[enonce]
Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse. Pense à vérifier qu'une fonction proposée est solution en la dérivant et en la reportant dans l'équation.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 5\,\mathrm{e}^{-2x}$ est solution de l'équation différentielle $y' = -2y$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On a $f'(x) = -10\,\mathrm{e}^{-2x}$ et $-2 f(x) = -10\,\mathrm{e}^{-2x}$. L'égalité $f'(x) = -2 f(x)$ est vraie.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La fonction $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{ax}$ est toujours solution de $y' = ay$, quelle que soit la constante $C$.
Ici $a = -2$ et $C = 5$ : $f$ est bien solution.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $f'(x) = -10\,\mathrm{e}^{-2x} = -2 f(x)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'ensemble des solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y' = 3y$ est l'ensemble des fonctions $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{3x}$, où $C$ décrit $\mathbb{R}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est exactement le théorème de structure : les solutions de $y' = ay$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{ax}$, avec $C \in \mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le théorème du cours : pour $a \in \mathbb{R}$, les solutions de $y' = ay$ sur $\mathbb{R}$ sont exactement les fonctions $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{ax}$ ($C \in \mathbb{R}$).
Ici $a = 3$, ce qui donne bien $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{3x}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est le théorème de structure des solutions de $y' = ay$ avec $a = 3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \mathrm{e}^{2x} - 8$ est solution de l'équation différentielle $y' = 2y - 8$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On a $f'(x) = 2\,\mathrm{e}^{2x}$ et $2 f(x) - 8 = 2\mathrm{e}^{2x} - 16 - 8 = 2\,\mathrm{e}^{2x} - 24$.
$f'(x) \neq 2 f(x) - 8$, donc $f$ n'est pas solution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La constante ajoutée à $\mathrm{e}^{2x}$ n'est pas libre : elle doit être la solution particulière constante de l'équation, c'est-à-dire la solution de $0 = 2y - 8$, soit $y_0 = 4$ (et non $-8$).
Avec $f(x) = \mathrm{e}^{2x} - 8$, le report dans l'équation ne fonctionne pas.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La constante correcte serait $y_0 = 4$ (donnée par $0 = 2y_0 - 8$), pas $-8$. La forme attendue est $C\,\mathrm{e}^{2x} + 4$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'unique solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y' = -y$ vérifiant la condition initiale $y(0) = 3$ est la fonction $f$ définie par $f(x) = 3\,\mathrm{e}^{-x}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Les solutions de $y' = -y$ sont $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{-x}$. La condition $y(0) = 3$ donne $C = 3$.
On vérifie : $f(0) = 3$ et $f'(x) = -3\,\mathrm{e}^{-x} = -f(x)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La condition initiale détermine la constante $C$ de manière unique : ici $f(0) = C\,\mathrm{e}^{0} = C = 3$.
Donc l'unique solution est bien $f(x) = 3\,\mathrm{e}^{-x}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec $y(0) = C = 3$, l'unique solution est $f(x) = 3\,\mathrm{e}^{-x}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation différentielle $y' = 4y + 12$ admet pour solution constante la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = 3$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Une solution constante $y_0$ vérifie $0 = 4 y_0 + 12$, soit $y_0 = -3$ (et non $+3$).
On vérifie avec $g(x) = 3$ : $g'(x) = 0$ mais $4\times 3 + 12 = 24 \neq 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Pour trouver la solution constante, on résout $0 = ay_0 + b$, ce qui donne $y_0 = -\dfrac{b}{a}$.
Ici $y_0 = -\dfrac{12}{4} = -3$, et non $+3$. Attention au signe.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La solution constante est $y_0 = -\dfrac{12}{4} = -3$, pas $3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'ensemble des solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y' = 2y + 6$ est l'ensemble des fonctions $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{2x} + 3$, où $C$ décrit $\mathbb{R}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est juste !
La solution particulière constante vérifie $0 = 2y_0 + 6$, soit $y_0 = -3$.
Les solutions sont donc $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{2x} - 3$, et non $C\,\mathrm{e}^{2x} + 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Méthode : on cherche d'abord la solution particulière constante $y_0$ telle que $0 = ay_0 + b$, puis on ajoute la solution générale de l'équation homogène $C\,\mathrm{e}^{ax}$.
Ici $y_0 = -\dfrac{6}{2} = -3$, donc les solutions sont $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{2x} - 3$ (signe inversé).[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Les solutions sont $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{2x} - 3$ (la solution particulière constante est $-3$, pas $3$).
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur les équations différentielles linéaires $y^{\prime} = ay$ et $y^{\prime} = ay + b$, avec ou sans condition initiale. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Quelles sont les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y^{\prime} = 3y$ ?
[qcm]
[option]Les fonctions $f$ définies par $f(x) = e^{3x} + K$, $K \in \mathbb{R}$.[/option]
[option correct="true"]Les fonctions $f$ définies par $f(x) = K e^{3x}$, $K \in \mathbb{R}$.[/option]
[option]Les fonctions $f$ définies par $f(x) = K e^{x/3}$, $K \in \mathbb{R}$.[/option]
[option]Les fonctions $f$ définies par $f(x) = 3K e^{x}$, $K \in \mathbb{R}$.[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les solutions de $y^{\prime} = ay$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $f(x) = K e^{ax}$ où $K \in \mathbb{R}$. Avec $a = 3$, on obtient $f(x) = K e^{3x}$.
On vérifie : $f^{\prime}(x) = 3K e^{3x} = 3 f(x)$.[/reponse]
[reponse motif="Les fonctions $f$ définies par $f(x) = e^{3x} + K$, $K \in \mathbb{R}$."]Non.
La constante d'intégration apparaît en facteur devant $e^{3x}$ (pas en somme). Vérifier : si $f(x) = e^{3x} + K$, alors $f^{\prime}(x) = 3e^{3x} \neq 3(e^{3x}+K)$.[/reponse]
[reponse motif="Les fonctions $f$ définies par $f(x) = K e^{x/3}$, $K \in \mathbb{R}$."]Non.
L'exposant doit être $ax = 3x$, et non $\dfrac{x}{a} = \dfrac{x}{3}$. Confusion entre $ax$ et $\dfrac{x}{a}$.[/reponse]
[reponse motif="Les fonctions $f$ définies par $f(x) = 3K e^{x}$, $K \in \mathbb{R}$."]Non.
Le coefficient $a = 3$ doit apparaître dans l'exposant ($e^{3x}$), pas devant $K$. Vérifier : si $f(x) = 3K e^x$, alors $f^{\prime}(x) = 3K e^x = f(x) \neq 3 f(x)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Les solutions de $y^{\prime} = ay$ sont de la forme $f(x) = K e^{ax}$. Bien identifier $a$ et placer ce coefficient dans l'exposant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 5 e^{-2x}$. De quelle équation différentielle $f$ est-elle solution ?
[qcm]
[option]$y^{\prime} = 2y$[/option]
[option correct="true"]$y^{\prime} = -2y$[/option]
[option]$y^{\prime} = -2y + 5$[/option]
[option]$y^{\prime} = 5y$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
On calcule $f^{\prime}(x) = 5 \times (-2) e^{-2x} = -10 e^{-2x} = -2 \times 5 e^{-2x} = -2 f(x)$.
Donc $f$ vérifie $y^{\prime} = -2y$.[/reponse]
[reponse motif="$y^{\prime} = 2y$"]Non.
Erreur de signe : la dérivée de $e^{-2x}$ vaut $-2e^{-2x}$ (et non $+2e^{-2x}$). Le coefficient $a$ est donc $-2$, pas $+2$.[/reponse]
[reponse motif="$y^{\prime} = -2y + 5$"]Non.
La constante $5$ est un facteur multiplicatif (pas additif). Vérifier : $f(x) = 5e^{-2x}$ correspond à la forme $K e^{ax}$ avec $K = 5$, ce qui donne $y^{\prime} = ay$ sans terme constant.[/reponse]
[reponse motif="$y^{\prime} = 5y$"]Non.
$5$ est le coefficient $K$ devant l'exponentielle, pas le coefficient $a$ dans l'exposant. Le $a$ qui apparaît dans l'équation différentielle se lit dans l'exposant de $e^{ax}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $f^{\prime}(x)$, puis l'exprimer en fonction de $f(x)$ pour identifier le coefficient $a$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelles sont les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y^{\prime} = -y + 4$ ?
[qcm]
[option]Les fonctions $f$ définies par $f(x) = K e^{-x} - 4$, $K \in \mathbb{R}$.[/option]
[option correct="true"]Les fonctions $f$ définies par $f(x) = K e^{-x} + 4$, $K \in \mathbb{R}$.[/option]
[option]Les fonctions $f$ définies par $f(x) = K e^{x} + 4$, $K \in \mathbb{R}$.[/option]
[option]Les fonctions $f$ définies par $f(x) = K e^{4x} - 1$, $K \in \mathbb{R}$.[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'équation est de la forme $y^{\prime} = ay + b$ avec $a = -1$ et $b = 4$. Les solutions sont $f(x) = K e^{ax} - \dfrac{b}{a} = K e^{-x} - \dfrac{4}{-1} = K e^{-x} + 4$.
On vérifie : $f^{\prime}(x) = -K e^{-x}$ et $-f(x) + 4 = -K e^{-x} - 4 + 4 = -K e^{-x}$. Donc $f^{\prime} = -f + 4$.[/reponse]
[reponse motif="Les fonctions $f$ définies par $f(x) = K e^{-x} - 4$, $K \in \mathbb{R}$."]Non.
Erreur de signe sur la solution particulière : $-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{4}{-1} = +4$ (et non $-4$). Bien gérer le signe quand $a$ est négatif.[/reponse]
[reponse motif="Les fonctions $f$ définies par $f(x) = K e^{x} + 4$, $K \in \mathbb{R}$."]Non.
Erreur de signe dans l'exposant : $a = -1$ donne $e^{-x}$ (pas $e^{x}$). Le coefficient $a$ se reporte tel quel dans l'exposant.[/reponse]
[reponse motif="Les fonctions $f$ définies par $f(x) = K e^{4x} - 1$, $K \in \mathbb{R}$."]Non.
Confusion entre les rôles de $a$ et $b$ : $a = -1$ va dans l'exposant et $b = 4$ donne la solution particulière $-\dfrac{b}{a}$. Ne pas les permuter.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier $a$ et $b$ dans $y^{\prime} = ay + b$, puis appliquer la formule $f(x) = K e^{ax} - \dfrac{b}{a}$ en soignant les signes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y^{\prime} = 2y$ vérifiant $f(0) = 5$. Quelle est l'expression de $f$ ?
[qcm]
[option]$f(x) = e^{10x}$[/option]
[option correct="true"]$f(x) = 5 e^{2x}$[/option]
[option]$f(x) = 5 e^{x/2}$[/option]
[option]$f(x) = 5 + e^{2x}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Les solutions de $y^{\prime} = 2y$ sont $f(x) = K e^{2x}$. La condition initiale donne :
$f(0) = K e^{0} = K = 5$.
Donc $f(x) = 5 e^{2x}$.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = e^{10x}$"]Non.
La condition initiale $f(0) = 5$ détermine la constante $K$, pas l'exposant. L'exposant reste $2x$ (donné par l'équation), et on a $K = 5$.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = 5 e^{x/2}$"]Non.
L'exposant doit être $ax = 2x$ (et non $\dfrac{x}{a} = \dfrac{x}{2}$). Le coefficient $2$ multiplie $x$, il ne le divise pas.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = 5 + e^{2x}$"]Non.
La constante $K$ apparaît en facteur devant l'exponentielle ($K e^{2x}$), pas en somme. Si $f(x) = 5 + e^{2x}$, alors $f(0) = 5 + 1 = 6 \neq 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Écrire la forme générale $f(x) = K e^{2x}$, puis utiliser $f(0) = 5$ pour déterminer $K$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y^{\prime} = y - 2$ vérifiant $f(0) = 3$. Quelle est l'expression de $f$ ?
[qcm]
[option]$f(x) = 3 e^{x} - 2$[/option]
[option]$f(x) = e^{x} - 2$[/option]
[option correct="true"]$f(x) = e^{x} + 2$[/option]
[option]$f(x) = 3 e^{x - 2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On a $a = 1$ et $b = -2$. Les solutions sont $f(x) = K e^{x} - \dfrac{b}{a} = K e^{x} + 2$.
La condition initiale donne $f(0) = K + 2 = 3$, donc $K = 1$.
Donc $f(x) = e^{x} + 2$.
On vérifie : $f^{\prime}(x) = e^x = (e^x + 2) - 2 = f(x) - 2$.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = 3 e^{x} - 2$"]Non.
Erreur de signe sur la solution particulière : $-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-2}{1} = +2$ (et non $-2$). De plus, la condition initiale donne $K = 1$, pas $K = 3$ : il faut tenir compte du $+2$.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = e^{x} - 2$"]Non.
Le signe de la solution particulière est faux : on a $b = -2$ donc $-\dfrac{b}{a} = +2$. Ce qui change aussi la valeur de $K$ trouvée par la condition initiale.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = 3 e^{x - 2}$"]Non.
Le terme $-2$ ne se met pas dans l'exposant. La forme attendue est $K e^{ax} + c$ (somme d'une exponentielle et d'une constante), pas une exponentielle d'expression composée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier $a$ et $b$, écrire la forme générale $f(x) = K e^{ax} - \dfrac{b}{a}$, puis utiliser $f(0) = 3$ pour calculer $K$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2 e^{3x} + 1$. De quelle équation différentielle $f$ est-elle solution ?
[qcm]
[option]$y^{\prime} = 3y$[/option]
[option]$y^{\prime} = 3y + 1$[/option]
[option correct="true"]$y^{\prime} = 3y - 3$[/option]
[option]$y^{\prime} = 6y - 6$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On calcule $f^{\prime}(x) = 6 e^{3x}$.
On exprime ce résultat en fonction de $f(x)$ : $3f(x) - 3 = 3(2e^{3x} + 1) - 3 = 6e^{3x} + 3 - 3 = 6 e^{3x}$.
On a donc bien $f^{\prime}(x) = 3f(x) - 3$.[/reponse]
[reponse motif="$y^{\prime} = 3y$"]Non.
Cette équation correspondrait à une fonction de la forme $K e^{3x}$ (sans terme constant). Or $f(x) = 2e^{3x} + 1$ contient un $+1$ qui modifie l'équation.[/reponse]
[reponse motif="$y^{\prime} = 3y + 1$"]Non.
Le calcul donne $3f(x) - 3 = 6e^{3x}$, ce qui correspond à $f^{\prime}(x)$. Mais $3f(x) + 1 = 6e^{3x} + 4$, ce qui ne correspond pas à $f^{\prime}$.[/reponse]
[reponse motif="$y^{\prime} = 6y - 6$"]Non.
Le coefficient $a$ doit être lu dans l'exposant de $e^{3x}$, donc $a = 3$ (et non $6$). Le $6$ apparaît dans le calcul de $f^{\prime}$, mais ce n'est pas le coefficient devant $y$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $f^{\prime}(x)$, puis chercher des coefficients $a$ et $b$ tels que $f^{\prime}(x) = a f(x) + b$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

L’exercice est constitué de deux parties indépendantes.

Partie I

On considère l’équation différentielle :

1. Soit $ u $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par $ u(x) = xe^{ - x} $.
   Vérifier que la fonction $ u $ est une solution de l’équation différentielle $ y^{\prime} + y = e^{ - x} $.
2. On considère l’équation différentielle $ y^{\prime} + y = 0 $. Résoudre l’équation différentielle sur $ \mathbb{R} $.
3. En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle $ y^{\prime} + y = e^{ - x} $ sur $ \mathbb{R} $.
4. Déterminer l’unique solution $ g $ de l’équation différentielle $ y^{\prime} + y = e^{ - x} $ telle que $ g(0) = 2 $.

Partie II

Dans cette partie, $ k $ est un nombre réel fixé que l’on cherche à déterminer.

On considère la fonction $ f_k $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f_k(x) = (x + k)e^{ - x} $.

Soit $ h $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par $ h(x) = e^{ - x} $.

On note $ C_k $ la courbe représentative de la fonction $ f_k $ dans un repère orthogonal et $ C $ la courbe représentative de la fonction $ h $.

On a représenté sur le graphique en annexe les courbes $ C_k $ et $ C $ sans indiquer les unités sur les axes ni le nom des courbes.

1. Sur le graphique en annexe à rendre avec la copie, l’une des courbes est en traits pointillés, l’autre est en trait plein. Laquelle est la courbe $ C $ ?
2. En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel $ k $ et placer sur l’annexe à rendre avec la copie l’unité sur chacun des axes du graphique.

Exercice 1

Résoudre, dans $ \mathbb{R}, $ les équations différentielles suivantes :

1. $ y^{\prime} = 2y $
2. $ y^{\prime} + y = 0 $
3. $ y^{\prime} = y + 1 $
4. $ 2y^{\prime} - y = 1 $

Exercice 2

Pour chacune des équations différentielles suivantes, déterminer la solution $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ qui vérifie la condition initiale donnée :

1. $ y^{\prime}=2y+3 \ $ et $ \ f(0)=1 $
2. $ y^{\prime}=1 - y \ $ et $ \ f( - 1)=1 $
3. $ y^{\prime}+2y - 5 = 0 \ $ et $ \ f(1)= - 1 $

Exercice 3

On considère l'équation différentielle :

1. Montrer que la fonction $ g $ définie sur $ \mathbb{R} $ par :

   $ g(x) = x \text{e}^{ - x } $

   est solution de $ (E) $.

2. Montrer qu'une fonction $ f $ est solution de $ (E) $ sur $ \mathbb{R} $ si et seulement si $ f - g $ est solution de l'équation différentielle :

   $ y^{\prime}+y = 0 \quad (E_0) $
3. Résoudre, sur $ \mathbb{R} $ , l'équation différentielle $ (E_0). $
4. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $ (E) $ sur $ \mathbb{R}. $

Exercice 4

Soit l'équation différentielle :

1. Démontrer qu'il existe une fonction polynôme du second degré $ g : x \longmapsto ax^2+bx+c $ solution de l' équation différentielle $ (E) $ sur $ \mathbb{R}. $ (On déterminera $ a $, $ b $ et $ c $).
2. En déduire l'ensemble des solutions de $ (E) $ sur $ \mathbb{R} . $
3. Déterminer la solution $ h $ de l'équation différentielle $ (E) $ qui vérifie $ h(0) = 1. $

Exercice 5

On considère l'équation différentielle :

1. Soit $ f $ une solution de l'équation différentielle $ (E_1) $ qui ne s'annule pas sur $ \mathbb{R} . $
   On pose $ g = \dfrac{ 1 }{ f } . $

   Montrer que $ g $ est solution de l'équation différentielle :

   $ y^{\prime} = 1 - y \quad (E_2) $
2. Résoudre l'équation différentielle $ (E_2) $ sur $ \mathbb{R} . $
3. En déduire l'ensemble des solutions de $ (E_1) $ qui ne s'annulent pas sur $ \mathbb{R}. $