[enonce]
Ce QCM porte sur les fonctions linéaires et leurs propriétés. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Parmi les fonctions suivantes, laquelle est une fonction linéaire ?
[qcm]
[option]$f(x) = 3x + 1$[/option]
[option correct="true"]$g(x) = -5x$[/option]
[option]$h(x) = x^2$[/option]
[option]$k(x) = 7$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Une fonction linéaire est de la forme $x \mapsto ax$. Ici $g(x) = -5x$ avec $a = -5$, c'est bien une fonction linéaire.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = 3x + 1$"]Non.
La fonction $f(x) = 3x + 1$ est une fonction affine (avec $b = 1 \neq 0$), mais pas linéaire. Une fonction linéaire n'a pas de terme constant.[/reponse]
[reponse motif="$h(x) = x^2$"]Non.
La fonction $h(x) = x^2$ est une fonction du second degré, pas une fonction linéaire. Une fonction linéaire est de la forme $x \mapsto ax$.[/reponse]
[reponse motif="$k(x) = 7$"]Non.
La fonction $k(x) = 7$ est une fonction constante. Bien qu'elle soit un cas particulier de fonction affine (avec $a = 0$), ce n'est pas une fonction linéaire au sens strict.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une fonction linéaire est de la forme $x \mapsto ax$ où $a$ est un réel. Chercher l'expression qui correspond à cette forme.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction linéaire de coefficient $\dfrac{3}{4}$. Calculer $f(8)$.
[qcm]
[option]$24$[/option]
[option]$\dfrac{32}{3}$[/option]
[option correct="true"]$6$[/option]
[option]$\dfrac{3}{32}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$f(8) = \dfrac{3}{4} \times 8 = \dfrac{3 \times 8}{4} = \dfrac{24}{4} = 6$[/reponse]
[reponse motif="$24$"]Non.
Tu as calculé $3 \times 8 = 24$ en oubliant le dénominateur $4$. Il faut multiplier $\dfrac{3}{4}$ par $8$, ce qui revient à calculer $\dfrac{3 \times 8}{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{32}{3}$"]Non.
Tu as inversé la fraction : tu as calculé $\dfrac{4}{3} \times 8$ au lieu de $\dfrac{3}{4} \times 8$. Attention à ne pas confondre $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{4}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{32}$"]Non.
Tu as divisé $3$ par $4 \times 8$ au lieu de multiplier $\dfrac{3}{4}$ par $8$. Pour calculer l'image, il faut multiplier le coefficient par la valeur de $x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $f(8) = \dfrac{3}{4} \times 8$ en multipliant le numérateur par $8$ puis en simplifiant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction linéaire telle que $f(3) = -12$. Quel est le coefficient de $f$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$-4$[/option]
[option]$-36$[/option]
[option]$4$[/option]
[option]$-\dfrac{1}{4}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Pour une fonction linéaire $f(x) = ax$, on a $f(3) = 3a = -12$, donc $a = \dfrac{-12}{3} = -4$.[/reponse]
[reponse motif="$-36$"]Non.
Tu as multiplié $-12 \times 3 = -36$. Pour trouver le coefficient, il faut diviser l'image par la valeur de $x$ : $a = \dfrac{f(3)}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
Le coefficient est bien $\dfrac{12}{3} = 4$ en valeur absolue, mais attention au signe. Comme $f(3) = -12$ est négatif, le coefficient $a$ doit être négatif.[/reponse]
[reponse motif="$-\dfrac{1}{4}$"]Non.
Tu as inversé la fraction : $\dfrac{3}{-12} = -\dfrac{1}{4}$. Le coefficient se calcule en divisant l'image par la variable, pas l'inverse : $a = \dfrac{f(3)}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour une fonction linéaire $f(x) = ax$, le coefficient est $a = \dfrac{f(3)}{3}$. Calculer ce quotient.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction linéaire telle que $f(3) = 15$. Calculer $f(9)$.
[qcm]
[option]$135$[/option]
[option]$21$[/option]
[option]$27$[/option]
[option correct="true"]$45$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Comme $9 = 3 \times 3$, on utilise la propriété $f(kx) = kf(x)$ :
$f(9) = f(3 \times 3) = 3 \times f(3) = 3 \times 15 = 45$
On peut vérifier : le coefficient est $a = \dfrac{15}{3} = 5$, et $f(9) = 5 \times 9 = 45$.[/reponse]
[reponse motif="$135$"]Non.
Tu as calculé $15 \times 9 = 135$. Ce n'est pas $f(3) \times 9$ qu'il faut calculer. Comme $9 = 3 \times 3$, on a $f(9) = 3 \times f(3)$.[/reponse]
[reponse motif="$21$"]Non.
Tu as ajouté $9 - 3 = 6$ à $f(3)$, soit $15 + 6 = 21$. La proportionnalité ne fonctionne pas de manière additive. Utiliser $f(kx) = kf(x)$ avec $k = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$27$"]Non.
Tu as calculé $3 \times 9 = 27$, ce qui utilise le facteur $3$ et l'argument $9$ mais oublie $f(3)$. La propriété est $f(9) = f(3 \times 3) = 3 \times f(3)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Trouver d'abord le coefficient $a = \dfrac{f(3)}{3}$, puis calculer $f(9) = a \times 9$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction linéaire telle que $f(4) = -8$ et $f(3) = -6$. Que vaut $f(7)$ ?
[qcm]
[option]$-2$[/option]
[option correct="true"]$-14$[/option]
[option]$48$[/option]
[option]$-24$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On utilise la propriété $f(x + x') = f(x) + f(x')$ :
$f(7) = f(4 + 3) = f(4) + f(3) = -8 + (-6) = -14$[/reponse]
[reponse motif="$-2$"]Non.
Tu as soustrait au lieu d'additionner : $-8 - (-6) = -8 + 6 = -2$. La propriété des fonctions linéaires est $f(x + x') = f(x) + f(x')$, il faut donc additionner les images.[/reponse]
[reponse motif="$48$"]Non.
Tu as multiplié les images : $(-8) \times (-6) = 48$. La propriété est $f(x + x') = f(x) + f(x')$, c'est une somme et non un produit.[/reponse]
[reponse motif="$-24$"]Non.
Tu as peut-être calculé $f(4) \times 3 = -8 \times 3 = -24$, en confondant $f(4 + 3)$ avec $3 \times f(4)$. La propriété à utiliser ici est $f(x + x') = f(x) + f(x')$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la propriété $f(4 + 3) = f(4) + f(3)$ et additionner les deux images données.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La courbe d'une fonction linéaire passe par le point $A(4\,;\,-6)$. Quel est le coefficient de cette fonction ?
[qcm]
[option]$-\dfrac{2}{3}$[/option]
[option]$-24$[/option]
[option correct="true"]$-\dfrac{3}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La courbe d'une fonction linéaire passe par l'origine. Si elle passe par $A(4\,;\,-6)$, alors $f(4) = -6$ et le coefficient est :
$a = \dfrac{f(4)}{4} = \dfrac{-6}{4} = -\dfrac{3}{2}$[/reponse]
[reponse motif="$-\dfrac{2}{3}$"]Non.
Tu as inversé le numérateur et le dénominateur. Le coefficient se calcule en divisant l'ordonnée par l'abscisse : $a = \dfrac{y_A}{x_A}$ et non $\dfrac{x_A}{y_A}$.[/reponse]
[reponse motif="$-24$"]Non.
Tu as multiplié $-6 \times 4 = -24$. Pour trouver le coefficient, il faut diviser l'ordonnée par l'abscisse, pas les multiplier.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{2}$"]Non.
La valeur absolue est correcte, mais attention au signe. L'ordonnée $y_A = -6$ est négative, donc le coefficient est négatif : $a = \dfrac{-6}{4}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour une fonction linéaire passant par un point $A(x_A\,;\,y_A)$, le coefficient est $a = \dfrac{y_A}{x_A}$. Appliquer avec les coordonnées de $A$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Existe-t-il une fonction affine $ f $ telle que $ f\left( - 1\right)= - 2 $, $ f\left(3\right)=2 $ et $ f\left(1\right)=1 $ ?

Corrigé

Les égalités $ f\left( - 1\right)= - 2 $, $ f\left(3\right)=2 $ et $ f\left(1\right)=1 $ signifient que la courbe représentative de $ f $ passe par les points $ A\left( - 1 ; - 2\right), B\left(3 ; 2\right) $ et $ C\left(1 ; 1\right) $.

Pour que $ f $ soit affine, il est nécessaire que les points $ A, B $ et $ C $ soient alignés.

Le graphique ci dessous montre que ce n'est pas le cas :

On peut vérifier ce résultat par le calcul, en déterminant les coefficients directeurs des droites $ \left(AB\right) $ et $ \left(AC\right) $ par exemple.

Le coefficient directeur de la droite $ \left(AB\right) $ est (voir Calculer le coefficient directeur d'une droite) :

$ a = \dfrac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}} = \dfrac{2 - \left( - 2\right)}{3 - \left( - 1\right)}=\dfrac{4}{4}=1 $

Le coefficient directeur de la droite $ \left(AC\right) $ est

$ a^{\prime} = \dfrac{y_{C} - y_{A}}{x_{C} - x_{A}} = \dfrac{1 - \left( - 2\right)}{1 - \left( - 1\right)}=\dfrac{3}{2} $

Ces coefficients sont différents donc les droites $ \left(AB\right) $ et $ \left(AC\right) $ sont distinctes et les points $ A, B $ et $ C $ ne sont pas alignés.

Par conséquent, il n'existe pas de fonction affine vérifiant $ f\left( - 1\right)= - 2 $, $ f\left(3\right)=2 $ et $ f\left(1\right)=1 $.

Remarque Si l'on a déjà étudié le chapitre sur les vecteurs, on peut également montrer que les vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $ ne sont pas colinéaires.

Pour réviser : Tracer la droite représentative d'une fonction affine