Triangle rectangle : Pythagore et mise en équation

ABC est un triangle rectangle en A. Le côté $ [AB] $ mesure $ 12 $ cm. L'hypoténuse $ [BC] $ dépasse le côté $ [AC] $ de $ 6 $ cm.

On note $ x $ la longueur AC en centimètres. Exprimer la longueur BC en fonction de $ x $.
En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle ABC, montrer que $ x $ vérifie l'équation :

$ 12x + 36 = 144 $
Résoudre cette équation et en déduire les longueurs AC et BC.
Calculer l'aire du triangle ABC.

Corrigé

L'hypoténuse BC dépasse le côté AC de $ 6 $ cm, donc :

$ BC = x + 6 $
Le triangle ABC est rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore :
$ AB^2 + AC^2 = BC^2 $
$ 12^2 + x^2 = (x + 6)^2 $

On développe le membre de droite :
$ 144 + x^2 = x^2 + 12x + 36 $

On soustrait $ x^2 $ de chaque côté :

$ 144 = 12x + 36 $

On retrouve bien l'équation $ 12x + 36 = 144 $.
On résout l'équation :
$ 12x + 36 = 144 $
$ 12x = 144 - 36 $
$ 12x = 108 $
$ x = 9 $

Donc $ AC = 9 $ cm et $ BC = 9 + 6 = $ $ 15 $ cm.

Vérification : $ AB^2 + AC^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 = 15^2 = BC^2 $.
L'aire d'un triangle rectangle est la moitié du produit des côtés de l'angle droit :

$ \mathcal{A} = \dfrac{AB \times AC}{2} = \dfrac{12 \times 9}{2} = \dfrac{108}{2} $

L'aire du triangle ABC vaut $ 54 $ cm$^2$.

Rectangle : périmètre et diagonale

La cour d'un collège a la forme d'un rectangle ABCD. La longueur AB dépasse la largeur BC de $ 5 $ m. Le périmètre de la cour mesure $ 70 $ m.

On note $ x $ la largeur BC (en mètres). Exprimer la longueur AB en fonction de $ x $.
Écrire une équation traduisant que le périmètre de la cour vaut $ 70 $ m.
Résoudre cette équation et en déduire les dimensions de la cour.
Les élèves souhaitent tendre une corde le long de la diagonale $ [AC] $ pour séparer deux terrains de sport. En utilisant le théorème de Pythagore, calculer la longueur de cette corde.

Corrigé

La longueur AB dépasse la largeur BC de $ 5 $ m, donc :

$ AB = x + 5 $
Le périmètre d'un rectangle vaut $ 2 \times (\text{longueur} + \text{largeur}) $, donc :

$ 2(x + 5 + x) = 70 $
On développe et on résout :
$ 2(2x + 5) = 70 $
$ 4x + 10 = 70 $
$ 4x = 60 $
$ x = 15 $

La largeur vaut $ BC = 15 $ m et la longueur vaut $ AB = 15 + 5 = $ $ 20 $ m.

Vérification : $ 2 \times (20 + 15) = 2 \times 35 = 70 $ m.
Le triangle ABC est rectangle en B (car ABCD est un rectangle). On applique le théorème de Pythagore dans le triangle ABC :
$ AC^2 = AB^2 + BC^2 $
$ AC^2 = 20^2 + 15^2 $
$ AC^2 = 400 + 225 $
$ AC^2 = 625 $
$ AC = \sqrt{625} = 25 $

La corde mesure $ 25 $ m.

Résoudre une équation avec des fractions

[enonce]
On considère l'équation suivante :

$ \dfrac{5x - 1}{3} - \dfrac{x + 2}{4} = 2 $

On cherche à déterminer la valeur de $ x $.
[/enonce]

[etape]
Commençons par réduire les deux fractions au même dénominateur.

Quel dénominateur commun choisir ? [[ppcm]]
[math id="ppcm" attendu="12"]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le PPCM de $ 3 $ et $ 4 $ est $ 12 $ car $ 12 $ est le plus petit multiple commun à $ 3 $ et $ 4 $.[/reponse]
[reponse motif="7"]Non.
Le PPCM n'est pas la somme $ 3 + 4 $, c'est le plus petit multiple commun.
Les multiples de $ 3 $ sont $ 3, 6, 9, 12, \ldots $ et ceux de $ 4 $ sont $ 4, 8, 12, \ldots $[/reponse]
[reponse motif="24"]Pas tout à fait.
$ 24 $ est un multiple commun, mais pas le plus petit.
Les multiples de $ 3 $ sont $ 3, 6, 9, 12, \ldots $ et ceux de $ 4 $ sont $ 4, 8, 12, \ldots $[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Chercher le plus petit nombre qui est à la fois divisible par $ 3 $ et par $ 4 $.[/reponse]
[aide essai="2"]Les multiples de $ 4 $ sont $ 4, 8, 12, 16, \ldots $
Lequel est aussi un multiple de $ 3 $ ?[/aide]
[/math]
[solution]Le PPCM de $ 3 $ et $ 4 $ est $ 12 $.[/solution]
[/etape]

[etape]
On multiplie chaque terme par $ 12 $. L'équation devient :

$ \dfrac{12(5x - 1)}{3} - \dfrac{12(x + 2)}{4} = 12 \times 2 $

Après simplification des fractions, quelle équation obtient-on ?
[qcm]
[option]$ 3(5x - 1) - 4(x + 2) = 24 $[/option]
[option correct="true"]$ 4(5x - 1) - 3(x + 2) = 24 $[/option]
[option]$ 4(5x - 1) - 3(x + 2) = 2 $[/option]
[option]$ 12(5x - 1) - 12(x + 2) = 24 $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$ \dfrac{12}{3} = 4 $ et $ \dfrac{12}{4} = 3 $, donc on obtient $ 4(5x - 1) - 3(x + 2) = 24 $.[/reponse]
[reponse motif="$ 3(5x - 1) - 4(x + 2) = 24 $"]Non.
Les coefficients sont inversés.
Recalculer $ \dfrac{12}{3} $ et $ \dfrac{12}{4} $ : quel coefficient va avec quelle parenthèse ?[/reponse]
[reponse motif="$ 4(5x - 1) - 3(x + 2) = 2 $"]Non.
Les coefficients sont corrects, mais il ne faut pas oublier de multiplier le membre de droite aussi.
Que vaut $ 12 \times 2 $ ?[/reponse]
[reponse motif="$ 12(5x - 1) - 12(x + 2) = 24 $"]Non.
Il faut simplifier chaque fraction avec son dénominateur.
Calculer $ \dfrac{12}{3} $ et $ \dfrac{12}{4} $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Simplifier $ \dfrac{12}{3} $ et $ \dfrac{12}{4} $, puis ne pas oublier de multiplier le membre de droite par $ 12 $.[/reponse]
[/qcm]
[solution]$ \dfrac{12}{3} = 4 $ et $ \dfrac{12}{4} = 3 $. L'équation devient $ 4(5x - 1) - 3(x + 2) = 24 $.[/solution]
[/etape]

[etape]
Après développement et réduction, à quelle équation arrive-t-on ?
[qcm]
[option]$ 17x + 2 = 24 $[/option]
[option]$ 23x - 10 = 24 $[/option]
[option correct="true"]$ 17x - 10 = 24 $[/option]
[option]$ 17x - 2 = 24 $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$ 4(5x - 1) = 20x - 4 $ et $ -3(x + 2) = -3x - 6 $.
$ 20x - 4 - 3x - 6 = 17x - 10 $.[/reponse]
[reponse motif="$ 17x + 2 = 24 $"]Non.
Attention au signe : $ -3(x + 2) = -3x - 6 $ et non $ -3x + 6 $.
Recalculer les constantes : $ -4 $ et $ -6 $.[/reponse]
[reponse motif="$ 23x - 10 = 24 $"]Non.
Vérifier les termes en $ x $ : le signe $ - $ devant $ 3(x+2) $ donne $ -3x $, pas $ +3x $.
Recalculer $ 20x - 3x $.[/reponse]
[reponse motif="$ 17x - 2 = 24 $"]Non.
Vérifier les constantes : $ -4 $ et $ -6 $ donnent $ -4 + (-6) $, pas $ -4 + 2 $.
Recalculer leur somme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Développer chaque parenthèse séparément, puis regrouper les termes en $ x $ et les constantes.[/reponse]
[/qcm]
[solution]$ 4(5x-1) - 3(x+2) = 20x - 4 - 3x - 6 = 17x - 10 $, donc l'équation est $ 17x - 10 = 24 $.[/solution]
[/etape]

[etape]
L'équation est maintenant $ 17x - 10 = 24 $.

Résoudre cette équation : $ x = $ [[sol]]
[math id="sol" attendu="2"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$ 17x = 24 + 10 = 34 $, donc $ x = \dfrac{34}{17} = 2 $.[/reponse]
[reponse motif="34"]Non.
On a bien $ 17x = 34 $, mais il faut encore diviser par $ 17 $.
Combien vaut $ \dfrac{34}{17} $ ?[/reponse]
[reponse motif="\frac{14}{17}"]Non.
En passant $ -10 $ à droite, il change de signe : on calcule $ 24 + 10 $, pas $ 24 - 10 $.
Reprendre le calcul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Ajouter $ 10 $ aux deux membres pour isoler $ 17x $, puis diviser par $ 17 $.[/reponse]
[aide essai="2"]$ 17x - 10 = 24 $, donc $ 17x = 24 + 10 = 34 $.
Combien vaut $ \dfrac{34}{17} $ ?[/aide]
[/math]
[solution]$ 17x - 10 = 24 $, donc $ 17x = 34 $ et $ x = 2 $.[/solution]
[/etape]

[etape]
On a trouvé $ x = 2 $. Vérifier en calculant le membre de gauche de l'équation d'origine :

$ \dfrac{5 \times 2 - 1}{3} - \dfrac{2 + 2}{4} = $ [[verif]]
[math id="verif" attendu="2"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$ \dfrac{9}{3} - \dfrac{4}{4} = 3 - 1 = 2 $.
On retrouve bien le membre de droite, donc $ x = 2 $ est la solution.[/reponse]
[reponse motif="4"]Non.
Calculer chaque fraction séparément : $ \dfrac{5 \times 2 - 1}{3} = \dfrac{9}{3} = 3 $ et $ \dfrac{2 + 2}{4} = \dfrac{4}{4} = 1 $.
Puis soustraire : $ 3 - 1 = ? $[/reponse]
[reponse motif="3"]Non.
Il ne faut pas oublier de soustraire la seconde fraction.
Calculer $ \dfrac{2 + 2}{4} $, puis soustraire ce résultat de $ 3 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer étape par étape :
$ \dfrac{5 \times 2 - 1}{3} = \dfrac{10 - 1}{3} = \dfrac{9}{3} = 3 $.
$ \dfrac{2 + 2}{4} = \dfrac{4}{4} = 1 $.
Puis $ 3 - 1 = ? $[/reponse]
[aide essai="2"]$ 5 \times 2 - 1 = 9 $, donc la première fraction vaut $ \dfrac{9}{3} = 3 $.
$ 2 + 2 = 4 $, donc la seconde vaut $ \dfrac{4}{4} = 1 $.
Calculer $ 3 - 1 $.[/aide]
[/math]
[solution]$ \dfrac{9}{3} - \dfrac{4}{4} = 3 - 1 = 2 $. On retrouve bien le membre de droite : $ x = 2 $ est bien la solution.[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux Bilan : Équations et inéquations

[enonce]
Ce vrai/faux bilan couvre l'ensemble du chapitre : équations, produit-nul, $\mathbf{x^2 = a}$ et inéquations. Pour chaque affirmation, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : L'équation $4x - 8 = 0$ a pour solution $x = -2$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On résout : $4x - 8 = 0$, donc $4x = 8$, soit $x = \dfrac{8}{4} = 2$.
La solution est $x = 2$ et non $x = -2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur est un mauvais signe lors de la résolution.
$4x = 8$, donc $x = 2$ (et non $-2$).
On peut vérifier : $4 \times (-2) - 8 = -16 \neq 0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $4x = 8$, donc $x = 2$, et non $x = -2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $(x - 1)(x + 1) = 0$ a les mêmes solutions que $x^2 - 1 = 0$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On développe : $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$.
Les deux équations sont donc identiques, avec les mêmes solutions : $x = 1$ ou $x = -1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'identité remarquable $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ donne $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$.
Les deux équations sont identiques et admettent les solutions $x = 1$ ou $x = -1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$ (identité remarquable), donc les deux équations ont les mêmes solutions : $x = 1$ ou $x = -1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $-5x \leqslant 15$, alors $x \leqslant -3$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On divise par $-5$, qui est négatif, donc on inverse le sens de l'inégalité.
$x \geqslant \dfrac{15}{-5}$, soit $x \geqslant -3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur classique est d'oublier d'inverser le sens de l'inégalité quand on divise par un nombre négatif.
On divise par $-5 < 0$, donc le sens change : $x \geqslant -3$ (et non $x \leqslant -3$).[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. On divise par $-5 < 0$, le sens s'inverse : $x \geqslant -3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $x = 2$ est solution à la fois de $3x - 1 = 5$ et de $x^2 = 4$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On vérifie pour $3x - 1 = 5$ : $3 \times 2 - 1 = 5$, c'est bien vérifié.
On vérifie pour $x^2 = 4$ : $2^2 = 4$, c'est aussi vérifié.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
On remplace $x$ par $2$ dans chaque équation.
$3 \times 2 - 1 = 6 - 1 = 5$ : la première équation est vérifiée.
$2^2 = 4$ : la seconde équation est aussi vérifiée.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $3 \times 2 - 1 = 5$ et $2^2 = 4$ : les deux équations sont vérifiées par $x = 2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $x^2 + 4 = 0$ admet deux solutions : $2$ et $-2$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On isole $x^2$ : $x^2 = -4$.
Or un carré est toujours positif ou nul, donc $x^2 = -4$ n'a aucune solution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur est de confondre $x^2 = 4$ (qui admet $2$ et $-2$) avec $x^2 = -4$.
Ici $x^2 = -4$, ce qui est impossible car un carré ne peut pas être négatif.
Cette équation n'a aucune solution.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $x^2 = -4$ est impossible (un carré est toujours positif ou nul), donc cette équation n'a aucune solution.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'inéquation $3 - x > 0$ a pour solutions tous les nombres strictement inférieurs à $3$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On résout : $3 - x > 0$, donc $-x > -3$.
En multipliant par $-1$ (on inverse le sens) : $x < 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
On résout l'inéquation : $3 - x > 0$, soit $-x > -3$.
En multipliant par $-1$, on inverse le sens : $x < 3$.
Les solutions sont bien tous les nombres strictement inférieurs à $3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $3 - x > 0$ donne $x < 3$, soit tous les nombres strictement inférieurs à $3$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Équations du premier degré

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les équations du premier degré, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : L'équation $3x + 5 = 14$ admet une unique solution.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Une équation du premier degré (de la forme $ax + b = c$ avec $a \neq 0$) admet toujours une unique solution.
Ici : $3x + 5 = 14$, donc $3x = 9$, soit $x = 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Une équation du premier degré admet toujours exactement une solution.
On résout : $3x = 14 - 5 = 9$, donc $x = \dfrac{9}{3} = 3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $3x + 5 = 14$ donne $3x = 9$, soit $x = 3$. Une équation du premier degré admet une unique solution.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Résoudre $2x = 10$, c'est soustraire $2$ aux deux membres.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour isoler $x$ dans $2x = 10$, on divise les deux membres par $2$, on ne soustrait pas.
$2x = 10$, donc $x = \dfrac{10}{2} = 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur est de confondre addition et multiplication.
Quand $x$ est multiplié par $2$, on effectue l'opération inverse : on divise par $2$.
$2x = 10$, donc $x = \dfrac{10}{2} = 5$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Pour résoudre $2x = 10$, on divise les deux membres par $2$ (opération inverse de la multiplication), ce qui donne $x = 5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $x = -2$ est solution de $3x + 1 = -5$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On vérifie en remplaçant $x$ par $-2$ dans le membre de gauche.
$3 \times (-2) + 1 = -6 + 1 = -5$.
On obtient bien le membre de droite, donc $x = -2$ est solution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour vérifier, on remplace $x$ par $-2$ dans l'équation.
$3 \times (-2) + 1 = -6 + 1 = -5$.
Le résultat est bien égal au membre de droite, donc $x = -2$ est solution de l'équation.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. En remplaçant : $3 \times (-2) + 1 = -6 + 1 = -5$. On retrouve le membre de droite.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans $5x - 3 = 2x + 9$, on obtient $7x = 12$ en regroupant les termes.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'erreur est d'additionner les coefficients de $x$ au lieu de les soustraire.
On soustrait $2x$ aux deux membres : $5x - 2x - 3 = 9$, soit $3x - 3 = 9$.
Puis $3x = 12$, donc $x = 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Pour regrouper les termes en $x$ du même côté, on soustrait $2x$ aux deux membres.
$5x - 2x - 3 = 9$, soit $3x = 12$.
On obtient $3x = 12$ et non $7x = 12$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. On soustrait $2x$ aux deux membres : $5x - 2x = 3x$. On obtient $3x = 12$, et non $7x = 12$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $4x + 7 = 4x + 7$ est vérifiée par tout nombre.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les deux membres sont identiques, donc l'égalité est vraie quel que soit $x$.
En soustrayant $4x + 7$ aux deux membres, on obtient $0 = 0$, ce qui est toujours vrai.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Les deux membres de l'équation sont strictement identiques.
Quel que soit le nombre choisi pour $x$, on obtient toujours la même valeur des deux côtés.
Tout nombre est donc solution de cette équation.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Les deux membres sont identiques : l'équation se simplifie en $0 = 0$, qui est toujours vraie. Tout nombre est solution.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $2x + 3 = 2x + 5$ admet pour solution $x = 1$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
En soustrayant $2x$ aux deux membres, on obtient $3 = 5$, ce qui est impossible.
Cette équation n'admet aucune solution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
On peut vérifier : $2 \times 1 + 3 = 5$ et $2 \times 1 + 5 = 7$, donc $5 \neq 7$.
En fait, en soustrayant $2x$ aux deux membres, on obtient $3 = 5$, ce qui est impossible.
Cette équation n'a aucune solution.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. En simplifiant, on obtient $3 = 5$, ce qui est impossible. Cette équation n'admet aucune solution.
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Équations et inéquations

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : équations du premier degré, produit-nul, $\mathbf{x^2 = a}$ et inéquations. Choisir la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Résoudre $ 2x + 9 = 5x $.
[qcm]
[option correct="true"]$ x = 3 $[/option]
[option]$ x = -3 $[/option]
[option]$ x = 9 $[/option]
[option]$ x = \dfrac{9}{7} $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On regroupe les termes en $ x $ :
$ 9 = 5x - 2x $
$ 9 = 3x $
$ x = 3 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = -3 $"]Non.
Le signe est incorrect. On a $ 3x = 9 $, donc $ x = \dfrac{9}{3} = 3 $ (positif).[/reponse]
[reponse motif="$ x = 9 $"]Non.
On a $ 3x = 9 $, mais il faut encore diviser par $ 3 $.
$ x = \dfrac{9}{3} = 3 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = \dfrac{9}{7} $"]Non.
On soustrait les coefficients de $ x $ ($ 5x - 2x = 3x $), on ne les additionne pas ($ 5 + 2 = 7 $).
$ 3x = 9 $, donc $ x = 3 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$ 9 = 3x $, donc $ x = 3 $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre $ (x + 2)(3x - 9) = 0 $.
[qcm]
[option]$ x = 2 $ ou $ x = 3 $[/option]
[option]$ x = -2 $ ou $ x = 9 $[/option]
[option]$ x = -2 $ ou $ x = -3 $[/option]
[option correct="true"]$ x = -2 $ ou $ x = 3 $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On applique la propriété du produit nul :
$ x + 2 = 0 $ donne $ x = -2 $.
$ 3x - 9 = 0 $ donne $ 3x = 9 $, soit $ x = 3 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 2 $ ou $ x = 3 $"]Non.
Pour $ x + 2 = 0 $, on obtient $ x = -2 $ et non $ x = 2 $.
Les solutions sont $ -2 $ et $ 3 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = -2 $ ou $ x = 9 $"]Non.
Pour $ 3x - 9 = 0 $, on a $ 3x = 9 $. Il faut diviser par $ 3 $ : $ x = 3 $ et non $ 9 $.
Les solutions sont $ -2 $ et $ 3 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = -2 $ ou $ x = -3 $"]Non.
Pour $ 3x - 9 = 0 $, on obtient $ 3x = 9 $, donc $ x = 3 $ (positif, pas $ -3 $).
Les solutions sont $ -2 $ et $ 3 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$ x + 2 = 0 $ donne $ x = -2 $ et $ 3x - 9 = 0 $ donne $ x = 3 $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre $ x^2 = 36 $.
[qcm]
[option]$ x = 6 $[/option]
[option]$ x = 18 $[/option]
[option correct="true"]$ x = 6 $ ou $ x = -6 $[/option]
[option]$ x = 36 $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$ 36 > 0 $, donc l'équation admet deux solutions opposées :
$ x = \sqrt{36} = 6 $ et $ x = -\sqrt{36} = -6 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 6 $"]Non.
Il ne faut pas oublier la solution négative : $ (-6)^2 = 36 $ aussi.
Les solutions sont $ 6 $ et $ -6 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 18 $"]Non.
On cherche la racine carrée de $ 36 $, pas la moitié.
$ \sqrt{36} = 6 $, donc les solutions sont $ 6 $ et $ -6 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 36 $"]Non.
Il ne faut pas confondre $ x^2 = 36 $ et $ x = 36 $. On cherche le nombre dont le carré vaut $ 36 $.
$ \sqrt{36} = 6 $, donc les solutions sont $ 6 $ et $ -6 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$ x^2 = 36 $ admet deux solutions : $ x = 6 $ et $ x = -6 $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre $ -3x + 4 \leqslant 13 $.
[qcm]
[option]$ x \leqslant -3 $[/option]
[option correct="true"]$ x \geqslant -3 $[/option]
[option]$ x \geqslant 3 $[/option]
[option]$ x \leqslant 3 $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On isole $ x $ :
$ -3x \leqslant 13 - 4 $
$ -3x \leqslant 9 $
On divise par $ -3 $ (négatif), on inverse le sens :
$ x \geqslant -3 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x \leqslant -3 $"]Non.
On divise par $ -3 $ qui est négatif, donc on inverse le sens de l'inégalité.
$ -3x \leqslant 9 $ donne $ x \geqslant -3 $ (et non $ x \leqslant -3 $).[/reponse]
[reponse motif="$ x \geqslant 3 $"]Non.
La division de $ 9 $ par $ -3 $ donne $ -3 $, pas $ 3 $.
$ x \geqslant -3 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x \leqslant 3 $"]Non.
Deux erreurs se combinent ici. On divise par $ -3 $ (négatif), on inverse le sens, et $ \dfrac{9}{-3} = -3 $.
$ x \geqslant -3 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$ -3x \leqslant 9 $. On divise par $ -3 $ (négatif) et on inverse : $ x \geqslant -3 $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre $ x^2 - 9 = 0 $.
[qcm]
[option]$ x = 3 $[/option]
[option]Aucune solution[/option]
[option]$ x = 9 $ ou $ x = -9 $[/option]
[option correct="true"]$ x = 3 $ ou $ x = -3 $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On réécrit : $ x^2 = 9 $.
$ \sqrt{9} = 3 $, donc les solutions sont $ 3 $ et $ -3 $.
On peut aussi factoriser : $ (x - 3)(x + 3) = 0 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 3 $"]Non.
Il ne faut pas oublier la solution négative : $ (-3)^2 = 9 $ aussi.
Les solutions sont $ 3 $ et $ -3 $.[/reponse]
[reponse motif="Aucune solution"]Non.
Il ne faut pas confondre $ x^2 - 9 = 0 $ (soit $ x^2 = 9 $) avec $ x^2 = -9 $.
$ x^2 = 9 $ admet deux solutions : $ 3 $ et $ -3 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 9 $ ou $ x = -9 $"]Non.
On cherche les nombres dont le carré vaut $ 9 $, il faut prendre la racine carrée.
$ \sqrt{9} = 3 $, donc les solutions sont $ 3 $ et $ -3 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$ x^2 = 9 $ admet deux solutions : $ x = 3 $ et $ x = -3 $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre $ 2(x - 3) > 4x + 2 $.
[qcm]
[option]$ x > -4 $[/option]
[option]$ x < 4 $[/option]
[option]$ x > 4 $[/option]
[option correct="true"]$ x < -4 $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On développe et on regroupe :
$ 2x - 6 > 4x + 2 $
$ 2x - 4x > 2 + 6 $
$ -2x > 8 $
On divise par $ -2 $ (négatif), on inverse le sens :
$ x < -4 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x > -4 $"]Non.
On divise par $ -2 $ qui est négatif, donc on inverse le sens de l'inégalité.
$ -2x > 8 $ donne $ x < -4 $ (et non $ x > -4 $).[/reponse]
[reponse motif="$ x < 4 $"]Non.
La division de $ 8 $ par $ -2 $ donne $ -4 $, pas $ 4 $.
$ x < -4 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x > 4 $"]Non.
Deux erreurs se combinent ici. On divise par $ -2 $ (négatif), on inverse le sens, et $ \dfrac{8}{-2} = -4 $.
$ x < -4 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$ 2x - 6 > 4x + 2 $ donne $ -2x > 8 $. On divise par $ -2 $ et on inverse : $ x < -4 $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Équations du premier degré

[enonce]
Ce QCM porte sur la résolution d'équations du premier degré. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Résoudre $ 3x = 18 $.
[qcm]
[option]$ x = 18 $[/option]
[option]$ x = 15 $[/option]
[option correct="true"]$ x = 6 $[/option]
[option]$ x = 54 $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On divise les deux membres par $ 3 $ :
$ x = \dfrac{18}{3} = 6 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 18 $"]Non.
Il ne faut pas oublier de diviser par le coefficient de $ x $.
$ 3x = 18 $, donc $ x = \dfrac{18}{3} = 6 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 15 $"]Non.
On ne soustrait pas $ 3 $, on divise par $ 3 $.
$ 3x = 18 $, donc $ x = \dfrac{18}{3} = 6 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 54 $"]Non.
On divise par $ 3 $, on ne multiplie pas.
$ 3x = 18 $, donc $ x = \dfrac{18}{3} = 6 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On divise les deux membres par $ 3 $ : $ x = \dfrac{18}{3} = 6 $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre $ x + 7 = 3 $.
[qcm]
[option]$ x = 10 $[/option]
[option correct="true"]$ x = -4 $[/option]
[option]$ x = 4 $[/option]
[option]$ x = -10 $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On soustrait $ 7 $ aux deux membres :
$ x = 3 - 7 = -4 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 10 $"]Non.
On soustrait $ 7 $, on ne l'ajoute pas.
$ x = 3 - 7 = -4 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 4 $"]Non.
Le résultat de $ 3 - 7 $ est négatif.
$ x = 3 - 7 = -4 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = -10 $"]Non.
On calcule $ 3 - 7 $, pas $ -(3 + 7) $.
$ x = 3 - 7 = -4 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On soustrait $ 7 $ aux deux membres : $ x = 3 - 7 = -4 $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre $ 5x - 3 = 2x + 9 $.
[qcm]
[option]$ x = 2 $[/option]
[option]$ x = 12 $[/option]
[option]$ x = -4 $[/option]
[option correct="true"]$ x = 4 $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On regroupe les termes en $ x $ à gauche et les constantes à droite :
$ 5x - 2x = 9 + 3 $
$ 3x = 12 $
$ x = 4 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 2 $"]Non.
Quand on fait passer $ -3 $ à droite, il change de signe et devient $ +3 $.
$ 3x = 9 + 3 = 12 $, donc $ x = 4 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 12 $"]Non.
On a bien $ 3x = 12 $, mais il faut encore diviser par $ 3 $.
$ x = \dfrac{12}{3} = 4 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = -4 $"]Non.
Le signe est incorrect. On obtient $ 3x = 12 $, donc $ x = 4 $ (positif).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$ 5x - 2x = 9 + 3 $, soit $ 3x = 12 $, donc $ x = 4 $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre $ 4x + 3 = x + 18 $.
[qcm]
[option correct="true"]$ x = 5 $[/option]
[option]$ x = 15 $[/option]
[option]$ x = 7 $[/option]
[option]$ x = -5 $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On regroupe :
$ 4x - x = 18 - 3 $
$ 3x = 15 $
$ x = 5 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 15 $"]Non.
On a $ 3x = 15 $, mais il faut encore diviser par $ 3 $.
$ x = \dfrac{15}{3} = 5 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 7 $"]Non.
En passant $ +3 $ à droite, il change de signe : on calcule $ 18 - 3 = 15 $ et non $ 18 + 3 = 21 $.
$ 3x = 15 $, donc $ x = 5 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = -5 $"]Non.
Le signe est incorrect. On obtient $ 3x = 15 $, donc $ x = 5 $ (positif).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$ 4x - x = 18 - 3 $, soit $ 3x = 15 $, donc $ x = 5 $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre $ 3(x - 2) = x + 6 $.
[qcm]
[option]$ x = 4 $[/option]
[option]$ x = 0 $[/option]
[option]$ x = 12 $[/option]
[option correct="true"]$ x = 6 $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On développe puis on regroupe :
$ 3x - 6 = x + 6 $
$ 3x - x = 6 + 6 $
$ 2x = 12 $
$ x = 6 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 4 $"]Non.
Il faut distribuer le $ 3 $ sur tout le contenu de la parenthèse : $ 3(x - 2) = 3x - 6 $ et non $ 3x - 2 $.
On obtient $ 2x = 12 $, donc $ x = 6 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 0 $"]Non.
En passant $ -6 $ à droite, il change de signe : on calcule $ 6 + 6 = 12 $ et non $ 6 - 6 = 0 $.
$ 2x = 12 $, donc $ x = 6 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 12 $"]Non.
On a $ 2x = 12 $, mais il faut encore diviser par $ 2 $.
$ x = \dfrac{12}{2} = 6 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On développe : $ 3x - 6 = x + 6 $, donc $ 2x = 12 $ et $ x = 6 $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre $ 5x - 2(x + 3) = 9 $.
[qcm]
[option]$ x = 1 $[/option]
[option correct="true"]$ x = 5 $[/option]
[option]$ x = 15 $[/option]
[option]$ x = -5 $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On développe puis on réduit :
$ 5x - 2x - 6 = 9 $
$ 3x = 15 $
$ x = 5 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 1 $"]Non.
Il faut distribuer le signe $ - $ : $ -2(x + 3) = -2x - 6 $ et non $ -2x + 6 $.
On obtient $ 3x - 6 = 9 $, soit $ 3x = 15 $ et $ x = 5 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = 15 $"]Non.
On a $ 3x = 15 $, mais il faut encore diviser par $ 3 $.
$ x = \dfrac{15}{3} = 5 $.[/reponse]
[reponse motif="$ x = -5 $"]Non.
Le signe est incorrect. On obtient $ 3x = 15 $, donc $ x = 5 $ (positif).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On développe : $ 5x - 2x - 6 = 9 $, soit $ 3x = 15 $, donc $ x = 5 $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Résolution d’équations du premier degré

Résoudre chacune des équations suivantes.

$ 5x - 7 = 3x + 9 $
$ 4(x + 2) = 3x + 15 $
$ 7 - 2x = 4x - 5 $
$ 3(2x - 1) - 2(x + 4) = x + 3 $

Corrigé

Résolvons $ 5x - 7 = 3x + 9 $.

On regroupe les termes en $ x $ à gauche et les constantes à droite :
$5x - 3x = 9 + 7$
$2x = 16$

$ x = \dfrac{16}{2} = 8 $

La solution est $\mathbf{x = 8}$.

Vérification : $ 5 \times 8 - 7 = 33 $ et $ 3 \times 8 + 9 = 33 $.
Résolvons $ 4(x + 2) = 3x + 15 $.

On développe le membre de gauche :
$4x + 8 = 3x + 15$

On regroupe :
$4x - 3x = 15 - 8$
$x = 7$

La solution est $\mathbf{x = 7}$.

Vérification : $ 4(7 + 2) = 4 \times 9 = 36 $ et $ 3 \times 7 + 15 = 36 $.
Résolvons $ 7 - 2x = 4x - 5 $.

On regroupe :
$-2x - 4x = -5 - 7$
$-6x = -12$

$ x = \dfrac{-12}{-6} = 2 $

La solution est $\mathbf{x = 2}$.

Vérification : $ 7 - 2 \times 2 = 3 $ et $ 4 \times 2 - 5 = 3 $.
Résolvons $ 3(2x - 1) - 2(x + 4) = x + 3 $.

On développe :
$6x - 3 - 2x - 8 = x + 3$
$4x - 11 = x + 3$

On regroupe :
$4x - x = 3 + 11$
$3x = 14$

$ x = \dfrac{14}{3} $

La solution est $\mathbf{x = \dfrac{14}{3}}$.

Vérification : $ 3\left(2 \times \dfrac{14}{3} - 1\right) - 2\left(\dfrac{14}{3} + 4\right) = 3 \times \dfrac{25}{3} - 2 \times \dfrac{26}{3} = 25 - \dfrac{52}{3} = \dfrac{75 - 52}{3} = \dfrac{23}{3} $ et $ \dfrac{14}{3} + 3 = \dfrac{23}{3} $.

Pour réviser : Résoudre une équation du premier degré