[enonce]
On considère l'équation :

$ (2x + 3)^2 - (x - 1)^2 = 0 $

On cherche à résoudre cette équation sans développer les carrés.
[/enonce]

[etape]
L'expression $ (2x + 3)^2 - (x - 1)^2 $ est de la forme $ a^2 - b^2 $.

Identifier $ a $ et $ b $ :
[qcm]
[option correct="true"]$ a = 2x + 3 $ et $ b = x - 1 $[/option]
[option]$ a = 2x $ et $ b = x $[/option]
[option]$ a = (2x + 3)^2 $ et $ b = (x - 1)^2 $[/option]
[option]$ a = 4x^2 + 9 $ et $ b = x^2 - 1 $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On a $ (2x+3)^2 - (x-1)^2 $, donc $ a = 2x + 3 $ et $ b = x - 1 $.
L'identité donne $ (a - b)(a + b) $.[/reponse]
[reponse motif="$ a = 2x $ et $ b = x $"]Non.
Il faut prendre l'expression entière à l'intérieur du carré, pas seulement une partie.[/reponse]
[reponse motif="$ a = (2x + 3)^2 $ et $ b = (x - 1)^2 $"]Non.
Dans $ a^2 - b^2 $, les lettres $ a $ et $ b $ sont les expressions avant la mise au carré, pas les carrés eux-mêmes.[/reponse]
[reponse motif="$ a = 4x^2 + 9 $ et $ b = x^2 - 1 $"]Non.
Il ne faut pas développer les carrés. L'identité $ a^2 - b^2 $ s'applique directement avec les expressions sous les carrés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Chercher quelles expressions sont élevées au carré dans $ (2x+3)^2 - (x-1)^2 $.[/reponse]
[/qcm]
[solution]On identifie $ a = 2x + 3 $ et $ b = x - 1 $ dans la forme $ a^2 - b^2 $.[/solution]
[/etape]

[etape]
On applique $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $.

Calculer et réduire $ (2x + 3) - (x - 1) $ : [[amb]]
[math id="amb" attendu="x + 4" format="developpe"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$ (2x + 3) - (x - 1) = 2x + 3 - x + 1 = x + 4 $.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais l'expression doit être développée et réduite.[/reponse]
[reponse motif="x + 2"]Non.
Attention au signe devant la parenthèse : $ -(x - 1) = -x + 1 $ et non $ -x - 1 $.
Reprendre le calcul avec le bon signe.[/reponse]
[reponse motif="3x + 2"]Non.
On soustrait $ (x-1) $ de $ (2x+3) $ : les termes en $ x $ donnent $ 2x - x $, pas $ 2x + x $.
Recommencer en faisant attention.[/reponse]
[reponse motif="x - 4"]Non.
Vérifier les constantes : $ -(x - 1) = -x + 1 $, donc les constantes sont $ 3 $ et $ +1 $.
Recalculer leur somme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Distribuer le signe $ - $ sur chaque terme de la parenthèse, puis regrouper.[/reponse]
[aide essai="2"]Le signe $ - $ change tous les signes dans la parenthèse :
$ -(x - 1) = -x + 1 $.
Donc $ 2x + 3 - x + 1 = ? $[/aide]
[/math]
[solution]$ (2x + 3) - (x - 1) = 2x + 3 - x + 1 = x + 4 $.[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer et réduire $ (2x + 3) + (x - 1) $ : [[apb]]
[math id="apb" attendu="3x + 2" format="developpe"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$ (2x + 3) + (x - 1) = 2x + 3 + x - 1 = 3x + 2 $.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais l'expression doit être développée et réduite.[/reponse]
[reponse motif="3x + 4"]Non.
Vérifier les constantes : le second terme contient $ -1 $, pas $ +1 $.
Recalculer $ 3 + (-1) $.[/reponse]
[reponse motif="x + 2"]Non.
Les termes en $ x $ s'ajoutent : $ 2x + x $ ne donne pas $ x $.
Recommencer le regroupement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Additionner séparément les termes en $ x $ et les constantes, puis rassembler.[/reponse]
[aide essai="2"]Additionner les termes en $x$ : $ 2x + x = ? $
Additionner les constantes : $ 3 + (-1) = ? $
Rassembler.[/aide]
[/math]
[solution]$ (2x + 3) + (x - 1) = 2x + x + 3 - 1 = 3x + 2 $.[/solution]
[/etape]

[etape]
L'équation se factorise donc en $ (x + 4)(3x + 2) = 0 $.

On applique la propriété du produit nul. Quelles sont les solutions ?
[qcm]
[option]$ x = 4 $ ou $ x = \dfrac{2}{3} $[/option]
[option]$ x = -4 $ ou $ x = \dfrac{2}{3} $[/option]
[option correct="true"]$ x = -4 $ ou $ x = -\dfrac{2}{3} $[/option]
[option]$ x = 4 $ ou $ x = -\dfrac{2}{3} $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$ x + 4 = 0 $ donne $ x = -4 $.
$ 3x + 2 = 0 $ donne $ 3x = -2 $, soit $ x = -\dfrac{2}{3} $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 4 $ ou $ x = \dfrac{2}{3} $"]Non.
Vérifier les signes : quand on résout $ x + 4 = 0 $, le $ 4 $ passe de l'autre côté en changeant de signe.
Même raisonnement pour $ 3x + 2 = 0 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = -4 $ ou $ x = \dfrac{2}{3} $"]Non.
Le premier facteur est correct. Pour le second, résoudre $ 3x + 2 = 0 $ : le $ +2 $ change de signe en passant à droite.
Reprendre ce calcul.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 4 $ ou $ x = -\dfrac{2}{3} $"]Non.
Le second facteur est correct. Pour le premier, résoudre $ x + 4 = 0 $ : le $ +4 $ change de signe.
Reprendre ce calcul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résoudre chaque facteur séparément : $ x + 4 = 0 $ puis $ 3x + 2 = 0 $.
Attention aux signes.[/reponse]
[/qcm]
[solution]$ x + 4 = 0 $ donne $ x = -4 $ et $ 3x + 2 = 0 $ donne $ x = -\dfrac{2}{3} $.[/solution]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les équations produit-nul, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si $A \times B = 0$, alors $A = 0$ ou $B = 0$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est la propriété du produit nul : un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
C'est la propriété fondamentale du produit nul.
Si un produit est égal à zéro, alors au moins un des facteurs est égal à zéro.
Cette propriété permet de résoudre les équations produit-nul.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la propriété du produit nul : si $A \times B = 0$, alors $A = 0$ ou $B = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $(x - 2)(x + 3) = 0$ a pour solutions $x = -2$ et $x = 3$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les signes sont inversés.
$x - 2 = 0$ donne $x = 2$ (et non $x = -2$).
$x + 3 = 0$ donne $x = -3$ (et non $x = 3$).
Les solutions sont $x = 2$ et $x = -3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur classique est d'inverser les signes des solutions.
On résout chaque facteur séparément : $x - 2 = 0$ donne $x = 2$, et $x + 3 = 0$ donne $x = -3$.
Les solutions sont $x = 2$ et $x = -3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Les solutions sont $x = 2$ (car $x - 2 = 0$) et $x = -3$ (car $x + 3 = 0$). Les signes ont été inversés.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $x(x - 5) = 0$ admet $x = 0$ comme solution.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le produit $x(x - 5)$ est nul lorsque $x = 0$ ou $x - 5 = 0$.
Le facteur $x$ seul est déjà un facteur du produit, donc $x = 0$ est bien une solution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas oublier que $x$ est un facteur du produit.
En remplaçant $x$ par $0$ : $0 \times (0 - 5) = 0 \times (-5) = 0$.
L'équation a deux solutions : $x = 0$ et $x = 5$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $x = 0$ annule le premier facteur, donc c'est bien une solution. Les deux solutions sont $x = 0$ et $x = 5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour résoudre $x^2 = 5x$, on peut diviser les deux membres par $x$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On n'a pas le droit de diviser par $x$ car $x$ peut être égal à $0$.
La bonne méthode est de tout ramener à gauche : $x^2 - 5x = 0$, puis factoriser : $x(x - 5) = 0$.
On obtient $x = 0$ ou $x = 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Diviser par $x$ suppose que $x \neq 0$, ce qui fait perdre la solution $x = 0$.
Il faut plutôt écrire $x^2 - 5x = 0$, puis factoriser : $x(x - 5) = 0$.
On trouve alors deux solutions : $x = 0$ et $x = 5$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. On ne peut pas diviser par $x$ car on perdrait la solution $x = 0$. Il faut factoriser : $x(x - 5) = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ avec $a = x$ et $b = 5$.
$x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x - 5)(x + 5)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
On reconnaît une différence de deux carrés : $x^2 - 25 = x^2 - 5^2$.
L'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ donne $(x - 5)(x + 5)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ appliquée avec $a = x$ et $b = 5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $(3x + 6)(x - 4) = 0$ admet $x = 6$ comme solution.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le premier facteur donne : $3x + 6 = 0$, soit $3x = -6$, donc $x = -2$.
Le second facteur donne : $x - 4 = 0$, donc $x = 4$.
Les solutions sont $x = -2$ et $x = 4$, pas $x = 6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
On peut vérifier : $3 \times 6 + 6 = 24$ et $6 - 4 = 2$, donc $(3 \times 6 + 6)(6 - 4) = 24 \times 2 = 48 \neq 0$.
En résolvant correctement : $3x + 6 = 0$ donne $x = -2$, et $x - 4 = 0$ donne $x = 4$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Les solutions sont $x = -2$ (car $3x + 6 = 0$) et $x = 4$ (car $x - 4 = 0$), et non $x = 6$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les équations de la forme $x^2 = a$, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : L'équation $x^2 = 16$ admet deux solutions.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Lorsque $a > 0$, l'équation $x^2 = a$ admet deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.
Ici $x^2 = 16$ donne $x = 4$ ou $x = -4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'équation $x^2 = 16$ a deux solutions car $16 > 0$.
$4^2 = 16$ et $(-4)^2 = 16$, donc $x = 4$ et $x = -4$ sont solutions.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $x^2 = 16$ admet deux solutions : $x = 4$ et $x = -4$, car $4^2 = (-4)^2 = 16$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $x^2 = -4$ admet $x = -2$ comme solution.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Un carré est toujours positif ou nul : $(-2)^2 = 4$ et non $-4$.
L'équation $x^2 = -4$ n'admet aucune solution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur est de confondre $-2$ et le fait que le carré d'un nombre est toujours positif ou nul.
$(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4 \neq -4$.
Aucun nombre au carré ne peut donner un résultat négatif, donc l'équation n'a aucune solution.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $(-2)^2 = 4 \neq -4$. Un carré est toujours positif ou nul, donc $x^2 = -4$ n'a aucune solution.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $x^2 = 0$ admet une seule solution : $x = 0$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Lorsque $a = 0$, l'équation $x^2 = 0$ admet une unique solution : $x = 0$.
C'est le seul nombre dont le carré vaut $0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le seul nombre dont le carré est nul est $0$.
En effet, $\sqrt{0} = 0$ et $-\sqrt{0} = 0$ : les deux solutions se confondent en une seule.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $x = 0$ est l'unique solution de $x^2 = 0$, car $0$ est le seul nombre dont le carré vaut $0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $x^2 = 9$, alors $x = 3$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$x = 3$ est une solution, mais ce n'est pas la seule.
$(-3)^2 = 9$ aussi, donc $x = -3$ est également solution.
L'équation admet deux solutions : $x = 3$ et $x = -3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'affirmation est incomplète : elle oublie la solution négative.
$3^2 = 9$ et $(-3)^2 = 9$, donc l'équation $x^2 = 9$ a deux solutions : $x = 3$ et $x = -3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. L'équation $x^2 = 9$ admet deux solutions : $x = 3$ et $x = -3$. La solution négative ne doit pas être oubliée.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Les solutions de $x^2 = 100$ sont $10$ et $-10$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$100 > 0$, donc l'équation admet deux solutions : $\sqrt{100} = 10$ et $-\sqrt{100} = -10$.
Vérification : $10^2 = 100$ et $(-10)^2 = 100$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'équation $x^2 = 100$ a bien deux solutions.
$10^2 = 100$ et $(-10)^2 = 100$, donc $x = 10$ et $x = -10$ sont les deux solutions.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $10^2 = 100$ et $(-10)^2 = 100$, donc les solutions sont bien $x = 10$ et $x = -10$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $x^2 - 1 = 0$ a pour unique solution $x = 1$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$x^2 - 1 = 0$ se réécrit $x^2 = 1$.
Comme $1 > 0$, il y a deux solutions : $x = 1$ et $x = -1$.
On peut aussi factoriser : $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
$x^2 - 1 = 0$ signifie $x^2 = 1$.
$1^2 = 1$ et $(-1)^2 = 1$, donc il y a deux solutions : $x = 1$ et $x = -1$.
L'affirmation oublie la solution $x = -1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $x^2 = 1$ admet deux solutions : $x = 1$ et $x = -1$. La solution négative a été oubliée.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur les équations produit-nul et les équations de la forme $ x^2 = a $. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Résoudre $ (x - 3)(x + 5) = 0 $.
[qcm]
[option]$ x = -3 $ ou $ x = 5 $[/option]
[option]$ x = 3 $ ou $ x = 5 $[/option]
[option correct="true"]$ x = 3 $ ou $ x = -5 $[/option]
[option]$ x = 15 $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul :
$ x - 3 = 0 $ donne $ x = 3 $.
$ x + 5 = 0 $ donne $ x = -5 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = -3 $ ou $ x = 5 $"]Non.
Les signes sont inversés. Pour $ x - 3 = 0 $, on obtient $ x = 3 $ (pas $ -3 $).
Pour $ x + 5 = 0 $, on obtient $ x = -5 $ (pas $ 5 $).[/reponse]
[reponse motif="$ x = 3 $ ou $ x = 5 $"]Non.
Pour le second facteur, $ x + 5 = 0 $ donne $ x = -5 $ et non $ x = 5 $.
Les solutions sont $ 3 $ et $ -5 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 15 $"]Non.
On n'a pas besoin de calculer le produit $ 3 \times 5 $. On applique la propriété du produit nul : chaque facteur est mis égal à zéro séparément.
Les solutions sont $ x = 3 $ et $ x = -5 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$ x - 3 = 0 $ donne $ x = 3 $ et $ x + 5 = 0 $ donne $ x = -5 $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre $ (2x + 6)(x - 1) = 0 $.
[qcm]
[option]$ x = 3 $ ou $ x = 1 $[/option]
[option]$ x = -6 $ ou $ x = 1 $[/option]
[option correct="true"]$ x = -3 $ ou $ x = 1 $[/option]
[option]$ x = -3 $ ou $ x = -1 $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On résout chaque facteur :
$ 2x + 6 = 0 $ donne $ 2x = -6 $, soit $ x = -3 $.
$ x - 1 = 0 $ donne $ x = 1 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 3 $ ou $ x = 1 $"]Non.
Pour $ 2x + 6 = 0 $, on obtient $ 2x = -6 $, donc $ x = -3 $ (négatif).
Les solutions sont $ -3 $ et $ 1 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = -6 $ ou $ x = 1 $"]Non.
Pour $ 2x + 6 = 0 $, on a $ 2x = -6 $. Il faut encore diviser par $ 2 $ : $ x = -3 $ et non $ -6 $.
Les solutions sont $ -3 $ et $ 1 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = -3 $ ou $ x = -1 $"]Non.
Pour le second facteur, $ x - 1 = 0 $ donne $ x = 1 $ et non $ x = -1 $.
Les solutions sont $ -3 $ et $ 1 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$ 2x + 6 = 0 $ donne $ x = -3 $ et $ x - 1 = 0 $ donne $ x = 1 $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre $ x^2 = 49 $.
[qcm]
[option]$ x = 7 $[/option]
[option]$ x = 49 $[/option]
[option]$ x = -49 $[/option]
[option correct="true"]$ x = 7 $ ou $ x = -7 $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Quand $ a > 0 $, l'équation $ x^2 = a $ admet deux solutions opposées : $ \sqrt{a} $ et $ -\sqrt{a} $.
$ \sqrt{49} = 7 $, donc les solutions sont $ 7 $ et $ -7 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 7 $"]Non.
Il ne faut pas oublier la solution négative. Un carré peut provenir d'un nombre positif ou négatif.
$ 7^2 = 49 $ et $ (-7)^2 = 49 $. Les deux solutions sont $ 7 $ et $ -7 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 49 $"]Non.
Il ne faut pas confondre $ x^2 = 49 $ et $ x = 49 $. On cherche le nombre dont le carré vaut $ 49 $.
$ \sqrt{49} = 7 $, donc les solutions sont $ 7 $ et $ -7 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = -49 $"]Non.
On cherche les nombres dont le carré vaut $ 49 $, pas l'opposé de $ 49 $.
$ \sqrt{49} = 7 $, donc les solutions sont $ 7 $ et $ -7 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$ x^2 = 49 $ admet deux solutions : $ x = 7 $ et $ x = -7 $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Combien de solutions a l'équation $ x^2 = -9 $ ?
[qcm]
[option]Deux solutions : $ 3 $ et $ -3 $[/option]
[option]Une solution : $ 3 $[/option]
[option]Une solution : $ -3 $[/option]
[option correct="true"]Aucune solution[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Un carré est toujours positif ou nul. Il est donc impossible que $ x^2 = -9 $ car $ -9 < 0 $.
L'équation n'a aucune solution.[/reponse]
[reponse motif="Deux solutions : $ 3 $ et $ -3 $"]Non.
On a $ 3^2 = 9 $ et $ (-3)^2 = 9 $, pas $ -9 $. Un carré est toujours positif ou nul.
L'équation $ x^2 = -9 $ n'a aucune solution.[/reponse]
[reponse motif="Une solution : $ 3 $"]Non.
On a $ 3^2 = 9 $ et non $ -9 $. Un carré est toujours positif ou nul.
L'équation $ x^2 = -9 $ n'a aucune solution.[/reponse]
[reponse motif="Une solution : $ -3 $"]Non.
On a $ (-3)^2 = 9 $ et non $ -9 $. Le carré d'un nombre négatif est positif.
L'équation $ x^2 = -9 $ n'a aucune solution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un carré est toujours positif ou nul, donc $ x^2 = -9 $ n'a aucune solution.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre $ x^2 - 16 = 0 $.
[qcm]
[option correct="true"]$ x = 4 $ ou $ x = -4 $[/option]
[option]$ x = 4 $[/option]
[option]$ x = 16 $ ou $ x = -16 $[/option]
[option]$ x = 8 $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On réécrit : $ x^2 = 16 $.
$ \sqrt{16} = 4 $, donc les solutions sont $ 4 $ et $ -4 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 4 $"]Non.
Il ne faut pas oublier la solution négative. $ 4^2 = 16 $ et $ (-4)^2 = 16 $.
Les solutions sont $ 4 $ et $ -4 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 16 $ ou $ x = -16 $"]Non.
On cherche $ x $ tel que $ x^2 = 16 $, il faut prendre la racine carrée.
$ \sqrt{16} = 4 $, donc les solutions sont $ 4 $ et $ -4 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 8 $"]Non.
On cherche la racine carrée de $ 16 $, pas la moitié de $ 16 $.
$ \sqrt{16} = 4 $, donc les solutions sont $ 4 $ et $ -4 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$ x^2 - 16 = 0 $ donne $ x^2 = 16 $, donc $ x = 4 $ ou $ x = -4 $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre $ x(x - 7) = 0 $.
[qcm]
[option]$ x = -7 $[/option]
[option]$ x = 7 $[/option]
[option]$ x = 0 $ ou $ x = -7 $[/option]
[option correct="true"]$ x = 0 $ ou $ x = 7 $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On applique la propriété du produit nul :
$ x = 0 $ ou $ x - 7 = 0 $, soit $ x = 7 $.
Les solutions sont $ 0 $ et $ 7 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = -7 $"]Non.
Pour $ x - 7 = 0 $, on obtient $ x = 7 $ (pas $ -7 $). De plus, il ne faut pas oublier la solution $ x = 0 $.
Les solutions sont $ 0 $ et $ 7 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 7 $"]Non.
Il ne faut pas oublier que le premier facteur est $ x $ lui-même. Si $ x = 0 $, le produit vaut bien $ 0 $.
Les solutions sont $ 0 $ et $ 7 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 0 $ ou $ x = -7 $"]Non.
Pour le second facteur, $ x - 7 = 0 $ donne $ x = 7 $ et non $ x = -7 $.
Les solutions sont $ 0 $ et $ 7 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$ x = 0 $ ou $ x - 7 = 0 $ (soit $ x = 7 $). Les solutions sont $ 0 $ et $ 7 $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Résoudre chacune des équations suivantes.

1. $ x^2 = 36 $
2. $ x^2 = 5 $
3. $ x^2 = -4 $
4. $ 2x^2 = 50 $
5. $ 3x^2 - 27 = 0 $

Résoudre chacune des équations suivantes.

1. $ (2x - 5)(3x + 1) = 0 $
2. $ x^2 - 49 = 0 $
3. $ 9x^2 - 4 = 0 $
4. $ x^2 + 6x = 0 $
5. $ (x + 3)(2x - 7) + (x + 3)(x - 1) = 0 $