Volume d’une boîte sans couvercle : modéliser et lire un maximum

On dispose d'une feuille rectangulaire de carton de longueur $20$ cm et de largeur $14$ cm. Aux quatre coins, on découpe un carré de côté $x$ cm (où $x$ est un nombre positif). On plie ensuite les bandes restantes pour obtenir une boîte sans couvercle.

Feuille rectangulaire 20 cm sur 14 cm avec un carre de cote x decoupe a chaque coin

On note $V(x)$ le volume de la boîte obtenue, exprimé en cm$^3$.

Justifier que la valeur de $x$ doit vérifier $0 < x < 7$.
Exprimer la longueur $L$ et la largeur $\ell$ de la base de la boîte en fonction de $x$.
Montrer que $V(x) = x(20 - 2x)(14 - 2x)$.
Calculer $V(1)$, $V(2)$, $V(3)$, $V(4)$, $V(5)$ et $V(6)$.
Sur du papier millimétré, représenter la fonction $V$ dans un repère adapté en plaçant les points obtenus.
Lire graphiquement la valeur entière de $x$ pour laquelle le volume de la boîte semble maximal. Donner alors ce volume.

Corrigé

La longueur $x$ d'un côté de carré découpé doit être strictement positive : $x > 0$. De plus, après découpe, la largeur restante de la base mesure $14 - 2x$. Cette largeur doit être strictement positive :
$14 - 2x > 0$
$2x < 14$
$x < 7$
Donc $x$ doit vérifier $\mathbf{0 < x < 7}$.
La longueur de la base s'obtient en retirant deux fois $x$ à la longueur initiale :
$L = 20 - 2x$
La largeur s'obtient en retirant deux fois $x$ à la largeur initiale :
$\ell = 14 - 2x$
Lorsque l'on plie la feuille, la hauteur de la boîte est égale à $x$. Le volume d'un pavé droit est le produit de ses trois dimensions :

$V(x) = x \times L \times \ell = x(20 - 2x)(14 - 2x)$
On remplace $x$ par chaque valeur dans $V(x) = x(20 - 2x)(14 - 2x)$.
$V(1) = 1 \times (20 - 2) \times (14 - 2) = 1 \times 18 \times 12 = 216$
$V(2) = 2 \times (20 - 4) \times (14 - 4) = 2 \times 16 \times 10 = 320$
$V(3) = 3 \times (20 - 6) \times (14 - 6) = 3 \times 14 \times 8 = 336$
$V(4) = 4 \times (20 - 8) \times (14 - 8) = 4 \times 12 \times 6 = 288$
$V(5) = 5 \times (20 - 10) \times (14 - 10) = 5 \times 10 \times 4 = 200$
$V(6) = 6 \times (20 - 12) \times (14 - 12) = 6 \times 8 \times 2 = 96$

$x$ (en cm) $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$

$V(x)$ (en cm$^3$) $216$ $320$ $336$ $288$ $200$ $96$
On reporte les six points $(1\,;\,216)$, $(2\,;\,320)$, $(3\,;\,336)$, $(4\,;\,288)$, $(5\,;\,200)$ et $(6\,;\,96)$ dans un repère, puis on les relie par une courbe lisse.
Sur la courbe, le point le plus haut parmi les valeurs entières de $x$ est atteint pour $\mathbf{x = 3}$. Le volume maximal vaut alors $336$ cm$^3$.

$x$ (en cm)	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$V(x)$ (en cm$^3$)	$216$	$320$	$336$	$288$	$200$	$96$

Exprimer le périmètre et l’aire d’un rectangle en fonction de sa largeur

Un rectangle a une longueur fixe de $8$ cm. Sa largeur, notée $x$, est exprimée en cm.

Rectangle de longueur 8 cm et de largeur x cm

On note $P(x)$ le périmètre du rectangle (en cm) et $A(x)$ son aire (en cm$^2$).

Exprimer $P(x)$ en fonction de $x$.
Exprimer $A(x)$ en fonction de $x$.
Calculer $P(3)$ et $A(3)$. Interpréter les résultats.
Calculer $P(5{,}5)$ et $A(5{,}5)$. Interpréter les résultats.
Quelle est l'image de $4$ par la fonction $A$ ?

Corrigé

Le périmètre d'un rectangle est la somme du double de la longueur et du double de la largeur :

$P(x) = 2 \times 8 + 2 \times x = 16 + 2x$
L'aire d'un rectangle est le produit de la longueur par la largeur :

$A(x) = 8 \times x = 8x$
On remplace $x$ par $3$ dans chacune des formules.
$P(3) = 16 + 2 \times 3 = 16 + 6 = 22$
$A(3) = 8 \times 3 = 24$
Lorsque la largeur vaut $3$ cm, le périmètre vaut $22$ cm et l'aire vaut $24$ cm$^2$.
On remplace $x$ par $5{,}5$.
$P(5{,}5) = 16 + 2 \times 5{,}5 = 16 + 11 = 27$
$A(5{,}5) = 8 \times 5{,}5 = 44$
Lorsque la largeur vaut $5{,}5$ cm, le périmètre vaut $27$ cm et l'aire vaut $44$ cm$^2$.
On calcule l'image de $4$ par la fonction $A$ :
$A(4) = 8 \times 4 = 32$
L'image de $4$ par $A$ est $\mathbf{32}$. Cela signifie qu'un rectangle de largeur $4$ cm a pour aire $32$ cm$^2$.

Pour réviser : Calculer l'image d'un nombre par une fonction

Compléter un tableau de valeurs et lire image, antécédents

On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2 - 2x$.

Recopier puis compléter le tableau de valeurs ci-dessous.

$x$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$

$f(x)$
À l'aide du tableau, donner l'image de $4$ par $f$.
À l'aide du tableau, déterminer tous les antécédents de $0$ par $f$.
À l'aide du tableau, déterminer tous les antécédents de $8$ par $f$.
Le nombre $-1$ est-il l'image d'un nombre par $f$ d'après le tableau ? Si oui, lequel ?

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$

Corrigé

On remplace $x$ par chaque valeur dans $f(x) = x^2 - 2x$.
$f(-2) = (-2)^2 - 2 \times (-2) = 4 + 4 = 8$
$f(-1) = (-1)^2 - 2 \times (-1) = 1 + 2 = 3$
$f(0) = 0^2 - 2 \times 0 = 0$
$f(1) = 1^2 - 2 \times 1 = 1 - 2 = -1$
$f(2) = 2^2 - 2 \times 2 = 4 - 4 = 0$
$f(3) = 3^2 - 2 \times 3 = 9 - 6 = 3$
$f(4) = 4^2 - 2 \times 4 = 16 - 8 = 8$

$x$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$

$f(x)$ $8$ $3$ $0$ $-1$ $0$ $3$ $8$
Dans le tableau, sous $x = 4$ on lit $f(x) = 8$.
L'image de $4$ par $f$ est $\mathbf{8}$.
Les antécédents de $0$ par $f$ sont les nombres $x$ du tableau pour lesquels $f(x) = 0$. La valeur $0$ apparait sous $x = 0$ et sous $x = 2$.
Les antécédents de $0$ par $f$ sont $0$ et $2$.
La valeur $8$ apparait sous $x = -2$ et sous $x = 4$.
Les antécédents de $8$ par $f$ sont $-2$ et $4$.
Dans la ligne des images, la valeur $-1$ apparait sous $x = 1$. Donc $-1$ est bien l'image d'un nombre par $f$ : $\mathbf{f(1) = -1}$.

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$	$8$	$3$	$0$	$-1$	$0$	$3$	$8$

Pour réviser : Calculer l'image d'un nombre par une fonction · Déterminer un antécédent par le calcul

Vrai/Faux : Vocabulaire image et antécédent

[enonce]
On considère deux fonctions :

la fonction $f$ définie par la formule $f(x) = 2x - 1$
la fonction $g$ donnée par le tableau de valeurs ci-dessous

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$g(x)$	$3$	$0$	$1$	$4$	$1$	$0$

Pour chaque affirmation, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : L'image de $3$ par la fonction $f$ est $5$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On remplace $x$ par $3$ dans la formule : $f(3) = 2 \times 3 - 1 = 6 - 1 = 5$. L'image de $3$ par $f$ est bien $5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège classique est de calculer $2 \times (3-1) = 4$ en regroupant les termes.
Le calcul correct respecte les priorités : $f(3) = 2 \times 3 - 1 = 6 - 1 = 5$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $f(3) = 2 \times 3 - 1 = 5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : D'après le tableau, le nombre $1$ a un seul antécédent par $g$, c'est $0$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La valeur $1$ apparaît deux fois dans la ligne des images : $g(0) = 1$ et $g(2) = 1$. Le nombre $1$ a donc deux antécédents par $g$, et non un seul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas s'arrêter à la première occurrence de $1$ dans la ligne des images.
En parcourant tout le tableau, on trouve $g(0) = 1$ et $g(2) = 1$ : il y a deux antécédents.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le tableau donne $g(0) = 1$ et $g(2) = 1$ : le nombre $1$ a deux antécédents par $g$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $0$ est un antécédent de $1$ par la fonction $g$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le tableau donne directement $g(0) = 1$. Cela signifie exactement que $0$ est un antécédent de $1$ par $g$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention au sens de l'expression : « $0$ est un antécédent de $1$ par $g$ » signifie $g(0) = 1$, pas $g(1) = 0$.
Le tableau donne $g(0) = 1$, ce qui correspond exactement à la définition de l'antécédent.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le tableau indique $g(0) = 1$ : le nombre $0$ est bien un antécédent de $1$ par $g$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'image de $-1$ par la fonction $f$ est $3$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On calcule $f(-1) = 2 \times (-1) - 1 = -2 - 1 = -3$, et non $3$. L'image de $-1$ par $f$ est $-3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est d'oublier le signe : $2 \times (-1) = -2$, pas $+2$.
Le calcul correct est : $f(-1) = -2 - 1 = -3$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $f(-1) = 2 \times (-1) - 1 = -3$, pas $3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : D'après le tableau, le nombre $0$ a exactement deux antécédents par $g$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On cherche les colonnes où $g(x) = 0$. On trouve $g(-1) = 0$ et $g(3) = 0$ : le nombre $0$ a bien exactement deux antécédents par $g$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est peut-être de confondre la valeur $0$ avec la colonne $x = 0$.
La valeur $0$ apparaît deux fois dans la ligne des images : aux colonnes $x = -1$ et $x = 3$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le tableau donne $g(-1) = 0$ et $g(3) = 0$ : le nombre $0$ a exactement deux antécédents par $g$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un même nombre peut avoir plusieurs images par une même fonction.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Par définition d'une fonction, chaque nombre n'a qu'une unique image. C'est l'antécédent qui peut être multiple, pas l'image.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre image et antécédent.
La définition d'une fonction impose que chaque nombre ait une seule image. En revanche, un nombre peut avoir plusieurs antécédents (ou aucun).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Par définition d'une fonction, un nombre a une unique image. Seul l'antécédent peut être multiple.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Formules liant deux grandeurs

[enonce]
Pour chaque affirmation, indiquer si elle est Vraie ou Fausse. Les énoncés portent sur des fonctions exprimant une grandeur en fonction d'une autre.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : L'aire $A$ d'un carré de côté $c$ est donnée par la fonction définie par $A(c) = c^2$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'aire d'un carré est le produit du côté par lui-même : $A = c \times c = c^2$. La fonction $A(c) = c^2$ exprime bien l'aire en fonction du côté.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège classique est de confondre aire et périmètre.
L'aire d'un carré est $c \times c = c^2$, alors que son périmètre est $4c$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'aire d'un carré de côté $c$ vaut $c \times c = c^2$, donc $A(c) = c^2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le périmètre $P$ d'un carré de côté $c$ est donné par la fonction $P(c) = c^2 \times 4$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est exact !
Le périmètre d'un carré est la somme des longueurs de ses $4$ côtés égaux : $P = 4c$, et non $4c^2$. La formule donnée correspondrait à $4$ fois l'aire, ce qui n'a aucun sens géométrique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas mélanger aire et périmètre.
Le périmètre d'un carré est une somme de longueurs : $P = c + c + c + c = 4c$. La formule correcte est $P(c) = 4c$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le périmètre d'un carré de côté $c$ est $P(c) = 4c$, pas $4c^2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour un rectangle de longueur $8$ cm et de largeur $\ell$ cm, l'aire $A$ exprimée en fonction de $\ell$ est $A(\ell) = 8\ell$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'aire d'un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur : $A = L \times \ell$. Avec $L = 8$, on obtient $A(\ell) = 8 \times \ell = 8\ell$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'aire d'un rectangle est le produit longueur $\times$ largeur, et non leur somme.
Avec $L = 8$ fixée et $\ell$ variable, on obtient bien $A(\ell) = 8\ell$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'aire vaut $A = L \times \ell = 8\ell$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Une voiture roule à vitesse constante $60$ km/h. La distance $d$ parcourue en fonction du temps $t$ (en heures) est $d(t) = 60 + t$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
À vitesse constante, on a $d = v \times t$ : la distance est le produit de la vitesse par le temps, pas leur somme. La fonction correcte est $d(t) = 60t$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre la formule additive et la formule multiplicative.
À vitesse constante, distance $=$ vitesse $\times$ temps, donc $d(t) = 60 \times t = 60t$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. À vitesse constante, $d = v \times t$, donc $d(t) = 60t$, et non $60 + t$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le volume $V$ d'un cube de côté $c$ est donné par la fonction $V(c) = c^3$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le volume d'un cube est le produit de ses trois dimensions égales : $V = c \times c \times c = c^3$. La fonction $V(c) = c^3$ exprime bien le volume en fonction du côté.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est de confondre les puissances.
Pour un cube, longueur, largeur et hauteur valent toutes $c$ : le volume est $c \times c \times c = c^3$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le volume d'un cube de côté $c$ vaut $c \times c \times c = c^3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'aire $A$ d'un disque de rayon $r$ est donnée par la fonction $A(r) = 2\pi r$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La formule $2\pi r$ donne le périmètre (la longueur du cercle), pas l'aire du disque. L'aire du disque est $A(r) = \pi r^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre périmètre du cercle et aire du disque.
Le périmètre vaut $2\pi r$, alors que l'aire vaut $\pi r^2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La formule $2\pi r$ correspond au périmètre du cercle ; l'aire du disque est $A(r) = \pi r^2$.
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Notion de fonction

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : calcul d'images, antécédents, formules littérales et courbe représentative. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = (x+2)(x-3)$. Que vaut $f(2)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$-4$[/option]
[option]$4$[/option]
[option]$-1$[/option]
[option]$0$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$f(2) = (2+2)(2-3) = 4 \times (-1) = -4$. Le produit d'un nombre positif par un nombre négatif est négatif.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
Tu as obtenu le bon nombre mais avec le mauvais signe. Vérifie le signe du produit $4 \times (-1)$.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
Tu as additionné $(2+2)$ et $(2-3)$ au lieu de les multiplier.
La formule contient un produit, pas une somme.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
Tu as peut-être remplacé toute l'expression par $0$ ou cherché une valeur qui annule le produit.
Pour $x = 2$, vérifie si l'un des deux facteurs s'annule.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Remplace $x$ par $2$ dans chaque facteur, puis effectue la multiplication.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = 2x^2 - 3x$. Que vaut $g(-1)$ ?
[qcm]
[option]$-1$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$-5$[/option]
[option]$1$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$g(-1) = 2 \times (-1)^2 - 3 \times (-1) = 2 \times 1 - (-3) = 2 + 3 = 5$. Attention au signe lorsque l'on multiplie $-3$ par $-1$.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
Tu as calculé $(-1)^2 = -1$, ce qui est incorrect.
$(-1)^2 = (-1) \times (-1) = 1$ : le carré d'un nombre négatif est positif.[/reponse]
[reponse motif="$-5$"]Non.
Tu as obtenu le bon nombre mais avec le mauvais signe. Vérifie le signe de $-3 \times (-1)$ : deux signes négatifs donnent un signe positif.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Tu as gardé un signe négatif dans la deuxième partie : $-3 \times (-1) = +3$, pas $-3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule $(-1)^2$ d'abord, puis $2 \times (-1)^2$, puis $-3 \times (-1)$, et fais la somme. Sois attentif aux signes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le périmètre $P$ d'un rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$ est $P = 2(L+\ell)$. La largeur d'un rectangle est fixée à $4$ cm. Quelle fonction exprime $P$ en fonction de $L$ ?
[qcm]
[option]$P(L) = 2L + 4$[/option]
[option correct="true"]$P(L) = 2L + 8$[/option]
[option]$P(L) = L + 4$[/option]
[option]$P(L) = 4L$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On remplace $\ell$ par $4$ dans la formule : $P(L) = 2(L+4) = 2L + 8$.[/reponse]
[reponse motif="$P(L) = 2L + 4$"]Non.
Tu as oublié de multiplier $4$ par $2$ dans la distributivité.
$2(L+4) = 2 \times L + 2 \times 4 = 2L + 8$.[/reponse]
[reponse motif="$P(L) = L + 4$"]Non.
Tu as oublié le coefficient $2$ devant la parenthèse.
La formule complète est $P = 2(L+\ell)$ : il faut développer cette parenthèse.[/reponse]
[reponse motif="$P(L) = 4L$"]Non.
Cette formule donnerait le périmètre d'un carré de côté $L$, pas d'un rectangle de largeur $4$.
Reprends la formule $P = 2(L+\ell)$ avec $\ell = 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Remplace $\ell$ par $4$ dans $P = 2(L+\ell)$, puis développe la parenthèse en multipliant $2$ par chaque terme.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = 3x - 12$. Quel est l'antécédent de $0$ par $f$ ?
[qcm]
[option]$-12$[/option]
[option correct="true"]$4$[/option]
[option]$-4$[/option]
[option]$12$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est exact !
On résout $f(x) = 0$, soit $3x - 12 = 0$. Donc $3x = 12$, d'où $x = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$-12$"]Non.
Tu as calculé $f(0) = -12$, qui est l'image de $0$, pas son antécédent.
Pour trouver un antécédent de $0$, on résout $f(x) = 0$, pas $f(0) = ?$.[/reponse]
[reponse motif="$-4$"]Non.
Tu as obtenu le bon nombre mais avec le mauvais signe. Vérifie l'équation $3x = 12$ : la solution est-elle positive ou négative ?[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
Tu as résolu $3x = 12$ mais tu as oublié de diviser par $3$.
$3x = 12$ donne $x = 12 \div 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour trouver un antécédent de $0$, résous l'équation $3x - 12 = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = -x^2 + 4$. Combien d'antécédents le nombre $0$ a-t-il par $g$ ?
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]une infinité[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On résout $-x^2 + 4 = 0$, soit $x^2 = 4$. Les nombres dont le carré vaut $4$ sont $2$ et $-2$ : le nombre $0$ a donc deux antécédents par $g$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
L'équation $x^2 = 4$ admet bien des solutions. Quels nombres ont pour carré $4$ ?[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Pas tout à fait.
Tu n'as trouvé qu'une seule solution. L'équation $x^2 = 4$ admet deux solutions : un nombre positif et son opposé.[/reponse]
[reponse motif="une infinité"]Non.
Pour un $x$ donné, $g(x)$ ne prend qu'une seule valeur. L'équation $x^2 = 4$ n'admet pas une infinité de solutions : il n'y en a que deux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résous $-x^2 + 4 = 0$, soit $x^2 = 4$. Combien de nombres ont pour carré $4$ ?[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2 - 3x$. Lequel des points suivants appartient à la courbe représentative de $f$ ?
[qcm]
[option]$A(1\,;\,4)$[/option]
[option correct="true"]$B(-1\,;\,4)$[/option]
[option]$C(2\,;\,2)$[/option]
[option]$D(3\,;\,6)$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
On calcule $f(-1) = (-1)^2 - 3 \times (-1) = 1 + 3 = 4$. L'ordonnée du point $B$ est bien $4$, donc $B$ appartient à la courbe de $f$.[/reponse]
[reponse motif="$A(1\,;\,4)$"]Non.
On calcule $f(1) = 1^2 - 3 \times 1 = 1 - 3 = -2$, et non $4$. Le point $A$ n'est pas sur la courbe.[/reponse]
[reponse motif="$C(2\,;\,2)$"]Non.
On calcule $f(2) = 2^2 - 3 \times 2 = 4 - 6 = -2$, et non $2$. Vérifie le signe de $-3x$ pour $x = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$D(3\,;\,6)$"]Non.
On calcule $f(3) = 3^2 - 3 \times 3 = 9 - 9 = 0$, et non $6$. Tu as peut-être oublié de soustraire $3x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour vérifier qu'un point $M(a\,;\,b)$ appartient à la courbe, calcule $f(a)$ et compare avec $b$. Teste chaque option en substituant la première coordonnée dans la formule.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Antécédents et tableau de valeurs

[enonce]
Ce QCM porte sur la recherche d'antécédents par lecture dans un tableau de valeurs et par calcul. On considère la fonction $f$ donnée par le tableau ci-dessous.

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$3$	$4$
$f(x)$	$5$	$0$	$-3$	$0$	$6$	$5$

Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
D'après le tableau, l'image de $1$ par $f$ est :
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$0$[/option]
[option]$-1$[/option]
[option]$-3$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On lit dans la colonne où $x = 1$ : la deuxième ligne donne $f(1) = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Tu as donné la valeur de $x$ au lieu de la valeur de $f(x)$.
L'image se lit sur la ligne du dessous, dans la même colonne.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
Tu as lu la colonne où $x = -1$. La question demande l'image de $1$, pas de $-1$.[/reponse]
[reponse motif="$-3$"]Non.
Tu as lu la valeur correspondant à $x = 0$ au lieu de $x = 1$. Repère bien la bonne colonne.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Cherche la colonne du tableau où $x = 1$, puis lis la valeur de $f(x)$ en dessous.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
D'après le tableau, quels sont tous les antécédents de $5$ par $f$ ?
[qcm]
[option]$5$[/option]
[option]$-2$ uniquement[/option]
[option]$4$ uniquement[/option]
[option correct="true"]$-2$ et $4$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est exact !
On cherche dans la deuxième ligne toutes les colonnes où $f(x) = 5$. On trouve $f(-2) = 5$ et $f(4) = 5$ : les antécédents de $5$ sont $-2$ et $4$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
Tu as donné la valeur cherchée elle-même.
Un antécédent de $5$ est un nombre $x$ tel que $f(x) = 5$ : il faut le lire sur la ligne des $x$.[/reponse]
[reponse motif="$-2$ uniquement"]Pas tout à fait.
$-2$ est bien un antécédent de $5$, mais ce n'est pas le seul : continue à parcourir le tableau.[/reponse]
[reponse motif="$4$ uniquement"]Pas tout à fait.
$4$ est bien un antécédent de $5$, mais ce n'est pas le seul. As-tu vérifié toutes les colonnes du tableau ?[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Parcours toute la deuxième ligne et repère toutes les colonnes où $f(x) = 5$. Lis ensuite les valeurs de $x$ correspondantes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
D'après le tableau, combien d'antécédents le nombre $0$ a-t-il par $f$ ?
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$3$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La valeur $0$ apparaît deux fois dans la ligne des images : $f(-1) = 0$ et $f(1) = 0$. Le nombre $0$ a donc deux antécédents.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
$0$ apparaît bien dans la ligne des images. As-tu vérifié toute la ligne ?[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Pas tout à fait.
Tu n'en as repéré qu'un seul. La valeur $0$ apparaît plus d'une fois dans la ligne des images.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
Tu en as compté un de trop. Vérifie attentivement combien de fois $0$ apparaît dans la deuxième ligne.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compte le nombre de colonnes du tableau dans lesquelles la valeur de $f(x)$ vaut $0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = 4x - 5$. Quel est l'antécédent de $7$ par $g$ ?
[qcm]
[option]$23$[/option]
[option correct="true"]$3$[/option]
[option]$0{,}5$[/option]
[option]$-3$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On cherche $x$ tel que $g(x) = 7$, c'est-à-dire $4x - 5 = 7$.
$4x = 12$, donc $x = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$23$"]Non.
Tu as calculé $g(7) = 4 \times 7 - 5 = 23$, qui est l'image de $7$, pas son antécédent.
Pour trouver un antécédent de $7$, il faut résoudre l'équation $g(x) = 7$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
Tu as résolu $4x = 7 - 5 = 2$. Attention : pour passer de $4x - 5 = 7$ à une équation sans le $-5$, il faut ajouter $5$ aux deux membres, pas le retrancher.[/reponse]
[reponse motif="$-3$"]Non.
Tu as obtenu le bon nombre mais avec le mauvais signe. Vérifie ton équation $4x = 7 + 5$ : quel est le résultat ?[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour trouver un antécédent de $7$ par $g$, on résout l'équation $g(x) = 7$, soit $4x - 5 = 7$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $h$ définie par $h(x) = x^2 + 1$. Combien d'antécédents le nombre $5$ a-t-il par $h$ ?
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$4$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On résout $h(x) = 5$, soit $x^2 + 1 = 5$, donc $x^2 = 4$.
Les nombres dont le carré vaut $4$ sont $2$ et $-2$ : le nombre $5$ a deux antécédents par $h$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
L'équation $x^2 = 4$ a bien des solutions. Quels nombres ont pour carré $4$ ?[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Pas tout à fait.
Tu as trouvé une solution mais tu as oublié l'autre. L'équation $x^2 = 4$ a deux solutions : un nombre positif et son opposé.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
Tu as donné la valeur de $x^2$ obtenue lors de la résolution. La question demande combien d'antécédents existent, pas la valeur de $x^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour trouver les antécédents de $5$, résous $x^2 + 1 = 5$. Combien de nombres ont le même carré ?[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $h$ définie par $h(x) = x^2 + 1$. Combien d'antécédents le nombre $-2$ a-t-il par $h$ ?
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]une infinité[/option]
[option correct="true"]$0$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On résout $h(x) = -2$, soit $x^2 + 1 = -2$, donc $x^2 = -3$.
Or un carré est toujours positif ou nul : aucun nombre ne convient. Le nombre $-2$ n'a aucun antécédent par $h$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Pour trouver un antécédent, il faut résoudre $x^2 + 1 = -2$, soit $x^2 = -3$.
Cette équation a-t-elle vraiment une solution ?[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Tu as raisonné comme pour la question précédente, mais ici la valeur cherchée est négative.
Calcule $x^2 + 1 = -2$ et regarde le signe que devrait avoir $x^2$.[/reponse]
[reponse motif="une infinité"]Non.
La quantité $x^2$ ne peut prendre qu'une valeur unique pour un $x$ donné. Vérifie si l'équation $x^2 = -3$ peut admettre une solution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résous l'équation $x^2 + 1 = -2$ et regarde si $x^2$ peut prendre la valeur obtenue.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Vocabulaire et calcul d’images

[enonce]
Ce QCM porte sur le vocabulaire des fonctions et le calcul d'images. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x + 5$. Que vaut $f(3)$ ?
[qcm]
[option]$8$[/option]
[option correct="true"]$11$[/option]
[option]$16$[/option]
[option]$10$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On remplace $x$ par $3$ dans la formule : $f(3) = 2 \times 3 + 5 = 6 + 5 = 11$.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
Tu as additionné $3$ et $5$ sans tenir compte du coefficient $2$.
Reprends en effectuant d'abord la multiplication $2 \times 3$.[/reponse]
[reponse motif="$16$"]Non.
Tu as calculé $2 \times (3 + 5)$ en regroupant les termes. Attention aux priorités opératoires : la multiplication se fait avant l'addition.[/reponse]
[reponse motif="$10$"]Non.
Tu as remplacé $x$ par $5$ au lieu de $3$. Vérifie quelle est la valeur de la variable demandée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On remplace $x$ par $3$ dans l'expression $2x + 5$, en respectant les priorités opératoires.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2 - 3$. Que vaut $f(-2)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$1$[/option]
[option]$-7$[/option]
[option]$7$[/option]
[option]$-3$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$f(-2) = (-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$. Le carré d'un nombre négatif est positif.[/reponse]
[reponse motif="$-7$"]Non.
Tu as calculé $(-2)^2 = -4$, ce qui est incorrect.
Le carré d'un nombre négatif est toujours positif : $(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
Attention au signe devant le $3$ : la formule est $x^2 - 3$, pas $x^2 + 3$.[/reponse]
[reponse motif="$-3$"]Non.
Tu as remplacé $x$ par $0$ au lieu de $-2$, ou tu n'as pas calculé le carré.
Calcule d'abord $(-2)^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Remplace $x$ par $(-2)$ : calcule d'abord $(-2)^2$, puis soustrais $3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le périmètre $P$ d'un carré dépend de la longueur $c$ de son côté. Quelle formule exprime $P$ en fonction de $c$ ?
[qcm]
[option]$P(c) = c^2$[/option]
[option]$P(c) = c + 4$[/option]
[option correct="true"]$P(c) = 4c$[/option]
[option]$P(c) = 2c$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le périmètre d'un carré est la somme des longueurs de ses 4 côtés égaux : $P = c + c + c + c = 4c$.[/reponse]
[reponse motif="$P(c) = c^2$"]Non.
$c^2 = c \times c$ donne l'aire du carré, pas son périmètre.
Le périmètre est une somme de longueurs, pas un produit.[/reponse]
[reponse motif="$P(c) = c + 4$"]Non.
On n'ajoute pas $4$ à la longueur du côté : on additionne les $4$ côtés de longueur $c$.
Quel est le résultat de $c + c + c + c$ ?[/reponse]
[reponse motif="$P(c) = 2c$"]Non.
$2c$ ne correspond qu'à la somme de deux côtés. Un carré a $4$ côtés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le périmètre est la somme des longueurs des $4$ côtés égaux d'un carré : $c + c + c + c$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = -3x + 1$. Que vaut $f(-1)$ ?
[qcm]
[option]$-2$[/option]
[option correct="true"]$4$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]$-4$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$f(-1) = -3 \times (-1) + 1 = 3 + 1 = 4$. Le produit de deux nombres négatifs est positif.[/reponse]
[reponse motif="$-2$"]Non.
Tu as calculé $-3 \times 1 + 1 = -2$ au lieu de $-3 \times (-1) + 1$.
Attention au signe lorsque tu remplaces $x$ par $-1$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Tu as obtenu le bon nombre mais pas le bon signe. Vérifie le résultat de $-3 \times (-1)$ : il s'agit de deux nombres négatifs multipliés.[/reponse]
[reponse motif="$-4$"]Non.
Tu as gardé un signe négatif partout. $-3 \times (-1) = +3$ (deux signes négatifs donnent un signe positif).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Remplace $x$ par $(-1)$ : $f(-1) = -3 \times (-1) + 1$. Pense au signe d'un produit de deux négatifs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une fonction $g$ est définie ainsi : « à chaque nombre, $g$ associe son double augmenté de $1$ ». Quelle est l'expression de $g(x)$ ?
[qcm]
[option]$g(x) = 2(x+1)$[/option]
[option]$g(x) = x^2 + 1$[/option]
[option correct="true"]$g(x) = 2x + 1$[/option]
[option]$g(x) = 2x - 1$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le double de $x$ est $2x$, et « augmenté de $1$ » signifie qu'on ajoute $1$ : on obtient $2x + 1$.[/reponse]
[reponse motif="$g(x) = 2(x+1)$"]Non.
$2(x+1) = 2x + 2$ correspond à « le double de (x augmenté de $1$) ». L'énoncé dit l'inverse : on prend d'abord le double, puis on ajoute $1$.[/reponse]
[reponse motif="$g(x) = x^2 + 1$"]Non.
Le double d'un nombre, c'est $2 \times x = 2x$, pas $x^2$.
$x^2 = x \times x$ correspond au carré du nombre, pas à son double.[/reponse]
[reponse motif="$g(x) = 2x - 1$"]Non.
« Augmenté de $1$ » signifie qu'on ajoute $1$, pas qu'on retranche $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Décompose la phrase : « son double » correspond à $2x$, « augmenté de $1$ » correspond à $+ 1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $h$ définie par $h(x) = 5 - 2x$. Que vaut $h(0)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$0$[/option]
[option]$3$[/option]
[option]$-2$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$h(0) = 5 - 2 \times 0 = 5 - 0 = 5$. Multiplier par $0$ donne toujours $0$, donc seul le terme constant $5$ subsiste.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
Tu as remplacé toute l'expression par $0$. Seul le $x$ doit être remplacé par $0$, pas le $5$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
Tu as calculé $5 - 2 = 3$ en oubliant la multiplication par $x$.
La formule est $5 - 2x$ : le $2$ est multiplié par $x$ avant la soustraction.[/reponse]
[reponse motif="$-2$"]Non.
Tu as gardé seulement le coefficient $-2$ en oubliant le terme constant $5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Remplace $x$ par $0$ dans $5 - 2x$ et calcule en respectant les priorités.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]