Vrai/Faux : Modélisation et problèmes avec la loi binomiale

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante issue d'une situation concrète, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Une chaîne de production fabrique des pièces dont $2\,\%$ sont défectueuses. On prélève au hasard $50$ pièces dans une grande quantité (assimilable à un tirage avec remise). On note $X$ le nombre de pièces défectueuses parmi les $50$.

Affirmation : La probabilité que toutes les pièces soient conformes est $p(X = 0) = 0{,}02^{50}$.

[qcm]
[option]Vrai
[option correct="true"]Faux
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$X$ suit $\mathscr{B}(50~;~0{,}02)$. La probabilité d'aucune défectueuse est $p(X = 0) = (1 - 0{,}02)^{50} = 0{,}98^{50}$, et non $0{,}02^{50}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de confondre la probabilité d'un succès (pièce défectueuse, $p = 0{,}02$) avec celle de l'événement contraire (pièce conforme, $1 - p = 0{,}98$).
$p(X = 0) = (1-p)^n = 0{,}98^{50}$, ce qui correspond à $50$ pièces conformes consécutives. La valeur $0{,}02^{50}$, elle, correspond à $50$ défectueuses, soit l'événement opposé.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
$p(X = 0) = 0{,}98^{50}$, c'est-à-dire $(1-p)^{50}$, et non $0{,}02^{50}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Un test de dépistage a une sensibilité de $95\,\%$ : pour un individu malade, le test renvoie un résultat positif avec probabilité $0{,}95$. On teste $20$ individus malades, indépendamment les uns des autres. On note $X$ le nombre de tests positifs.

Affirmation : $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(20~;~0{,}95)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai
[option]Faux
[reponse statut="correct"]Exactement !
On répète $20$ fois, de manière identique et indépendante, la même épreuve de Bernoulli (« le test est positif »), de paramètre $p = 0{,}95$. La variable $X$ compte le nombre de succès, donc $X \sim \mathscr{B}(20~;~0{,}95)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour reconnaître une loi binomiale, il faut $n$ épreuves identiques, indépendantes, à deux issues, et une variable qui compte le nombre de succès.
Tester un individu malade revient à une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}95$ ; les $20$ tests étant indépendants, $X$ suit bien $\mathscr{B}(20~;~0{,}95)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$20$ tests indépendants, chacun positif avec probabilité $0{,}95$ : $X \sim \mathscr{B}(20~;~0{,}95)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On répète, de manière indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}1$. On note $X_n$ le nombre de succès après $n$ répétitions.

Affirmation : Le plus petit entier $n$ tel que $p(X_n \geqslant 1) > 0{,}99$ est $n = 44$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai
[option]Faux
[reponse statut="correct"]Bravo !
$p(X_n \geqslant 1) = 1 - p(X_n = 0) = 1 - 0{,}9^n$.
On résout $1 - 0{,}9^n > 0{,}99$, soit $0{,}9^n < 0{,}01$. Comme $\ln(0{,}9) < 0$ :

$n > \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}9)} \approx 43{,}71$

Donc le plus petit entier convenant est $n = 44$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour minorer $p(X \geqslant 1)$, on passe par le complémentaire $p(X = 0) = (1-p)^n$, puis on résout l'inéquation par logarithme.
$1 - 0{,}9^n > 0{,}99 \Leftrightarrow 0{,}9^n < 0{,}01 \Leftrightarrow n > \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}9)} \approx 43{,}71$. Le plus petit entier qui convient est donc $44$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$0{,}9^n < 0{,}01 \Leftrightarrow n > \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}9)} \approx 43{,}71$, donc le plus petit entier est $44$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathscr{B}(10~;~0{,}3)$.

Affirmation : $p(X = 0) + p(X = 10) = 1$.

[qcm]
[option]Vrai
[option correct="true"]Faux
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les événements $\{X = 0\}$ et $\{X = 10\}$ ne couvrent pas tout l'univers : $X$ peut prendre toutes les valeurs intermédiaires $1, 2, \ldots, 9$. Numériquement :

$p(X=0) + p(X=10) = 0{,}7^{10} + 0{,}3^{10} \approx 0{,}0282 + 0{,}0000059 \approx 0{,}0282$

Très loin de $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas réduire l'univers à ses deux extrémités.
$X$ prend ses valeurs dans $\{0, 1, 2, \ldots, 10\}$, donc la somme totale des probabilités est $\sum_{k=0}^{10} p(X = k) = 1$. Les deux extrêmes $X=0$ et $X=10$ ne représentent qu'une petite partie de cette somme.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
$X$ peut prendre toutes les valeurs entre $0$ et $10$ : $p(X=0) + p(X=10) \approx 0{,}028 \neq 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Dans une très grande population, $60\,\%$ des personnes déclarent être favorables à un projet. On interroge au hasard $30$ personnes (l'effectif total étant supposé suffisamment grand pour assimiler les tirages à des tirages avec remise). On note $X$ le nombre de personnes favorables parmi les $30$ interrogées.

Affirmation : On peut modéliser $X$ par la loi binomiale $\mathscr{B}(30~;~0{,}6)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai
[option]Faux
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La grande taille de la population rend les choix successifs quasi-indépendants : chaque interrogation est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}6$, les $30$ étant indépendantes. Donc $X \sim \mathscr{B}(30~;~0{,}6)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : un sondage dans une très grande population permet d'assimiler les tirages sans remise à des tirages avec remise (l'effet du retrait d'un individu sur la composition est négligeable).
Dans ces conditions, les $30$ interrogations forment un schéma de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}6$, donc $X \sim \mathscr{B}(30~;~0{,}6)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
Population grande $\Rightarrow$ tirages quasi-indépendants : $X \sim \mathscr{B}(30~;~0{,}6)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Un QCM de $50$ questions indépendantes propose à chaque question $4$ choix dont un seul correct. Un élève répond entièrement au hasard et est déclaré « reçu » s'il obtient au moins $25$ bonnes réponses. On note $X$ le nombre de bonnes réponses.

Affirmation : La probabilité d'être reçu est $p(X \geqslant 25)$ avec $X \sim \mathscr{B}\!\left(50~;~\dfrac{1}{4}\right)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai
[option]Faux
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Chaque question est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = \dfrac{1}{4}$ (probabilité d'une bonne réponse au hasard). Les $50$ questions sont indépendantes, donc $X \sim \mathscr{B}\!\left(50~;~\dfrac{1}{4}\right)$, et la condition « au moins $25$ bonnes réponses » s'écrit $X \geqslant 25$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour modéliser un QCM en répondant au hasard, on utilise une loi binomiale dont le paramètre $p$ est l'inverse du nombre de propositions par question.
Ici $p = \dfrac{1}{4}$ et $n = 50$, donc $X \sim \mathscr{B}\!\left(50~;~\dfrac{1}{4}\right)$. Être reçu signifie $X \geqslant 25$, donc la probabilité cherchée est bien $p(X \geqslant 25)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$X \sim \mathscr{B}\!\left(50~;~\dfrac{1}{4}\right)$ et la condition de réussite s'écrit $X \geqslant 25$.
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Loi binomiale

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : reconnaissance d'un schéma de Bernoulli, calcul de $P(X=k)$, probabilités cumulées, espérance et écart-type. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Une boîte contient $30$ ampoules dont $6$ sont défectueuses. On prélève au hasard $4$ ampoules avec remise et on note $X$ le nombre d'ampoules défectueuses parmi les $4$ prélevées. Quelle est la loi suivie par $X$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\mathscr{B}(4~;~0{,}2)$[/option]
[option]$\mathscr{B}(4~;~6)$[/option]
[option]$\mathscr{B}(30~;~0{,}2)$[/option]
[option]$\mathscr{B}(4~;~0{,}8)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On répète $n = 4$ tirages identiques et indépendants (avec remise). Le succès « tirer une défectueuse » a pour probabilité $p = \dfrac{6}{30} = 0{,}2$.
Donc $X$ suit la loi $\mathscr{B}(4~;~0{,}2)$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathscr{B}(4~;~6)$"]Non.
$6$ est le nombre d'ampoules défectueuses, pas la probabilité associée. Une probabilité est toujours un nombre entre $0$ et $1$ : il faut diviser par le total ($30$).[/reponse]
[reponse motif="$\mathscr{B}(30~;~0{,}2)$"]Non.
$n$ est le nombre d'épreuves effectuées (les $4$ tirages), pas le nombre total d'ampoules dans la boîte.[/reponse]
[reponse motif="$\mathscr{B}(4~;~0{,}8)$"]Non.
$0{,}8 = 1 - p$ correspond à la probabilité de tirer une bonne ampoule, pas une défectueuse. Le succès défini par l'énoncé est « tirer une défectueuse », donc $p = 0{,}2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier $n$ (nombre de tirages effectués) et $p$ (proportion d'ampoules défectueuses dans la boîte).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une pièce truquée donne « pile » avec probabilité $0{,}6$. On la lance $5$ fois et on note $X$ le nombre de « pile » obtenus. Calculer $P(X = 3)$.
[qcm]
[option]$0{,}6$[/option]
[option]$0{,}216$[/option]
[option]$0{,}2304$[/option]
[option correct="true"]$0{,}3456$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$X$ suit $\mathscr{B}(5~;~0{,}6)$, donc $P(X = 3) = \binom{5}{3} \times 0{,}6^3 \times 0{,}4^2 = 10 \times 0{,}216 \times 0{,}16 = 0{,}3456$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}6$"]Non.
$0{,}6 = p$ : c'est la probabilité d'un seul succès, pas celle d'avoir exactement $3$ succès sur $5$ épreuves. Appliquer la formule binomiale.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}216$"]Non.
$0{,}216 = 0{,}6^3 = p^k$ uniquement : il manque le facteur $(1-p)^{n-k} = 0{,}4^2$ et le coefficient $\binom{5}{3} = 10$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}2304$"]Non.
$0{,}2304 = \binom{5}{3} \times 0{,}6^2 \times 0{,}4^3$ : les rôles de $p$ et de $1-p$ ont été inversés. L'exposant de $p = 0{,}6$ doit être $k = 3$, pas $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier $n = 5$, $p = 0{,}6$, $k = 3$, puis appliquer $\binom{5}{3} \times 0{,}6^3 \times 0{,}4^2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une chaîne de production a un taux de défaut de $4\,\%$. On prélève $50$ pièces au hasard et on note $X$ le nombre de pièces défectueuses. Quelle est la probabilité d'avoir au moins une pièce défectueuse (arrondir au millième) ?
[qcm]
[option]$0{,}04$[/option]
[option correct="true"]$0{,}870$[/option]
[option]$0{,}130$[/option]
[option]$0{,}96$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$X$ suit $\mathscr{B}(50~;~0{,}04)$. L'événement contraire de « au moins une défectueuse » est « aucune défectueuse » :
$P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}96^{50} \approx 1 - 0{,}130 \approx 0{,}870$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}04$"]Non.
$0{,}04 = p$ : c'est la probabilité qu'une seule pièce soit défectueuse. Sur $50$ pièces, la probabilité d'en avoir au moins une défectueuse est bien plus élevée.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}130$"]Non.
$0{,}130 \approx 0{,}96^{50} = P(X = 0)$ : c'est la probabilité de n'avoir aucune défectueuse, pas au moins une. Il faut prendre $1 -$ cette valeur.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}96$"]Non.
$0{,}96 = 1 - p$ : c'est la probabilité qu'une seule pièce soit non défectueuse. Pour « aucune défectueuse sur $50$ », il faut élever à la puissance $50$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Penser au complémentaire : « au moins une défectueuse » est l'événement contraire de « aucune défectueuse », donc $P(X \geqslant 1) = 1 - (1-p)^n$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un commercial passe $200$ appels par jour. Chaque appel aboutit à une vente avec une probabilité de $0{,}15$, indépendamment des autres. Combien de ventes peut-il espérer en moyenne par jour ?
[qcm]
[option]$0{,}15$[/option]
[option]$15$[/option]
[option correct="true"]$30$[/option]
[option]$170$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le nombre $X$ de ventes suit la loi $\mathscr{B}(200~;~0{,}15)$.
$E(X) = np = 200 \times 0{,}15 = 30$ ventes en moyenne par jour.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}15$"]Non.
$0{,}15 = p$ : c'est la probabilité qu'un seul appel aboutisse, pas le nombre moyen de ventes. Multiplier par $n = 200$ pour obtenir l'espérance.[/reponse]
[reponse motif="$15$"]Non.
$15$ correspondrait à $0{,}15 \times 100$ : la probabilité a été convertie en pourcentage et appliquée au mauvais effectif. La formule est $E(X) = np$ avec $n = 200$ (nombre d'appels), pas $100$.[/reponse]
[reponse motif="$170$"]Non.
$170 = 200 \times 0{,}85$ : c'est l'espérance du nombre d'appels sans vente (les échecs). Pour les ventes, il faut multiplier par $p = 0{,}15$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier la loi binomiale ($n = 200$, $p = 0{,}15$) puis appliquer $E(X) = np$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $X_1$ qui suit $\mathscr{B}(100~;~0{,}1)$ et $X_2$ qui suit $\mathscr{B}(100~;~0{,}5)$. Comparer leurs écarts-types $\sigma(X_1)$ et $\sigma(X_2)$.
[qcm]
[option correct="true"]$\sigma(X_2) > \sigma(X_1)$[/option]
[option]$\sigma(X_1) > \sigma(X_2)$[/option]
[option]$\sigma(X_1) = \sigma(X_2)$[/option]
[option]Impossible à comparer sans plus d'information.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$\sigma(X_1) = \sqrt{100 \times 0{,}1 \times 0{,}9} = \sqrt{9} = 3$ et $\sigma(X_2) = \sqrt{100 \times 0{,}5 \times 0{,}5} = \sqrt{25} = 5$.
La fonction $p \mapsto p(1-p)$ atteint son maximum en $p = 0{,}5$, donc $\sigma$ aussi : $X_2$ est plus dispersée que $X_1$.[/reponse]
[reponse motif="$\sigma(X_1) > \sigma(X_2)$"]Non.
Calculer les deux écarts-types : $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$. Avec $p = 0{,}1$, le produit $p(1-p) = 0{,}09$ ; avec $p = 0{,}5$, $p(1-p) = 0{,}25$. C'est donc $X_2$ qui est plus dispersée.[/reponse]
[reponse motif="$\sigma(X_1) = \sigma(X_2)$"]Non.
Calculer les deux écarts-types : $p(1-p)$ vaut $0{,}09$ pour $X_1$ et $0{,}25$ pour $X_2$. Les écarts-types sont donc différents.[/reponse]
[reponse motif="Impossible à comparer sans plus d'information."]Non.
Tous les paramètres ($n$, $p$) sont connus pour les deux lois : il suffit d'appliquer $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ dans chaque cas et de comparer.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\sigma(X_1) = \sqrt{np(1-p)}$ pour chaque loi, puis comparer les deux valeurs obtenues.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un examen comporte $20$ questions à $4$ propositions chacune ($1$ seule bonne réponse). Un étudiant répond complètement au hasard. Pour $X \sim \mathscr{B}(20~;~0{,}25)$, on donne $P(X \leqslant 4) \approx 0{,}415$ et $P(X \leqslant 9) \approx 0{,}986$. Calculer la probabilité d'obtenir entre $5$ et $9$ bonnes réponses (inclus), arrondie au millième.
[qcm]
[option]$0{,}415$[/option]
[option correct="true"]$0{,}571$[/option]
[option]$0{,}986$[/option]
[option]$1{,}401$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
$P(5 \leqslant X \leqslant 9) = P(X \leqslant 9) - P(X \leqslant 4) \approx 0{,}986 - 0{,}415 = 0{,}571$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}415$"]Non.
$0{,}415 \approx P(X \leqslant 4)$ a été recopié sans transformation. Pour isoler les valeurs entre $5$ et $9$, il faut soustraire des probabilités cumulées.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}986$"]Non.
$0{,}986 \approx P(X \leqslant 9)$ inclut aussi les valeurs $X = 0, 1, 2, 3, 4$ qui ne sont pas dans l'intervalle. Il faut retirer $P(X \leqslant 4)$.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}401$"]Non.
$1{,}401 \approx 0{,}986 + 0{,}415$ : une probabilité ne peut pas dépasser $1$. Il faut soustraire $P(X \leqslant 4)$ à $P(X \leqslant 9)$, pas additionner.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour $a \leqslant X \leqslant b$ avec $X$ entière : $P(a \leqslant X \leqslant b) = P(X \leqslant b) - P(X \leqslant a-1)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Sujet 0 – Probabilités

Dans un examen, une épreuve notée sur dix points est constituée de deux exercices : le premier est noté sur deux points, le deuxième sur huit points.

Partie I

Le premier exercice est constitué de deux questions $ Q_1 $ et $ Q_2 $. Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse incorrecte, incomplète ou une absence de réponse rapporte zéro point.

On considère que :

Un candidat pris au hasard a une probabilité 0,8 de répondre correctement à la question $ Q_1 $.
Si le candidat répond correctement à $ Q_1 $, il a une probabilité 0,6 de répondre correctement à $ Q_2 $; s’il ne répond pas correctement à $ Q_1 $, il a une probabilité 0,1 de répondre correctement à $ Q_2 $.

On prend un candidat au hasard et on note :

$ A $ l’évènement : « le candidat répond correctement à la question $ Q_1 $ » ;
$ B $ l’évènement : « le candidat répond correctement à la question $ Q_2 $ ».

On note $ \bar{A} $ et $ \bar{B} $ les évènements contraires de $ A $ et de $ B $.

Recopier et compléter les pointillés de l’arbre pondéré ci-dessous.

Arbre de probabilité à deux niveaux : premier niveau A et A barre, second niveau B et B barre sur chaque branche ; toutes les probabilités sont remplacées par des pointillés à compléter

Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement aux deux questions $ Q_1 $ et $ Q_2 $.
Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement à la question $ Q_2 $.
On note :
- $ X_1 $ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question $ Q_1 $;
- $ X_2 $ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question $ Q_2 $;
- $ X $ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à l’exercice, c’est-à-dire $ X = X_1 + X_2 $.
Déterminer l’espérance de $ X_1 $ et de $ X_2 $. En déduire l’espérance de $ X $. Donner une interprétation de l’espérance de $ X $ dans le contexte de l’exercice.
On souhaite déterminer la variance de $ X $.
1. Déterminer $ P(X = 0) $ et $ P(X = 2) $. En déduire $ P(X = 1) $.
2. Montrer que la variance de $ X $ vaut 0,57.
3. A-t-on $ V(X) = V(X_1) + V(X_2) $?
  Est-ce surprenant ?

Partie II

Le deuxième exercice est constitué de huit questions indépendantes. Chaque question est notée sur un point.
Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse incorrecte et une absence de réponse rapporte zéro point.

Les huit questions sont de même difficulté : pour chacune des questions, un candidat a une probabilité $ \dfrac{3}{4} $ de répondre correctement, indépendamment des autres questions.

On note $ Y $ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note au deuxième exercice, c’est-à-dire le nombre de bonnes réponses.

Justifier que $ Y $ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Donner la valeur exacte de $ P(Y = 8) $.
Donner l’espérance et la variance de $ Y $.

Partie III

On suppose que les deux variables aléatoires $ X $ et $ Y $ sont indépendantes. On note la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note totale à l’examen : $ Z = X + Y $.

Calculer l’espérance et la variance de $ Z $.
Soit $ n $ un nombre entier strictement positif. Pour $ i $ entier variant de 1 à $ n $, on note $ Z_i $ la variable aléatoire qui, à un échantillon de $ n $ élèves, associe la note de l’élève numéro $ i $ à l’examen. On admet que les variables aléatoires $ Z_1, Z_2, \ldots, Z_n $ sont identiques à $ Z $ et indépendantes. On note $ M_n $ la variable aléatoire qui, à un échantillon de $ n $ élèves, associe la moyenne de leurs $ n $ notes, c’est-à-dire :

$ M_n = \dfrac{Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n}{n} $
1. Quelle est l’espérance de $ M_n $ ?
2. Quelles sont les valeurs de $ n $ telles que l’écart type de $ M_n $ soit inférieur ou égal à 0,5 ?
3. Pour les valeurs trouvées en b., montrer que la probabilité que $ 6{,}3 \leqslant M_n \leqslant 8{,}3 $ est supérieure ou égale à 0,75.

Corrigé

La probabilité que le candidat réponde correctement aux deux questions est :

$ P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) $

Substituons les valeurs :

$ P(A \cap B) = 0{,}8 \times 0{,}6 = 0{,}48 $
Pour trouver $ P(B) $, nous utilisons la formule des probabilités totales :

$ P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap \bar{A}) $

$ P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\bar{A}) \times P_{\bar{A}}(B) $

Substituons les valeurs :

$ P(B) = 0{,}8 \times 0{,}6 + 0{,}2 \times 0{,}1 = 0{,}48 + 0{,}02 = 0{,}5 $
Pour $ X_1 $, la probabilité que le candidat obtienne 1 point est $ P(A) $, et 0 point est $ P(\bar{A}) $ :

$ E(X_1) = 1 \times P(A) + 0 \times P(\bar{A}) = 1 \times 0{,}8 + 0 \times 0{,}2 = 0{,}8 $

Pour $ X_2 $, la probabilité que le candidat obtienne 1 point est $ P(B) $, et 0 point est $ P(\bar{B}) $ :

$ E(X_2) = 1 \times P(B) + 0 \times P(\bar{B}) = 1 \times 0{,}5 + 0 \times 0{,}5 = 0{,}5 $

L’espérance de $ X = X_1 + X_2 $ est :

$ E(X) = E(X_1) + E(X_2) = 0{,}8 + 0{,}5 = 1{,}3 $

Interprétation : En moyenne, un candidat obtient une note de 1,3 points sur 2 à l’exercice.
1. $ P(X = 0) $ est la probabilité que le candidat échoue aux deux questions :
  
  $ P(X = 0) = P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}|\bar{A}) = 0{,}2 \times 0{,}9 = 0{,}18 $
  
  $ P(X = 2) $ est la probabilité que le candidat réussisse les deux questions :
  
  $ P(X = 2) = P(A \cap B) = 0{,}48 $
  
  $ P(X = 1) $ est la probabilité que le candidat réussisse une question et échoue à l'autre.
  
  $ P(X = 1) = 1 - P(X = 0) - P(X = 2) $
  
  $ P(X = 1) = 1 - 0{,}18 - 0{,}48 = 0{,}34 $
2. La variance de $ X $ se calcule à partir de la formule :
  
  $ V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $
  
  Calculons $ E(X^2) $ :
  
  $ E(X^2) = 0^2 \times P(X = 0) + 1^2 \times P(X = 1) + 2^2 \times P(X = 2) $
  
  $ E(X^2) = 0 \times 0{,}18 + 1 \times 0{,}34 + 4 \times 0{,}48 $
  
  $ E(X^2) = 0 + 0{,}34 + 1{,}92 = 2{,}26 $
  
  Sachant que $ E(X) = 1{,}3 $, calculons $ [E(X)]^2 $ :
  
  $ [E(X)]^2 = 1{,}3^2 = 1{,}69 $
  
  Enfin, calculons $ V(X) $ :
  
  $ V(X) = 2{,}26 - 1{,}69 = 0{,}57 $
3. Calculons les variances de $ X_1 $ et $ X_2 $.
  
  Variance de $ X_1 $ :
  
  $ V(X_1) = E(X_1^2) - [E(X_1)]^2 $
  
  Sachant que $ X_1 $ ne peut prendre que les valeurs 0 et 1 :
  
  $ E(X_1^2) = 0^2 \times P(X_1 = 0) + 1^2 \times P(X_1 = 1) = 0 \times 0{,}2 + 1 \times 0{,}8 = 0{,}8 $
  
  $ [E(X_1)]^2 = 0{,}8^2 = 0{,}64 $
  
  $ V(X_1) = 0{,}8 - 0{,}64 = 0{,}16 $
  
  Variance de $ X_2 $ :
  
  $ V(X_2) = E(X_2^2) - [E(X_2)]^2 $
  
  Sachant que $ X_2 $ ne peut prendre que les valeurs 0 et 1 :
  
  $ E(X_2^2) = 0^2 \times P(X_2 = 0) + 1^2 \times P(X_2 = 1) = 0 \times 0{,}5 + 1 \times 0{,}5 = 0{,}5 $
  
  $ [E(X_2)]^2 = 0{,}5^2 = 0{,}25 $
  
  $ V(X_2) = 0{,}5 - 0{,}25 = 0{,}25 $
  
  On remarque que $ V(X) \neq V(X_1) + V(X_2) $ ce qui est logique et signifie que les variables aléatoires $ X_1 $ et $ X_2 $ ne sont pas indépendantes.

Partie II

Pour qu'une variable aléatoire suive une loi binomiale, les conditions suivantes doivent être satisfaites :
- Il y a un nombre fixe d'essais indépendants, noté $ n $. Chaque essai a deux issues possibles : succès (bonne réponse) ou échec (mauvaise réponse ou absence de réponse).
- Les essais sont identiques et indépendants.
- La variable aléatoire comptabilise le nombre de succès
Dans notre cas :
- Le nombre de questions est $ n = 8 $, donc il y a 8 essais.et chaque question a deux issues possibles : une bonne réponse (succès) ou une mauvaise réponse/absence de réponse (échec).
  La probabilité de succès (répondre correctement) est $ p = \dfrac{3}{4} $.
- Les questions sont indépendantes.
- La note comptabilise le nombre de succès
Ainsi, $ Y $ suit une loi binomiale de paramètres $ n = 8 $ et $ p = \dfrac{3}{4} $.
La probabilité que le candidat réponde correctement à toutes les 8 questions (c'est-à-dire que $ Y = 8 $) est donnée par la formule de la loi binomiale :

$ P(Y = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} $

Pour $ k = 8 $, $ n = 8 $ et $ p = \dfrac{3}{4} $, nous avons :

$ P(Y = 8) = \binom{8}{8} \left( \dfrac{3}{4} \right)^8 \left( 1 - \dfrac{3}{4} \right)^{8 - 8} $

$ P(Y = 8) = 1 \times \left( \dfrac{3}{4} \right)^8 \times 1 $

$ P(Y = 8) = \left( \dfrac{3}{4} \right)^8 $
Pour une variable aléatoire suivant une loi binomiale $ Y $ de paramètres $ n $ et $ p $, l'espérance $ E(Y) $ et la variance $ V(Y) $ sont données par les formules suivantes :

$ E(Y) = n \times p $

$ V(Y) = n \times p \times (1 - p) $

Dans notre cas, $ n = 8 $ et $ p = \dfrac{3}{4} $.

Calculons l'espérance :

$ E(Y) = 8 \times \dfrac{3}{4} = 6 $

Calculons la variance :

$ V(Y) = 8 \times \dfrac{3}{4} \times \left(1 - \dfrac{3}{4}\right) $

$ V(Y) = 8 \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{4} $

$ V(Y) = 8 \times \dfrac{3}{16} = 1{,}5 $

Donc, l'espérance de $ Y $ est 6 et la variance de $ Y $ est 1,5.

Partie III

Puisque $ Z = X + Y $ :

$ E(Z) = E(X) + E(Y) $

De plus, comme $ X $ et $ Y $ sont indépendantes :

$ V(Z) = V(X) + V(Y) $

De la Partie I, nous avons :

$ E(X) = 1{,}3 \quad \text{et} \quad V(X) = 0{,}57 $

De la Partie II, nous avons :

$ E(Y) = 6 \quad \text{et} \quad V(Y) = 1{,}5 $

Calculons l'espérance de $ Z $ :

$ E(Z) = E(X) + E(Y) = 1{,}3 + 6 = 7{,}3 $

Calculons la variance de $ Z $ :

$ V(Z) = V(X) + V(Y) = 0{,}57 + 1{,}5 = 2{,}07 $
1. L'espérance de la moyenne de $ n $ variables identiques et indépendantes est donnée par :
  
  $ E(M_n) = E\left( \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Z_i \right) $
  
  Par linéarité de l'espérance :
  
  $ E(M_n) = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(Z_i) $
  
  Puisque $ Z_i $ ont toutes la même espérance $ E(Z) $ :
  
  $ E(M_n) = \dfrac{1}{n} \times n \times E(Z) = E(Z) $
  
  Donc :
  
  $ E(M_n) = 7{,}3 $
2. L'écart type de $ M_n $ est donné par :
  
  $ \sigma(M_n) = \sqrt{V(M_n)} $
  
  La variance de $ M_n $ est :
  
  $ V(M_n) = V\left( \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Z_i \right) $
  
  Par indépendance des $ Z_i $ :
  
  $ V(M_n) = \dfrac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} V(Z_i) $
  
  Puisque $ Z_i $ ont toutes la même variance $ V(Z) $ :
  
  $ V(M_n) = \dfrac{1}{n^2} \times n \times V(Z) = \dfrac{V(Z)}{n} $
  
  Donc :
  
  $ \sigma(M_n) = \sqrt{\dfrac{V(Z)}{n}} $
  
  Nous voulons que cet écart type soit inférieur ou égal à 0,5 :
  
  $ \sqrt{\dfrac{V(Z)}{n}} \leqslant 0{,}5 $
  
  Élevons au carré :
  
  $ \dfrac{V(Z)}{n} \leqslant 0{,}25 $
  
  $ n \geqslant \dfrac{V(Z)}{0{,}25} = \dfrac{2{,}07}{0{,}25} = 8{,}28 $
  
  Comme $ n $ doit être un entier strictement positif, les valeurs possibles de $ n $ sont :
  
  $ n \geqslant 9 $
3. Nous allons utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Cette inégalité nous dit que pour toute variable aléatoire $ X $ avec espérance $ \mu $ et variance $ \sigma^2 $,
  
  $ P(|X - \mu| \geqslant k\sigma) \leqslant \dfrac{1}{k^2} $
  
  Pour $ M_n $, nous avons $ \mu = 7{,}3 $ et $ \sigma^2 = \dfrac{2{,}07}{n} $. Nous voulons trouver la probabilité que $ M_n $ soit dans l'intervalle $ [6{,}3, 8{,}3] $. Cela signifie que nous cherchons $ P(6{,}3 \leqslant M_n \leqslant 8{,}3) $.
  
  $ P(6{,}3 \leqslant M_n \leqslant 8{,}3) = P(|M_n - 7{,}3| \leqslant 1) $
  
  Nous avons $ \sigma(M_n) = \sqrt{\dfrac{2{,}07}{n}} $.
  
  Utilisons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
  
  $ P(|M_n - 7{,}3| \geqslant 1) \leqslant \dfrac{\sigma^2(M_n)}{1^2} = \dfrac{2{,}07}{n} $
  
  Pour $ n \geqslant 9 $, nous avons :
  
  $ P(|M_n - 7{,}3| \geqslant 1) \leqslant \dfrac{2{,}07}{9} \approx 0{,}23 $
  
  En passant à l'événement contraire, on obtient :
  
  $ P(|M_n - 7{,}3| < 1) = 1 - P(|M_n - 7{,}3| \geqslant 1) $
  
  $ P(|M_n - 7{,}3| < 1) \geqslant 1 - 0{,}23 = 0{,}77 $
  
  Ainsi, pour $ n \geqslant 9 $, la probabilité que $ 6{,}3 \leqslant M_n \leqslant 8{,}3 $ est supérieure ou égale à 0,75.

Probabilités – Bac S Pondichéry 2011

Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous.

Cible de fléchettes - Bac S Pondichéry 2011

On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.

Le joueur lance une fléchette.

On note $ p_{0} $ la probabilité d'obtenir 0 point.

On note $ p_{3} $ la probabilité d'obtenir 3 points.

On note $ p_{5} $ la probabilité d'obtenir 5 points.

On a donc $ p_{0}+p_{3}+p_{5}=1 $.
Sachant que $ p_{5}=\dfrac{1}{2}p_{3} $ et que $ p_{5}=\dfrac{1}{3}p_{0} $ déterminer les valeurs de $ p_{0} $, $ p_{3} $ et $ p_{5} $·
Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s'il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette.

On note $ G_{2} $ l'évènement : « le joueur gagne la partie en 2 lancers ».

On note $ G_{3} $ l'évènement : « le joueur gagne la partie en 3 lancers ».

On note $ P $ l'évènement : « le joueur perd la partie ».

On note $ p\left(A\right) $ la probabilité d'un évènement $ A $.
1. Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que $ p\left(G_{2}\right)=\dfrac{5}{36} $.
  
  On admettra dans la suite que $ p\left(G_{3}\right)=\dfrac{7}{36} $
2. En déduire $ p \left(P\right) $.
Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2. Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une partie ?
Pour une partie, la mise est fixée à 2 €.

Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5 €. S'il gagne en trois lancers, il reçoit 3 €. S'il perd, il ne reçoit rien.

On note $ X $ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour $ X $ sont donc : $ - 2, 1 $ et $ 3 $.
1. Donner la loi de probabilité de $ X $.
2. Déterminer l'espérance mathématique de $ X $. Le jeu est-il favorable au joueur ?

Corrigé

$ p_{0}+p_{3}+p_{5}=3p_{5}+2p_{5}+p_{5}=6p_{5}=1 $

Par conséquent :

$ p_{5}=\dfrac{1}{6} $, $ p_{3}=2p_{5}=\dfrac{1}{3} $, $ p_{0}=3p_{5}=\dfrac{1}{2} $.
1. D'après l'arbre ci-dessus :
  
  $ p\left(G_{2}\right)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{36}=\dfrac{5}{36} $.
2. Les évènements $ P $, $ G_{2} $ et $ G_{3} $ sont incompatibles et forment une partition de l'univers. Donc $ p\left(P\right)+p\left(G_{2}\right)+p\left(G_{3}\right)=1 $.
  
  Ce qui donne :
  
  $ p\left(P\right)=1 - p\left(G_{2}\right) - p\left(G_{3}\right)=1 - \dfrac{5}{36} - \dfrac{7}{36}=\dfrac{24}{36}=\dfrac{2}{3} $.
Si l'on suppose les lancers indépendants, le nombre de gains suit une loi binomiale de paramètres $ p=\dfrac{1}{3} $ et $ n=6 $.

La probabilité que le joueur perde toutes les parties est $ \left(\dfrac{2}{3}\right)^{6} $. La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est $ 1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{6}=\dfrac{665}{729} $.
1. D'après les questions précédentes :
  
  $ p\left(X= - 2\right)=\dfrac{2}{3} $
  
  $ p\left(X=1\right)=p\left(G_{3}\right)=\dfrac{7}{36} $
  
  $ p\left(X=3\right)=p\left(G_{2}\right)=\dfrac{5}{36} $
2. L'espérance mathématique de $ X $ est :
  
  $ E(X)= - 2\times \dfrac{2}{3}+1\times \dfrac{7}{36}+3\times \dfrac{5}{36}= - \dfrac{48}{36}+\dfrac{7}{36}+\dfrac{15}{36}= - \dfrac{26}{36}= - \dfrac{13}{18} $
  
  L'espérance mathématique est négative, donc le jeu n'est pas favorable au joueur.