[enonce]
Ce QCM porte sur la résolution d'équations et d'inéquations faisant intervenir le logarithme népérien, ainsi que sur la détermination de l'ensemble de définition d'expressions contenant $\ln$. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
L'ensemble de définition de la fonction $f$ donnée par $f(x) = \ln(2x - 6)$ est :
[qcm]
[option]$\mathbb{R}$[/option]
[option]$\left[3\,;\,+\infty\right[$[/option]
[option correct="true"]$\left]3\,;\,+\infty\right[$[/option]
[option]$\left]-\infty\,;\,3\right[$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La condition d'existence est $2x - 6 > 0$, soit $x > 3$. L'ensemble de définition est donc l'intervalle ouvert $\left]3\,;\,+\infty\right[$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{R}$"]Non.
$\ln$ n'est pas définie partout : il faut imposer une condition sur l'argument du logarithme avant de conclure.[/reponse]
[reponse motif="$\left[3\,;\,+\infty\right[$"]Pas tout à fait.
La condition $2x - 6 > 0$ est stricte, car $\ln(0)$ n'existe pas. Vérifier si la borne $3$ doit être incluse ou exclue.[/reponse]
[reponse motif="$\left]-\infty\,;\,3\right[$"]Non.
Le sens de l'inégalité $2x - 6 > 0$ a été inversé. Reprendre la résolution de cette inéquation pour trouver le bon sens.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Imposer la condition d'existence : l'argument du $\ln$ doit être strictement positif, puis résoudre cette inéquation.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La solution de l'équation $\ln(x) = -1$ est :
[qcm]
[option]$x = -e$[/option]
[option correct="true"]$x = e^{-1}$[/option]
[option]pas de solution[/option]
[option]$x = 1 - e$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\ln(x) = -1 \Leftrightarrow x = e^{-1}$ en appliquant l'exponentielle. Cette valeur est bien strictement positive, donc dans le domaine de $\ln$.[/reponse]
[reponse motif="$x = -e$"]Non.
Un nombre négatif ne peut pas être solution car le domaine de $\ln$ ne contient que des réels strictement positifs.[/reponse]
[reponse motif="pas de solution"]Non.
$\ln$ prend toutes les valeurs réelles, négatives comprises, lorsque $x$ varie dans $\left]0\,;\,+\infty\right[$. Il existe bien une valeur de $x$ qui convient.[/reponse]
[reponse motif="$x = 1 - e$"]Non.
$1 - e$ est négatif (car $e > 1$), donc hors du domaine de $\ln$. Reprendre la résolution en appliquant $\exp$ aux deux membres.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour résoudre $\ln(x) = a$, appliquer l'exponentielle aux deux membres : $x = e^a$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La solution de l'équation $\ln(2x + 1) = \ln(x + 5)$ est :
[qcm]
[option]$x = -1$[/option]
[option]$x = 6$[/option]
[option correct="true"]$x = 4$[/option]
[option]$x = -4$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$\ln$ étant strictement croissante (donc injective), $\ln(2x+1) = \ln(x+5) \Leftrightarrow 2x + 1 = x + 5 \Leftrightarrow x = 4$. On vérifie que $2 \times 4 + 1 = 9 > 0$ et $4 + 5 = 9 > 0$, donc $x = 4$ est bien dans le domaine.[/reponse]
[reponse motif="$x = -1$"]Non.
Une valeur négative obtenue par erreur de calcul. Reprendre l'équation $2x + 1 = x + 5$ et résoudre proprement.[/reponse]
[reponse motif="$x = 6$"]Non.
Erreur dans la résolution de l'équation linéaire. Bien isoler le terme en $x$ d'un côté et les constantes de l'autre.[/reponse]
[reponse motif="$x = -4$"]Non.
Erreur de signe lors de la résolution. De plus, $2 \times (-4) + 1 = -7 < 0$, donc cette valeur ne pourrait pas être dans le domaine de $\ln$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\ln$ étant injective, l'équation $\ln(A) = \ln(B)$ équivaut à $A = B$ (avec les conditions d'existence).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La solution de l'équation $\ln(x) + \ln(x - 2) = \ln(3)$ est :
[qcm]
[option correct="true"]$x = 3$[/option]
[option]$x = -1$[/option]
[option]$x = -1$ et $x = 3$[/option]
[option]$x = 5$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le domaine impose $x > 0$ et $x - 2 > 0$, soit $x > 2$. L'équation devient $\ln\!\left(x(x-2)\right) = \ln(3)$, soit $x^2 - 2x - 3 = 0$. Les racines sont $-1$ et $3$, mais seule $x = 3$ appartient au domaine $\left]2\,;\,+\infty\right[$.[/reponse]
[reponse motif="$x = -1$"]Non.
$x = -1$ ne respecte pas la condition d'existence du logarithme. Toujours vérifier le domaine après résolution algébrique.[/reponse]
[reponse motif="$x = -1$ et $x = 3$"]Non.
Les deux valeurs sortent bien de l'équation polynomiale, mais l'une d'elles ne respecte pas le domaine de définition. La conclusion finale doit éliminer cette valeur.[/reponse]
[reponse motif="$x = 5$"]Non.
Une somme $\ln(x) + \ln(x-2)$ ne se transforme pas en $\ln$ d'une somme $x + (x-2)$. Utiliser la propriété correcte des logarithmes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier d'abord le domaine, puis utiliser $\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)$ et l'injectivité de $\ln$. Vérifier enfin que les solutions trouvées appartiennent au domaine.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
L'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln(x) > 0$ est :
[qcm]
[option]$x > 0$[/option]
[option correct="true"]$x > 1$[/option]
[option]$x \geqslant 0$[/option]
[option]$x \geqslant 1$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\ln$ étant strictement croissante et $\ln(1) = 0$, on a $\ln(x) > 0 \Leftrightarrow \ln(x) > \ln(1) \Leftrightarrow x > 1$.[/reponse]
[reponse motif="$x > 0$"]Non.
$x > 0$ correspond seulement au domaine de définition. Comparer $\ln(x)$ avec une valeur particulière de référence.[/reponse]
[reponse motif="$x \geqslant 0$"]Non.
$\ln(0)$ n'existe pas, donc $0$ n'est pas une solution. De plus, l'inégalité doit être stricte pour respecter $\ln(x) > 0$ (et non $\geqslant$).[/reponse]
[reponse motif="$x \geqslant 1$"]Pas tout à fait.
Pour $x = 1$, on aurait $\ln(1) = 0$, ce qui ne vérifie pas l'inégalité stricte $\ln(x) > 0$. La borne doit être exclue.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Comparer $\ln(x)$ et $\ln(1) = 0$, puis utiliser la stricte croissance de $\ln$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
L'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln(x - 1) < \ln(2)$ est :
[qcm]
[option]$x < 2$[/option]
[option]$x > 3$[/option]
[option correct="true"]$1 < x < 3$[/option]
[option]$x < 3$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le domaine impose $x - 1 > 0$, soit $x > 1$. Par stricte croissance de $\ln$, l'inéquation équivaut à $x - 1 < 2$, soit $x < 3$. Les solutions sont les réels vérifiant les deux conditions : $1 < x < 3$.[/reponse]
[reponse motif="$x < 2$"]Non.
Bien appliquer la stricte croissance de $\ln$ : $\ln(A) < \ln(B) \Leftrightarrow A < B$. Ici $A = x - 1$ et $B = 2$, donc l'inégalité porte sur $x - 1$, pas sur $x$ directement.[/reponse]
[reponse motif="$x > 3$"]Non.
Le sens de l'inégalité a été inversé. $\ln$ étant strictement croissante, l'inégalité conserve son sens lorsqu'on enlève les $\ln$.[/reponse]
[reponse motif="$x < 3$"]Pas tout à fait.
La résolution algébrique est correcte, mais la condition d'existence du logarithme a été oubliée. Vérifier que tous les $x < 3$ rendent bien $\ln(x-1)$ défini.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Établir d'abord la condition d'existence ($x - 1 > 0$), puis utiliser la stricte croissance de $\ln$ pour transformer l'inéquation.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
On considère l'équation $(E)$ : $\ln(x) = -1$.

Affirmation : L'équation $(E)$ n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\ln(x) = -1 \Leftrightarrow x = \mathrm{e}^{-1} = \dfrac{1}{\mathrm{e}}$.
L'équation admet une solution : $S = \left\{\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right\}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au réflexe de croire que $\ln(x) = -1$ est impossible car un logarithme « ne peut pas être négatif » : en réalité, $\ln(x) < 0$ pour tout $x \in ]0~;~1[$.
$\ln(x) = -1 \Leftrightarrow x = \mathrm{e}^{-1} = \dfrac{1}{\mathrm{e}}$.
L'équation a bien une solution dans $\mathbb{R}^+$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
$\ln(x) = -1 \Leftrightarrow x = \mathrm{e}^{-1} = \dfrac{1}{\mathrm{e}}$ : la solution existe et est positive.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit l'inéquation $\ln(1 + x^2) \geqslant 0$.

Affirmation : L'ensemble des solutions est $S = \mathbb{R}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$1 + x^2 > 0$ pour tout réel $x$, donc $\ln(1+x^2)$ est défini sur $\mathbb{R}$.

Cette dernière inégalité est vraie pour tout $x \in \mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est de penser que $\ln$ n'est pas défini sur tout $\mathbb{R}$ et de restreindre l'ensemble de solutions : ici $1 + x^2 \geqslant 1 > 0$ pour tout $x$, donc le domaine est bien $\mathbb{R}$.
$\ln(1+x^2) \geqslant 0 \Leftrightarrow 1+x^2 \geqslant \mathrm{e}^0 = 1 \Leftrightarrow x^2 \geqslant 0$, vrai pour tout $x \in \mathbb{R}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$1 + x^2 \geqslant 1 > 0$ pour tout réel $x$ : l'inéquation est vérifiée sur tout $\mathbb{R}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère l'inéquation $\ln(x^2 + 3x) < 2\ln 2$.

Affirmation : L'ensemble des solutions est $S = \left]-4~;~1\right[$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$x^2+3x = x(x+3)$ est strictement positif sur $\mathscr{D} = \left]-\infty~;~-3\right[\cup\left]0~;~+\infty\right[$ uniquement.
Sur $\mathscr{D}$, $\ln(x^2+3x) < 2\ln 2 \Leftrightarrow x \in \left]-4~;~1\right[$.
En intersectant avec $\mathscr{D}$ : $S = \left]-4~;~-3\right[\cup\left]0~;~1\right[$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : il faut déterminer le domaine de définition de $\ln(x^2+3x)$ avant de résoudre : $x^2+3x > 0$ exige $x < -3$ ou $x > 0$, et l'intervalle $]-3~;~0[$ est à exclure.
L'ensemble de définition est $\mathscr{D} = \left]-\infty~;~-3\right[\cup\left]0~;~+\infty\right[$.
En tenant compte de $\mathscr{D}$, la solution est $S = \left]-4~;~-3\right[\cup\left]0~;~1\right[$, pas $\left]-4~;~1\right[$ tout entier.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
$x^2+3x > 0$ seulement pour $x < -3$ ou $x > 0$, donc $S = \left]-4~;~-3\right[\cup\left]0~;~1\right[$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit l'équation $\mathrm{e}^{2x} - 3\mathrm{e}^{x} + 2 = 0$.

Affirmation : L'ensemble des solutions est $S = \{0~;~\ln 2\}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On pose $X = \mathrm{e}^x$ : l'équation devient $X^2 - 3X + 2 = 0$, de solutions $X_1 = 1$ et $X_2 = 2$.
$\mathrm{e}^x = 1 \Rightarrow x = 0$ et $\mathrm{e}^x = 2 \Rightarrow x = \ln 2$.
Donc $S = \{0~;~\ln 2\}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège consiste à ne pas reconnaître l'équation comme une équation du second degré en $\mathrm{e}^x$ et à essayer de factoriser directement sans le changement de variable.
Changement de variable $X = \mathrm{e}^x$ : $X^2 - 3X + 2 = 0$ donne $X = 1$ ou $X = 2$, soit $x = 0$ ou $x = \ln 2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
Avec $X = \mathrm{e}^x$ : $X^2 - 3X + 2 = 0$ donne $X = 1$ ou $X = 2$, soit $x = 0$ ou $x = \ln 2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère l'équation $(E)$ : $x\ln(x) = 0$.

Affirmation : Dans $\mathbb{R}$, l'ensemble des solutions de $(E)$ est $S = \{0~;~1\}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\ln(x)$ n'est défini que pour $x > 0$, donc $0$ n'est pas solution.
La seule solution est $x = 1$ (qui annule $\ln(x)$) : $S = \{1\}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : inclure $x = 0$ comme solution en pensant que $0 \times \ln(0) = 0$ : mais $\ln(0)$ n'est pas défini, donc $x = 0$ n'appartient pas au domaine de définition.
$\ln(x)$ exige $x > 0$, donc $0 \notin S$.
En résolvant sur $\mathbb{R}^+$ : $x\ln(x)=0 \Leftrightarrow x = 1$, d'où $S = \{1\}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
$\ln$ n'est pas défini en $0$ : la seule solution est $x = 1$, donc $S = \{1\}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'ensemble des solutions de $\ln(x+1) \leqslant 1$ est $S = \left]-\infty~;~\mathrm{e}-1\right]$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\ln(x+1)$ est défini sur $\left]-1~;~+\infty\right[$.
Sur cet ensemble : $\ln(x+1) \leqslant 1 \Leftrightarrow x+1 \leqslant \mathrm{e} \Leftrightarrow x \leqslant \mathrm{e}-1$.
En intersectant avec le domaine : $S = \left]-1~;~\mathrm{e}-1\right]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le point délicat est de croiser l'ensemble solution avec le domaine de définition de $\ln(x+1)$, qui exige $x + 1 > 0$, soit $x > -1$.
Le domaine de définition est $\left]-1~;~+\infty\right[$.
L'inéquation donne $x \leqslant \mathrm{e}-1$, mais en tenant compte du domaine : $S = \left]-1~;~\mathrm{e}-1\right]$, et non $\left]-\infty~;~\mathrm{e}-1\right]$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
Le domaine exige $x > -1$, donc $S = \left]-1~;~\mathrm{e}-1\right]$ et non $\left]-\infty~;~\mathrm{e}-1\right]$.
[/solution]
[/etape]