Cuve conique et sa maquette à l’échelle 1/10

Un parc aquatique veut installer une grande cuve d'eau en forme de cône de révolution renversé (sommet vers le bas). Les dimensions de la cuve réelle sont : rayon de la base $r = 2$ m et hauteur $h = 3$ m.

Pour la présentation au conseil municipal, on construit une maquette de la cuve à l'échelle $\dfrac{1}{10}$.

Calculer la valeur exacte du volume $V_{\text{réel}}$ de la cuve, en m³, en fonction de $\pi$.
Donner la valeur de $V_{\text{réel}}$ arrondie au litre près. (Rappel : $1$ m³ $= 1\,000$ L.)
Donner les dimensions (rayon et hauteur) de la maquette, en cm.
Calculer la valeur exacte du volume $V_{\text{maquette}}$ de la maquette, en cm³, puis en donner une valeur arrondie au cm³ près.
Convertir $V_{\text{réel}}$ en cm³, puis vérifier que $V_{\text{réel}} = 10^3 \times V_{\text{maquette}}$.

Corrigé

On applique la formule du volume d'un cône avec $r = 2$ m et $h = 3$ m :

$V_{\text{réel}} = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3} = \dfrac{\pi \times 2^2 \times 3}{3} = \dfrac{\pi \times 4 \times 3}{3} = 4\,\pi$

La valeur exacte est $V_{\text{réel}} = 4\,\pi$ m³.
Conversion en litres : $4\,\pi$ m³ $= 4\,\pi \times 1\,000 = 4\,000\,\pi$ L.

À la calculatrice : $4\,000 \times \pi \approx 12\,566{,}37$.

Arrondi au litre : $V_{\text{réel}} \approx 12\,566$ L.
La maquette est une réduction de coefficient $k = \dfrac{1}{10}$. Toutes les longueurs sont multipliées par $k$ :
- rayon : $r' = 2 \times \dfrac{1}{10} = 0{,}2$ m $= 20$ cm
- hauteur : $h' = 3 \times \dfrac{1}{10} = 0{,}3$ m $= 30$ cm
La maquette a un rayon de $20$ cm et une hauteur de $30$ cm.
On applique la formule du volume du cône, avec les dimensions de la maquette en cm :

$V_{\text{maquette}} = \dfrac{\pi \times 20^2 \times 30}{3} = \dfrac{\pi \times 400 \times 30}{3} = \dfrac{12\,000\,\pi}{3} = 4\,000\,\pi$

La valeur exacte est $V_{\text{maquette}} = 4\,000\,\pi$ cm³.

À la calculatrice : $4\,000 \times \pi \approx 12\,566{,}37$, soit $V_{\text{maquette}} \approx 12\,566$ cm³.
Conversion : $1$ m³ $= 1\,000\,000$ cm³, donc :

$V_{\text{réel}} = 4\,\pi$ m³ $= 4\,\pi \times 1\,000\,000 = 4\,000\,000\,\pi$ cm³

On compare avec $10^3 \times V_{\text{maquette}}$ :

$10^3 \times V_{\text{maquette}} = 1\,000 \times 4\,000\,\pi = 4\,000\,000\,\pi$ cm³

On obtient bien $V_{\text{réel}} = 10^3 \times V_{\text{maquette}}$, ce qui confirme la propriété : pour une réduction de coefficient $k = \dfrac{1}{10}$, les volumes sont multipliés par $k^3 = \dfrac{1}{1\,000}$.

Flacons de parfum : agrandissement et volumes

Un parfumeur conditionne son parfum dans des flacons en forme de pyramide à base carrée. Le flacon standard a une base carrée de $4$ cm de côté et une hauteur de $6$ cm.

Pour fêter ses cinquante ans d'existence, la maison prévoit un flacon collector dont toutes les dimensions (côté de la base et hauteur) sont multipliées par $\dfrac{5}{2}$ par rapport au flacon standard.

Calculer le volume du flacon standard, en cm³, puis en mL ($1$ cm³ $= 1$ mL).
Donner les dimensions (côté de la base et hauteur) du flacon collector, en cm.
Calculer le volume du flacon collector, en mL, en utilisant directement la formule du volume.
Retrouver le volume du flacon collector en utilisant la propriété sur les volumes lors d'un agrandissement de coefficient $k = \dfrac{5}{2}$.
Le flacon collector est vendu $250$ €. Calculer le prix au mL, arrondi au centime près.

Corrigé

On applique la formule du volume d'une pyramide. La base est un carré de côté $4$ cm, donc d'aire $4 \times 4 = 16$ cm². La hauteur vaut $6$ cm.

$V = \dfrac{16 \times 6}{3} = \dfrac{96}{3} = 32$

Le flacon standard a un volume de $32$ cm³, soit $32$ mL.
Toutes les dimensions sont multipliées par $\dfrac{5}{2} = 2{,}5$ :
- côté de la base : $4 \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{20}{2} = 10$ cm
- hauteur : $6 \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{30}{2} = 15$ cm
Le flacon collector mesure $10$ cm de côté à la base et $15$ cm de hauteur.
La base du flacon collector a pour aire $10 \times 10 = 100$ cm². On applique la formule du volume :

$V' = \dfrac{100 \times 15}{3} = \dfrac{1\,500}{3} = 500$

Le flacon collector a un volume de $500$ mL.
Lors d'un agrandissement de coefficient $k$, les volumes sont multipliés par $k^3$. Avec $k = \dfrac{5}{2}$ :

$k^3 = \left(\dfrac{5}{2}\right)^3 = \dfrac{5^3}{2^3} = \dfrac{125}{8}$

$V' = V \times k^3 = 32 \times \dfrac{125}{8} = \dfrac{32 \times 125}{8} = \dfrac{4\,000}{8} = 500$

On retrouve bien $V' = 500$ mL, ce qui confirme le résultat de la question 3.
Le prix au mL est :

$\dfrac{250}{500} = 0{,}50$

Le flacon collector est vendu $0{,}50$ € par mL.

Pour réviser : Calculer le volume d'une pyramide

Conversions de vitesses : étape cycliste

Lors d'une étape cycliste, un commentateur relève trois phases :

La descente d'un col à la vitesse moyenne $v_a = 72$ km/h sur une distance de $9$ km.
La traversée d'un plateau à la vitesse moyenne $v_b = 12$ m/s sur une distance de $6$ km.
La montée d'une côte à la vitesse moyenne $v_c = 5$ m/s pendant $4$ minutes.

Convertir $v_a = 72$ km/h en m/s.
Convertir $v_b = 12$ m/s en km/h.
Calculer la durée de la descente du col. Donner le résultat en minutes et secondes.
Calculer la durée de la traversée du plateau. Donner le résultat en secondes puis en minutes et secondes.
Calculer la distance parcourue lors de la montée de la côte. Donner le résultat en mètres puis en kilomètres.

Corrigé

Pour passer des km/h aux m/s, on divise par $3{,}6$ :

$v_a = \dfrac{72}{3{,}6} = 20$

La vitesse vaut $v_a = 20$ m/s.
Pour passer des m/s aux km/h, on multiplie par $3{,}6$ :

$v_b = 12 \times 3{,}6 = 43{,}2$

La vitesse vaut $v_b = 43{,}2$ km/h.
La durée se calcule par $t = \dfrac{d}{v}$. Avec $d = 9$ km et $v_a = 72$ km/h :

$t = \dfrac{9}{72} = 0{,}125$ h

On convertit en minutes : $0{,}125 \times 60 = 7{,}5$ min, soit $7$ min et $0{,}5 \times 60 = 30$ s.

La descente du col dure $7$ min $30$ s.
On utilise les unités cohérentes : $d = 6$ km $= 6\,000$ m et $v_b = 12$ m/s.

$t = \dfrac{6\,000}{12} = 500$ s

On convertit : $500 \div 60 = 8$ avec un reste de $20$, soit $500$ s $= 8$ min $20$ s.

La traversée dure $500$ s, soit $8$ min $20$ s.
On exprime la durée en secondes : $4$ min $= 4 \times 60 = 240$ s. Avec $v_c = 5$ m/s :

$d = v_c \times t = 5 \times 240 = 1\,200$

La distance parcourue est de $1\,200$ m, soit $1{,}2$ km.

Patron d’une pyramide à base carrée

On souhaite construire en carton une pyramide régulière $SABCD$ à base carrée. La base $ABCD$ est un carré de côté $10$ cm et toutes les arêtes latérales mesurent $13$ cm : $SA = SB = SC = SD = 13$ cm.

Justifier que les quatre faces latérales de la pyramide sont des triangles isocèles superposables.
Soit $M$ le milieu du segment $[AB]$. Calculer la longueur $SM$, hauteur du triangle isocèle $SAB$ issue du sommet $S$.
En déduire l'aire d'une face latérale, en cm².
Calculer l'aire totale du patron de la pyramide (base carrée + quatre faces latérales), en cm².

Corrigé

Chaque face latérale est un triangle dont les deux côtés issus du sommet $S$ sont des arêtes latérales de la pyramide :
- $SAB$ a deux côtés $SA = SB = 13$ cm, donc il est isocèle en $S$.
- De même $SBC$, $SCD$ et $SDA$ sont isocèles en $S$.
Ces quatre triangles ont tous deux côtés de longueur $13$ cm et un troisième côté qui est un côté du carré, soit $10$ cm. Ils ont donc les mêmes dimensions : ils sont superposables.
Le triangle $SAB$ est isocèle en $S$. La hauteur issue de $S$ tombe au milieu $M$ de la base $[AB]$ : elle est perpendiculaire à $[AB]$ en $M$. Le triangle $SAM$ est donc rectangle en $M$, avec $SA = 13$ cm et $AM = \dfrac{10}{2} = 5$ cm.

D'après le théorème de Pythagore dans le triangle $SAM$ rectangle en $M$ :

$SA^2 = SM^2 + AM^2$

$13^2 = SM^2 + 5^2$

$169 = SM^2 + 25$

$SM^2 = 169 - 25 = 144$

Comme $SM$ est une longueur, $SM = \sqrt{144} = 12$.

La hauteur vaut $SM = 12$ cm.
L'aire d'un triangle est $\dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$. Pour la face $SAB$, on prend $AB$ comme base et $SM$ comme hauteur :

$\mathcal{A}_{\text{face}} = \dfrac{AB \times SM}{2} = \dfrac{10 \times 12}{2} = \dfrac{120}{2} = 60$

L'aire d'une face latérale vaut $60$ cm².
L'aire de la base carrée est :

$\mathcal{A}_{\text{base}} = 10 \times 10 = 100$ cm²

Le patron est composé de la base et des quatre faces latérales superposables :

$\mathcal{A}_{\text{patron}} = \mathcal{A}_{\text{base}} + 4 \times \mathcal{A}_{\text{face}} = 100 + 4 \times 60 = 100 + 240 = 340$

L'aire totale du patron est $340$ cm².

Vrai/Faux : Raisonnement et synthèse

[enonce]
Pour chaque affirmation, mettre en relation plusieurs notions du chapitre (volume, agrandissement, conversions, repérage). Indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si deux pyramides ont la même base mais que la seconde a une hauteur trois fois plus grande, alors le volume de la seconde est trois fois plus grand.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
À base identique, le volume est proportionnel à la hauteur : $V = \dfrac{\mathcal{A} \times h}{3}$. Multiplier $h$ par $3$ multiplie $V$ par $3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La proportionnalité du volume à la hauteur (pour une base donnée) découle directement de la formule.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. À base inchangée, le volume est proportionnel à la hauteur.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Une cuve cubique de $1$ m d'arête peut contenir exactement $100$ litres d'eau.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Le volume du cube est $1^3 = 1$ $\text{m}^3 = 1\,000$ $\text{dm}^3 = 1\,000$ L.
La cuve contient $1\,000$ litres, pas $100$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
$1$ $\text{m}^3 = 1\,000$ litres (et non $100$). Bien retenir que les litres correspondent aux $\text{dm}^3$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La cuve contient $1\,000$ L.
[/solution]
[/etape]

[etape]

Deux cônes : l'un de rayon r et hauteur h, l'autre de rayon h et hauteur r

Affirmation : Les deux cônes représentés ci-dessus ont le même volume.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Cône 1 : $V_1 = \dfrac{\pi \times 3^2 \times 4}{3} = \dfrac{36\pi}{3} = 12\pi$.
Cône 2 : $V_2 = \dfrac{\pi \times 4^2 \times 3}{3} = \dfrac{48\pi}{3} = 16\pi$.
Les volumes sont différents car le rayon intervient au carré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le rayon intervient au carré dans la formule, donc échanger rayon et hauteur ne donne pas le même volume.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $V_1 = 12\pi$ cm³ et $V_2 = 16\pi$ cm³ : le rayon élevé au carré privilégie le second cône.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si on multiplie le rayon d'un cône par $\dfrac{1}{2}$ (réduction), on divise son volume par $8$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le cône subit une réduction de coefficient $k = \dfrac{1}{2}$. Les volumes sont multipliés par $k^3 = \dfrac{1}{8}$, ce qui revient à diviser par $8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Une réduction de coefficient $\dfrac{1}{2}$ multiplie le volume par $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$, soit une division par $8$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le volume est multiplié par $k^3 = \dfrac{1}{8}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un voyageur parcourt $144$ km en $2$ h. Sa vitesse moyenne en m/s est $20$ m/s.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La vitesse moyenne est $\dfrac{144}{2} = 72$ km/h.
$72 \div 3{,}6 = 20$ m/s. Le calcul est correct.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Calculer la vitesse en km/h ($72$ km/h), puis convertir en m/s en divisant par $3{,}6$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $72$ km/h $= 20$ m/s.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Une pyramide à base carrée de côté $a$ et de hauteur $a$ a un volume égal à $\dfrac{a^3}{3}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Aire de la base : $a \times a = a^2$. Volume : $V = \dfrac{a^2 \times a}{3} = \dfrac{a^3}{3}$. Le résultat est correct.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Appliquer la formule en remplaçant la hauteur par $a$ : $V = \dfrac{a^2 \times a}{3} = \dfrac{a^3}{3}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $V = \dfrac{a^2 \times a}{3} = \dfrac{a^3}{3}$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Propriétés et formules

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur les propriétés et formules des solides et des conversions, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : La formule du volume d'un cône de révolution est $V = \pi r^2 h$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$\pi r^2 h$ est la formule du volume d'un cylindre. Pour le cône, il faut diviser par $3$ : $V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Bien distinguer les deux formules : cylindre $\to \pi r^2 h$ ; cône $\to \dfrac{\pi r^2 h}{3}$. Le facteur $\dfrac{1}{3}$ est essentiel.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La bonne formule est $V_{\text{cône}} = \dfrac{\pi r^2 h}{3}$ (un tiers de celle du cylindre de même base et même hauteur).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $1$ litre est égal à $1$ $\text{dm}^3$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
La correspondance fondamentale entre les unités de volume et de capacité est : $1$ L $= 1$ $\text{dm}^3$. C'est sur cette égalité que reposent toutes les conversions L $\leftrightarrow$ unités de volume.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Bien retenir cette équivalence centrale : $1$ L $= 1$ $\text{dm}^3$ ($= 1\,000$ $\text{cm}^3$).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $1$ L $= 1$ $\text{dm}^3$ est l'égalité de référence pour les conversions.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour calculer le volume d'une pyramide, la base et la hauteur peuvent être exprimées dans des unités différentes.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Pour appliquer la formule $V = \dfrac{\mathcal{A} \times h}{3}$, l'aire de la base et la hauteur doivent être dans des unités cohérentes (l'aire en unité², la hauteur en cette unité). Sinon, le résultat est faux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Toujours vérifier la cohérence des unités avant de calculer : convertir si nécessaire pour que tout soit dans la même unité.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Les longueurs doivent être dans la même unité avant le calcul du volume.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si on multiplie toutes les longueurs d'un solide par $2$, son volume est multiplié par $8$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Lors d'un agrandissement de coefficient $k$, les volumes sont multipliés par $k^3$. Avec $k = 2$, on obtient $2^3 = 8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Retenir l'effet de l'agrandissement : longueurs $\times k$, aires $\times k^2$, volumes $\times k^3$. Avec $k = 2$, le volume est multiplié par $8$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le volume est multiplié par $k^3 = 2^3 = 8$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour convertir des km/h en m/s, on multiplie par $3{,}6$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le sens est inversé : pour passer de km/h à m/s, on divise par $3{,}6$ (la vitesse en m/s est numériquement plus petite). On multiplie par $3{,}6$ pour faire l'inverse (m/s $\to$ km/h).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Astuce mémo : la vitesse en m/s est plus petite (en valeur) qu'en km/h. Donc on divise quand on passe au plus petit, on multiplie quand on passe au plus grand.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. On divise par $3{,}6$ pour passer de km/h à m/s.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le volume d'une pyramide est égal à la moitié du volume d'un prisme de même base et de même hauteur.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le volume d'une pyramide est le tiers (et non la moitié) du volume d'un prisme de même base et de même hauteur :
$V_{\text{pyramide}} = \dfrac{1}{3} \times V_{\text{prisme}}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le facteur entre pyramide et prisme (de même base et hauteur) est $\dfrac{1}{3}$, pas $\dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le volume de la pyramide est le tiers (pas la moitié) de celui du prisme correspondant.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Pièges fréquents

[enonce]
Pour chaque affirmation, repérer le piège fréquent glissé dans l'énoncé. Indiquer si l'affirmation est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si on multiplie toutes les dimensions d'un solide par $3$, son aire est multipliée par $3$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'aire est multipliée par $k^2 = 3^2 = 9$, pas par $3$. Seules les longueurs sont multipliées par $k$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Penser à la table : longueurs $\times k$, aires $\times k^2$, volumes $\times k^3$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'aire est multipliée par $k^2 = 9$, et le volume par $k^3 = 27$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour un cône de révolution dont on connaît le diamètre $d$ de la base, on peut appliquer directement la formule $V = \dfrac{\pi d^2 h}{3}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
La formule utilise le rayon $r$, pas le diamètre $d$. Comme $r = \dfrac{d}{2}$, on a $r^2 = \dfrac{d^2}{4}$. Si on remplace $r$ par $d$, on multiplie le volume par $4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Toujours convertir le diamètre en rayon ($r = \dfrac{d}{2}$) avant d'utiliser la formule du volume.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Il faut convertir d'abord le diamètre en rayon : $V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}$ avec $r = \dfrac{d}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $1$ $\text{m}^3 = 100$ $\text{cm}^3$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$1$ $\text{m}^3 = 1\,000\,000$ $\text{cm}^3$, et non $100$ $\text{cm}^3$. Il y a deux échelons (m³ $\to$ dm³ $\to$ cm³), donc deux multiplications par $1\,000$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le facteur entre deux unités de volume successives est $1\,000$. Entre $\text{m}^3$ et $\text{cm}^3$, il y a deux échelons donc $1\,000 \times 1\,000 = 1\,000\,000$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $1$ $\text{m}^3 = 1\,000$ $\text{dm}^3 = 1\,000\,000$ $\text{cm}^3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans une pyramide à base carrée, l'arête latérale et la hauteur ont la même longueur.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'arête latérale relie un sommet de la base au sommet de la pyramide. La hauteur, elle, est perpendiculaire à la base. L'arête latérale est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont un côté est la hauteur : elle est donc plus longue.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Penser au triangle rectangle formé par la hauteur, le segment $[OH]$ (du pied de la hauteur au sommet de la base) et l'arête latérale : l'arête latérale est l'hypoténuse, donc plus longue que la hauteur.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'arête latérale est plus longue que la hauteur : c'est l'hypoténuse d'un triangle rectangle.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Une vitesse de $36$ km/h correspond à $10$ m/s.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$36 \div 3{,}6 = 10$. La vitesse vaut bien $10$ m/s.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour passer de km/h à m/s, on divise par $3{,}6$ : $36 \div 3{,}6 = 10$ m/s.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $36 \div 3{,}6 = 10$ m/s.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans un pavé droit, deux sommets opposés (les plus éloignés) ont nécessairement la même cote.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Au contraire, les deux sommets diamétralement opposés d'un pavé droit ont les trois coordonnées différentes : l'un est l'origine $(0;0;0)$, l'autre est $(L;l;h)$. Leurs cotes diffèrent.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Les sommets opposés d'un pavé droit diffèrent par leurs trois coordonnées (abscisse, ordonnée et cote). Ils ne sont pas dans le même plan horizontal.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Les sommets opposés ont des cotes (et toutes les autres coordonnées) différentes.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Vocabulaire des solides

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur le vocabulaire des solides (pyramide et cône de révolution), indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : La hauteur d'une pyramide est l'une de ses arêtes latérales.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La hauteur part du sommet et est perpendiculaire au plan de la base ; ce n'est pas une arête latérale.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La hauteur d'une pyramide n'est pas une arête : c'est un segment perpendiculaire à la base, partant du sommet et atteignant le pied $H$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La hauteur est perpendiculaire à la base, ce n'est pas une arête latérale en général.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans un cône de révolution, toutes les génératrices ont la même longueur.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Toutes les génératrices d'un cône de révolution ont la même longueur, car le sommet $S$ se projette au centre du disque de base et tous les points du cercle de base sont à la même distance du centre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Une propriété fondamentale du cône de révolution : ses génératrices sont toutes de même longueur (cela résulte de la symétrie de révolution).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est une caractéristique du cône de révolution : toutes les génératrices ont la même longueur.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La base d'un cône de révolution est un secteur de disque.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La base d'un cône de révolution est un disque complet. Le secteur de disque apparaît dans le patron, mais il représente la surface latérale (déroulée), pas la base.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Bien distinguer la base (disque complet) et la surface latérale du patron (secteur de disque).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La base est un disque ; le secteur de disque correspond à la surface latérale dans le patron.
[/solution]
[/etape]

[etape]

Affirmation : Cette pyramide possède exactement $5$ faces latérales.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La base est un pentagone (5 côtés). Chaque côté de la base est relié au sommet par un triangle, donc il y a $5$ faces latérales triangulaires.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le nombre de faces latérales d'une pyramide égale toujours le nombre de côtés de sa base. Ici la base est un pentagone, donc $5$ faces latérales.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Une pyramide à base pentagonale a $5$ faces latérales triangulaires.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans un repère de l'espace, la troisième coordonnée d'un point s'appelle l'ordonnée.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La troisième coordonnée s'appelle la cote (ou altitude), pas l'ordonnée. L'ordonnée est la deuxième coordonnée ($y$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Dans l'ordre : abscisse ($x$), ordonnée ($y$), cote ($z$). La troisième s'appelle la cote, pas l'ordonnée.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La troisième coordonnée est la cote ($z$). L'ordonnée est la deuxième coordonnée.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : En perspective cavalière, les arêtes parallèles d'un solide restent parallèles sur le dessin.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La perspective cavalière conserve le parallélisme : deux arêtes parallèles dans la réalité restent représentées par deux segments parallèles sur le dessin.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Une propriété importante de la perspective cavalière est la conservation du parallélisme. Cela explique l'aspect caractéristique des cubes et pavés droits dessinés en perspective.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La perspective cavalière conserve les rapports de longueur sur les arêtes parallèles à un même axe et conserve le parallélisme.
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Solides et volumes

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : repérage dans l'espace, volumes de pyramides et de cônes, conversions d'unités et agrandissement-réduction. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
On agrandit un solide en multipliant toutes ses longueurs par $3$. Par combien son volume est-il multiplié ?
[qcm]
[option]$3$[/option]
[option]$9$[/option]
[option correct="true"]$27$[/option]
[option]$6$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Lorsque les longueurs sont multipliées par $k$, les volumes sont multipliés par $k^3$. Ici $k = 3$, donc le volume est multiplié par $3^3 = 27$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
$k$ s'applique aux longueurs, pas aux volumes. Pour les volumes, c'est $k^3$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
$9 = 3^2$ correspond au coefficient pour les aires, pas pour les volumes.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
$6 = 2 \times 3$ ne correspond à aucun coefficient connu de l'agrandissement-réduction.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Retenir : si $k$ est le coefficient d'agrandissement, alors les longueurs sont $\times k$, les aires $\times k^2$, les volumes $\times k^3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une pyramide a un volume de $80$ cm³. On réduit toutes ses dimensions par un coefficient $\dfrac{1}{2}$. Quel est le volume de la pyramide réduite ?
[qcm]
[option]$40$ cm³[/option]
[option]$20$ cm³[/option]
[option correct="true"]$10$ cm³[/option]
[option]$160$ cm³[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le coefficient de réduction est $k = \dfrac{1}{2}$ donc le volume est multiplié par $k^3 = \dfrac{1}{8}$.
$V' = \dfrac{80}{8} = 10$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="$40$ cm³"]Non.
On a divisé par $2$ : c'est l'effet sur les longueurs, pas sur les volumes.[/reponse]
[reponse motif="$20$ cm³"]Non.
On a divisé par $4$ : c'est l'effet sur les aires (coefficient $k^2$), pas sur les volumes.[/reponse]
[reponse motif="$160$ cm³"]Non.
Une réduction diminue le volume. On a multiplié au lieu de diviser.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour les volumes, le coefficient à appliquer est $k^3$, soit ici $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un pavé droit $OABCDEFG$ de dimensions $OA = 4$, $OC = 3$ et $OD = 5$, le point $M$ a pour coordonnées $(4 \,;\, 0 \,;\, 5)$. Quel sommet du pavé est-ce ?
[qcm]
[option]$A$[/option]
[option]$F$[/option]
[option correct="true"]$E$[/option]
[option]$D$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On part de $O$, on parcourt $4$ sur l'axe $x$ (on arrive en $A$), puis $0$ sur l'axe $y$, puis $5$ sur l'axe $z$ (on monte). On atteint le sommet $E$, situé au-dessus de $A$.[/reponse]
[reponse motif="$A$"]Non.
$A$ est dans la base, sa cote vaut $0$. Or la cote demandée est $5$.[/reponse]
[reponse motif="$F$"]Non.
$F$ a pour ordonnée $3$ (et non $0$).[/reponse]
[reponse motif="$D$"]Non.
$D$ a pour abscisse $0$. Ici l'abscisse demandée vaut $4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Suivre les arêtes parallèles à chaque axe depuis $O$ pour identifier le sommet correspondant aux coordonnées données.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un cône de révolution a un rayon de $5$ cm et une hauteur de $12$ cm. Quel est son volume exact ?
[qcm]
[option]$300\pi$ cm³[/option]
[option correct="true"]$100\pi$ cm³[/option]
[option]$60\pi$ cm³[/option]
[option]$\dfrac{300\pi}{2}$ cm³[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$V = \dfrac{\pi \times 5^2 \times 12}{3} = \dfrac{\pi \times 25 \times 12}{3} = \dfrac{300\pi}{3} = 100\pi$ cm³.[/reponse]
[reponse motif="$300\pi$ cm³"]Non.
On a oublié de diviser par $3$ dans la formule du cône.[/reponse]
[reponse motif="$60\pi$ cm³"]Non.
On a oublié d'élever le rayon au carré (utilisation de $r = 5$ au lieu de $r^2 = 25$).[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{300\pi}{2}$ cm³"]Non.
La formule du cône divise par $3$, pas par $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\pi \times r^2 \times h$, puis diviser par $3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une cuve de $4{,}5$ $\text{m}^3$ doit être vidée. Combien de litres contient-elle ?
[qcm]
[option]$45$ L[/option]
[option]$450$ L[/option]
[option correct="true"]$4\,500$ L[/option]
[option]$45\,000$ L[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$1$ $\text{m}^3 = 1\,000$ $\text{dm}^3 = 1\,000$ L.
Donc $4{,}5$ $\text{m}^3 = 4{,}5 \times 1\,000 = 4\,500$ L.[/reponse]
[reponse motif="$45$ L"]Non.
On a multiplié par $10$ au lieu de $1\,000$.[/reponse]
[reponse motif="$450$ L"]Non.
On a multiplié par $100$ au lieu de $1\,000$.[/reponse]
[reponse motif="$45\,000$ L"]Non.
On a multiplié par $10\,000$ : c'est $10$ fois trop.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser $1$ $\text{m}^3 = 1\,000$ L, puis multiplier par $4{,}5$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une pyramide à base carrée a un côté de base $a$ et une hauteur $h$. On double le côté de la base ($a \to 2a$) en gardant la même hauteur. Par combien le volume est-il multiplié ?
[qcm]
[option]$2$[/option]
[option correct="true"]$4$[/option]
[option]$8$[/option]
[option]$16$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$V = \dfrac{a^2 \times h}{3}$ devient $V' = \dfrac{(2a)^2 \times h}{3} = \dfrac{4 a^2 h}{3} = 4 V$.
Le volume est multiplié par $4$. Attention : ce n'est pas un agrandissement complet car la hauteur ne change pas — on ne peut pas appliquer $k^3$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Le côté apparaît au carré dans l'aire de la base, donc le volume est multiplié par plus que $2$.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
$8 = 2^3$ correspond à un agrandissement complet où toutes les dimensions sont doublées. Ici, la hauteur reste fixe.[/reponse]
[reponse motif="$16$"]Non.
Le côté est multiplié par $2$, donc l'aire de la base par $4$ et le volume aussi par $4$ (et non $16$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Distinguer un agrandissement complet (toutes dimensions $\times k$) d'une transformation partielle. Calculer $V' / V$ explicitement.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Conversions d’unités composées

[enonce]
Ce QCM porte sur les conversions d'unités composées : volumes ($\text{m}^3$, $\text{dm}^3$, $\text{cm}^3$, litres) et vitesses (km/h, m/s). Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Convertir $1$ $\text{m}^3$ en $\text{dm}^3$.
[qcm]
[option]$10$ $\text{dm}^3$[/option]
[option]$100$ $\text{dm}^3$[/option]
[option correct="true"]$1\,000$ $\text{dm}^3$[/option]
[option]$1\,000\,000$ $\text{dm}^3$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour les unités de volume, on multiplie ou divise par $1\,000$ entre deux unités successives. Donc $1$ $\text{m}^3 = 1\,000$ $\text{dm}^3$.[/reponse]
[reponse motif="$10$ $\text{dm}^3$"]Non.
Le facteur de conversion entre deux unités de volume est $1\,000$, pas $10$. Le facteur $10$ s'applique aux longueurs simples ($\text{m} \to \text{dm}$).[/reponse]
[reponse motif="$100$ $\text{dm}^3$"]Non.
Le facteur $100$ correspond aux conversions d'aires ($\text{m}^2 \to \text{dm}^2$), pas aux volumes.[/reponse]
[reponse motif="$1\,000\,000$ $\text{dm}^3$"]Non.
$1\,000\,000$ correspond à la conversion de $\text{m}^3$ en $\text{cm}^3$ (deux échelons), pas en $\text{dm}^3$ (un seul échelon).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour les volumes, retenir le facteur $\times 1\,000$ entre chaque unité successive.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une bouteille a une capacité de $0{,}75$ L. Quel est son volume en $\text{cm}^3$ ?
[qcm]
[option]$7{,}5$ $\text{cm}^3$[/option]
[option]$75$ $\text{cm}^3$[/option]
[option correct="true"]$750$ $\text{cm}^3$[/option]
[option]$7\,500$ $\text{cm}^3$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$1$ L $= 1$ $\text{dm}^3 = 1\,000$ $\text{cm}^3$.
Donc $0{,}75$ L $= 0{,}75 \times 1\,000 = 750$ $\text{cm}^3$.[/reponse]
[reponse motif="$7{,}5$ $\text{cm}^3$"]Non.
On a multiplié par $10$ au lieu de $1\,000$. Pour passer du $\text{dm}^3$ au $\text{cm}^3$, le facteur est $1\,000$.[/reponse]
[reponse motif="$75$ $\text{cm}^3$"]Non.
On a multiplié par $100$ au lieu de $1\,000$. Le facteur entre deux unités de volume successives est $1\,000$.[/reponse]
[reponse motif="$7\,500$ $\text{cm}^3$"]Non.
On a multiplié par $10\,000$ : c'est trop. Un litre vaut $1\,000$ $\text{cm}^3$, donc $0{,}75$ L vaut $750$ $\text{cm}^3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser $1$ L $= 1\,000$ $\text{cm}^3$, puis multiplier par $0{,}75$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un aquarium a un volume de $250\,000$ $\text{cm}^3$. Quel volume en litres cela représente-t-il ?
[qcm]
[option]$2{,}5$ L[/option]
[option]$25$ L[/option]
[option correct="true"]$250$ L[/option]
[option]$2\,500$ L[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$1$ L $= 1\,000$ $\text{cm}^3$, donc $250\,000$ $\text{cm}^3 = \dfrac{250\,000}{1\,000} = 250$ L.[/reponse]
[reponse motif="$2{,}5$ L"]Non.
On a divisé par $100\,000$ au lieu de $1\,000$. Vérifier l'ordre de grandeur : $1$ L vaut $1\,000$ $\text{cm}^3$.[/reponse]
[reponse motif="$25$ L"]Non.
On a divisé par $10\,000$ au lieu de $1\,000$.[/reponse]
[reponse motif="$2\,500$ L"]Non.
On a divisé par $100$ au lieu de $1\,000$. Le facteur entre $\text{cm}^3$ et litre est $1\,000$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour passer des $\text{cm}^3$ aux litres, diviser par $1\,000$ (puisque $1$ L $= 1\,000$ $\text{cm}^3$).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Convertir $72$ km/h en m/s.
[qcm]
[option]$7{,}2$ m/s[/option]
[option]$25{,}9$ m/s[/option]
[option correct="true"]$20$ m/s[/option]
[option]$259{,}2$ m/s[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Pour convertir des km/h en m/s, on divise par $3{,}6$.
$72 \div 3{,}6 = 20$ m/s.[/reponse]
[reponse motif="$7{,}2$ m/s"]Non.
On a divisé par $10$ au lieu de $3{,}6$.[/reponse]
[reponse motif="$25{,}9$ m/s"]Non.
On a multiplié par $0{,}36$ : il fallait diviser par $3{,}6$.[/reponse]
[reponse motif="$259{,}2$ m/s"]Non.
On a multiplié par $3{,}6$ au lieu de diviser. Une vitesse en m/s est plus petite (en valeur numérique) qu'en km/h.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour passer de km/h à m/s, diviser par $3{,}6$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un coureur sprinte à $9$ m/s. Quelle est sa vitesse en km/h ?
[qcm]
[option]$2{,}5$ km/h[/option]
[option]$3{,}6$ km/h[/option]
[option correct="true"]$32{,}4$ km/h[/option]
[option]$54$ km/h[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Pour convertir des m/s en km/h, on multiplie par $3{,}6$.
$9 \times 3{,}6 = 32{,}4$ km/h.[/reponse]
[reponse motif="$2{,}5$ km/h"]Non.
On a divisé $9$ par $3{,}6$ : c'est l'opération à faire dans l'autre sens (km/h vers m/s).[/reponse]
[reponse motif="$3{,}6$ km/h"]Non.
$3{,}6$ est le coefficient de conversion, pas le résultat. Il faut multiplier $9$ par $3{,}6$.[/reponse]
[reponse motif="$54$ km/h"]Non.
On a multiplié par $6$ au lieu de $3{,}6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour passer des m/s aux km/h, multiplier par $3{,}6$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un récipient cubique a une arête de $20$ cm. Quelle est sa capacité en litres ?
[qcm]
[option]$0{,}8$ L[/option]
[option correct="true"]$8$ L[/option]
[option]$80$ L[/option]
[option]$800$ L[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le volume du cube vaut $20^3 = 8\,000$ $\text{cm}^3$.
Comme $1$ L $= 1\,000$ $\text{cm}^3$, on a $8\,000$ $\text{cm}^3 = 8$ L.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}8$ L"]Non.
On a divisé $8\,000$ par $10\,000$. Le facteur correct est $1\,000$ entre $\text{cm}^3$ et litre.[/reponse]
[reponse motif="$80$ L"]Non.
On a divisé par $100$ au lieu de $1\,000$.[/reponse]
[reponse motif="$800$ L"]Non.
On a divisé par $10$ au lieu de $1\,000$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord le volume en $\text{cm}^3$ ($20^3$), puis diviser par $1\,000$ pour obtenir les litres.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]