Milieu et angle : similitude et rapport d’aires

[enonce]
On considère un triangle $ABC$ tel que $AB = 6$ cm, $BC = 12$ cm et $AC = 9$ cm.
On note $I$ le milieu de $[AB]$ et $D$ le point de $[AC]$ tel que $\widehat{AID} = \widehat{ACB}$.

Triangle ABC avec I milieu de AB et D sur AC, angles AID et ACB marqués

Calculer les longueurs $AD$ et $ID$, puis le rapport $\dfrac{\text{Aire}(AID)}{\text{Aire}(ACB)}$.
[/enonce]

[etape]
Pourquoi les triangles $AID$ et $ACB$ sont-ils semblables ?
[qcm]
[option correct="true"]Ils ont l'angle en $A$ commun et $\widehat{AID} = \widehat{ACB}$ (hypothèse) : deux paires d'angles égaux[/option]
[option]Leurs côtés sont proportionnels[/option]
[option]Ils sont tous les deux rectangles[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'angle $\widehat{DAI}$ est commun aux deux triangles (c'est l'angle en $A$). De plus, $\widehat{AID} = \widehat{ACB}$ par hypothèse. Deux paires d'angles égaux suffisent : les triangles $AID$ et $ACB$ sont semblables (1er cas de similitude).[/reponse]
[reponse motif="Leurs côtés sont proportionnels"]On ne connaît pas encore $AD$ et $ID$. On ne peut pas vérifier la proportionnalité avant d'avoir démontré la similitude.[/reponse]
[reponse motif="Ils sont tous les deux rectangles"]Rien dans l'énoncé n'indique que ces triangles sont rectangles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Chercher deux paires d'angles égaux entre les triangles $AID$ et $ACB$. L'un des angles est partagé par les deux triangles.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer le coefficient de similitude $k$ pour passer du triangle $ACB$ au triangle $AID$. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible : [[k]]
[math id="k" attendu="\dfrac{1}{3}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les correspondances sont $A \leftrightarrow A$, $I \leftrightarrow C$, $D \leftrightarrow B$.
$k = \dfrac{AI}{AC} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction doit être irréductible.[/reponse]
[reponse motif="3"]$k = 3$ correspondrait au passage du petit triangle vers le grand. Pour passer de $ACB$ (grand) à $AID$ (petit), c'est l'inverse : $\dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{1}{2}"]$\dfrac{1}{2}$ serait le rapport $\dfrac{AI}{AB}$. Mais le côté homologue de $AI$ dans le triangle $ACB$ est $AC$, pas $AB$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Identifier les côtés homologues. L'angle en $A$ est commun et $\widehat{AID} = \widehat{ACB}$, donc $I \leftrightarrow C$. Le côté $AI$ est homologue au côté $AC$.[/reponse]
[aide essai="2"]$I \leftrightarrow C$ (même angle), donc $k = \dfrac{AI}{AC}$. $I$ est le milieu de $[AB]$, donc $AI = 3$.[/aide]
[aide essai="3"]$k = \dfrac{AI}{AC} = \dfrac{3}{9}$. Simplifier.[/aide]
[/math]
[solution]
$k = \dfrac{AI}{AC} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
En déduire la longueur $AD$ : [[ad]]
[math id="ad" attendu="2"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$D \leftrightarrow B$, donc $\dfrac{AD}{AB} = k$, soit $AD = \dfrac{1}{3} \times 6 = 2$ cm.[/reponse]
[reponse motif="3"]Attention, $AD = k \times AB = \dfrac{1}{3} \times 6$, pas $\dfrac{1}{3} \times 9$. Le côté homologue de $AD$ est $AB$, pas $AC$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]$AD$ est homologue à $AB$, donc $AD = k \times AB$.[/reponse]
[aide essai="2"]$\dfrac{AD}{AB} = k$, donc $AD = k \times AB$.[/aide]
[aide essai="3"]$AD = \dfrac{1}{3} \times 6 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$AD = k \times AB = \dfrac{1}{3} \times 6 = 2$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la longueur $ID$ : [[did]]
[math id="did" attendu="4"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$ID$ est homologue à $CB$, donc $\dfrac{ID}{CB} = k$, soit $ID = \dfrac{1}{3} \times 12 = 4$ cm.[/reponse]
[reponse motif="2"]Vérifier quel côté est homologue à $ID$. Comme $I \leftrightarrow C$ et $D \leftrightarrow B$, le côté $ID$ est homologue au côté $CB = 12$, pas à $AB = 6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]$I \leftrightarrow C$ et $D \leftrightarrow B$, donc $ID$ est homologue à $CB$. Utiliser $ID = k \times CB$.[/reponse]
[aide essai="2"]$I \leftrightarrow C$ et $D \leftrightarrow B$, donc $ID$ est homologue à $CB = 12$.[/aide]
[aide essai="3"]$ID = \dfrac{1}{3} \times 12 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$ID = k \times CB = \dfrac{1}{3} \times 12 = 4$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer le rapport des aires $\dfrac{\text{Aire}(AID)}{\text{Aire}(ACB)}$. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible : [[raire]]
[math id="raire" attendu="\dfrac{1}{9}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le rapport des aires est le carré du coefficient de similitude :

$\dfrac{\text{Aire}(AID)}{\text{Aire}(ACB)} = k^2 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$

L'aire du triangle $AID$ est $9$ fois plus petite que celle du triangle $ACB$.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction doit être irréductible.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{1}{3}"]Le rapport des aires est $k^2$, pas $k$. Il faut mettre $\dfrac{1}{3}$ au carré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le rapport des aires de deux triangles semblables est le carré du coefficient de similitude : $k^2$.[/reponse]
[aide essai="2"]Le rapport des aires est $k^2$ pour des triangles semblables.[/aide]
[aide essai="3"]$k^2 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$\dfrac{\text{Aire}(AID)}{\text{Aire}(ACB)} = k^2 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$.
[/solution]
[/etape]

Configuration en noeud de papillon

[enonce]
Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en $E$. On sait que $(AB) \parallel (CD)$.
On donne : $EA = 4$ cm, $EB = 3$ cm, $EC = 6$ cm et $AB = 5$ cm.

L'aire du triangle $ABE$ est $4$ cm². Calculer $ED$, $CD$ et l'aire du triangle $CDE$.
[/enonce]

[etape]
Pourquoi les triangles $ABE$ et $CDE$ sont-ils semblables ?
[qcm]
[option correct="true"]Les angles $\widehat{AEB}$ et $\widehat{CED}$ sont opposés par le sommet, et les angles $\widehat{BAE}$ et $\widehat{DCE}$ sont alternes-internes car $(AB) \parallel (CD)$[/option]
[option]Les côtés des deux triangles sont proportionnels[/option]
[option]Les deux triangles ont un angle droit en $E$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les angles $\widehat{AEB}$ et $\widehat{CED}$ sont égaux (opposés par le sommet en $E$). Comme $(AB) \parallel (CD)$, les angles $\widehat{BAE}$ et $\widehat{DCE}$ sont alternes-internes, donc égaux. Deux paires d'angles égaux suffisent : les triangles sont semblables.[/reponse]
[reponse motif="Les côtés des deux triangles sont proportionnels"]On ne connaît pas encore $ED$ et $CD$, donc on ne peut pas vérifier la proportionnalité. Il faut d'abord justifier la similitude par les angles.[/reponse]
[reponse motif="Les deux triangles ont un angle droit en $E$"]Rien n'indique que l'angle en $E$ est droit. Les droites se coupent en $E$ sans former nécessairement un angle droit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Observer les angles en $E$ (que dire de deux angles opposés par le sommet ?) et les angles formés par les parallèles $(AB)$ et $(CD)$ coupées par la sécante $(AC)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les triangles $ABE$ et $CDE$ sont semblables. Quel sommet du triangle $CDE$ est homologue du sommet $A$ ?
[[homologue]]
[select id="homologue"]
[option correct="true"]$C$[/option]
[option]$D$[/option]
[option]$E$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\widehat{BAE} = \widehat{DCE}$ (alternes-internes), donc $A$ et $C$ portent des angles égaux : ils sont homologues. De même $B \leftrightarrow D$, et $E \leftrightarrow E$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le sommet homologue est celui qui porte l'angle égal. Quel angle du triangle $CDE$ est égal à l'angle en $A$ du triangle $ABE$ ?[/reponse]
[aide essai="2"]$\widehat{BAE} = \widehat{DCE}$ (angles alternes-internes). Les sommets portant ces angles sont homologues.[/aide]
[aide essai="3"]L'angle en $A$ est égal à l'angle en $C$, donc $A \leftrightarrow C$.[/aide]
[/select]
[/etape]

[etape]
Calculer le coefficient de similitude $k$ pour passer du triangle $ABE$ au triangle $CDE$. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible : [[k]]
[math id="k" attendu="\dfrac{3}{2}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les correspondances sont $A \leftrightarrow C$ et $E \leftrightarrow E$, donc :
$k = \dfrac{EC}{EA} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction doit être irréductible.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{2}{3}"]Attention au sens : pour passer de $ABE$ à $CDE$, on divise le côté de $CDE$ par le côté homologue de $ABE$, soit $\dfrac{EC}{EA}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]$k = \dfrac{\text{côté de } CDE}{\text{côté homologue de } ABE}$. Utiliser les côtés $EC$ et $EA$.[/reponse]
[aide essai="2"]$A \leftrightarrow C$ et $E \leftrightarrow E$, donc le côté $EA$ de $ABE$ est homologue au côté $EC$ de $CDE$.[/aide]
[aide essai="3"]$k = \dfrac{EC}{EA} = \dfrac{6}{4}$. Simplifier.[/aide]
[/math]
[solution]
$k = \dfrac{EC}{EA} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
En déduire la longueur $ED$ : [[ed]]
[math id="ed" attendu="\dfrac{9}{2}"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$B \leftrightarrow D$ et $E \leftrightarrow E$, donc $\dfrac{ED}{EB} = k$, soit $ED = \dfrac{3}{2} \times 3 = \dfrac{9}{2} = 4{,}5$ cm.[/reponse]
[reponse motif="2"]Attention, $\dfrac{EB}{k} = \dfrac{3}{\dfrac{3}{2}} = 2$ : c'est le calcul inverse. Il faut multiplier $EB$ par $k$, car $CDE$ est le plus grand triangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]$ED$ est homologue à $EB$, donc $ED = k \times EB$.[/reponse]
[aide essai="2"]$\dfrac{ED}{EB} = k$, donc $ED = k \times EB$.[/aide]
[aide essai="3"]$ED = \dfrac{3}{2} \times 3 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$ED = k \times EB = \dfrac{3}{2} \times 3 = \dfrac{9}{2} = 4{,}5$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la longueur $CD$ : [[cd]]
[math id="cd" attendu="\dfrac{15}{2}"]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$AB$ et $CD$ sont des côtés homologues, donc $\dfrac{CD}{AB} = k$, soit $CD = \dfrac{3}{2} \times 5 = \dfrac{15}{2} = 7{,}5$ cm.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{10}{3}"]C'est le calcul avec le rapport inversé. Pour passer de $ABE$ à $CDE$, on multiplie par $k = \dfrac{3}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]$CD$ est homologue à $AB$, donc $CD = k \times AB$.[/reponse]
[aide essai="2"]$\dfrac{CD}{AB} = k$, donc $CD = k \times AB$.[/aide]
[aide essai="3"]$CD = \dfrac{3}{2} \times 5 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$CD = k \times AB = \dfrac{3}{2} \times 5 = \dfrac{15}{2} = 7{,}5$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
L'aire du triangle $ABE$ est $4$ cm². Calculer l'aire du triangle $CDE$ : [[aire]]
[math id="aire" attendu="9"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le rapport des aires est $k^2 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}$.

$\text{Aire}(CDE) = \dfrac{9}{4} \times 4 = 9$ cm²

[/reponse]
[reponse motif="6"]$6 = \dfrac{3}{2} \times 4$ : attention, le rapport des aires est $k^2$, pas $k$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le rapport des aires de deux triangles semblables est le carré du coefficient de similitude : $k^2$. Multiplier l'aire de $ABE$ par $k^2$.[/reponse]
[aide essai="2"]Le rapport des aires est $k^2 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2$.[/aide]
[aide essai="3"]$k^2 = \dfrac{9}{4}$, donc $\text{Aire}(CDE) = \dfrac{9}{4} \times 4 = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$\text{Aire}(CDE) = k^2 \times \text{Aire}(ABE) = \dfrac{9}{4} \times 4 = 9$ cm².
[/solution]
[/etape]

Similitude par les longueurs et rapport d’aires

[enonce]
On considère deux triangles $PQR$ et $STU$ tels que :

$PQ = 8$ cm, $QR = 6$ cm et $PR = 4$ cm
$ST = 12$ cm, $TU = 9$ cm et $SU = 6$ cm

Deux triangles PQR (petit) et STU (grand) avec côtés étiquetés

L'aire du triangle $PQR$ est $8$ cm². Démontrer que ces deux triangles sont semblables et calculer l'aire du triangle $STU$.
[/enonce]

[etape]
Pour vérifier que deux triangles sont semblables par les longueurs, quelle est la première étape ?
[qcm]
[option correct="true"]Classer les côtés de chaque triangle par ordre croissant[/option]
[option]Calculer le périmètre de chaque triangle[/option]
[option]Mesurer les angles de chaque triangle[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On doit comparer les rapports entre côtés correspondants. Pour cela, on classe les côtés par ordre croissant :
Triangle $PQR$ : $4$, $6$, $8$
Triangle $STU$ : $6$, $9$, $12$[/reponse]
[reponse motif="Calculer le périmètre de chaque triangle"]Le périmètre ne suffit pas : deux triangles de même périmètre ne sont pas forcément semblables. Il faut comparer les rapports entre côtés.[/reponse]
[reponse motif="Mesurer les angles de chaque triangle"]C'est une autre méthode possible, mais ici on connaît les longueurs et pas les angles. La méthode la plus directe est de comparer les rapports entre côtés classés par ordre croissant.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Pour utiliser le 2e cas de similitude, on compare les rapports entre côtés correspondants. Encore faut-il les associer correctement.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les côtés classés par ordre croissant sont :

Triangle $PQR$ : $4$, $6$, $8$
Triangle $STU$ : $6$, $9$, $12$

Les triangles $PQR$ et $STU$ sont-ils semblables ?
[qcm]
[option correct="true"]Oui, car les rapports entre côtés homologues sont tous égaux[/option]
[option]Non, car les côtés n'ont pas les mêmes longueurs[/option]
[option]On ne peut pas conclure sans connaître les angles[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\dfrac{6}{4} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}$
Les trois rapports sont égaux, donc les triangles $PQR$ et $STU$ sont semblables.[/reponse]
[reponse motif="Non, car les côtés n'ont pas les mêmes longueurs"]Des triangles semblables n'ont pas forcément les mêmes longueurs de côtés. Ce qui compte, c'est que les rapports entre côtés homologues soient égaux.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas conclure sans connaître les angles"]On connaît les trois côtés de chaque triangle : on peut utiliser le 2e cas de similitude en comparant les rapports entre côtés homologues.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer le coefficient de similitude $k$ du triangle $PQR$ vers le triangle $STU$, sous forme de fraction irréductible : [[k]]
[math id="k" attendu="\dfrac{3}{2}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Du triangle $PQR$ vers le triangle $STU$ :
$k = \dfrac{ST}{PQ} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}$[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction doit être irréductible.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{2}{3}"]Attention au sens : on passe de $PQR$ à $STU$, donc on divise un côté de $STU$ par le côté homologue de $PQR$, pas l'inverse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]On passe de $PQR$ à $STU$ : diviser un côté de $STU$ par le côté homologue de $PQR$.[/reponse]
[aide essai="2"]Le coefficient de similitude de $PQR$ vers $STU$ se calcule en divisant un côté de $STU$ par le côté homologue de $PQR$.[/aide]
[aide essai="3"]$k = \dfrac{ST}{PQ} = \dfrac{12}{8}$. Simplifier cette fraction.[/aide]
[/math]
[solution]
$k = \dfrac{ST}{PQ} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
En passant du triangle $PQR$ au triangle $STU$, s'agit-il d'un agrandissement ou d'une réduction ?
[[transfo]]
[select id="transfo"]
[option correct="true"]Un agrandissement[/option]
[option]Une réduction[/option]
[option]Ni l'un ni l'autre (triangles isométriques)[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le coefficient $k = \dfrac{3}{2} > 1$, donc le triangle $STU$ est un agrandissement du triangle $PQR$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Comparer $k$ à $1$ : si $k > 1$, c'est un agrandissement ; si $k < 1$, une réduction ; si $k = 1$, les triangles sont isométriques.[/reponse]
[aide essai="2"]Le coefficient de similitude est $k = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$. Comparer cette valeur à $1$.[/aide]
[aide essai="3"]$k = 1{,}5 > 1$, donc chaque côté du triangle image est plus grand que le côté correspondant du triangle initial.[/aide]
[/select]
[/etape]

[etape]
Calculer le rapport des aires $\dfrac{\text{Aire}(STU)}{\text{Aire}(PQR)}$. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible : [[raire]]
[math id="raire" attendu="\dfrac{9}{4}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le rapport des aires de deux triangles semblables est égal au carré du coefficient de similitude :

$\dfrac{\text{Aire}(STU)}{\text{Aire}(PQR)} = k^2 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}$

[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction doit être irréductible.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{3}{2}"]Le rapport des aires n'est pas $k$ mais $k^2$. Il faut mettre $\dfrac{3}{2}$ au carré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le rapport des aires est le carré du coefficient de similitude : $k^2$.[/reponse]
[aide essai="2"]Pour deux triangles semblables de coefficient $k$, le rapport des aires vaut $k^2$.[/aide]
[aide essai="3"]$k = \dfrac{3}{2}$, donc $k^2 = \dfrac{3^2}{2^2} = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$\dfrac{\text{Aire}(STU)}{\text{Aire}(PQR)} = k^2 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
L'aire du triangle $PQR$ est $8$ cm². En déduire l'aire du triangle $STU$ : [[aire]] cm²
[math id="aire" attendu="18"]
[reponse statut="correct"]Bravo !

$\text{Aire}(STU) = k^2 \times \text{Aire}(PQR) = \dfrac{9}{4} \times 8 = 18$ cm²

[/reponse]
[reponse motif="12"]$12 = \dfrac{3}{2} \times 8$ : attention, il faut multiplier par $k^2$, pas par $k$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Utiliser le rapport des aires calculé à l'étape précédente et multiplier par l'aire de $PQR$.[/reponse]
[aide essai="2"]$\text{Aire}(STU) = k^2 \times \text{Aire}(PQR)$.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{9}{4} \times 8 = \dfrac{9 \times 8}{4} = \dfrac{72}{4} = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$\text{Aire}(STU) = \dfrac{9}{4} \times 8 = 18$ cm².
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Triangles semblables

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : reconnaissance de triangles semblables, coefficient de similitude, calcul de longueurs et rapport des aires. Choisis la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Le triangle $ABC$ a pour côtés $AB = 5$ cm, $BC = 7$ cm et $AC = 10$ cm.
Le triangle $DEF$ a pour côtés $DE = 10$ cm, $EF = 14$ cm et $DF = 20$ cm.

Quel est le coefficient de similitude de $ABC$ vers $DEF$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$k = 2$[/option]
[option]$k = \dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$k = 5$[/option]
[option]Les triangles ne sont pas semblables[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On range les côtés par ordre croissant et on calcule les rapports :
$\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{10}{5} = 2$, $\dfrac{EF}{BC} = \dfrac{14}{7} = 2$, $\dfrac{DF}{AC} = \dfrac{20}{10} = 2$.
Les trois rapports sont égaux, donc les triangles sont semblables avec $k = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$k = \dfrac{1}{2}$"]Non.
Tu as calculé le rapport dans le mauvais sens.
Le coefficient de $ABC$ vers $DEF$ est $\dfrac{DE}{AB}$, pas $\dfrac{AB}{DE}$.[/reponse]
[reponse motif="$k = 5$"]Non.
Tu as confondu un côté avec le coefficient.
Le coefficient est le rapport entre côtés homologues, par exemple $\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{10}{5}$.[/reponse]
[reponse motif="Les triangles ne sont pas semblables"]Non.
Vérifie les trois rapports entre côtés correspondants rangés par ordre croissant : ils sont tous égaux à $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Range les côtés par ordre croissant et compare les rapports correspondants.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les droites $(PR)$ et $(QS)$ sont sécantes en $O$. Les droites $(PQ)$ et $(RS)$ sont parallèles.
On donne $OP = 4$ cm, $OR = 6$ cm et $PQ = 5$ cm.

Configuration de Thalès en papillon : O au centre, P et Q en haut, R et S en bas, (PQ) parallèle à (RS)

Calculer $RS$.
[qcm]
[option]$\dfrac{10}{3}$ cm[/option]
[option]$7$ cm[/option]
[option correct="true"]$7{,}5$ cm[/option]
[option]$\dfrac{24}{5}$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les triangles $OPQ$ et $ORS$ sont semblables (configuration de Thalès en papillon).
Le coefficient de similitude est $k = \dfrac{OR}{OP} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$.
Donc $RS = k \times PQ = \dfrac{3}{2} \times 5 = 7{,}5$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{10}{3}$ cm"]Non.
Tu as appliqué le coefficient inversé : $PQ \times \dfrac{OP}{OR} = 5 \times \dfrac{4}{6} = \dfrac{10}{3}$.
Le coefficient de $OPQ$ vers $ORS$ est $\dfrac{OR}{OP}$, pas $\dfrac{OP}{OR}$.[/reponse]
[reponse motif="$7$ cm"]Non.
Tu as combiné les longueurs ($PQ + OR - OP = 5 + 6 - 4 = 7$), mais la similitude donne une proportionnalité.
Utilise $\dfrac{OP}{OR} = \dfrac{PQ}{RS}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{24}{5}$ cm"]Non.
Tu as mélangé les termes : $\dfrac{OP \times OR}{PQ} = \dfrac{4 \times 6}{5} = \dfrac{24}{5}$.
L'égalité est $\dfrac{OP}{OR} = \dfrac{PQ}{RS}$ : isole $RS$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utilise l'égalité $\dfrac{4}{6} = \dfrac{5}{RS}$ et isole $RS$ par produit en croix.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les triangles $PQR$ et $STU$ sont semblables avec un coefficient de similitude $k = 2$ de $PQR$ vers $STU$.
Le périmètre du triangle $PQR$ est $15$ cm.

Quel est le périmètre du triangle $STU$ ?
[qcm]
[option]$60$ cm[/option]
[option correct="true"]$30$ cm[/option]
[option]$17$ cm[/option]
[option]$7{,}5$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les périmètres de deux triangles semblables sont proportionnels avec le même coefficient $k$.
Le périmètre de $STU$ est $k \times 15 = 2 \times 15 = 30$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$60$ cm"]Non.
Tu as multiplié par $k^2 = 4$ au lieu de $k$.
Le rapport $k^2$ s'applique aux aires, pas aux périmètres.[/reponse]
[reponse motif="$17$ cm"]Non.
Tu as ajouté $k$ au périmètre ($15 + 2 = 17$), mais les périmètres sont liés par une multiplication.
Le périmètre de $STU$ est $k \times 15$.[/reponse]
[reponse motif="$7{,}5$ cm"]Non.
Tu as divisé par $k$ au lieu de multiplier.
Comme $k = 2 > 1$, c'est un agrandissement : le périmètre de $STU$ est plus grand que celui de $PQR$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le périmètre est multiplié par $k$, pas par $k^2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le triangle $ABC$ a pour angles $\widehat{A} = 30°$, $\widehat{B} = 70°$ et $\widehat{C} = 80°$.
Le triangle $DEF$ a pour angles $\widehat{D} = 80°$ et $\widehat{E} = 70°$.

Quel est le côté homologue de $[AB]$ dans le triangle $DEF$ ?
[qcm]
[option]$[DE]$[/option]
[option]$[DF]$[/option]
[option]Les triangles ne sont pas semblables[/option]
[option correct="true"]$[EF]$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On calcule $\widehat{F} = 180° - 80° - 70° = 30°$.
Les correspondances sont : $A \leftrightarrow F$ ($30°$), $B \leftrightarrow E$ ($70°$), $C \leftrightarrow D$ ($80°$).
Le côté $[AB]$ relie $A$ ($30°$) et $B$ ($70°$), son homologue relie $F$ ($30°$) et $E$ ($70°$), soit $[EF]$.[/reponse]
[reponse motif="$[DE]$"]Non.
Tu as probablement associé les sommets dans l'ordre alphabétique ($A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$).
Les sommets homologues sont ceux qui portent les angles de même mesure.[/reponse]
[reponse motif="$[DF]$"]Non.
$[DF]$ relie les sommets $D$ ($80°$) et $F$ ($30°$), homologue de $[CA]$.
Vérifie les correspondances à partir des angles de même mesure.[/reponse]
[reponse motif="Les triangles ne sont pas semblables"]Non.
Calcule le troisième angle du triangle $DEF$ : $\widehat{F} = 180° - 80° - 70° = 30°$.
Les deux triangles ont les mêmes angles ($30°$, $70°$, $80°$) et sont donc semblables.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Trouve les correspondances entre sommets (via les angles de même mesure), puis identifie les côtés reliant les sommets homologues.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans le triangle $ABC$, le point $M$ est sur $[AB]$ et le point $N$ est sur $[AC]$, avec $(MN) \parallel (BC)$.
On donne $AM = 2$ cm, $AB = 6$ cm et l'aire du triangle $ABC$ est $54$ cm².

Quelle est l'aire du triangle $AMN$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$6$ cm²[/option]
[option]$18$ cm²[/option]
[option]$9$ cm²[/option]
[option]$36$ cm²[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Les triangles $AMN$ et $ABC$ sont semblables avec $k = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.
Le rapport des aires est $k^2 = \dfrac{1}{9}$.
L'aire de $AMN$ est $54 \times \dfrac{1}{9} = 6$ cm².[/reponse]
[reponse motif="$18$ cm²"]Non.
Tu as multiplié par $k$ au lieu de $k^2$ : $54 \times \dfrac{1}{3} = 18$.
Le rapport des aires est le carré du coefficient, pas le coefficient lui-même.[/reponse]
[reponse motif="$9$ cm²"]Non.
Tu as divisé par $AB$ au lieu d'utiliser $k^2$ : $\dfrac{54}{6} = 9$.
Le rapport des aires est $k^2 = \left(\dfrac{AM}{AB}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$.[/reponse]
[reponse motif="$36$ cm²"]Non.
Tu as soustrait au lieu d'appliquer la proportionnalité : $54 - 18 = 36$.
Le rapport des aires est $k^2 = \left(\dfrac{2}{6}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule $k = \dfrac{AM}{AB}$, puis l'aire de $AMN$ avec $k^2 \times \text{aire}_{ABC}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans le triangle $ABC$, les points $M$ et $N$ sont tels que $M \in [AB]$, $N \in [AC]$ et $(MN) \parallel (BC)$.
On donne $AM = 4$ cm, $AB = 10$ cm et $BC = 15$ cm.

Configuration de Thalès : triangle ABC avec M sur AB et N sur AC, (MN) parallèle à (BC)

Calculer $MN$.
[qcm]
[option]$37{,}5$ cm[/option]
[option]$9$ cm[/option]
[option correct="true"]$6$ cm[/option]
[option]$\dfrac{8}{3}$ cm[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Les triangles $AMN$ et $ABC$ sont semblables avec $k = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$.
Donc $MN = k \times BC = \dfrac{2}{5} \times 15 = 6$ cm.[/reponse]
[reponse motif="$37{,}5$ cm"]Non.
Tu as appliqué le coefficient inversé : $BC \times \dfrac{AB}{AM} = 15 \times \dfrac{10}{4} = 37{,}5$.
Le coefficient est $k = \dfrac{AM}{AB}$, pas $\dfrac{AB}{AM}$.[/reponse]
[reponse motif="$9$ cm"]Non.
Tu as combiné les longueurs ($AM + BC - AB = 4 + 15 - 10 = 9$), mais la similitude donne une proportionnalité.
Utilise $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{8}{3}$ cm"]Non.
Tu as mélangé les termes du rapport en calculant $\dfrac{AB \times AM}{BC} = \dfrac{40}{15} = \dfrac{8}{3}$.
L'égalité est $\dfrac{MN}{BC} = \dfrac{AM}{AB}$, soit $MN = BC \times \dfrac{AM}{AB}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utilise l'égalité $\dfrac{4}{10} = \dfrac{MN}{15}$ et isole $MN$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Rapport des aires et triangles semblables

[enonce]
Ce QCM porte sur le rapport des aires de triangles semblables. Pour chaque question, choisis la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables avec un coefficient de similitude $k = 3$ de $ABC$ vers $DEF$.
L'aire du triangle $ABC$ est $8$ cm².

Quelle est l'aire du triangle $DEF$ ?
[qcm]
[option]$24$ cm²[/option]
[option]$11$ cm²[/option]
[option]$216$ cm²[/option]
[option correct="true"]$72$ cm²[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le rapport des aires est $k^2 = 3^2 = 9$.
L'aire de $DEF$ est $9 \times 8 = 72$ cm².[/reponse]
[reponse motif="$24$ cm²"]Non.
Tu as multiplié par $k$ au lieu de $k^2$ : $3 \times 8 = 24$.
Le rapport des aires est le carré du coefficient de similitude, pas le coefficient lui-même.[/reponse]
[reponse motif="$11$ cm²"]Non.
Tu as ajouté $k$ à l'aire ($8 + 3 = 11$), mais les aires sont liées par une multiplication.
Le rapport des aires est $k^2 = 9$.[/reponse]
[reponse motif="$216$ cm²"]Non.
Tu as multiplié par $k^3 = 27$ au lieu de $k^2$ : $27 \times 8 = 216$.
Le cube du coefficient s'utilise pour les volumes, pas pour les aires.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'aire de $DEF$ est $k^2 \times \text{aire de } ABC$. Calcule d'abord $k^2 = 9$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Deux triangles semblables ont des aires de $5$ cm² et $45$ cm².

Quel est le coefficient de similitude du petit vers le grand triangle ?
[qcm]
[option correct="true"]$3$[/option]
[option]$9$[/option]
[option]$40$[/option]
[option]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le rapport des aires est $\dfrac{45}{5} = 9$.
Comme le rapport des aires vaut $k^2$, on obtient $k = \sqrt{9} = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
Le nombre $9$ est le rapport des aires, pas le coefficient de similitude.
Le coefficient $k$ vérifie $k^2 = 9$, donc il faut prendre la racine carrée.[/reponse]
[reponse motif="$40$"]Non.
Tu as calculé la différence des aires ($45 - 5 = 40$), qui ne donne pas le coefficient de similitude.
Utilise le rapport $\dfrac{45}{5}$ et la relation $k^2 = \text{rapport des aires}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3}$"]Non.
C'est le coefficient du grand vers le petit triangle.
La question demande le coefficient du petit vers le grand.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule le rapport des aires, puis prends sa racine carrée pour obtenir $k$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables avec un coefficient de similitude $k = 0{,}5$ de $ABC$ vers $DEF$.
L'aire du triangle $DEF$ est $32$ cm².

Quelle est l'aire du triangle $ABC$ ?
[qcm]
[option]$16$ cm²[/option]
[option]$64$ cm²[/option]
[option correct="true"]$128$ cm²[/option]
[option]$8$ cm²[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le passage de $ABC$ à $DEF$ est une réduction de rapport $k = 0{,}5$.
Donc $\text{aire}_{DEF} = k^2 \times \text{aire}_{ABC}$, soit $32 = 0{,}25 \times \text{aire}_{ABC}$.
D'où $\text{aire}_{ABC} = \dfrac{32}{0{,}25} = 128$ cm².[/reponse]
[reponse motif="$16$ cm²"]Non.
Tu as multiplié par $k$ au lieu de diviser par $k^2$ : $32 \times 0{,}5 = 16$.
Comme $k < 1$, $DEF$ est plus petit que $ABC$, donc l'aire de $ABC$ est plus grande que $32$ cm².[/reponse]
[reponse motif="$64$ cm²"]Non.
Tu as divisé par $k$ au lieu de $k^2$ : $\dfrac{32}{0{,}5} = 64$.
Le rapport des aires utilise $k^2 = 0{,}25$, pas $k = 0{,}5$.[/reponse]
[reponse motif="$8$ cm²"]Non.
Tu as multiplié par $k^2$ au lieu de diviser : $32 \times 0{,}25 = 8$.
Comme $DEF$ est la réduction de $ABC$, l'aire de $ABC$ est plus grande que $32$ cm².[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'aire de $DEF$ vaut $k^2 \times \text{aire}_{ABC}$, donc $\text{aire}_{ABC} = \dfrac{32}{k^2}$. Calcule $k^2 = 0{,}25$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les triangles $ABC$ et $A'B'C'$ sont semblables avec $A \leftrightarrow A'$, $B \leftrightarrow B'$, $C \leftrightarrow C'$.
On donne $AB = 4$ cm, $A'B' = 6$ cm et l'aire du triangle $ABC$ est $12$ cm².

Quelle est l'aire du triangle $A'B'C'$ ?
[qcm]
[option]$18$ cm²[/option]
[option correct="true"]$27$ cm²[/option]
[option]$\dfrac{16}{3}$ cm²[/option]
[option]$8$ cm²[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le coefficient de similitude est $k = \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$.
Le rapport des aires est $k^2 = \dfrac{9}{4}$.
L'aire de $A'B'C'$ est $12 \times \dfrac{9}{4} = 27$ cm².[/reponse]
[reponse motif="$18$ cm²"]Non.
Tu as multiplié par $k = \dfrac{3}{2}$ au lieu de $k^2$ : $12 \times \dfrac{3}{2} = 18$.
Le rapport des aires est le carré du coefficient de similitude.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{16}{3}$ cm²"]Non.
Tu as divisé par $k^2$ au lieu de multiplier : $12 \times \dfrac{4}{9} = \dfrac{16}{3}$.
Comme $k > 1$, $A'B'C'$ est un agrandissement et son aire est plus grande que $12$ cm².[/reponse]
[reponse motif="$8$ cm²"]Non.
Tu as multiplié par $\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{2}{3}$, qui est le coefficient inverse.
Le coefficient de $ABC$ vers $A'B'C'$ est $\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{3}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule $k = \dfrac{A'B'}{AB}$, puis l'aire avec $k^2 \times \text{aire}_{ABC}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Deux triangles sont semblables. L'aire du premier est $12$ cm² et l'aire du second est $27$ cm².

Quel est le coefficient de similitude du premier vers le second ?
[qcm]
[option]$\dfrac{9}{4}$[/option]
[option]$\dfrac{4}{9}$[/option]
[option]$\dfrac{2}{3}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{3}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le rapport des aires est $\dfrac{27}{12} = \dfrac{9}{4}$.
Comme ce rapport vaut $k^2$, on obtient $k = \sqrt{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{3}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{9}{4}$"]Non.
C'est le rapport des aires ($k^2$), pas le coefficient de similitude ($k$).
Il faut prendre la racine carrée de $\dfrac{9}{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{4}{9}$"]Non.
Tu as inversé le rapport des aires.
Le coefficient du premier vers le second est $k$ tel que $k^2 = \dfrac{\text{aire}_2}{\text{aire}_1} = \dfrac{27}{12}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{3}$"]Non.
C'est le coefficient du second vers le premier ($\dfrac{1}{k}$).
La question demande le coefficient du premier vers le second.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule le rapport des aires $\dfrac{27}{12}$, simplifie, puis prends la racine carrée.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Deux triangles semblables ont des périmètres de $18$ cm et $24$ cm.
L'aire du petit triangle est $27$ cm².

Quelle est l'aire du grand triangle ?
[qcm]
[option correct="true"]$48$ cm²[/option]
[option]$36$ cm²[/option]
[option]$\dfrac{243}{16}$ cm²[/option]
[option]$33$ cm²[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le coefficient de similitude est $k = \dfrac{24}{18} = \dfrac{4}{3}$.
Le rapport des aires est $k^2 = \dfrac{16}{9}$.
L'aire du grand triangle est $27 \times \dfrac{16}{9} = 48$ cm².[/reponse]
[reponse motif="$36$ cm²"]Non.
Tu as multiplié par $k$ au lieu de $k^2$ : $27 \times \dfrac{4}{3} = 36$.
Le rapport des périmètres donne $k$, mais le rapport des aires est $k^2$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{243}{16}$ cm²"]Non.
Tu as divisé par $k^2$ au lieu de multiplier : $27 \times \dfrac{9}{16} = \dfrac{243}{16}$.
Le grand triangle a une aire plus grande que $27$ cm².[/reponse]
[reponse motif="$33$ cm²"]Non.
Tu as ajouté la différence des périmètres ($27 + 6 = 33$), mais les aires ne se calculent pas par addition.
Utilise $k = \dfrac{24}{18}$ et le rapport des aires $k^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule d'abord $k$ à partir des périmètres, puis $k^2$, et multiplie l'aire du petit triangle par $k^2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Configurations de triangles semblables

[enonce]
Pour chaque affirmation, indique si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Dans le triangle $ABC$, le point $M$ est sur le segment $[AB]$ et le point $N$ est sur le segment $[AC]$, avec $(MN) \parallel (BC)$.
On donne $AM = 3$ cm et $AB = 5$ cm.

Configuration de Thalès dans un triangle ABC avec M sur AB et N sur AC, (MN) parallèle à (BC)

Affirmation : Le coefficient de similitude pour passer du triangle $AMN$ au triangle $ABC$ est $\dfrac{5}{3}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les triangles $AMN$ et $ABC$ sont semblables car $(MN) \parallel (BC)$ (configuration de Thalès).
Le coefficient de similitude de $AMN$ vers $ABC$ est le rapport des côtés homologues :
$k = \dfrac{AB}{AM} = \dfrac{5}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Dans une configuration de Thalès, le coefficient de similitude est le rapport des côtés homologues.
Pour passer du petit triangle $AMN$ au grand triangle $ABC$ :
$k = \dfrac{AB}{AM} = \dfrac{5}{3}$.
Comme $k > 1$, le triangle $ABC$ est bien un agrandissement de $AMN$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le coefficient de $AMN$ vers $ABC$ est $k = \dfrac{AB}{AM} = \dfrac{5}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en $E$, et $(AB) \parallel (CD)$.

Configuration en papillon : les droites (AC) et (BD) se coupent en E avec (AB) parallèle à (CD)

Affirmation : Les triangles $ABE$ et $DCE$ sont semblables.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
C'est une configuration de Thalès « en papillon ».
Les triangles $ABE$ et $DCE$ ont deux paires d'angles égaux :
les angles en $E$ sont opposés par le sommet (donc égaux), et les droites parallèles $(AB)$ et $(CD)$ créent des angles alternes-internes égaux.
Deux paires d'angles égaux suffisent pour conclure à la similitude.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : quand deux droites se coupent et qu'une paire de côtés est parallèle, on obtient une configuration de Thalès « en papillon ».
Les angles en $E$ sont égaux (opposés par le sommet), et $(AB) \parallel (CD)$ crée des angles alternes-internes égaux.
Les triangles $ABE$ et $DCE$ sont donc semblables.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Configuration de Thalès en papillon : les triangles $ABE$ et $DCE$ ont deux paires d'angles égaux.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère un triangle $PQR$ de côtés $PQ = 4$ cm, $QR = 6$ cm et $PR = 8$ cm, et un triangle $STU$ de côtés $ST = 6$ cm, $TU = 8$ cm et $SU = 12$ cm.

Deux triangles PQR (4, 6, 8) et STU (6, 8, 12) côte à côte

Affirmation : Les triangles $PQR$ et $STU$ sont semblables.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On range les côtés par ordre croissant :
$PQR$ : $4$, $6$, $8$ et $STU$ : $6$, $8$, $12$.
Les rapports sont : $\dfrac{6}{4} = 1{,}5$, $\dfrac{8}{6} \approx 1{,}33$ et $\dfrac{12}{8} = 1{,}5$.
Le deuxième rapport est différent des deux autres : les côtés ne sont pas proportionnels.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, on pourrait croire à tort que les côtés sont proportionnels en ne vérifiant que certains rapports.
Les rapports ordonnés sont : $\dfrac{6}{4} = 1{,}5$, $\dfrac{8}{6} \approx 1{,}33$ et $\dfrac{12}{8} = 1{,}5$.
Le rapport $\dfrac{8}{6}$ est différent : les côtés ne sont pas tous proportionnels.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le rapport $\dfrac{8}{6} \approx 1{,}33$ diffère de $1{,}5$ : pas de proportionnalité.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$. La hauteur issue de $C$ coupe le côté $[AB]$ en $H$.

Triangle ABC rectangle en C avec la hauteur CH

Affirmation : Les triangles $ACH$ et $ABC$ sont semblables.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les deux triangles ont en commun l'angle $\widehat{A}$.
De plus, le triangle $ACH$ a un angle droit en $H$ (car $CH$ est une hauteur) et le triangle $ABC$ a un angle droit en $C$.
Deux paires d'angles égaux suffisent pour conclure que $ACH$ et $ABC$ sont semblables.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas confondre « avoir un angle commun » et « être semblable ». Ici il y a bien deux paires d'angles égaux.
L'angle $\widehat{A}$ est commun aux deux triangles.
L'angle $\widehat{AHC} = 90°$ (hauteur) et $\widehat{ACB} = 90°$ (rectangle en $C$).
Deux paires d'angles égaux : les triangles sont semblables.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les triangles $ACH$ et $ABC$ partagent l'angle $\widehat{A}$ et ont chacun un angle droit.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Dans le triangle $ABC$, $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$ avec $(MN) \parallel (BC)$. On donne $AM = 3$ cm et $AB = 5$ cm.

Affirmation : Le rapport des aires $\dfrac{\text{Aire}(AMN)}{\text{Aire}(ABC)} = \dfrac{3}{5}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le coefficient de similitude de $AMN$ vers $ABC$ est $k = \dfrac{AB}{AM} = \dfrac{5}{3}$.
Le rapport des aires est $k^2 = \left(\dfrac{5}{3}\right)^2 = \dfrac{25}{9}$, donc :
$\dfrac{\text{Aire}(AMN)}{\text{Aire}(ABC)} = \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{9}{25}$, et non $\dfrac{3}{5}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de confondre le rapport des longueurs et le rapport des aires.
Le rapport des longueurs homologues est $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{3}{5}$, mais le rapport des aires est le carré de ce rapport :
$\dfrac{\text{Aire}(AMN)}{\text{Aire}(ABC)} = \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{9}{25}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le rapport des aires est $\left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{9}{25}$, pas $\dfrac{3}{5}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Deux triangles semblables ont toujours leurs côtés homologues parallèles deux à deux.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Des côtés homologues parallèles, c'est le cas particulier de l'homothétie.
Deux triangles semblables peuvent être orientés de façon quelconque, avec des côtés qui ne sont pas parallèles du tout.
Par exemple, on peut pivoter un triangle semblable de $45°$ : les côtés ne sont plus parallèles, mais la similitude est conservée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, la similitude concerne les angles et les proportions, pas l'orientation dans le plan.
Les côtés parallèles sont une propriété spécifique de l'homothétie, pas de la similitude en général.
Deux triangles semblables peuvent être tournés l'un par rapport à l'autre, sans aucun côté parallèle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Des côtés parallèles deux à deux ne sont garantis que dans le cas d'une homothétie, pas pour toute similitude.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Coefficient de similitude et aires

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur le coefficient de similitude et les aires, indique si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables avec un coefficient de similitude $k = 3$ (de $ABC$ vers $DEF$). L'aire de $ABC$ est $5$ cm².

Affirmation : L'aire de $DEF$ est $15$ cm².

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le rapport des aires n'est pas $k$ mais $k^2$.
L'aire de $DEF$ vaut $k^2 \times 5 = 3^2 \times 5 = 9 \times 5 = 45$ cm².
Le coefficient $k$ s'applique aux longueurs, mais les aires sont des grandeurs à deux dimensions : il faut élever $k$ au carré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, on ne peut pas multiplier directement l'aire par le coefficient $k$.
Le rapport des aires est $k^2$, pas $k$.
Ici : $k^2 = 3^2 = 9$, donc l'aire de $DEF$ vaut $9 \times 5 = 45$ cm², et non $15$ cm².[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le rapport des aires est $k^2 = 9$, donc l'aire de $DEF$ vaut $45$ cm².
[/solution]
[/etape]

[etape]
Le coefficient de similitude pour passer du triangle $ABC$ au triangle $DEF$ est $k = 0{,}5$.

Affirmation : Le triangle $DEF$ est une réduction du triangle $ABC$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Quand $0 < k < 1$, chaque longueur du triangle image est plus petite que la longueur homologue du triangle initial.
Avec $k = 0{,}5$, chaque côté de $DEF$ mesure la moitié du côté homologue de $ABC$ : c'est bien une réduction.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour interpréter le coefficient de similitude, il faut regarder s'il est supérieur ou inférieur à $1$.
Si $k > 1$ : agrandissement. Si $k = 1$ : mêmes dimensions. Si $0 < k < 1$ : réduction.
Ici $k = 0{,}5 < 1$ : les côtés de $DEF$ sont plus petits, c'est une réduction.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Comme $k = 0{,}5 < 1$, chaque côté de $DEF$ est plus petit : c'est une réduction.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Le coefficient de similitude pour passer du triangle $ABC$ au triangle $DEF$ est $k = 2$.

Affirmation : Le coefficient de similitude pour passer du triangle $DEF$ au triangle $ABC$ est aussi $k = 2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Si $k = 2$ pour passer de $ABC$ à $DEF$, alors pour passer de $DEF$ à $ABC$ on divise par $2$.
Le coefficient « retour » est $\dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$.
Les côtés de $ABC$ sont deux fois plus petits que ceux de $DEF$, pas deux fois plus grands.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de croire que le coefficient est le même dans les deux sens.
Si les côtés de $DEF$ sont le double de ceux de $ABC$ ($k = 2$), alors les côtés de $ABC$ sont la moitié de ceux de $DEF$.
Le coefficient retour est $\dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le coefficient retour est $\dfrac{1}{k} = 0{,}5$, pas $2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Deux triangles sont semblables avec un coefficient de similitude $k = 1$.

Affirmation : Ces deux triangles sont isométriques (mêmes dimensions).

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Si $k = 1$, chaque côté du second triangle a exactement la même longueur que le côté homologue du premier.
Les deux triangles ont les mêmes angles (car semblables) et les mêmes longueurs de côtés : ils sont isométriques.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : le coefficient de similitude donne le rapport entre les longueurs homologues.
Si $k = 1$, les longueurs homologues sont égales. Combiné avec l'égalité des angles (car semblables), les deux triangles ont exactement les mêmes dimensions.
L'isométrie est un cas particulier de la similitude.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec $k = 1$, les côtés homologues sont égaux : les triangles sont isométriques.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Deux triangles semblables sont toujours l'image l'un de l'autre par une homothétie.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'image d'un triangle par une homothétie est un triangle semblable dont les côtés homologues sont parallèles.
Mais deux triangles semblables peuvent être orientés différemment, sans que leurs côtés soient parallèles.
La similitude n'implique pas l'homothétie, même si l'homothétie implique la similitude.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre similitude et homothétie.
Une homothétie produit des triangles semblables avec des côtés parallèles deux à deux.
Mais deux triangles semblables peuvent avoir des orientations complètement différentes, sans aucun côté parallèle.
La réciproque de « l'homothétie implique la similitude » est fausse.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Deux triangles semblables ne sont pas forcément homothétiques : ils peuvent être orientés différemment.
[/solution]
[/etape]

[etape]
L'aire d'un triangle $DEF$ est $4$ fois l'aire d'un triangle $ABC$ semblable.

Affirmation : Le coefficient de similitude pour passer de $ABC$ à $DEF$ est $k = 4$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le rapport des aires est $k^2$, pas $k$.
Si $k^2 = 4$, alors $k = \sqrt{4} = 2$.
Le coefficient de similitude est $2$, pas $4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, le rapport des aires n'est pas le coefficient de similitude.
Le rapport des aires est le carré du coefficient : $k^2 = 4$.
Pour retrouver $k$, il faut prendre la racine carrée : $k = \sqrt{4} = 2$.
Les côtés de $DEF$ sont $2$ fois plus grands que ceux de $ABC$, pas $4$ fois.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Si le rapport d'aires est $4$, alors $k = \sqrt{4} = 2$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Propriétés des triangles semblables

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les triangles semblables, indique si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Deux triangles équilatéraux sont toujours semblables.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Un triangle équilatéral a ses trois angles égaux à $60°$. Deux triangles équilatéraux ont donc leurs angles deux à deux égaux, quelle que soit leur taille.
Ils sont toujours semblables.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : deux triangles sont semblables lorsque leurs angles sont égaux deux à deux.
Un triangle équilatéral a toujours trois angles de $60°$, donc deux triangles équilatéraux ont automatiquement les mêmes angles.
Ils sont semblables, même s'ils n'ont pas la même taille.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Tous les triangles équilatéraux ont trois angles de $60°$, ils sont donc toujours semblables.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Deux triangles rectangles sont toujours semblables.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Un angle droit commun ne donne qu'une seule paire d'angles égaux.
Pour que deux triangles soient semblables, il faut deux paires d'angles égaux.
Par exemple, un triangle rectangle avec un angle de $30°$ et un autre avec un angle de $45°$ ne sont pas semblables.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, avoir un angle droit en commun ne suffit pas.
Il faut que deux paires d'angles soient égales pour conclure à la similitude.
Un triangle rectangle avec des angles $90°$, $30°$, $60°$ et un autre avec des angles $90°$, $45°$, $45°$ n'ont qu'un seul angle en commun : ils ne sont pas semblables.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Un seul angle commun ($90°$) ne suffit pas pour la similitude.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour démontrer que deux triangles sont semblables par les angles, il suffit de vérifier que deux paires d'angles sont égales.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La somme des angles d'un triangle vaut toujours $180°$.
Si deux paires d'angles sont égales, la troisième paire l'est automatiquement.
Il est donc inutile de vérifier les trois paires.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas confondre « nécessaire » et « suffisant ».
Puisque la somme des angles d'un triangle vaut $180°$, le troisième angle est déterminé par les deux autres.
Deux paires d'angles égaux entrainent donc automatiquement l'égalité de la troisième paire.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Deux paires d'angles égaux suffisent, car le troisième angle se déduit des deux autres.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables avec $\widehat{A} = \widehat{D}$ et $\widehat{B} = \widehat{E}$.

Affirmation : Les côtés $[BC]$ et $[DE]$ sont des côtés homologues.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les côtés homologues sont les côtés opposés aux angles égaux.
Le côté $[BC]$ est opposé à $\widehat{A}$, il est donc homologue au côté opposé à $\widehat{D}$, c'est-à-dire $[EF]$.
Le côté $[DE]$ est opposé à $\widehat{F}$, il est homologue à $[AB]$ (opposé à $\widehat{C}$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de confondre les sommets et les côtés homologues.
Les côtés homologues sont ceux qui sont opposés aux angles égaux, pas ceux qui portent les mêmes lettres.
$[BC]$ est opposé à $\widehat{A}$, donc homologue de $[EF]$ (opposé à $\widehat{D}$).
$[DE]$ est opposé à $\widehat{F}$, donc homologue de $[AB]$ (opposé à $\widehat{C}$).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $[BC]$ est homologue à $[EF]$ (tous deux opposés aux angles égaux $\widehat{A} = \widehat{D}$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Deux triangles isocèles sont toujours semblables.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Un triangle isocèle a deux angles égaux, mais la valeur de ces angles peut varier.
Un triangle isocèle avec des angles $80°$, $50°$, $50°$ et un autre avec des angles $40°$, $70°$, $70°$ n'ont aucune paire d'angles en commun.
La propriété « isocèle » ne détermine pas la forme du triangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Contrairement aux triangles équilatéraux, les triangles isocèles n'ont pas tous la même forme.
L'angle au sommet peut prendre n'importe quelle valeur entre $0°$ et $180°$.
Par exemple, un triangle isocèle très « aplati » ($160°$, $10°$, $10°$) et un triangle isocèle « pointu » ($20°$, $80°$, $80°$) ne sont pas du tout semblables.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Des triangles isocèles peuvent avoir des angles très différents et ne pas être semblables.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans une configuration de Thalès, les deux triangles formés sont semblables.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Dans une configuration de Thalès, les droites parallèles créent des angles correspondants égaux.
Les deux triangles ont donc deux paires d'angles égaux (plus l'angle commun au sommet), ce qui garantit la similitude.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : dans une configuration de Thalès, une droite parallèle à un côté d'un triangle coupe les deux autres côtés.
Les angles correspondants créés par cette droite parallèle sont égaux.
Les deux triangles ont donc leurs angles deux à deux égaux : ils sont semblables.
Le coefficient de similitude est le rapport des côtés parallèles.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les droites parallèles dans une configuration de Thalès garantissent l'égalité des angles, donc la similitude.
[/solution]
[/etape]

Triangles semblables dans un rectangle

$ABCD$ est un rectangle tel que $AB = 6$ cm et $BC = 10$ cm. Le point $M$ est sur le segment $[BC]$ tel que $BM = 4$ cm. La droite $(AM)$ coupe la droite $(DC)$ en $E$.

Rectangle ABCD avec M sur BC et droite AM prolongée jusqu'au point E sur la droite DC

Démontrer que les triangles $ABM$ et $ECM$ sont semblables.
Calculer le coefficient de similitude pour passer de $ABM$ à $ECM$.
En déduire la longueur $EC$.
Calculer le rapport $\dfrac{\text{Aire}(ECM)}{\text{Aire}(ABM)}$.

Corrigé

L'angle $\widehat{ABM}$ est un angle droit (angle du rectangle en $B$).
Les droites $(DC)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires (côtés du rectangle), donc l'angle $\widehat{ECM} = 90°$.
De plus, les angles $\widehat{AMB}$ et $\widehat{EMC}$ sont opposés par le sommet, donc de même mesure.
Les triangles $ABM$ et $ECM$ ont deux angles de même mesure : ils sont semblables.
Les sommets homologues sont : $A \leftrightarrow E$, $B \leftrightarrow C$ et $M \leftrightarrow M$.
On calcule d'abord $CM$ :
$CM = BC - BM = 10 - 4 = 6$ cm
Le coefficient de similitude est :
$k = \dfrac{CM}{BM} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$
On en déduit la longueur $EC$ :
$EC = k \times AB = \dfrac{3}{2} \times 6$

$EC = 9$ cm
Le rapport des aires est le carré du coefficient de similitude :
$\dfrac{\text{Aire}(ECM)}{\text{Aire}(ABM)} = k^2 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2$

$\mathbf{\dfrac{\text{Aire}(ECM)}{\text{Aire}(ABM)} = \dfrac{9}{4}}$

Pour réviser : Démontrer que deux triangles sont semblables par les angles

Rapport des aires de triangles semblables

Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables avec les correspondances $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$.
On donne $AB = 6$ cm, $BC = 8$ cm, $AC = 10$ cm et $DE = 9$ cm.

Deux triangles rectangles semblables : ABC (petit, rectangle en B) et DEF (grand, rectangle en E)

Vérifier que le triangle $ABC$ est rectangle. Préciser en quel sommet.
Calculer le coefficient de similitude pour passer de $ABC$ à $DEF$.
En déduire les longueurs $EF$ et $DF$.
Calculer l'aire du triangle $ABC$, puis en déduire l'aire du triangle $DEF$.

Corrigé

On vérifie si l'égalité de Pythagore est satisfaite. Le plus grand côté est $AC = 10$.
$AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$AC^2 = 10^2 = 100$
On a bien $AB^2 + BC^2 = AC^2$, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
Les côtés homologues sont : $[AB]$ et $[DE]$, $[BC]$ et $[EF]$, $[AC]$ et $[DF]$.
Le coefficient de similitude est :
$k = \dfrac{DE}{AB} = \dfrac{9}{6} = 1{,}5$
On calcule les longueurs manquantes :
$EF = k \times BC = 1{,}5 \times 8$ = $12$ cm
$DF = k \times AC = 1{,}5 \times 10$ = $15$ cm
Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, donc :
$\text{Aire}(ABC) = \dfrac{AB \times BC}{2} = \dfrac{6 \times 8}{2} = 24$ cm²
Le rapport des aires de deux triangles semblables est $k^2$, donc :
$\text{Aire}(DEF) = k^2 \times \text{Aire}(ABC) = (1{,}5)^2 \times 24 = 2{,}25 \times 24$

$\text{Aire}(DEF) = 54$ cm²

Pour réviser : Calculer une longueur inconnue avec des triangles semblables