens, et $ \dfrac{8}{-4} = -2 $.
$ x \leqslant -2 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$ -4x \geqslant 8 $. On divise par $ -4 $ (négatif) et on inverse : $ x \leqslant -2 $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre $ 3(x - 1) > 5x + 3 $.
[qcm]
[option]$ x > -3 $[/option]
[option correct="true"]$ x < -3 $[/option]
[option]$ x < 3 $[/option]
[option]$ x > 3 $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On développe et on regroupe :
$ 3x - 3 > 5x + 3 $
$ 3x - 5x > 3 + 3 $
$ -2x > 6 $
On divise par $ -2 $ (négatif), on inverse le sens :
$ x < -3 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x > -3 $"]Non.
On divise par $ -2 $ qui est négatif, donc on inverse le sens de l'inégalité.
$ -2x > 6 $ donne $ x < -3 $ (et non $ x > -3 $).[/reponse]
[reponse motif="$ x < 3 $"]Non.
La division de $ 6 $ par $ -2 $ donne $ -3 $, pas $ 3 $.
$ x < -3 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x > 3 $"]Non.
Deux erreurs se combinent ici. On divise par $ -2 $ (négatif), on inverse le sens, et $ \dfrac{6}{-2} = -3 $.
$ x < -3 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$ 3x - 3 > 5x + 3 $ donne $ -2x > 6 $. On divise par $ -2 $ et on inverse : $ x < -3 $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM Bilan : Équations et inéquations

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : équations du premier degré, produit-nul, $\mathbf{x^2 = a}$ et inéquations. Choisir la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Résoudre $ 2x + 9 = 5x $.
[qcm]
[option correct="true"]$ x = 3 $[/option]
[option]$ x = -3 $[/option]
[option]$ x = 9 $[/option]
[option]$ x = \dfrac{9}{7} $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On regroupe les termes en $ x $ :
$ 9 = 5x - 2x $
$ 9 = 3x $
$ x = 3 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = -3 $"]Non.
Le signe est incorrect. On a $ 3x = 9 $, donc $ x = \dfrac{9}{3} = 3 $ (positif).[/reponse]
[reponse motif="$ x = 9 $"]Non.
On a $ 3x = 9 $, mais il faut encore diviser par $ 3 $.
$ x = \dfrac{9}{3} = 3 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = \dfrac{9}{7} $"]Non.
On soustrait les coefficients de $ x $ ($ 5x - 2x = 3x $), on ne les additionne pas ($ 5 + 2 = 7 $).
$ 3x = 9 $, donc $ x = 3 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$ 9 = 3x $, donc $ x = 3 $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre $ (x + 2)(3x - 9) = 0 $.
[qcm]
[option]$ x = 2 $ ou $ x = 3 $[/option]
[option]$ x = -2 $ ou $ x = 9 $[/option]
[option]$ x = -2 $ ou $ x = -3 $[/option]
[option correct="true"]$ x = -2 $ ou $ x = 3 $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On applique la propriété du produit nul :
$ x + 2 = 0 $ donne $ x = -2 $.
$ 3x - 9 = 0 $ donne $ 3x = 9 $, soit $ x = 3 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 2 $ ou $ x = 3 $"]Non.
Pour $ x + 2 = 0 $, on obtient $ x = -2 $ et non $ x = 2 $.
Les solutions sont $ -2 $ et $ 3 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = -2 $ ou $ x = 9 $"]Non.
Pour $ 3x - 9 = 0 $, on a $ 3x = 9 $. Il faut diviser par $ 3 $ : $ x = 3 $ et non $ 9 $.
Les solutions sont $ -2 $ et $ 3 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = -2 $ ou $ x = -3 $"]Non.
Pour $ 3x - 9 = 0 $, on obtient $ 3x = 9 $, donc $ x = 3 $ (positif, pas $ -3 $).
Les solutions sont $ -2 $ et $ 3 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$ x + 2 = 0 $ donne $ x = -2 $ et $ 3x - 9 = 0 $ donne $ x = 3 $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre $ x^2 = 36 $.
[qcm]
[option]$ x = 6 $[/option]
[option]$ x = 18 $[/option]
[option correct="true"]$ x = 6 $ ou $ x = -6 $[/option]
[option]$ x = 36 $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$ 36 > 0 $, donc l'équation admet deux solutions opposées :
$ x = \sqrt{36} = 6 $ et $ x = -\sqrt{36} = -6 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 6 $"]Non.
Il ne faut pas oublier la solution négative : $ (-6)^2 = 36 $ aussi.
Les solutions sont $ 6 $ et $ -6 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 18 $"]Non.
On cherche la racine carrée de $ 36 $, pas la moitié.
$ \sqrt{36} = 6 $, donc les solutions sont $ 6 $ et $ -6 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 36 $"]Non.
Il ne faut pas confondre $ x^2 = 36 $ et $ x = 36 $. On cherche le nombre dont le carré vaut $ 36 $.
$ \sqrt{36} = 6 $, donc les solutions sont $ 6 $ et $ -6 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$ x^2 = 36 $ admet deux solutions : $ x = 6 $ et $ x = -6 $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre $ -3x + 4 \leqslant 13 $.
[qcm]
[option]$ x \leqslant -3 $[/option]
[option correct="true"]$ x \geqslant -3 $[/option]
[option]$ x \geqslant 3 $[/option]
[option]$ x \leqslant 3 $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On isole $ x $ :
$ -3x \leqslant 13 - 4 $
$ -3x \leqslant 9 $
On divise par $ -3 $ (négatif), on inverse le sens :
$ x \geqslant -3 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x \leqslant -3 $"]Non.
On divise par $ -3 $ qui est négatif, donc on inverse le sens de l'inégalité.
$ -3x \leqslant 9 $ donne $ x \geqslant -3 $ (et non $ x \leqslant -3 $).[/reponse]
[reponse motif="$ x \geqslant 3 $"]Non.
La division de $ 9 $ par $ -3 $ donne $ -3 $, pas $ 3 $.
$ x \geqslant -3 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x \leqslant 3 $"]Non.
Deux erreurs se combinent ici. On divise par $ -3 $ (négatif), on inverse le sens, et $ \dfrac{9}{-3} = -3 $.
$ x \geqslant -3 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$ -3x \leqslant 9 $. On divise par $ -3 $ (négatif) et on inverse : $ x \geqslant -3 $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre $ x^2 - 9 = 0 $.
[qcm]
[option]$ x = 3 $[/option]
[option]Aucune solution[/option]
[option]$ x = 9 $ ou $ x = -9 $[/option]
[option correct="true"]$ x = 3 $ ou $ x = -3 $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On réécrit : $ x^2 = 9 $.
$ \sqrt{9} = 3 $, donc les solutions sont $ 3 $ et $ -3 $.
On peut aussi factoriser : $ (x - 3)(x + 3) = 0 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 3 $"]Non.
Il ne faut pas oublier la solution négative : $ (-3)^2 = 9 $ aussi.
Les solutions sont $ 3 $ et $ -3 $.[/reponse]
[reponse motif="Aucune solution"]Non.
Il ne faut pas confondre $ x^2 - 9 = 0 $ (soit $ x^2 = 9 $) avec $ x^2 = -9 $.
$ x^2 = 9 $ admet deux solutions : $ 3 $ et $ -3 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 9 $ ou $ x = -9 $"]Non.
On cherche les nombres dont le carré vaut $ 9 $, il faut prendre la racine carrée.
$ \sqrt{9} = 3 $, donc les solutions sont $ 3 $ et $ -3 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$ x^2 = 9 $ admet deux solutions : $ x = 3 $ et $ x = -3 $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre $ 2(x - 3) > 4x + 2 $.
[qcm]
[option]$ x > -4 $[/option]
[option]$ x < 4 $[/option]
[option]$ x > 4 $[/option]
[option correct="true"]$ x < -4 $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On développe et on regroupe :
$ 2x - 6 > 4x + 2 $
$ 2x - 4x > 2 + 6 $
$ -2x > 8 $
On divise par $ -2 $ (négatif), on inverse le sens :
$ x < -4 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x > -4 $"]Non.
On divise par $ -2 $ qui est négatif, donc on inverse le sens de l'inégalité.
$ -2x > 8 $ donne $ x < -4 $ (et non $ x > -4 $).[/reponse]
[reponse motif="$ x < 4 $"]Non.
La division de $ 8 $ par $ -2 $ donne $ -4 $, pas $ 4 $.
$ x < -4 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x > 4 $"]Non.
Deux erreurs se combinent ici. On divise par $ -2 $ (négatif), on inverse le sens, et $ \dfrac{8}{-2} = -4 $.
$ x < -4 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$ 2x - 6 > 4x + 2 $ donne $ -2x > 8 $. On divise par $ -2 $ et on inverse : $ x < -4 $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Résolution d’inéquations du premier degré

Résoudre chacune des inéquations suivantes et décrire l'ensemble des solutions par une phrase.

$ 3x + 5 \leqslant 20 $
$ 7 - 4x > 3 $
$ 2x + 1 \geqslant 5x - 8 $
$ 3(x - 2) < x + 10 $

Corrigé

Résolvons $ 3x + 5 \leqslant 20 $.

On isole les termes en $ x $ :
$3x \leqslant 20 - 5$
$3x \leqslant 15$

On divise par $ 3 $ (positif, le sens est conservé) :
$x \leqslant 5$

Les solutions sont tous les nombres inférieurs ou égaux à $ 5 $.
Résolvons $ 7 - 4x > 3 $.

On isole les termes en $ x $ :
$-4x > 3 - 7$
$-4x > -4$

On divise par $ -4 $ (négatif, on inverse le sens) :
$x < 1$

Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à $ 1 $.
Résolvons $ 2x + 1 \geqslant 5x - 8 $.

On regroupe :
$2x - 5x \geqslant -8 - 1$
$-3x \geqslant -9$

On divise par $ -3 $ (négatif, on inverse le sens) :
$x \leqslant 3$

Les solutions sont tous les nombres inférieurs ou égaux à $ 3 $.
Résolvons $ 3(x - 2) < x + 10 $.

On développe :
$3x - 6 < x + 10$

On regroupe :
$3x - x < 10 + 6$
$2x < 16$

On divise par $ 2 $ (positif, le sens est conservé) :
$x < 8$

Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à $ 8 $.

Pour réviser : Résoudre une inéquation du premier degré