[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la définition et les valeurs particulières de la fonction logarithme népérien, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $\ln(1) = 0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est la valeur fondamentale de la fonction ln : son unique racine sur $\left]0~;~+\infty\right[$ est $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention à ne pas confondre avec $\ln(0)$ qui, lui, n'est pas défini.
Par définition, le logarithme népérien de $1$ vaut toujours $0$ : $\ln(1) = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
Par définition, $\ln(1) = 0$ : c'est la seule valeur de $x > 0$ telle que $\ln(x) = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\ln(\mathrm{e}) = 1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le nombre $\mathrm{e}$ est précisément défini comme l'unique réel dont le logarithme népérien vaut $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est d'oublier la définition même de $\mathrm{e}$.
Le nombre $\mathrm{e} \approx 2{,}718$ est par définition l'unique réel strictement positif vérifiant $\ln(\mathrm{e}) = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
Par définition du nombre $\mathrm{e}$, $\ln(\mathrm{e}) = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La fonction $\ln$ est définie sur $\mathbb{R}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La fonction $\ln$ n'est définie que sur $\left]0~;~+\infty\right[$ : $\ln(x)$ n'existe pas pour $x \leqslant 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre l'ensemble de définition de $\ln$ avec celui de la fonction exponentielle.
La fonction $\ln$ n'est définie que pour les réels strictement positifs : $\mathcal{D}_{\ln} = \left]0~;~+\infty\right[$.
On ne peut donc pas calculer $\ln(0)$ ni $\ln(-3)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
La fonction $\ln$ est définie uniquement sur $\left]0~;~+\infty\right[$, pas sur $\mathbb{R}$ tout entier.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\ln(0) = -1$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\ln(0)$ n'est pas un nombre : la fonction $\ln$ n'est pas définie en $0$.
On a en revanche $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : la fonction $\ln$ n'est pas définie en $0$, donc $\ln(0)$ n'a aucune valeur.
Ce qui est vrai, c'est que $\ln(x)$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $0$ par valeurs positives, mais ce n'est pas une valeur prise par la fonction.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
$\ln(0)$ n'existe pas : $0$ n'appartient pas à l'ensemble de définition de $\ln$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\ln(\mathrm{e}^{7}) = 7$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Pour tout réel $x$, $\ln(\mathrm{e}^{x}) = x$ : ici $x = 7$, donc $\ln(\mathrm{e}^{7}) = 7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention, les fonctions $\ln$ et $\exp$ sont réciproques l'une de l'autre.
Pour tout réel $x$ : $\ln(\mathrm{e}^{x}) = x$. En particulier $\ln(\mathrm{e}^{7}) = 7$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
Comme $\ln$ et $\exp$ sont réciproques, $\ln(\mathrm{e}^{x}) = x$ pour tout réel $x$, donc $\ln(\mathrm{e}^{7}) = 7$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La dérivée de la fonction $\ln$ sur $\left]0~;~+\infty\right[$ est $x \mapsto \dfrac{1}{x^{2}}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La dérivée de $\ln$ sur $\left]0~;~+\infty\right[$ est $x \mapsto \dfrac{1}{x}$, et non $\dfrac{1}{x^{2}}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre la dérivée de $\ln$ avec celle de $-\dfrac{1}{x}$.
Pour tout $x > 0$ : $(\ln)'(x) = \dfrac{1}{x}$ (et non $\dfrac{1}{x^{2}}$).
Ce résultat explique pourquoi $\ln$ est strictement croissante sur $\left]0~;~+\infty\right[$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
La dérivée de $\ln$ sur $\left]0~;~+\infty\right[$ est $x \mapsto \dfrac{1}{x}$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur la définition de la fonction logarithme népérien et ses valeurs particulières. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
La fonction $\ln$ est définie sur :
[qcm]
[option]$\mathbb{R}$[/option]
[option]$\left[0\,;\,+\infty\right[$[/option]
[option correct="true"]$\left]0\,;\,+\infty\right[$[/option]
[option]$\mathbb{R}^*$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La fonction $\ln$ est définie pour les réels strictement positifs uniquement, soit l'intervalle ouvert $\left]0\,;\,+\infty\right[$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{R}$"]Non.
La fonction $\ln$ n'est pas définie pour les nombres négatifs ni pour $0$. Penser à l'allure de la courbe : elle ne traverse pas l'axe des ordonnées.[/reponse]
[reponse motif="$\left[0\,;\,+\infty\right[$"]Pas tout à fait.
$\ln(0)$ n'existe pas. Vérifier si la borne $0$ est incluse ou exclue.[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{R}^*$"]Non.
$\mathbb{R}^*$ contient les réels négatifs non nuls, qui n'ont pas de logarithme. Le domaine de $\ln$ ne contient que des nombres strictement positifs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Se rappeler que $\ln$ est la bijection réciproque de l'exponentielle, dont l'image est $\left]0\,;\,+\infty\right[$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La valeur de $\ln(1)$ est :
[qcm]
[option correct="true"]$0$[/option]
[option]$1$[/option]
[option]$e$[/option]
[option]non définie[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Par définition, $\ln(1) = 0$ : c'est l'unique réel $x$ tel que $e^x = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Confusion avec l'image de $1$ par l'exponentielle : $e^0 = 1$ mais $\ln(1) \neq 1$. Chercher l'antécédent de $1$ par $\exp$.[/reponse]
[reponse motif="$e$"]Non.
La constante $e$ est l'image de $1$ par l'exponentielle ($e^1 = e$), pas la valeur de $\ln(1)$.[/reponse]
[reponse motif="non définie"]Non.
$1$ est strictement positif, donc $\ln(1)$ existe bien. Chercher quel exposant donne $e^x = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la relation $\ln(a) = b \Leftrightarrow e^b = a$ avec $a = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La valeur de $\ln(e)$ est :
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$e$[/option]
[option correct="true"]$1$[/option]
[option]$e^{-1}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\ln(e) = 1$ car $e^1 = e$. C'est la deuxième valeur de référence à connaître par cœur, avec $\ln(1) = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
$\ln(0)$ n'est pas défini, et $\ln(1) = 0$. Ne pas confondre les valeurs de référence : $\ln(1)$ et $\ln(e)$.[/reponse]
[reponse motif="$e$"]Non.
La fonction $\ln$ ne renvoie pas le nombre $e$ ici. Penser que $\ln$ et $\exp$ sont réciproques : $\ln(e^x) = x$.[/reponse]
[reponse motif="$e^{-1}$"]Non.
$e^{-1}$ est la valeur de $e$ à la puissance $-1$, pas le logarithme de $e$. Chercher $x$ tel que $e^x = e$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser $\ln(e^x) = x$ avec $x = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour tout réel $x > 0$, l'expression $e^{\ln(x)}$ est égale à :
[qcm]
[option]$e \times x$[/option]
[option]$\ln(x)$[/option]
[option correct="true"]$x$[/option]
[option]$1$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Les fonctions $\exp$ et $\ln$ étant réciproques, on a $e^{\ln(x)} = x$ pour tout $x > 0$.[/reponse]
[reponse motif="$e \times x$"]Non.
$e^{\ln(x)}$ n'est pas le produit de $e$ par $x$ : c'est l'exponentielle d'un nombre, donc une simplification utilisant la composition.[/reponse]
[reponse motif="$\ln(x)$"]Non.
$\ln(x)$ est l'argument de l'exponentielle, pas le résultat. Appliquer ensuite la fonction $\exp$ au logarithme.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$e^{\ln(x)} = 1$ uniquement si $\ln(x) = 0$, c'est-à-dire $x = 1$. Pour un $x$ quelconque, le résultat dépend de $x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser le fait que $\ln$ et $\exp$ sont des bijections réciproques l'une de l'autre sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour tout réel $x$, l'expression $\ln(e^x)$ est égale à :
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$e^x$[/option]
[option]$e$[/option]
[option correct="true"]$x$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Par réciprocité des fonctions $\ln$ et $\exp$, on a $\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
On n'aurait $\ln(e^x) = 0$ que si $e^x = 1$, soit $x = 0$. Pour un $x$ quelconque, la simplification donne autre chose.[/reponse]
[reponse motif="$e^x$"]Non.
$e^x$ est l'argument du logarithme, pas le résultat. Appliquer ensuite la fonction $\ln$.[/reponse]
[reponse motif="$e$"]Non.
La constante $e$ n'est pas la simplification générale de $\ln(e^x)$. Utiliser la propriété de composition $\ln \circ \exp$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Penser que $\ln$ « défait » l'exponentielle : $\ln \circ \exp = \mathrm{id}_{\mathbb{R}}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
L'unique solution de l'équation $\ln(x) = 2$ est :
[qcm]
[option]$x = 2$[/option]
[option correct="true"]$x = e^2$[/option]
[option]$x = \ln(2)$[/option]
[option]$x = 2e$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$\ln(x) = 2 \Leftrightarrow x = e^2$, en appliquant l'exponentielle aux deux membres. Cette unique solution existe car $\ln$ est une bijection de $\left]0\,;\,+\infty\right[$ sur $\mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 2$"]Non.
$\ln(2) \neq 2$ : l'équation $\ln(x) = 2$ ne se résout pas en gardant $x = 2$. Appliquer $\exp$ aux deux membres.[/reponse]
[reponse motif="$x = \ln(2)$"]Non.
On a appliqué $\ln$ au lieu d'$\exp$ pour « défaire » le logarithme. C'est l'opération inverse qu'il faut utiliser.[/reponse]
[reponse motif="$x = 2e$"]Non.
Confusion entre $e^2$ (l'exponentielle de $2$) et $2e$ (le double de $e$). Ces deux nombres ne sont pas égaux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour résoudre $\ln(x) = a$, appliquer l'exponentielle aux deux membres : $x = e^a$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]