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Ajustement hyperbolique — vitesse et durée de trajet

Un automobiliste relève, lors de plusieurs trajets effectués entre deux mêmes villes, la vitesse moyenne $ v $ (en km/h) et le temps de parcours $ t $ (en heures).

$ v_{i} $ (en km/h) $ 50 $ $ 60 $ $ 80 $ $ 100 $ $ 120 $ $ 150 $
$ t_{i} $ (en h) $ 2{,}40 $ $ 2{,}00 $ $ 1{,}50 $ $ 1{,}20 $ $ 1{,}00 $ $ 0{,}80 $
  1. La vitesse augmente, le temps diminue : pourquoi un modèle affine $ t=a\,v+b $ n'est-il pas adapté à cette situation physique ?

  2. On pose $ X=\dfrac{1}{v} $. Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant à $ 10^{-4} $ près.

    $ v_{i} $ $ 50 $ $ 60 $ $ 80 $ $ 100 $ $ 120 $ $ 150 $
    $ X_{i}=\dfrac{1}{v_{i}} $            
    $ t_{i} $ $ 2{,}40 $ $ 2{,}00 $ $ 1{,}50 $ $ 1{,}20 $ $ 1{,}00 $ $ 0{,}80 $
  3. À l'aide de la calculatrice, on trouve pour la régression affine $ t=aX+b $ : $ a\approx 120 $ et $ b\approx 0 $, avec $ r\approx 1 $. En déduire l'expression de $ t $ en fonction de $ v $.
  4. Interpréter physiquement la valeur de $ a $.
  5. Estimer le temps de parcours pour une vitesse moyenne de $ 90 $ km/h. Convertir le résultat en heures et minutes.

Corrigé

  1. Pour un trajet de longueur fixée $ L $, on a $ t=\dfrac{L}{v} $ : le temps est inversement proportionnel à la vitesse, et non affine. De plus, lorsque $ v $ devient grand, $ t $ tend vers $ 0 $ ; or une fonction affine non constante n'a pas de limite finie en $ +\infty $. Le modèle affine n'est donc pas adapté.

  2. On calcule $ X_{i}=\dfrac{1}{v_{i}} $ :

    $ \dfrac{1}{50}=0{,}0200\,;\ \dfrac{1}{60}\approx 0{,}0167\,;\ \dfrac{1}{80}=0{,}0125 $
    $ \dfrac{1}{100}=0{,}0100\,;\ \dfrac{1}{120}\approx 0{,}0083\,;\ \dfrac{1}{150}\approx 0{,}0067 $
    $ v_{i} $ $ 50 $ $ 60 $ $ 80 $ $ 100 $ $ 120 $ $ 150 $
    $ X_{i} $ $ 0{,}0200 $ $ 0{,}0167 $ $ 0{,}0125 $ $ 0{,}0100 $ $ 0{,}0083 $ $ 0{,}0067 $
    $ t_{i} $ $ 2{,}40 $ $ 2{,}00 $ $ 1{,}50 $ $ 1{,}20 $ $ 1{,}00 $ $ 0{,}80 $

  3. La calculatrice donne $ t\approx 120\,X+0 $, avec $ r\approx 1 $ : l'ajustement de la nouvelle série est quasi parfait. En remplaçant $ X $ par $ \dfrac{1}{v} $ :

    $\mathbf{t=\dfrac{120}{v}}$
  4. La relation $ t=\dfrac{L}{v} $ avec $ L $ la longueur du trajet permet d'identifier $ L=120 $ km. Le coefficient $ a $ représente donc la longueur du trajet (en kilomètres) entre les deux villes.

  5. Pour $ v=90 $ km/h :

    $ t=\dfrac{120}{90}=\dfrac{4}{3}\approx 1{,}33\ \text{h} $

    Or $ \dfrac{1}{3} $ h $ = 20 $ min : le trajet dure environ $ 1 $ h $ 20 $ min.

Synthèse — concentration d’un médicament dans le sang

Une étude pharmacologique mesure la concentration $ C $ (en mg/L) d'un médicament dans le sang d'un patient au cours du temps $ t $ (en heures), à partir de l'instant de l'injection.

$ t_{i} $ (en h) $ 0 $ $ 1 $ $ 2 $ $ 3 $ $ 4 $ $ 6 $ $ 8 $
$ C_{i} $ (en mg/L) $ 80 $ $ 64 $ $ 51 $ $ 41 $ $ 33 $ $ 21 $ $ 13 $

Partie A — Ajustement affine

  1. À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite des moindres carrés $ C=a_{1}\,t+b_{1} $ (arrondir au centième), ainsi que le coefficient de corrélation linéaire $ r_{1} $ (arrondir au millième).
  2. La valeur de $ r_{1} $ semble proche de $ 1 $ en valeur absolue. Expliquer pourquoi cet ajustement reste cependant peu satisfaisant en regardant les écarts entre la prévision et les valeurs observées pour $ t=0 $ et $ t=8 $.

Partie B — Ajustement exponentiel

On pose $ z=\ln(C) $ et on étudie un ajustement de la forme $ C=A\,e^{kt} $.

  1. À l'aide de la calculatrice, on obtient pour la régression affine $ z=a_{2}\,t+b_{2} $ :
    $ a_{2}\approx -0{,}226 $ ; $ b_{2}\approx 4{,}388 $ ; $ r_{2}\approx -0{,}99996 $.
    Comparer $ |r_{1}| $ et $ |r_{2}| $. Quel ajustement est le plus pertinent ?
  2. En déduire les valeurs approchées de $ k $ et $ A $ (arrondir $ A $ au dixième), puis donner l'expression de $ C $ en fonction de $ t $.

Partie C — Exploitation du modèle

On utilise désormais le modèle $ C(t)=80{,}5\,e^{-0{,}226\,t} $.

  1. Estimer la concentration au bout de $ 5 $ heures. Préciser s'il s'agit d'une interpolation ou d'une extrapolation.
  2. Estimer la concentration au bout de $ 10 $ heures. Même question.
  3. À partir de quelle durée (au dixième d'heure) la concentration devient-elle inférieure à $ 5 $ mg/L ? Justifier par un calcul utilisant la fonction logarithme.

Corrigé

Partie A

  1. On saisit les sept couples $ (t_{i}\,;C_{i}) $ en mode statistique deux variables, puis on lance la régression linéaire. La calculatrice affiche :

    $\mathbf{C\approx -8{,}13\,t+71{,}16}$ avec $\mathbf{r_{1}\approx -0{,}969}$

  2. Vérifions les prévisions du modèle affine pour les valeurs extrêmes :

    • Pour $ t=0 $ : $ C\approx 71{,}16 $, alors que la valeur observée est $ 80 $. Écart : environ $ 9 $ mg/L (sous-estimation).
    • Pour $ t=8 $ : $ C\approx -8{,}13\times 8+71{,}16=-65{,}04+71{,}16=6{,}12 $, alors que la valeur observée est $ 13 $. Écart : environ $ 7 $ mg/L (sous-estimation).
    • Pour $ t=4 $ : $ C\approx -8{,}13\times 4+71{,}16=-32{,}52+71{,}16=38{,}64 $, alors que la valeur observée est $ 33 $. Écart : environ $ 6 $ mg/L (surestimation).

    Les écarts sont importants et changent de sens : le modèle affine surestime au milieu de la plage et sous-estime aux extrémités, ce qui montre que la décroissance des données n'est pas régulière. Un coefficient $ |r_{1}|\approx 0{,}97 $ ne suffit donc pas à valider l'ajustement.

Partie B

  1. On a $ |r_{2}|\approx 0{,}99996 $ et $ |r_{1}|\approx 0{,}969 $. Donc :

    $ |r_{2}|>|r_{1}| $

    L'ajustement affine de $ z=\ln(C) $ en fonction de $ t $ est bien meilleur que celui de $ C $ en fonction de $ t $ : le modèle exponentiel est donc plus pertinent.

  2. Par identification avec $ z=kt+\ln(A) $ : $ k\approx -0{,}226 $ et $ \ln(A)\approx 4{,}388 $, d'où :

    $ A\approx e^{4{,}388}\approx 80{,}5 $

    L'expression de $ C $ en fonction de $ t $ est donc :

    $\mathbf{C\approx 80{,}5\,e^{-0{,}226\,t}}$

Partie C

  1. Pour $ t=5 $ :

    $ C(5)\approx 80{,}5\times e^{-0{,}226\times 5}=80{,}5\times e^{-1{,}13}\approx 80{,}5\times 0{,}3230\approx 26{,}0 $

    La concentration estimée est d'environ $ 26{,}0 $ mg/L. Comme $ 5\in [0\,;8] $, il s'agit d'une interpolation, a priori fiable.

  2. Pour $ t=10 $ :

    $ C(10)\approx 80{,}5\times e^{-0{,}226\times 10}=80{,}5\times e^{-2{,}26}\approx 80{,}5\times 0{,}1042\approx 8{,}4 $

    La concentration estimée est d'environ $ 8{,}4 $ mg/L. Comme $ 10>8 $, il s'agit d'une extrapolation, à manier avec prudence : le modèle est extrapolé hors de la plage observée et les conditions physiologiques peuvent évoluer.

  3. On résout :

    $ 80{,}5\,e^{-0{,}226\,t}<5 $
    $ e^{-0{,}226\,t}<\dfrac{5}{80{,}5}\approx 0{,}06211 $

    La fonction $ \ln $ est strictement croissante sur $ ]0\,;+\infty[ $, donc :

    $ -0{,}226\,t<\ln(0{,}06211)\approx -2{,}778 $
    $ t>\dfrac{-2{,}778}{-0{,}226}\approx 12{,}3 $

    (L'inégalité change de sens car on divise par $ -0{,}226<0 $.)

    D'après le modèle, la concentration devient inférieure à $ 5 $ mg/L au bout d'environ $ 12{,}3 $ h, soit un peu plus de $ 12 $ heures après l'injection. Cette valeur résulte d'une extrapolation.

→ Pour réviser : Interpréter le coefficient de corrélation linéaire

Ajustement exponentiel — culture bactérienne

Dans un laboratoire, on observe la croissance d'une culture bactérienne. Le tableau ci-dessous donne, pour chaque heure écoulée depuis le début de l'expérience, la population $ N $ (en millions de bactéries) en fonction du temps $ t $ (en heures).

$ t_{i} $ (en h) $ 0 $ $ 1 $ $ 2 $ $ 3 $ $ 4 $ $ 5 $
$ N_{i} $ (en millions) $ 200 $ $ 320 $ $ 510 $ $ 820 $ $ 1\,310 $ $ 2\,100 $

On souhaite ajuster la population $ N $ par un modèle exponentiel de la forme $ N=A\,e^{kt} $.

  1. Justifier qu'un ajustement affine direct de $ N $ en fonction de $ t $ ne semble pas adapté.

  2. On pose $ z=\ln(N) $. Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs $ z_{i} $ au centième.

    $ t_{i} $ $ 0 $ $ 1 $ $ 2 $ $ 3 $ $ 4 $ $ 5 $
    $ z_{i}=\ln(N_{i}) $            
  3. À l'aide de la calculatrice, on trouve pour la régression affine $ z=at+b $ : $ a\approx 0{,}471 $ et $ b\approx 5{,}297 $, avec $ r\approx 0{,}9999 $. Interpréter la valeur de $ r $ et en déduire les valeurs approchées (au centième) de $ k $ et $ A $.
  4. Donner l'expression de $ N $ en fonction de $ t $.
  5. Estimer la population de bactéries au bout de $ 7 $ heures. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?

Corrigé

  1. Les valeurs de $ N $ croissent de plus en plus vite : entre $ t=0 $ et $ t=1 $, $ N $ augmente de $ 120 $ ; entre $ t=4 $ et $ t=5 $, $ N $ augmente de $ 790 $. La croissance n'est pas régulière (les écarts ne sont pas constants), donc un modèle affine n'est pas adapté. La forme du nuage suggère plutôt une croissance exponentielle.

  2. On calcule $ z_{i}=\ln(N_{i}) $ pour chaque valeur :

    $ \ln(200)\approx 5{,}30,\ \ln(320)\approx 5{,}77,\ \ln(510)\approx 6{,}23 $
    $ \ln(820)\approx 6{,}71,\ \ln(1\,310)\approx 7{,}18,\ \ln(2\,100)\approx 7{,}65 $
    $ t_{i} $ $ 0 $ $ 1 $ $ 2 $ $ 3 $ $ 4 $ $ 5 $
    $ z_{i} $ $ 5{,}30 $ $ 5{,}77 $ $ 6{,}23 $ $ 6{,}71 $ $ 7{,}18 $ $ 7{,}65 $

    Les valeurs de $ z $ progressent maintenant de manière quasi régulière (environ $ +0{,}47 $ par heure), ce qui confirme l'intérêt du changement de variable.

  3. Le coefficient $ r\approx 0{,}9999 $ est très proche de $ 1 $ : les points $ (t_{i}\,;z_{i}) $ sont quasiment alignés, l'ajustement affine de $ z $ en $ t $ est excellent.

    Par identification avec $ z=kt+\ln(A) $ :

    $ k\approx 0{,}47\quad \text{et}\quad \ln(A)\approx 5{,}30 $

    D'où $ A\approx e^{5{,}30}\approx 200{,}34 $, soit $\mathbf{A\approx 200{,}34}$ (millions).

  4. On en déduit l'expression de $ N $ :

    $\mathbf{N\approx 200{,}34\,e^{0{,}47\,t}}$

  5. Pour $ t=7 $ :

    $ N\approx 200{,}34\times e^{0{,}47\times 7}=200{,}34\times e^{3{,}29}\approx 200{,}34\times 26{,}84\approx 5\,377 $

    La population estimée est d'environ $ 5\,377 $ millions de bactéries.

    Comme $ 7>5 $, la valeur sort de la plage observée $ [0\,;5] $ : il s'agit d'une extrapolation. Cette estimation est à manier avec prudence, car rien ne garantit que la croissance exponentielle se poursuive au-delà des conditions de l'expérience (saturation du milieu, épuisement des nutriments…).

→ Pour réviser : Réaliser un ajustement par changement de variable