Vrai/Faux : Formule du binôme et situations concrètes
[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la formule du binôme et les situations concrètes de dénombrement, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : Pour tous réels $a$ et $b$, on a $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, ce qui correspond au cas $n = 2$ de la formule du binôme.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La formule du binôme s'écrit $(a+b)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$.
Pour $n=2$ : $\binom{2}{0} a^2 + \binom{2}{1} ab + \binom{2}{2} b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la formule du binôme est $(a+b)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$.
Pour $n = 2$, les trois coefficients $\binom{2}{0}, \binom{2}{1}, \binom{2}{2}$ valent $1, 2, 1$ : on retrouve l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. L'identité $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ est le cas $n=2$ de la formule du binôme.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $(x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 4x^2 + 4x + 1$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les coefficients dans $(x+1)^4$ sont les $\binom{4}{k}$ pour $k = 0, 1, 2, 3, 4$, soit $1, 4, 6, 4, 1$ (4ᵉ ligne du triangle de Pascal).
On a donc $(x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$ (le coefficient de $x^2$ est $6$, pas $4$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au coefficient central. Les coefficients de la $4$ᵉ ligne du triangle de Pascal sont $1, 4, 6, 4, 1$, et non tous égaux à $4$ entre les bornes.
Le développement correct est $(x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le développement correct est $(x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$ (le coefficient de $x^2$ est $6$).
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Pour tout entier $n \geqslant 0$, on a $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
En appliquant la formule du binôme à $a = b = 1$ : $(1+1)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \times 1^{n-k} \times 1^k = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$.
Or $(1+1)^n = 2^n$, d'où l'égalité.
Interprétation : la somme compte le nombre total de parties d'un ensemble à $n$ éléments, qui est bien $2^n$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour $a = b = 1$, la formule du binôme donne $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = (1+1)^n = 2^n$.
On peut le vérifier sur la $4$ᵉ ligne du triangle de Pascal : $1+4+6+4+1 = 16 = 2^4$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est une conséquence directe de la formule du binôme avec $a = b = 1$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On lance $8$ fois une pièce de monnaie (les lancers sont distinguables).
Affirmation : Le nombre de séquences de résultats donnant exactement $3$ « pile » est $\binom{8}{3} = 56$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Une séquence est entièrement déterminée par les positions (parmi les $8$ lancers) où l'on obtient « pile ».
On choisit une partie de $3$ positions parmi $8$ : il y a $\binom{8}{3} = \dfrac{8 \times 7 \times 6}{6} = 56$ séquences.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Une séquence de résultats correspond au choix des positions des « pile » parmi les $8$ lancers.
Comme l'ordre des positions choisies n'a pas d'importance (les positions forment un ensemble), on compte $\binom{8}{3} = 56$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. On choisit les $3$ positions des « pile » parmi $8$ : $\binom{8}{3} = 56$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On considère le développement de $(2+x)^5$.
Affirmation : Le coefficient de $x^3$ dans ce développement est $\binom{5}{3} = 10$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La formule du binôme s'écrit $(2+x)^5 = \displaystyle\sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} 2^{5-k} x^k$.
Le coefficient de $x^3$ est $\binom{5}{3} \times 2^{5-3} = 10 \times 4 = 40$, et non $\binom{5}{3}$ seul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est d'oublier la puissance du premier terme. Quand on développe $(a+b)^n$, le terme général vaut $\binom{n}{k} a^{n-k} b^k$, pas seulement $\binom{n}{k} b^k$.
Ici $a = 2$ et $b = x$, donc le coefficient de $x^3$ vaut $\binom{5}{3} \times 2^{2} = 10 \times 4 = 40$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le coefficient de $x^3$ vaut $\binom{5}{3} \times 2^2 = 40$, et non $\binom{5}{3} = 10$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On tire simultanément $5$ cartes dans un jeu de $32$ cartes (qui contient $4$ dames et $28$ cartes non-dames).
Affirmation : Le nombre de mains contenant exactement $2$ dames est $\binom{4}{2} \times \binom{28}{3}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Une telle main se construit en choisissant $2$ dames parmi $4$ ($\binom{4}{2}$ façons), puis $3$ cartes parmi les $28$ non-dames ($\binom{28}{3}$ façons).
Par le principe multiplicatif, on obtient $\binom{4}{2} \times \binom{28}{3} = 6 \times 3\,276 = 19\,656$ mains.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : on construit la main en deux étapes indépendantes.
On choisit les $2$ dames parmi $4$, puis les $3$ autres cartes parmi $28$ non-dames. Par le principe multiplicatif, le nombre total est $\binom{4}{2} \times \binom{28}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. On choisit $2$ dames parmi $4$ et $3$ cartes parmi les $28$ non-dames, soit $\binom{4}{2} \times \binom{28}{3}$ mains.
[/solution]
[/etape]
