QCM : Équation produit

[enonce]
Ce QCM porte sur les équations produit et la factorisation. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Quel est l'ensemble des solutions de l'équation $(x-3)(x+5)=0$ ?
[qcm]
[option]$S=\{-3\,;\,5\}$[/option]
[option correct="true"]$S=\{3\,;\,-5\}$[/option]
[option]$S=\{3\,;\,5\}$[/option]
[option]$S=\{15\}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. Donc $x-3=0$ ou $x+5=0$, ce qui donne $x=3$ ou $x=-5$.[/reponse]
[reponse motif="$S=\{-3\,;\,5\}$"]Non.
Les signes sont inversés. Résoudre $x-3=0$ donne $x=3$ (et non $x=-3$) : on isole $x$ en ajoutant $3$ de chaque côté.[/reponse]
[reponse motif="$S=\{3\,;\,5\}$"]Non.
Attention au deuxième facteur : résoudre $x+5=0$ donne $x=-5$, pas $x=5$. Il faut soustraire $5$ de chaque côté.[/reponse]
[reponse motif="$S=\{15\}$"]Non.
Il ne s'agit pas de développer puis d'isoler $x$. Utiliser la propriété du produit nul : $A\times B=0$ équivaut à $A=0$ ou $B=0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la propriété du produit nul : annuler séparément chacun des deux facteurs $(x-3)$ et $(x+5)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est l'ensemble des solutions de l'équation $x(x-4)=0$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$S=\{0\,;\,4\}$[/option]
[option]$S=\{4\}$[/option]
[option]$S=\{-4\,;\,0\}$[/option]
[option]$S=\{-4\}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le premier facteur est $x$ : il s'annule pour $x=0$. Le second facteur $x-4$ s'annule pour $x=4$. D'où $S=\{0\,;\,4\}$.[/reponse]
[reponse motif="$S=\{4\}$"]Non.
Il manque une solution. Le facteur $x$ (tout seul) s'annule aussi pour une certaine valeur : ne pas l'oublier.[/reponse]
[reponse motif="$S=\{-4\,;\,0\}$"]Non.
Le second facteur est $x-4$. Résoudre $x-4=0$ donne $x=4$, et non $x=-4$.[/reponse]
[reponse motif="$S=\{-4\}$"]Non.
Deux erreurs : le facteur $x$ seul donne aussi une solution, et $x-4=0$ donne $x=4$ et non $x=-4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le produit $x(x-4)$ a deux facteurs : $x$ et $x-4$. Les annuler séparément.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est l'ensemble des solutions de l'équation $x^2-9=0$ ?
[qcm]
[option]$S=\{9\,;\,-9\}$[/option]
[option]$S=\{3\}$[/option]
[option correct="true"]$S=\{3\,;\,-3\}$[/option]
[option]$S=\{0\,;\,9\}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On reconnaît l'identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, donc $x^2-9=(x-3)(x+3)$. L'équation devient $(x-3)(x+3)=0$, d'où $x=3$ ou $x=-3$.[/reponse]
[reponse motif="$S=\{9\,;\,-9\}$"]Non.
Confusion entre $x=a$ et $x^2=a$. Si $x^2=9$, alors $x$ vaut la racine carrée de $9$ (positive ou négative), pas $9$ lui-même.[/reponse]
[reponse motif="$S=\{3\}$"]Non.
Il manque une solution. Quand $a>0$, l'équation $x^2=a$ admet deux solutions opposées : penser aussi au nombre négatif.[/reponse]
[reponse motif="$S=\{0\,;\,9\}$"]Non.
L'équation $x^2-9=0$ n'est pas une équation produit sous sa forme actuelle. Il faut d'abord factoriser $x^2-9$ à l'aide d'une identité remarquable.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Factoriser d'abord $x^2-9$ avec l'identité $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, puis appliquer la règle du produit nul.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est l'ensemble des solutions de l'équation $(2x-6)(x+1)=0$ ?
[qcm]
[option]$S=\{-3\,;\,1\}$[/option]
[option]$S=\{6\,;\,-1\}$[/option]
[option correct="true"]$S=\{3\,;\,-1\}$[/option]
[option]$S=\{-6\,;\,1\}$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Le produit est nul si $2x-6=0$ ou $x+1=0$. D'où $2x=6$ donc $x=3$, et $x=-1$. L'ensemble des solutions est $S=\{3\,;\,-1\}$.[/reponse]
[reponse motif="$S=\{-3\,;\,1\}$"]Non.
Les signes sont inversés. Résoudre $2x-6=0$ donne $2x=6$, donc $x=3$ et non $x=-3$.[/reponse]
[reponse motif="$S=\{6\,;\,-1\}$"]Non.
L'équation $2x-6=0$ donne $2x=6$, il faut encore diviser par $2$ pour isoler $x$. La solution est $x=3$, pas $x=6$.[/reponse]
[reponse motif="$S=\{-6\,;\,1\}$"]Non.
Deux erreurs : il faut diviser par le coefficient de $x$ (ici $2$), et attention aux signes lors de l'isolement de $x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résoudre séparément $2x-6=0$ (attention au coefficient $2$) et $x+1=0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Parmi les équations suivantes, laquelle est une équation produit nul prête à être résolue directement ?
[qcm]
[option]$x^2+5=0$[/option]
[option]$(x-1)(x+2)=3$[/option]
[option correct="true"]$(x+2)(x-7)=0$[/option]
[option]$3x-6=0$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
Une équation produit nul est de la forme $A\times B=0$ où $A$ et $B$ sont des expressions. Ici $(x+2)(x-7)=0$ correspond exactement à cette forme.[/reponse]
[reponse motif="$x^2+5=0$"]Non.
$x^2+5$ est une somme et non un produit. Cette équation n'est pas sous la forme $A\times B=0$.[/reponse]
[reponse motif="$(x-1)(x+2)=3$"]Non.
Le second membre n'est pas $0$. La propriété du produit nul ne s'applique que si le produit est égal à zéro.[/reponse]
[reponse motif="$3x-6=0$"]Non.
C'est une équation du premier degré classique avec un seul terme en $x$, pas un produit de deux facteurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une équation produit nul a la forme $A\times B=0$ : un produit de deux expressions égal à zéro.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est l'ensemble des solutions de l'équation $x^2=25$ ?
[qcm]
[option]$S=\{5\}$[/option]
[option]$S=\{25\,;\,-25\}$[/option]
[option]$S=\{12{,}5\,;\,-12{,}5\}$[/option]
[option correct="true"]$S=\{5\,;\,-5\}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
Comme $25>0$, l'équation $x^2=25$ admet deux solutions opposées : $x=\sqrt{25}=5$ et $x=-\sqrt{25}=-5$.[/reponse]
[reponse motif="$S=\{5\}$"]Non.
Il manque une solution. Tout nombre et son opposé ont le même carré : penser à vérifier si un nombre négatif convient aussi.[/reponse]
[reponse motif="$S=\{25\,;\,-25\}$"]Non.
Confusion entre $x$ et $x^2$. Si $x^2=25$, alors $x$ est un nombre dont le carré vaut $25$, pas $25$ lui-même.[/reponse]
[reponse motif="$S=\{12{,}5\,;\,-12{,}5\}$"]Non.
Il ne s'agit pas de diviser par $2$. L'équation demande un nombre dont le carré (le produit par lui-même) vaut $25$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la propriété : si $a>0$, l'équation $x^2=a$ admet deux solutions opposées $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Équations

[enonce]
Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $2 + \sqrt{2}$ est une solution de l'équation $x^2 - 4x + 2 = 0$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
En substituant $x = 2 + \sqrt{2}$ : $(2+\sqrt{2})^2 - 4(2+\sqrt{2}) + 2 = 4 + 4\sqrt{2} + 2 - 8 - 4\sqrt{2} + 2 = 0$. C'est bien une solution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de ne pas développer correctement $(2+\sqrt{2})^2 = 4 + 4\sqrt{2} + 2$ en oubliant le terme croisé $2 \times 2 \times \sqrt{2}$.
$(2+\sqrt{2})^2 - 4(2+\sqrt{2}) + 2 = 4 + 4\sqrt{2} + 2 - 8 - 4\sqrt{2} + 2 = 0$ : la valeur vérifie l'équation.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. En substituant : $(2+\sqrt{2})^2 - 4(2+\sqrt{2}) + 2 = 4 + 4\sqrt{2} + 2 - 8 - 4\sqrt{2} + 2 = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'ensemble des solutions de l'équation $x^2 - x = 0$ est $S = \left\{ 0~;~1 \right\}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
En factorisant : $x^2 - x = x(x-1) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ ou $x = 1$. Donc $S = \left\{ 0~;~1 \right\}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de diviser par $x$ (en oubliant le cas $x = 0$) et de ne trouver que la solution $x = 1$.
$x^2 - x = x(x-1) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ ou $x-1 = 0$, soit $S = \left\{ 0~;~1 \right\}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. En factorisant : $x^2 - x = x(x-1) = 0$, d'où $x = 0$ ou $x = 1$. Donc $S = \{0 ; 1\}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $x^3 + x = 0$ possède trois solutions réelles.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
En factorisant : $x^3 + x = x(x^2+1) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ ou $x^2 = -1$. Or $x^2 \geqslant 0$ pour tout réel, donc $x^2 = -1$ est impossible. L'unique solution est $x = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de croire qu'une équation du troisième degré possède toujours trois solutions réelles, sans vérifier si toutes les équations issues de la factorisation admettent des solutions.
$x(x^2+1) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ ou $x^2 = -1$. Comme $x^2 \geqslant 0$, l'équation $x^2 = -1$ n'a pas de solution réelle. L'unique solution est $0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. En factorisant : $x^3 + x = x(x^2+1) = 0$. Comme $x^2 + 1 \geqslant 1 > 0$ pour tout réel, la seule solution est $x = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'ensemble des solutions de l'équation $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{4} = 13$ est $S = \left\{ 6 \right\}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
En réduisant au même dénominateur : $\dfrac{6x + 4x + 3x}{12} = 13 \Leftrightarrow \dfrac{13x}{12} = 13 \Leftrightarrow x = 12$. La solution est $12$, et non $6$ : l'affirmation est fausse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à bien réduire au même dénominateur avant de conclure : $\dfrac{x}{2} = \dfrac{6x}{12}$, $\dfrac{x}{3} = \dfrac{4x}{12}$, $\dfrac{x}{4} = \dfrac{3x}{12}$.
La somme vaut $\dfrac{13x}{12}$ et la résolution ne donne pas $6$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. En réduisant au même dénominateur $12$ : $\dfrac{13x}{12} = 13$, soit $x = 12$. L'ensemble des solutions est $S = \left\{ 12 \right\}$, et non $\left\{ 6 \right\}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $x^2 + 2x + 1 = 0$ possède une unique solution dans $\mathbb{R}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On reconnaît l'identité remarquable : $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 = 0 \Leftrightarrow x = -1$. L'unique solution est $-1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de ne pas reconnaître l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, et de croire que l'équation admet deux solutions ou aucune.
$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 = 0 \Leftrightarrow x+1 = 0 \Leftrightarrow x = -1$ : une seule solution.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. On reconnaît $(x+1)^2 = 0$, qui admet l'unique solution $x = -1$ (racine double).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $x(x+2) + 1 = (x+1)^2$ n'admet aucune solution dans $\mathbb{R}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
En développant les deux membres : $x^2 + 2x + 1 = x^2 + 2x + 1$. Cette égalité est vraie pour tout réel $x$, donc $S = \mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de ne développer qu'un seul membre et de conclure à l'absence de solution sans avoir simplifié les deux côtés.
En développant : $x(x+2)+1 = x^2+2x+1$ et $(x+1)^2 = x^2+2x+1$. Les deux membres sont identiques : l'équation est vraie pour tout réel, donc $S = \mathbb{R}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. En développant les deux membres : $x^2+2x+1 = x^2+2x+1$. L'égalité est vraie pour tout réel $x$ : l'ensemble des solutions est $S = \mathbb{R}$.
[/solution]
[/etape]

Inéquation et factorisation

Résoudre dans $ \mathbb{R} $ l'inéquation :

$ x^2 - 9 \geqslant (x - 3)(3x+7) $

Corrigé

Il faut surtout éviter de développer !
On aboutirait alors à une inéquation du second degré que l'on ne saurait pas résoudre (en Seconde....).
Il faut au contraire factoriser puis dresser un tableau de signes.

$ x^2 - 9 $ se factorise à l'aide de l'identité remarquable : $ a^2 - b^2=(a - b)(a+b) $ :
$ x^2 - 9 \geqslant (x - 3)(3x+7) \Leftrightarrow (x - 3)(x+3) \geqslant (x - 3)(3x+7) $
On « fait passer » le membre de droite dans le membre de gauche en soustrayant :
$ \phantom{x^2 - 9 \geqslant (x - 3)(3x+7)} \Leftrightarrow (x - 3)(x+3) - (x - 3)(3x+7)\geqslant 0 $
Enfin on met $ x - 3 $ en facteur :
$ \phantom{x^2 - 9 \geqslant (x - 3)(3x+7)} \Leftrightarrow (x - 3)\left[(x+3) - (3x+7)\right]\geqslant 0 $
$ \phantom{x^2 - 9 \geqslant (x - 3)(3x+7)} \Leftrightarrow (x - 3)\left(x+3 - 3x - 7\right)\geqslant 0 $
$ \phantom{x^2 - 9 \geqslant (x - 3)(3x+7)} \Leftrightarrow (x - 3)( - 2x - 4)\geqslant 0 $
On étudie ensuite le signe de chacun des facteurs :

$ x - 3=0 \Leftrightarrow x=3 $ et comme le coefficient directeur (égal à $ 1 $) est strictement positif, $ x - 3 $ est négatif pour $ x < 3 $ et positif pour $ x > 3 $.
$ - 2x - 4=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{4}{ - 2} \Leftrightarrow x= - 2 $ et comme le coefficient directeur (égal à $ - 2 $) est strictement négatif, $ - 2x - 4 $ est positif pour $ x < - 2 $ et négatif pour $ x > - 2 $.

On obtient alors le tableau de signes ci-dessous :

$ (x - 3)( - 2x - 4) $ est positif ou nul lorsque $ x $ est compris (au sens large) entre $ - 2 $ et $ 3 $.
L'ensemble des solutions est donc $ S= [ - 2 ; 3] $.
L'intervalle est fermé car l'égalité est « large » ($ \geqslant $).

Équations et factorisation

Résoudre dans $ \mathbb{R} $ :

$ x^{2} - 2x+1=\left(x - 1\right)\left(x+2\right) $
$ \left(x - 2\right)\left(1 - x^{2}\right) - \left(x - 1\right)\left(x^{2} - 4\right)=0 $
$ \dfrac{x+1}{2x - 5} - \dfrac{2x - 5}{x+1}=0 $ (on cherchera d'abord sur quel ensemble l'équation est définie)

Corrigé

$ x^{2} - 2x+1=\left(x - 1\right)\left(x+2\right) $
$ \left(x - 1\right)^{2}=\left(x - 1\right)\left(x+2\right) $ (identité remarquable)
$ \left(x - 1\right)^{2} - \left(x - 1\right)\left(x+2\right)=0 $
$ \left(x - 1\right)\left[\left(x - 1\right) - \left(x+2\right)\right]=0 $ (factorisation de $ \left(x - 1\right) $
$ - 3\left(x - 1\right)=0 $
$ x - 1=\dfrac{0}{ - 3} $
$ x - 1=0 $
$ x=1 $
L'ensemble des solutions est $ S=\left\{1\right\} $
$ \left(x - 2\right)\left(1 - x^{2}\right) - \left(x - 1\right)\left(x^{2} - 4\right)=0 $
$ \left(x - 2\right)\left(1 - x\right)\left(1+x\right) - \left(x - 1\right)\left(x - 2\right)\left(x+2\right)=0 $ (identités remarquables)
Comme $ - \left(x - 1\right)=1 - x $ :
$ \left(x - 2\right)\left(1 - x\right)\left(1+x\right)+\left(1 - x\right)\left(x - 2\right)\left(x+2\right)=0 $
$ \left(x - 2\right)\left(1 - x\right)\left[\left(1+x\right)+\left(x+2\right)\right]=0 $ (factorisation de $ \left(x - 2\right)\left(1 - x\right) $
$ \left(x - 2\right)\left(1 - x\right)\left(2x+3\right)=0 $
$ x - 2=0 $ ou $ 1 - x=0 $ ou $ 2x+3=0 $
$ x=2 $ ou $ x=1 $ ou $ x= - \dfrac{3}{2} $
L'ensemble des solutions est $ S=\left\{ - \dfrac{3}{2} ; 1 ; 2\right\} $
$ \dfrac{x+1}{2x - 5} - \dfrac{2x - 5}{x+1}=0 $
L'équation est définie si $ 2x - 5\neq 0 $ et $ x+1\neq 0 $ donc si $ x\neq \dfrac{5}{2} $ et $ x\neq - 1 $
On réduit ensuite au même dénominateur :
$ \dfrac{\left(x+1\right)^{2}}{\left(2x - 5\right)\left(x+1\right)} - \dfrac{\left(2x - 5\right)^{2}}{\left(2x - 5\right)\left(x+1\right)}=0 $
$ \dfrac{\left(x+1\right)^{2} - \left(2x - 5\right)^{2}}{\left(2x - 5\right)\left(x+1\right)}=0 $
Une fraction est nulle si et seulement son numérateur est nul :
$ \left(x+1\right)^{2} - \left(2x - 5\right)^{2}=0 $
$ \left[\left(x+1\right)+\left(2x - 5\right)\right]\left[\left(x+1\right) - \left(2x - 5\right)\right]=0 $ (identité remarquable du type $ a^{2} - b^{2} $)
$ \left(3x - 4\right)\left( - x+6\right)=0 $
$ 3x - 4=0 $ ou $ - x+6=0 $
$ x=\dfrac{4}{3} $ ou $ x=6 $
On vérifie bien que ces solutions ne correspondent pas à des valeurs « interdites ». Donc, l'ensemble des solutions est $ S=\left\{\dfrac{4}{3} ; 6\right\} $