QCM Bilan : Fonction exponentielle

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : propriétés algébriques, équations et inéquations, dérivée de $\text{e}^{ax+b}$ et lien avec les suites géométriques. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Simplifier l'expression $A = \dfrac{\text{e}^{2x} \times \text{e}^{-x}}{\left(\text{e}^{x}\right)^{3}}$ et l'écrire sous la forme $\text{e}^{k}$.
[qcm]
[option]$\text{e}^{2x}$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$\text{e}^{-2x}$[/option]
[option]$\text{e}^{-6x}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Au numérateur : $\text{e}^{2x} \times \text{e}^{-x} = \text{e}^{2x + (-x)} = \text{e}^{x}$.
Au dénominateur : $\left(\text{e}^{x}\right)^{3} = \text{e}^{3x}$.
Donc $A = \dfrac{\text{e}^{x}}{\text{e}^{3x}} = \text{e}^{x - 3x} = \text{e}^{-2x}$.[/reponse]
[reponse motif="$\text{e}^{2x}$"]Non.
Erreur de signe dans la soustraction finale : il faut calculer $x - 3x = -2x$, et non $3x - x = 2x$.
L'exposant du numérateur intervient positivement et celui du dénominateur négativement.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Le signe moins de l'exposant $-x$ au numérateur n'a pas été pris en compte.
Avec ce signe, le numérateur donne $\text{e}^{2x - x} = \text{e}^{x}$, pas $\text{e}^{3x}$.[/reponse]
[reponse motif="$\text{e}^{-6x}$"]Non.
Les trois exposants ont été multipliés au lieu d'être sommés et soustraits selon les règles.
Un produit d'exponentielles se traduit par une somme des exposants et un quotient par une soustraction.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Simplifier d'abord numérateur et dénominateur séparément, puis appliquer $\dfrac{\text{e}^{a}}{\text{e}^{b}} = \text{e}^{a-b}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sur quel intervalle la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \text{e}^{x+1} - \text{e}^{2x}$ est-elle strictement positive ?
[qcm]
[option]$]1~;~+\infty[$[/option]
[option correct="true"]$]-\infty~;~1[$[/option]
[option]$\mathbb{R} \setminus \{1\}$[/option]
[option]$\mathbb{R}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$g(x) > 0 \iff \text{e}^{x+1} > \text{e}^{2x}$.
L'exponentielle étant strictement croissante, cela équivaut à $x + 1 > 2x$, soit $1 > x$, c'est-à-dire $x < 1$.
L'ensemble cherché est donc $]-\infty~;~1[$.[/reponse]
[reponse motif="$]1~;~+\infty[$"]Non.
Le sens de l'inégalité a été inversé lors de l'isolation de $x$.
En partant de $x + 1 > 2x$, on obtient $1 > x$, soit $x < 1$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{R} \setminus \{1\}$"]Non.
Le point $x = 1$ annule la différence, mais il n'y a qu'un seul intervalle où $g$ est strictement positive, pas deux côtés réunis.
Il faut comparer les exposants en conservant le sens de l'inégalité.[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{R}$"]Non.
La différence $\text{e}^{x+1} - \text{e}^{2x}$ change de signe : elle n'est pas toujours positive.
Pour $x$ grand, $\text{e}^{2x}$ dépasse $\text{e}^{x+1}$, donc $g$ devient négative.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Écrire $g(x) > 0 \iff \text{e}^{x+1} > \text{e}^{2x}$, puis utiliser la stricte croissance de l'exponentielle pour comparer les exposants.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On pose, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n} = \text{e}^{2n+1}$. Cette suite est géométrique. Quelle est sa raison ?
[qcm]
[option]$\text{e}$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]$\text{e}^{2n}$[/option]
[option correct="true"]$\text{e}^{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On calcule le rapport de deux termes consécutifs :
$\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} = \dfrac{\text{e}^{2(n+1)+1}}{\text{e}^{2n+1}} = \text{e}^{(2n+3)-(2n+1)} = \text{e}^{2}$.
La raison est donc $q = \text{e}^{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\text{e}$"]Non.
La constante $+1$ dans l'exposant a été confondue avec la raison.
La raison s'obtient en calculant le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}$, ou en factorisant $\text{e}^{2n+1} = \text{e} \times \left(\text{e}^{2}\right)^{n}$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Le coefficient $2$ devant $n$ dans l'exposant a été confondu avec la raison.
La raison d'une suite de la forme $u_{n} = \text{e}^{an+b}$ est $\text{e}^{a}$, pas $a$.[/reponse]
[reponse motif="$\text{e}^{2n}$"]Non.
Une raison est un nombre fixe, indépendant de $n$.
Une expression contenant $n$ ne peut pas être la raison d'une suite géométrique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Factoriser $u_{n} = \text{e}^{2n+1} = \text{e} \times \left(\text{e}^{2}\right)^{n}$ pour reconnaître une suite géométrique de premier terme $\text{e}$ et de raison $\text{e}^{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\text{e}^{x^{2}} \geqslant \text{e}^{2x+3}$.
[qcm]
[option correct="true"]$S = ]-\infty~;~-1] \cup [3~;~+\infty[$[/option]
[option]$S = [-1~;~3]$[/option]
[option]$S = ]-\infty~;~-3] \cup [1~;~+\infty[$[/option]
[option]$S = \mathbb{R}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'exponentielle étant strictement croissante, l'inéquation équivaut à $x^{2} \geqslant 2x + 3$, soit $x^{2} - 2x - 3 \geqslant 0$.
Le discriminant vaut $\Delta = 4 + 12 = 16$, donc les racines sont $x_{1} = -1$ et $x_{2} = 3$.
Le trinôme $x^{2} - 2x - 3$ est du signe de son coefficient dominant (positif) à l'extérieur des racines.
Donc $S = ]-\infty~;~-1] \cup [3~;~+\infty[$.[/reponse]
[reponse motif="$S = [-1~;~3]$"]Non.
Le signe du trinôme à l'extérieur et entre les racines a été inversé.
Pour un trinôme de coefficient dominant positif, il est positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines.[/reponse]
[reponse motif="$S = ]-\infty~;~-3] \cup [1~;~+\infty[$"]Non.
Les racines du trinôme sont incorrectes.
Reprendre la résolution de $x^{2} - 2x - 3 = 0$ avec la formule $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ en identifiant bien $a = 1$, $b = -2$, $c = -3$.[/reponse]
[reponse motif="$S = \mathbb{R}$"]Non.
L'inégalité n'est pas toujours vérifiée : par exemple pour $x = 0$, on a $x^{2} = 0$ et $2x + 3 = 3$, donc $x^{2} < 2x + 3$.
Il faut étudier le signe du trinôme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Se ramener à $x^{2} - 2x - 3 \geqslant 0$ grâce à la croissance stricte de l'exponentielle, puis étudier le signe du trinôme avec ses racines.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \text{e}^{-3x+2}$. Quel est son sens de variation sur $\mathbb{R}$ ?
[qcm]
[option]Strictement croissante sur $\mathbb{R}$.[/option]
[option]Croissante puis décroissante.[/option]
[option correct="true"]Strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.[/option]
[option]Constante sur $\mathbb{R}$.[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On calcule $f'(x) = -3\,\text{e}^{-3x+2}$.
L'exponentielle étant strictement positive, $\text{e}^{-3x+2} > 0$, donc $f'(x) < 0$ sur $\mathbb{R}$.
La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse motif="Strictement croissante sur $\mathbb{R}$."]Non.
Le signe du coefficient $a = -3$ n'a pas été pris en compte.
Pour une fonction $\text{e}^{ax+b}$, c'est le signe de $a$ qui détermine le sens de variation.[/reponse]
[reponse motif="Croissante puis décroissante."]Non.
La dérivée garde un signe constant sur $\mathbb{R}$ : il n'y a pas de changement de variation.
Une fonction $\text{e}^{ax+b}$ est monotone sur $\mathbb{R}$ tout entier.[/reponse]
[reponse motif="Constante sur $\mathbb{R}$."]Non.
Une fonction constante a une dérivée nulle, ce qui n'est pas le cas ici puisque $\text{e}^{-3x+2} > 0$.
La fonction évolue donc réellement en fonction de $x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Étudier le signe de $f'(x) = -3\,\text{e}^{-3x+2}$ en utilisant le fait que l'exponentielle est strictement positive.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\left(\text{e}^{x}\right)^{2} \times \text{e}^{-x} = \text{e}$.
[qcm]
[option]$S = \{0\}$[/option]
[option correct="true"]$S = \{1\}$[/option]
[option]$S = \{2\}$[/option]
[option]$S = \emptyset$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On simplifie le premier membre : $\left(\text{e}^{x}\right)^{2} \times \text{e}^{-x} = \text{e}^{2x} \times \text{e}^{-x} = \text{e}^{2x + (-x)} = \text{e}^{x}$.
L'équation devient $\text{e}^{x} = \text{e}^{1}$, soit $x = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$S = \{0\}$"]Non.
La simplification du premier membre a conduit à une expression incorrecte.
Reprendre : $\left(\text{e}^{x}\right)^{2} = \text{e}^{2x}$, puis $\text{e}^{2x} \times \text{e}^{-x} = \text{e}^{x}$.[/reponse]
[reponse motif="$S = \{2\}$"]Non.
Le facteur $\text{e}^{-x}$ n'a pas été pris en compte dans la simplification.
$\left(\text{e}^{x}\right)^{2} = \text{e}^{2x}$, mais il faut ensuite multiplier par $\text{e}^{-x}$, ce qui retranche $x$ à l'exposant.[/reponse]
[reponse motif="$S = \emptyset$"]Non.
Cette équation admet bien une solution.
Après simplification, elle se ramène à une équation du type $\text{e}^{A} = \text{e}^{B}$, qui équivaut à $A = B$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Simplifier d'abord le premier membre en appliquant $\left(\text{e}^{a}\right)^{n} = \text{e}^{na}$ et $\text{e}^{a} \times \text{e}^{b} = \text{e}^{a+b}$, puis résoudre l'équation obtenue.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Équations et inéquations avec l’exponentielle

[enonce]
Ce QCM porte sur la résolution d'équations et d'inéquations avec la fonction exponentielle. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\text{e}^{3x-2} = \text{e}^{x+4}$.
[qcm]
[option]$S = \{1\}$[/option]
[option correct="true"]$S = \{3\}$[/option]
[option]$S = \{-3\}$[/option]
[option]$S = \emptyset$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La fonction exponentielle étant strictement croissante, $\text{e}^{A} = \text{e}^{B} \iff A = B$.
Donc $3x - 2 = x + 4$, soit $2x = 6$, d'où $x = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$S = \{1\}$"]Non.
Erreur dans la résolution de l'équation du premier degré : les termes en $x$ se regroupent d'un côté, les constantes de l'autre.
Attention à bien déplacer le $-2$ en changeant son signe.[/reponse]
[reponse motif="$S = \{-3\}$"]Non.
Signe erroné sur la solution.
Il faut isoler $x$ après avoir regroupé les $x$ à gauche et les constantes à droite, en surveillant le signe des termes déplacés.[/reponse]
[reponse motif="$S = \emptyset$"]Non.
Une équation du type $\text{e}^{A} = \text{e}^{B}$ admet toujours des solutions : elle équivaut à $A = B$, qui est ici une équation du premier degré, toujours résoluble.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser $\text{e}^{A} = \text{e}^{B} \iff A = B$ pour se ramener à une équation du premier degré, puis isoler $x$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\text{e}^{x^{2} - 3} = \text{e}^{2x}$.
[qcm]
[option]$S = \{1~;~3\}$[/option]
[option]$S = \{3\}$[/option]
[option correct="true"]$S = \{-1~;~3\}$[/option]
[option]$S = \{-3~;~1\}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'équation équivaut à $x^{2} - 3 = 2x$, soit $x^{2} - 2x - 3 = 0$.
Le discriminant vaut $\Delta = 4 + 12 = 16$, donc $\sqrt{\Delta} = 4$.
Les solutions sont $x_{1} = \dfrac{2 - 4}{2} = -1$ et $x_{2} = \dfrac{2 + 4}{2} = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$S = \{1~;~3\}$"]Non.
Erreur de signe sur l'une des racines.
Reprendre le calcul du discriminant et des racines : $x = \dfrac{2 \pm 4}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$S = \{3\}$"]Non.
Une équation du second degré avec un discriminant strictement positif possède deux solutions distinctes.
Ne pas oublier la seconde racine.[/reponse]
[reponse motif="$S = \{-3~;~1\}$"]Non.
Erreurs de signe sur les deux racines.
La formule est $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ avec $a = 1$, $b = -2$, $c = -3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Se ramener à $x^{2} - 3 = 2x$ grâce à la croissance stricte de l'exponentielle, puis résoudre l'équation du second degré.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\text{e}^{2x+1} \leqslant \text{e}^{5}$.
[qcm]
[option correct="true"]$S = ]-\infty~;~2]$[/option]
[option]$S = [2~;~+\infty[$[/option]
[option]$S = ]-\infty~;~3]$[/option]
[option]$S = \emptyset$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La fonction exponentielle étant strictement croissante, $\text{e}^{A} \leqslant \text{e}^{B} \iff A \leqslant B$.
Donc $2x + 1 \leqslant 5$, soit $2x \leqslant 4$, d'où $x \leqslant 2$.
L'ensemble des solutions est $S = ]-\infty~;~2]$.[/reponse]
[reponse motif="$S = [2~;~+\infty[$"]Non.
Le sens de l'inégalité a été inversé.
La fonction exponentielle est strictement croissante, donc l'inégalité est conservée lorsqu'on passe aux exposants.[/reponse]
[reponse motif="$S = ]-\infty~;~3]$"]Non.
Erreur dans la résolution de $2x + 1 \leqslant 5$ : il faut d'abord soustraire $1$, puis diviser par $2$.
Vérifier chaque étape séparément.[/reponse]
[reponse motif="$S = \emptyset$"]Non.
L'inéquation a bien des solutions : elle équivaut à $2x + 1 \leqslant 5$, qui est une inéquation du premier degré classique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer $\text{e}^{A} \leqslant \text{e}^{B} \iff A \leqslant B$ (conservation du sens car $\text{exp}$ est croissante), puis résoudre l'inéquation du premier degré.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\text{e}^{-x} > \text{e}^{2x+3}$.
[qcm]
[option]$S = ]-1~;~+\infty[$[/option]
[option]$S = ]-\infty~;~-3[$[/option]
[option]$S = \emptyset$[/option]
[option correct="true"]$S = ]-\infty~;~-1[$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'exponentielle étant strictement croissante, $\text{e}^{A} > \text{e}^{B} \iff A > B$.
Donc $-x > 2x + 3$, soit $-3x > 3$, d'où $x < -1$ (inégalité inversée en divisant par $-3 < 0$).
L'ensemble des solutions est $S = ]-\infty~;~-1[$.[/reponse]
[reponse motif="$S = ]-1~;~+\infty[$"]Non.
Le sens de l'inégalité n'a pas été inversé lors de la division par $-3$.
Rappel : diviser une inégalité par un nombre strictement négatif inverse son sens.[/reponse]
[reponse motif="$S = ]-\infty~;~-3[$"]Non.
Erreur dans le regroupement des termes en $x$.
Il faut obtenir $-3x > 3$, puis diviser par $-3$ en inversant le sens de l'inégalité.[/reponse]
[reponse motif="$S = \emptyset$"]Non.
L'inéquation possède bien des solutions : elle se ramène à une inéquation du premier degré qui admet un ensemble de solutions non vide.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser $\text{e}^{A} > \text{e}^{B} \iff A > B$, puis résoudre en prenant soin d'inverser l'inégalité si l'on divise par un nombre strictement négatif.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\text{e}^{x} + 2 = 0$.
[qcm]
[option]$S = \{-2\}$[/option]
[option correct="true"]$S = \emptyset$[/option]
[option]$S = \{0\}$[/option]
[option]$S = \{0~;~-2\}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'équation équivaut à $\text{e}^{x} = -2$.
Or la fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$ : $\text{e}^{x} > 0$ pour tout réel $x$.
Elle ne peut donc jamais prendre la valeur $-2$ : l'équation n'admet aucune solution.[/reponse]
[reponse motif="$S = \{-2\}$"]Non.
L'équation a été traitée comme $x + 2 = 0$, en oubliant qu'il s'agit de $\text{e}^{x} + 2 = 0$.
Isoler d'abord $\text{e}^{x}$, puis se rappeler des valeurs que l'exponentielle peut prendre.[/reponse]
[reponse motif="$S = \{0\}$"]Non.
Vérifier : pour $x = 0$, on aurait $\text{e}^{0} + 2 = 1 + 2 = 3 \neq 0$.
Cette valeur n'est donc pas solution.[/reponse]
[reponse motif="$S = \{0~;~-2\}$"]Non.
Aucune de ces deux valeurs ne convient : il suffit de substituer $x = 0$ ou $x = -2$ pour vérifier.
Rappel : $\text{e}^{x}$ est toujours strictement positif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Isoler $\text{e}^{x}$ pour obtenir $\text{e}^{x} = -2$, puis examiner si la fonction exponentielle peut atteindre cette valeur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\text{e}^{x+1} \times \text{e}^{2x-3} = \text{e}^{4}$.
[qcm]
[option]$S = \left\{\dfrac{4}{3}\right\}$[/option]
[option]$S = \{0\}$[/option]
[option correct="true"]$S = \{2\}$[/option]
[option]$S = \left\{\dfrac{2}{3}\right\}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
En appliquant $\text{e}^{a} \times \text{e}^{b} = \text{e}^{a+b}$ :
$\text{e}^{x+1} \times \text{e}^{2x-3} = \text{e}^{(x+1)+(2x-3)} = \text{e}^{3x-2}$.
L'équation devient $\text{e}^{3x-2} = \text{e}^{4}$, soit $3x - 2 = 4$, d'où $x = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$S = \left\{\dfrac{4}{3}\right\}$"]Non.
Les constantes n'ont pas toutes été prises en compte dans la somme des exposants.
Il faut sommer intégralement $(x+1) + (2x-3)$ pour obtenir le nouvel exposant avant de résoudre.[/reponse]
[reponse motif="$S = \{0\}$"]Non.
Le produit d'exponentielles n'a pas été traduit en somme d'exposants.
Rappel : $\text{e}^{a} \times \text{e}^{b} = \text{e}^{a+b}$, jamais $\text{e}^{a-b}$ ni $\text{e}^{a \times b}$.[/reponse]
[reponse motif="$S = \left\{\dfrac{2}{3}\right\}$"]Non.
Erreur de signe dans la résolution de $3x - 2 = 4$.
Pour isoler $x$, il faut additionner $2$ aux deux membres, et non le soustraire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Transformer d'abord le produit en une seule exponentielle grâce à $\text{e}^{a} \times \text{e}^{b} = \text{e}^{a+b}$, puis résoudre l'équation du premier degré obtenue.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Simplifications et équations exponentielles

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pour tout réel $x$, $\text{e}^{2x} \times \text{e}^{-x} = \text{e}^{x}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On applique la règle $\text{e}^{a} \times \text{e}^{b} = \text{e}^{a+b}$ avec $a = 2x$ et $b = -x$ :

$\text{e}^{2x} \times \text{e}^{-x} = \text{e}^{2x + (-x)} = \text{e}^{x}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention, un produit d'exponentielles se traduit par une addition des exposants, pas par leur multiplication.
Avec la formule $\text{e}^{a} \times \text{e}^{b} = \text{e}^{a+b}$, on a $\text{e}^{2x} \times \text{e}^{-x} = \text{e}^{2x - x} = \text{e}^{x}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On applique $\text{e}^{a} \times \text{e}^{b} = \text{e}^{a+b}$ : $\text{e}^{2x} \times \text{e}^{-x} = \text{e}^{2x - x} = \text{e}^{x}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout réel $x$, $\left(\text{e}^{x}\right)^{2} = \text{e}^{x^{2}}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La propriété est $\left(\text{e}^{a}\right)^{n} = \text{e}^{na}$, c'est-à-dire exposant multiplié par $n$.
Avec $a = x$ et $n = 2$ : $\left(\text{e}^{x}\right)^{2} = \text{e}^{2x}$, et non $\text{e}^{x^{2}}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre le carré d'une exponentielle avec l'exponentielle d'un carré.
La formule $\left(\text{e}^{a}\right)^{n} = \text{e}^{na}$ donne $\left(\text{e}^{x}\right)^{2} = \text{e}^{2x}$ : l'exposant $x$ est multiplié par $2$, il n'est pas élevé au carré.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La formule $\left(\text{e}^{a}\right)^{n} = \text{e}^{na}$ donne $\left(\text{e}^{x}\right)^{2} = \text{e}^{2x}$, pas $\text{e}^{x^{2}}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout réel $x$, $\dfrac{\text{e}^{2x}}{\text{e}^{x-1}} = \text{e}^{x+1}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Un quotient d'exponentielles se traduit par une soustraction des exposants :

$\dfrac{\text{e}^{2x}}{\text{e}^{x-1}} = \text{e}^{2x - (x-1)} = \text{e}^{2x - x + 1} = \text{e}^{x+1}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est d'oublier le signe moins devant la parenthèse lors du calcul $2x - (x - 1)$.
$\dfrac{\text{e}^{2x}}{\text{e}^{x-1}} = \text{e}^{2x - (x-1)} = \text{e}^{2x - x + 1} = \text{e}^{x+1}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On applique $\dfrac{\text{e}^{a}}{\text{e}^{b}} = \text{e}^{a-b}$ avec attention au signe : $\dfrac{\text{e}^{2x}}{\text{e}^{x-1}} = \text{e}^{2x - x + 1} = \text{e}^{x+1}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $\text{e}^{3x-1} = \text{e}^{x+5}$ admet pour unique solution $x = 3$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La fonction exponentielle étant strictement croissante :

$\text{e}^{3x-1} = \text{e}^{x+5} \iff 3x - 1 = x + 5 \iff 2x = 6 \iff x = 3$

L'ensemble des solutions est bien $S = \{3\}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : puisque l'exponentielle est strictement croissante, $\text{e}^{A} = \text{e}^{B} \iff A = B$.
On obtient $3x - 1 = x + 5$, soit $2x = 6$ et $x = 3$. L'unique solution est bien $x = 3$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Par stricte croissance, l'équation équivaut à $3x - 1 = x + 5$, soit $x = 3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'inéquation $\text{e}^{x} < \text{e}^{-2}$ est équivalente à $x > -2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La fonction exponentielle est strictement croissante, donc elle conserve le sens des inégalités :

$\text{e}^{x} < \text{e}^{-2} \iff x < -2$

Il n'y a donc pas de changement de sens dans l'inégalité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas changer le sens de l'inégalité : la fonction exponentielle est strictement croissante (et non décroissante), elle conserve donc le sens de l'inégalité.
$\text{e}^{x} < \text{e}^{-2} \iff x < -2$, avec une inégalité dans le même sens.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La fonction exponentielle est strictement croissante, donc $\text{e}^{x} < \text{e}^{-2} \iff x < -2$ (et non $x > -2$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $\text{e}^{x^{2}} = \text{e}^{2x}$ admet exactement une solution dans $\mathbb{R}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Par stricte croissance, $\text{e}^{x^{2}} = \text{e}^{2x} \iff x^{2} = 2x$, soit $x^{2} - 2x = 0$.
En factorisant : $x(x - 2) = 0$, d'où $x = 0$ ou $x = 2$.
L'équation admet donc deux solutions, pas une.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de « simplifier » hâtivement $x^{2} = 2x$ en divisant par $x$, ce qui fait perdre la solution $x = 0$.
L'équation équivaut à $x^{2} - 2x = 0$, soit $x(x - 2) = 0$ : deux solutions, $x = 0$ et $x = 2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'équation équivaut à $x^{2} = 2x$, soit $x(x - 2) = 0$. Elle admet donc deux solutions : $x = 0$ et $x = 2$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Propriétés algébriques de l’exponentielle

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit $x$ un réel et :

$A = \left(\text{e}^{x} + 1\right)^2 - 2\text{e}^{x} - 1$

Affirmation : Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $A = \text{e}^{2x}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On développe :

$\left(\text{e}^{x} + 1\right)^2 = \text{e}^{2x} + 2\text{e}^{x} + 1$

Donc :

$A = \text{e}^{2x} + 2\text{e}^{x} + 1 - 2\text{e}^{x} - 1 = \text{e}^{2x}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de développer $\left(\text{e}^{x} + 1\right)^2$ en $\text{e}^{2x} + 1$ en oubliant le terme croisé $2\text{e}^x$.
$\left(\text{e}^{x} + 1\right)^2 = \text{e}^{2x} + 2\text{e}^{x} + 1$, donc $A = \text{e}^{2x} + 2\text{e}^{x} + 1 - 2\text{e}^{x} - 1 = \text{e}^{2x}$.
C'est bien vrai.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. En développant $\left(\text{e}^{x} + 1\right)^2 = \text{e}^{2x} + 2\text{e}^{x} + 1$, les termes $2\text{e}^x + 1$ se simplifient avec $-2\text{e}^x - 1$, laissant $A = \text{e}^{2x}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $x$ un réel.

Affirmation : Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\text{e}^{2x} - 1 = \left(\text{e}^{x} - 1\right)\left(\text{e}^{x} + 1\right)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On reconnaît l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ avec $a = \text{e}^x$ et $b = 1$ :

$\left(\text{e}^{x}\right)^2 - 1^2 = \left(\text{e}^{x} - 1\right)\left(\text{e}^{x} + 1\right)$

Or $\left(\text{e}^{x}\right)^2 = \text{e}^{2x}$ d'après la propriété $\left(\text{e}^{a}\right)^n = \text{e}^{na}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de ne pas reconnaître la différence de carrés $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ avec $a = \text{e}^x$, ou d'oublier que $\left(\text{e}^{x}\right)^2 = \text{e}^{2x}$.
Ainsi : $\text{e}^{2x} - 1 = \left(\text{e}^{x}\right)^2 - 1^2 = \left(\text{e}^{x} - 1\right)\left(\text{e}^{x} + 1\right)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. En reconnaissant la différence de carrés avec $a = \text{e}^x$ et $b = 1$ : $\text{e}^{2x} - 1 = \left(\text{e}^{x}\right)^2 - 1 = \left(\text{e}^{x} - 1\right)\left(\text{e}^{x} + 1\right)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit l'équation :

$\dfrac{\text{e}^{x} - 1}{\text{e}^{x} + 1} = 0$

Affirmation : L'ensemble des solutions de cette équation est $S = \{0\}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul (et son dénominateur non nul) :

$\text{e}^{x} - 1 = 0 \Leftrightarrow \text{e}^{x} = 1 \Leftrightarrow x = 0$

Donc $S = \{0\}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'essayer d'annuler le dénominateur $\text{e}^x + 1$, qui est toujours strictement positif et ne s'annule jamais.
$\dfrac{\text{e}^x - 1}{\text{e}^x + 1} = 0 \Leftrightarrow \text{e}^x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 0$.
L'ensemble des solutions est bien $S = \{0\}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul : $\text{e}^x - 1 = 0 \iff x = 0$. Le dénominateur $\text{e}^x + 1 > 0$ ne pose pas de problème.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $\text{e}^{x-1} = 0$ a pour ensemble des solutions $S = \{1\}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La fonction exponentielle ne prend que des valeurs strictement positives.
Pour tout réel $x$, $\text{e}^{x-1} > 0$.
L'équation $\text{e}^{x-1} = 0$ n'admet donc aucune solution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de raisonner par analogie avec l'équation $x - 1 = 0$ et de croire que $x = 1$ annule l'exponentielle, en oubliant que $\text{e}^0 = 1 \neq 0$.
La fonction exponentielle est toujours strictement positive : $\text{e}^{x-1} > 0$ pour tout réel $x$.
Cette équation n'a donc aucune solution.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La fonction exponentielle est strictement positive : $\text{e}^{x-1} > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. L'équation n'a aucune solution.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit l'équation $(E)$ :

$\left(\text{e}^{x} - 1\right)\left(\text{e}^{x} + 1\right) = 0$

Affirmation : L'équation $(E)$ possède deux solutions sur $\mathbb{R}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul :

$\text{e}^{x} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 0$

$\text{e}^{x} + 1 = 0 \Leftrightarrow \text{e}^{x} = -1 \quad \text{(impossible car } \text{e}^x > 0\text{)}$

L'équation $(E)$ possède donc une unique solution : $x = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de penser que chaque facteur d'un produit nul fournit toujours une solution, sans vérifier que $\text{e}^x + 1 = 0$ est impossible (car $\text{e}^x > 0$ donc $\text{e}^x + 1 > 1$).
$\text{e}^x + 1 > 0$ pour tout réel $x$, donc ce facteur n'est jamais nul.
Seul $\text{e}^x - 1 = 0$ donne une solution : $x = 0$. L'équation n'a qu'une solution.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $\text{e}^x + 1 > 0$ pour tout réel $x$, ce facteur n'est jamais nul. Seul $\text{e}^x - 1 = 0$ donne $x = 0$ : l'équation n'a qu'une solution.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans $\mathbb{R}$, l'équation $\text{e}^{2x} + \text{e}^{x} = 0$ admet une unique solution.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La fonction exponentielle est toujours strictement positive, donc $\text{e}^{2x} > 0$ et $\text{e}^{x} > 0$.
Par conséquent $\text{e}^{2x} + \text{e}^{x} > 0$ : l'équation n'a aucune solution sur $\mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de factoriser $\text{e}^x(\text{e}^x + 1) = 0$ et de croire que $\text{e}^x = 0$ admet une solution, en oubliant que l'exponentielle est toujours strictement positive.
$\text{e}^{2x} > 0$ et $\text{e}^{x} > 0$, donc leur somme est toujours strictement positive.
L'équation n'admet aucune solution (ni une, ni plusieurs).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $\text{e}^{2x} > 0$ et $\text{e}^x > 0$ pour tout réel $x$, donc leur somme est toujours strictement positive. L'équation n'admet aucune solution.
[/solution]
[/etape]