[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur le raisonnement par récurrence, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
On souhaite démontrer par récurrence qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

Affirmation : Une démonstration par récurrence comporte deux étapes obligatoires : l'initialisation et l'hérédité.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Une récurrence valide nécessite à la fois de vérifier la propriété au rang initial (initialisation) et de prouver que si elle est vraie au rang $n$, alors elle l'est au rang $n+1$ (hérédité).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la structure d'une récurrence repose sur deux piliers indissociables, l'initialisation et l'hérédité. Oublier l'un des deux invalide la démonstration.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Toute récurrence se compose de l'initialisation (vérification au rang de départ) et de l'hérédité (passage de $n$ à $n+1$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si l'hérédité est vérifiée pour tout $n \geqslant 0$, alors la propriété est vraie pour tout entier naturel, même sans initialisation.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'hérédité seule ne suffit pas : elle indique seulement que la propriété se propage d'un rang au suivant. Sans point de départ vérifié, on ne peut rien conclure.
Par exemple, la propriété « $3^n$ est pair » est héréditaire (si $3^n$ était pair, alors $3^{n+1} = 3 \times 3^n$ le serait aussi) mais elle n'est jamais vraie.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, sans initialisation la chaîne d'implications n'a aucun ancrage : on ne peut démarrer le raisonnement.
Une propriété peut être héréditaire sans jamais être vraie : il faut absolument vérifier au moins un rang.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'hérédité seule ne permet pas de conclure : il faut aussi initialiser la récurrence à un rang précis.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On veut démontrer par récurrence que pour tout $n \geqslant 1$, $P(n) : 1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$.

Affirmation : L'initialisation doit obligatoirement être faite au rang $n = 0$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'initialisation se fait au plus petit rang pour lequel on souhaite démontrer la propriété. Ici, la propriété est énoncée pour $n \geqslant 1$, donc on initialise au rang $n = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « rang initial » et « rang $0$ » : le rang d'initialisation est celui à partir duquel la propriété doit être valable.
Pour une propriété énoncée pour $n \geqslant 1$, on initialise au rang $1$, pas au rang $0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. On initialise au plus petit rang concerné par la propriété : ici $n = 1$, pas $n = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On effectue l'hérédité d'une récurrence sur la propriété $P(n)$.

Affirmation : Pour démontrer l'hérédité, on suppose que $P(n)$ est vraie pour un entier $n$ fixé, et on démontre que $P(n+1)$ est vraie.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est précisément la formulation de l'étape d'hérédité : on part de l'hypothèse de récurrence ($P(n)$ vraie pour un $n$ donné) et on prouve $P(n+1)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : l'hérédité consiste à supposer la propriété vraie à un rang $n$ quelconque (mais fixé) et à en déduire qu'elle est vraie au rang suivant $n+1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est exactement la définition de l'hérédité : supposer $P(n)$ vraie pour montrer $P(n+1)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$. On souhaite démontrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 0$.

Affirmation : Pour l'initialisation, il suffit de constater que $u_0 = 2 > 0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'initialisation consiste à vérifier la propriété au rang de départ. Comme $u_0 = 2 > 0$, la propriété est vraie au rang $0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est de croire qu'il faudrait vérifier plusieurs termes : un seul suffit, celui du rang de départ.
$u_0 = 2 > 0$ : la propriété $P(0)$ est bien vérifiée.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Pour l'initialisation, vérifier que $u_0 > 0$ suffit.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On démontre par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $P(n) : 3^n \geqslant 1 + 2n$.

Affirmation : Dans l'étape d'hérédité, écrire « Comme $P(n)$ est vraie pour tout $n$, alors… » constitue une rédaction correcte.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
C'est une erreur classique : dans l'hérédité, on suppose $P(n)$ vraie pour un entier $n$ fixé, pas pour tout $n$. Sinon, on supposerait déjà ce qu'on cherche à démontrer.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, c'est une formulation circulaire : supposer $P(n)$ vraie pour tout $n$ revient à admettre la conclusion de la récurrence.
La rédaction correcte est : « Soit $n \in \mathbb{N}$ fixé. Supposons que $P(n)$ soit vraie. Démontrons que $P(n+1)$ est vraie. »[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'hypothèse de récurrence porte sur un entier $n$ fixé, pas sur tous les entiers. Sinon, on suppose la conclusion.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur le raisonnement par récurrence : étapes, vocabulaire et application à des suites définies par récurrence. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Dans une démonstration par récurrence, les trois étapes successives sont :
[qcm]
[option]hypothèse, théorème, vérification[/option]
[option correct="true"]initialisation, hérédité, conclusion[/option]
[option]initialisation, calcul, conclusion[/option]
[option]base, induction, démonstration directe[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La démonstration par récurrence comporte toujours trois étapes : l'initialisation (vérifier la propriété au rang de départ), l'hérédité (montrer que si la propriété est vraie au rang $n$ alors elle est vraie au rang $n+1$), puis la conclusion.[/reponse]
[reponse motif="hypothèse, théorème, vérification"]Non.
Ces termes ne correspondent pas à la structure de la récurrence. Le mot-clé qui désigne la transmission « rang $n$ vers rang $n+1$ » est l'hérédité.[/reponse]
[reponse motif="initialisation, calcul, conclusion"]Non.
Le mot « calcul » n'est pas une étape de la récurrence : c'est un outil utilisé dans l'hérédité, mais pas une étape en soi.[/reponse]
[reponse motif="base, induction, démonstration directe"]Non.
Ce sont des termes proches en logique mathématique, mais le programme français utilise le triplet précis : initialisation, hérédité, conclusion.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Retenir le triptyque officiel : initialisation (rang de départ), hérédité (passage de $n$ à $n+1$), conclusion.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour montrer par récurrence que pour tout $n \geqslant 1$, $1+2+\dots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}$, l'initialisation au rang $n=1$ consiste à vérifier l'égalité :
[qcm]
[option]$1+2 = \dfrac{1 \times 2}{2}$[/option]
[option correct="true"]$1 = \dfrac{1 \times 2}{2}$[/option]
[option]$1 = \dfrac{2 \times 3}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{1 \times 2}{2} = 0$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On remplace $n$ par $1$ dans la propriété. Le membre de gauche se réduit à $1$ (un seul terme). Le membre de droite vaut $\dfrac{1 \times 2}{2} = 1$. L'égalité $1 = 1$ est vraie : l'initialisation est valide.[/reponse]
[reponse motif="$1+2 = \dfrac{1 \times 2}{2}$"]Non.
Au rang $n = 1$, la somme s'arrête à $1$ : il n'y a qu'un seul terme. On ne doit pas ajouter $2$.[/reponse]
[reponse motif="$1 = \dfrac{2 \times 3}{2}$"]Non.
La valeur $\dfrac{2 \times 3}{2} = 3$ correspond au rang $n = 2$, pas au rang $n = 1$. Il faut bien remplacer $n$ par $1$ dans le membre de droite.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1 \times 2}{2} = 0$"]Non.
$\dfrac{1 \times 2}{2}$ vaut $1$ et non $0$. Recalculer cette fraction.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Au rang $n=1$, le membre de gauche se réduit à $1$ (un seul terme) et le membre de droite vaut $\dfrac{1 \times 2}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On veut démontrer par récurrence que $P(n) : u_n = 3^n + 1$ avec $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 3u_n - 2$. L'hypothèse de récurrence est :
[qcm]
[option]$u_0 = 2$[/option]
[option]pour tout entier $n \geqslant 0$, $u_n = 3^n + 1$[/option]
[option correct="true"]il existe un entier $n \geqslant 0$ tel que $u_n = 3^n + 1$[/option]
[option]$u_{n+1} = 3^{n+1} + 1$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'hypothèse de récurrence consiste à supposer la propriété vraie pour un certain entier $n$ (fixé mais quelconque), puis à en déduire qu'elle l'est aussi au rang $n+1$. On ne suppose surtout pas la propriété pour tous les entiers, sinon il n'y aurait rien à démontrer.[/reponse]
[reponse motif="$u_0 = 2$"]Non.
$u_0 = 2$ correspond à l'initialisation (vérification au rang de départ), pas à l'hypothèse de récurrence qui intervient dans l'étape d'hérédité.[/reponse]
[reponse motif="pour tout entier $n \geqslant 0$, $u_n = 3^n + 1$"]Non.
Si l'on supposait la propriété vraie pour tous les entiers, il n'y aurait plus rien à démontrer. L'hypothèse porte sur un seul entier $n$ fixé.[/reponse]
[reponse motif="$u_{n+1} = 3^{n+1} + 1$"]Non.
C'est précisément ce qu'il faut démontrer dans l'étape d'hérédité, ce n'est donc pas une hypothèse mais le résultat à atteindre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'hypothèse de récurrence suppose la propriété vraie au rang $n$ (un entier fixé), pour ensuite démontrer qu'elle est vraie au rang $n+1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Avec $u_0 = 2$, $u_{n+1} = 3u_n - 2$ et l'hypothèse de récurrence $u_n = 3^n + 1$, le calcul de $u_{n+1}$ donne :
[qcm]
[option correct="true"]$u_{n+1} = 3 \times (3^n + 1) - 2 = 3^{n+1} + 1$[/option]
[option]$u_{n+1} = 3 \times 3^n - 2 = 3^{n+1} - 2$[/option]
[option]$u_{n+1} = 3 \times (3^n + 1) = 3^{n+1} + 3$[/option]
[option]$u_{n+1} = 3^{n+1} + 1 - 2 = 3^{n+1} - 1$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On part de la relation $u_{n+1} = 3u_n - 2$. On remplace $u_n$ par $3^n + 1$ (hypothèse de récurrence) :
$u_{n+1} = 3(3^n + 1) - 2 = 3^{n+1} + 3 - 2 = 3^{n+1} + 1$.
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.[/reponse]
[reponse motif="$u_{n+1} = 3 \times 3^n - 2 = 3^{n+1} - 2$"]Non.
On a oublié de distribuer le facteur $3$ sur le « $+1$ » de $u_n = 3^n + 1$. Reprendre le calcul en multipliant chaque terme.[/reponse]
[reponse motif="$u_{n+1} = 3 \times (3^n + 1) = 3^{n+1} + 3$"]Non.
Le « $-2$ » de la relation de récurrence $u_{n+1} = 3u_n - 2$ a été oublié. Ne pas négliger les constantes.[/reponse]
[reponse motif="$u_{n+1} = 3^{n+1} + 1 - 2 = 3^{n+1} - 1$"]Non.
La distribution du facteur $3$ a été partielle : $3 \times (3^n + 1)$ vaut $3^{n+1} + 3$, et non $3^{n+1} + 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Substituer $u_n$ par $3^n + 1$ dans $u_{n+1} = 3u_n - 2$, puis distribuer soigneusement et simplifier.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Si l'on omet l'étape d'initialisation dans une démonstration par récurrence, alors :
[qcm]
[option]la démonstration reste valide car l'hérédité suffit[/option]
[option]la conclusion est vraie à partir du rang $1$[/option]
[option correct="true"]l'hérédité peut être vraie sans que la propriété soit jamais vérifiée[/option]
[option]la propriété est nécessairement fausse[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'hérédité dit seulement « si la propriété est vraie au rang $n$, alors elle l'est au rang $n+1$ ». Sans initialisation, rien ne garantit qu'un rang où la propriété est vraie existe : la chaîne de dominos n'a pas de premier domino qui tombe. Par exemple, $P(n) : 2^n = 3$ est héréditaire si on le suppose vrai, mais n'est jamais vraie.[/reponse]
[reponse motif="la démonstration reste valide car l'hérédité suffit"]Non.
L'hérédité seule ne prouve rien : elle relie deux rangs consécutifs, mais sans point de départ établi, aucun rang n'est garanti vrai.[/reponse]
[reponse motif="la conclusion est vraie à partir du rang $1$"]Non.
Sans avoir vérifié explicitement le rang $1$ (ou tout autre rang), aucune propriété ne peut être conclue. L'initialisation n'est pas un détail.[/reponse]
[reponse motif="la propriété est nécessairement fausse"]Non.
Oublier l'initialisation ne rend pas la propriété fausse : cela rend simplement la démonstration incomplète. La propriété peut être vraie, mais ce n'est pas démontré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Sans initialisation, l'hérédité ne suffit pas : il faut un rang « de départ » prouvé pour que la propagation par hérédité soit utile.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$. On conjecture $u_n = 2^{n+1} - 1$. L'étape d'hérédité consiste à démontrer que :
[qcm]
[option]si $u_n = 2^{n+1} - 1$ alors $u_0 = 1$[/option]
[option]si $u_{n+1} = 2u_n + 1$ alors $u_n = 2^{n+1} - 1$[/option]
[option correct="true"]si $u_n = 2^{n+1} - 1$ alors $u_{n+1} = 2^{n+2} - 1$[/option]
[option]$u_{n+1} = 2^{n+1} - 1$ donc $u_n = 2^n - 1$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'hérédité consiste à supposer la propriété vraie au rang $n$ (« $u_n = 2^{n+1} - 1$ ») et à en déduire la propriété au rang $n+1$, c'est-à-dire $u_{n+1} = 2^{(n+1)+1} - 1 = 2^{n+2} - 1$.
Vérification : $u_{n+1} = 2(2^{n+1} - 1) + 1 = 2^{n+2} - 2 + 1 = 2^{n+2} - 1$.[/reponse]
[reponse motif="si $u_n = 2^{n+1} - 1$ alors $u_0 = 1$"]Non.
$u_0 = 1$ relève de l'initialisation, pas de l'hérédité. L'hérédité fait passer du rang $n$ au rang $n+1$.[/reponse]
[reponse motif="si $u_{n+1} = 2u_n + 1$ alors $u_n = 2^{n+1} - 1$"]Non.
La relation de récurrence est donnée d'office (elle définit la suite). L'hérédité part de l'expression conjecturée au rang $n$ pour atteindre celle au rang $n+1$.[/reponse]
[reponse motif="$u_{n+1} = 2^{n+1} - 1$ donc $u_n = 2^n - 1$"]Non.
On part du rang $n$ pour aller au rang $n+1$, et non l'inverse. De plus, il faut bien remplacer $n$ par $n+1$ dans la formule.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'hérédité enchaîne : « propriété au rang $n$ supposée » donc « propriété au rang $n+1$ à prouver ». Bien remplacer $n$ par $n+1$ dans la formule conjecturée.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,

1. Affirmation 1 : « $u_4 = \dfrac{1}{9}$. »
2. Affirmation 2 : « Pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{1}{2n + 1}$. »
3. Affirmation 3 : « La suite numérique $(u_n)$ est minorée par $10^{-10}$. »

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = 3u_n + 1$ pour tout entier naturel $n$.

On considère la fonction calcul écrite en Python qui renvoie la valeur de $u_n$ :

def calcul(n):
    u = 0
    for i in range(n):
        u = 3 * u + 1
    return u

On considère par ailleurs la fonction liste écrite en Python :

def liste(n):
    l = []
    for i in range(n):
        l.append(calcul(i))
    return l

• Affirmation 1 : « L'appel liste(6) renvoie la liste [0, 1, 4, 13, 42, 121]. »
• Affirmation 2 : « Pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{1}{2} \times 3^n - \dfrac{1}{2}$. »
• Affirmation 3 : « Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} - u_n$ est une puissance de 3. »

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ :

Le but de cet exercice est de déterminer une formule donnant $u_n$ en fonction de $n$.

On utilisera une méthode différente dans chacune des parties.

Première méthode : Raisonnement par récurrence

1. Calculer les valeurs de $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
   Conjecturer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
2. Démontrer, par récurrence, la conjecture faite à la question précédente.

Deuxième méthode : utilisation d'une suite annexe

Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=\dfrac{1}{u_n}$.

1. Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite arithmétique dont on déterminera le premier terme et la raison.
2. En déduire l'expression de $v_n$ puis celle de $u_n$ en fonction de $n$.

Soit $k$ un réel positif ou nul.

On considère la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0=0$ et pour tout entier $n \geqslant 0$ : $u_{n+1}= \sqrt{u_n^2+k^2}$.

1. Exprimer $u_1$, $u_2$, $u_3$ en fonction de $k$.
   Conjecturer la valeur de $u_n$ en fonction de $k$ et de $n$.
2. Démontrer, par récurrence, la conjecture émise à la question précédente.