[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les suites arithmétiques et géométriques, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite définie sur $\mathbb{N}$.

Affirmation : Si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = u_n + 4$, alors $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $4$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La relation $u_{n+1} - u_n = 4$ pour tout $n$ caractérise une suite arithmétique de raison $4$ : on ajoute la même quantité d'un terme au suivant.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : une suite arithmétique de raison $r$ vérifie $u_{n+1} = u_n + r$ pour tout $n$. Ici, $r = 4$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Si $u_{n+1} - u_n = 4$ pour tout $n$, alors $(u_n)$ est arithmétique de raison $4$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = 2u_n + 1$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Une suite est géométrique si $u_{n+1} = q \times u_n$ avec $q$ constant. Ici, le terme $+1$ ajouté empêche ce rapport constant.
$\dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{7}{3}$ et $\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{15}{7}$ : les rapports diffèrent.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au $+1$ : il n'apparaît dans aucune relation géométrique. Une suite arithmético-géométrique n'est ni arithmétique ni géométrique.
$u_1 = 7$, $u_2 = 15$ ; les rapports successifs $\dfrac{7}{3}$ et $\dfrac{15}{7}$ ne sont pas égaux.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. À cause du $+1$, la suite n'est pas géométrique : elle est arithmético-géométrique.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $q = 2$.

Affirmation : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = 5 \times 2^n$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La formule du terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n = u_0 \times q^n$.
Ici, $u_n = 5 \times 2^n$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour une suite géométrique partant de $u_0$, le terme général est $u_n = u_0 \times q^n$ (l'exposant correspond au nombre de multiplications par $q$ depuis $u_0$).
$u_n = 5 \times 2^n$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Pour une suite géométrique partant de $u_0$, $u_n = u_0 \times q^n = 5 \times 2^n$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_1 = 3$ et de raison $r = 2$.

Affirmation : Pour tout $n \geqslant 1$, $u_n = 3 + 2n$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La formule générale est $u_n = u_1 + (n - 1) \times r$ quand on part du rang $1$. Ici :
$u_n = 3 + 2(n - 1) = 2n + 1$.
La formule $3 + 2n$ donnerait $u_1 = 5$, ce qui contredit la donnée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre le rang de départ : si on part de $u_1$, la formule devient $u_n = u_1 + (n-1) r$, pas $u_1 + nr$.
$u_n = 3 + 2(n-1) = 2n + 1$. Vérification : $u_1 = 3$ avec cette formule, $u_1 = 5$ avec celle proposée.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Comme la suite démarre à $u_1$, la formule correcte est $u_n = u_1 + (n-1) r = 2n + 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q = -2$ et de premier terme $u_0 = 1$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est croissante.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Avec $q = -2$, les termes alternent de signe : $u_0 = 1$, $u_1 = -2$, $u_2 = 4$, $u_3 = -8$…
La suite n'est ni croissante, ni décroissante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au signe de la raison : pour une raison négative, les termes oscillent de signe et la suite n'est pas monotone.
Calcul : $u_0 = 1$, $u_1 = -2$, $u_2 = 4$, $u_3 = -8$. Aucune monotonie.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Une suite géométrique de raison négative oscille en signe : elle n'est jamais monotone.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 2$ et de raison $r = 3$.

Affirmation : La somme $S = u_0 + u_1 + u_2 + \dots + u_{10}$ vaut $S = 187$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Il y a $11$ termes (de $u_0$ à $u_{10}$), $u_{10} = 2 + 10 \times 3 = 32$.
$S = 11 \times \dfrac{u_0 + u_{10}}{2} = 11 \times \dfrac{2 + 32}{2} = 11 \times 17 = 187$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la somme des termes d'une suite arithmétique vaut (nombre de termes) $\times$ (premier $+$ dernier) $/ 2$.
Ici : $11$ termes, $u_{10} = 32$, somme $= 11 \times \dfrac{2 + 32}{2} = 187$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La somme des $11$ premiers termes vaut $11 \times \dfrac{u_0 + u_{10}}{2} = 187$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur les suites arithmétiques et géométriques : raison, calcul de termes, somme des termes et modélisation. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $(u_n)$ arithmétique de raison $r = 3$ et de premier terme $u_0 = 5$. Combien vaut $u_{20}$ ?
[qcm]
[option]$60$[/option]
[option correct="true"]$65$[/option]
[option]$63$[/option]
[option]$68$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On utilise la formule explicite $u_n = u_0 + n \times r$ avec $n = 20$ :
$u_{20} = 5 + 20 \times 3 = 5 + 60 = 65$.[/reponse]
[reponse motif="$60$"]Non.
On a calculé $20 \times 3 = 60$ mais oublié d'ajouter le premier terme $u_0 = 5$. La formule complète est $u_n = u_0 + n \times r$.[/reponse]
[reponse motif="$63$"]Non.
On a fait $19 \times 3 + 5 + ... = 62$, ou un calcul similaire avec $19$ pas. Pour passer de $u_0$ à $u_{20}$, il y a bien $20$ pas (et non $19$).[/reponse]
[reponse motif="$68$"]Non.
On a appliqué la raison $21$ fois ($21 \times 3 + 5 = 68$). Pour aller de $u_0$ à $u_{20}$, on effectue $20$ pas, pas $21$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour une suite arithmétique : $u_n = u_0 + n \times r$. Bien identifier $u_0$ comme point de départ et $n$ comme nombre de pas.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(v_n)$ géométrique de raison $q = 2$ et de premier terme $v_0 = 3$. Combien vaut $v_{10}$ ?
[qcm]
[option]$60$[/option]
[option]$1024$[/option]
[option correct="true"]$3072$[/option]
[option]$6144$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On utilise $v_n = v_0 \times q^n$ avec $v_0 = 3$, $q = 2$, $n = 10$ :
$v_{10} = 3 \times 2^{10} = 3 \times 1024 = 3072$.[/reponse]
[reponse motif="$60$"]Non.
Cela correspond au calcul $3 + 10 \times 2 \times \dots$ ou $3 \times 2 \times 10$. La suite est géométrique : il faut multiplier par $q^n$ (puissance), pas par $n \times q$.[/reponse]
[reponse motif="$1024$"]Non.
$1024 = 2^{10}$ correspond à $q^n$ seul. On a oublié de multiplier par le premier terme $v_0 = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$6144$"]Non.
$6144 = 3 \times 2^{11}$ : on a appliqué $q$ une fois de trop. Pour $v_{10}$ partant de $v_0$, l'exposant est exactement $10$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour une suite géométrique : $v_n = v_0 \times q^n$. L'indice $n$ apparaît en exposant de $q$, et il ne faut pas oublier le premier terme.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La somme $S = 1 + 2 + 4 + 8 + \dots + 2^{10}$ vaut :
[qcm]
[option]$1024$[/option]
[option]$2048$[/option]
[option correct="true"]$2047$[/option]
[option]$4095$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Il s'agit de la somme des termes de la suite géométrique de raison $q = 2$, allant de $2^0 = 1$ jusqu'à $2^{10}$, soit $11$ termes.
$S = \dfrac{1 - q^{11}}{1 - q} = \dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = \dfrac{1 - 2048}{-1} = 2047$.[/reponse]
[reponse motif="$1024$"]Non.
$1024 = 2^{10}$ est le dernier terme de la somme, pas la somme elle-même. La somme contient $11$ termes, dont $1024$ est seulement le plus grand.[/reponse]
[reponse motif="$2048$"]Non.
$2048 = 2^{11}$ correspond à $1 - 2^{11}$ au signe près, mais on a oublié le « $-1$ » dans la formule. Reprendre $\dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2}$.[/reponse]
[reponse motif="$4095$"]Non.
$4095 = 2^{12} - 1$ : on a confondu l'exposant $11$ avec $12$. La somme allant de $2^0$ à $2^{10}$ contient $11$ termes (et non $12$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compter le nombre de termes (de $2^0$ à $2^{10}$, il y en a $11$) puis appliquer la formule $\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une suite arithmétique $(u_n)$ vérifie $u_0 = 7$ et $u_5 = 22$. Sa raison vaut :
[qcm]
[option]$5$[/option]
[option]$2{,}5$[/option]
[option]$15$[/option]
[option correct="true"]$3$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On utilise $u_5 = u_0 + 5r$, soit $22 = 7 + 5r$, donc $5r = 15$ et $r = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
$5$ est le nombre de pas entre $u_0$ et $u_5$, pas la raison. Il faut résoudre $22 = 7 + 5r$ pour trouver $r$.[/reponse]
[reponse motif="$2{,}5$"]Non.
$2{,}5 = \dfrac{15}{6}$ correspond à un comptage de $6$ pas au lieu de $5$. Pour passer de $u_0$ à $u_5$, on effectue exactement $5$ pas (l'écart entre les indices).[/reponse]
[reponse motif="$15$"]Non.
$15 = 22 - 7$ est l'augmentation totale entre $u_0$ et $u_5$, mais répartie sur $5$ pas. Il faut encore diviser par $5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser $u_n = u_0 + n \times r$ entre $u_0$ et $u_5$, isoler $r$ et diviser par le nombre de pas.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une suite géométrique $(u_n)$ de raison $q$ strictement positive vérifie $u_2 = 12$ et $u_5 = 96$. Combien vaut $q$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$8$[/option]
[option]$4$[/option]
[option]$\sqrt{8}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On utilise $u_5 = u_2 \times q^{5-2} = u_2 \times q^3$, soit $96 = 12 \times q^3$. Donc $q^3 = \dfrac{96}{12} = 8$, et puisque $q > 0$, $q = \sqrt[3]{8} = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
$8 = \dfrac{96}{12}$ est la valeur de $q^3$, pas celle de $q$. Il reste à prendre la racine cubique.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
On a pris une racine carrée au lieu d'une racine cubique. Or l'exposant est $5 - 2 = 3$, donc il faut résoudre $q^3 = 8$ et non $q^2 = 16$.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{8}$"]Non.
$\sqrt{8}$ est la racine carrée de $8$, ce qui correspondrait à $q^2 = 8$. L'exposant est ici $3$, il faut prendre la racine cubique de $8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser $u_n = u_k \times q^{n - k}$ entre $u_2$ et $u_5$, isoler $q^3$, puis prendre la racine cubique.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un capital initial est placé sur un compte rémunéré à $3 \%$ par an (intérêts composés). La suite $(C_n)$ des capitaux successifs vérifie :
[qcm]
[option]$C_{n+1} = C_n + 3$[/option]
[option]$C_{n+1} = C_n + 0{,}03$[/option]
[option]$C_{n+1} = 3 \times C_n$[/option]
[option correct="true"]$C_{n+1} = 1{,}03 \times C_n$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Augmenter de $3 \%$ revient à multiplier par $1 + \dfrac{3}{100} = 1{,}03$. La relation est donc $C_{n+1} = 1{,}03 \times C_n$ : la suite est géométrique de raison $1{,}03$.[/reponse]
[reponse motif="$C_{n+1} = C_n + 3$"]Non.
Une augmentation en pourcentage correspond à une multiplication, pas à l'ajout d'une constante. De plus, ajouter $3$ ne tiendrait pas compte du capital initial.[/reponse]
[reponse motif="$C_{n+1} = C_n + 0{,}03$"]Non.
Le coefficient $0{,}03$ correspond au taux décimal, mais on l'utilise comme multiplicateur ($\times 0{,}03$ ou $\times 1{,}03$), pas comme addition. Et $0{,}03$ ajouté à un capital n'aurait aucun sens.[/reponse]
[reponse motif="$C_{n+1} = 3 \times C_n$"]Non.
Multiplier par $3$ correspondrait à un taux de $200 \%$. Pour $3 \%$, le coefficient multiplicateur vaut $1 + \dfrac{3}{100} = 1{,}03$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une augmentation à taux constant se modélise par une suite géométrique. Le coefficient multiplicateur d'une augmentation de $t \%$ est $1 + \dfrac{t}{100}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

1. Comment peut-on montrer qu'une suite est croissante ? décroissante ? constante ?
2. Qu'est-ce qu'une suite majorée ? minorée ? bornée ?
3. Quelles méthodes peut-on utiliser pour montrer qu'une suite est convergente ?
4. Comment montre-t-on qu'une suite est arithmétique ?
5. Pour une suite arithmétique de raison $ r $, quelle formule permet de calculer $ u_n $ en fonction de $ u_0 $ ? en fonction de $ u_p $ $ (p \in \mathbb{N}) $ ?
6. Que vaut la somme $ 1+2+3+\cdots+n $ ?
7. Comment montre-t-on qu'une suite est géométrique ?
8. Pour une suite géométrique de raison $ q $, quelle formule permet de calculer $ u_n $ en fonction de $ u_0 $ ? en fonction de $ u_p $ $ (p \in \mathbb{N}) $ ?
9. Que vaut la somme $ 1+q+q^2+\cdots+q^n $ ?
10. Quelle est (en fonction de $ q $) la limite de $ q^n $ ?
11. Écrire un algorithme affichant les $ n $ premiers termes d'une suite.
12. Quelles sont les étapes d'une démonstration par récurrence ?