[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : positions relatives de deux droites, intersection, alignement et équation cartésienne. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]

La droite $d_1$ passe par $(0~;~1)$ et $(3~;~3)$. La droite $d_2$ passe par $(-2~;~-1)$ et $(1~;~1)$. Quelle est la position relative de $d_1$ et $d_2$ ?
[qcm]
[option correct="true"]Parallèles non confondues[/option]
[option]Sécantes[/option]
[option]Confondues[/option]
[option]Perpendiculaires[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Coefficient directeur de $d_1$ : $\dfrac{3 - 1}{3 - 0} = \dfrac{2}{3}$.
Coefficient directeur de $d_2$ : $\dfrac{1 - (-1)}{1 - (-2)} = \dfrac{2}{3}$.
Les coefficients directeurs sont égaux, donc les droites sont parallèles.
Ord. à l'origine : $p_1 = 1$ et $p_2 = \dfrac{1}{3}$ (en remplaçant un point dans $y = \dfrac{2}{3}x + p$). Comme $p_1 \neq p_2$, les droites ne sont pas confondues.[/reponse]
[reponse motif="Sécantes"]Non.
Deux droites sont sécantes lorsque leurs coefficients directeurs sont différents. Calculer les coefficients directeurs de $d_1$ et $d_2$ pour comparer.[/reponse]
[reponse motif="Confondues"]Non.
Les coefficients directeurs sont effectivement égaux, mais il faut aussi vérifier que les ordonnées à l'origine sont identiques. Visuellement, les deux droites n'ont pas la même intersection avec l'axe des ordonnées.[/reponse]
[reponse motif="Perpendiculaires"]Non.
Les deux droites tracées ne se coupent pas à angle droit ; elles sont visuellement parallèles. Vérifier en calculant les coefficients directeurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer les coefficients directeurs des deux droites. S'ils sont égaux, vérifier ensuite si les ordonnées à l'origine coïncident.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère les droites $d_1$ d'équation $y = 2x + 1$ et $d_2$ d'équation $y = -x + 4$. Quelles sont les coordonnées de leur point d'intersection ?
[qcm]
[option]$(3~;~1)$[/option]
[option correct="true"]$(1~;~3)$[/option]
[option]$(-1~;~-1)$[/option]
[option]$(1~;~-3)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Au point d'intersection, $2x + 1 = -x + 4$, donc $3x = 3$ et $x = 1$.
On reporte dans une équation : $y = 2 \times 1 + 1 = 3$.
Le point d'intersection est $(1~;~3)$.[/reponse]
[reponse motif="$(3~;~1)$"]Non.
L'abscisse et l'ordonnée du point d'intersection ont été échangées. L'abscisse $x$ se trouve d'abord en résolvant l'équation, puis $y$ se déduit en remplaçant $x$ dans une des équations.[/reponse]
[reponse motif="$(-1~;~-1)$"]Non.
Erreur dans la résolution de $2x + 1 = -x + 4$. En faisant passer le terme en $x$ d'un côté : $2x + x = 4 - 1$, donc $3x = 3$ et $x = 1$ (positif).[/reponse]
[reponse motif="$(1~;~-3)$"]Non.
L'abscisse $x = 1$ est correcte, mais le calcul de $y$ a un mauvais signe. Reprendre $y = 2 \times 1 + 1 = 3$ (et non $-3$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Égaler les expressions de $y$ : $2x + 1 = -x + 4$. Résoudre pour trouver $x$, puis remplacer dans une équation pour trouver $y$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]

On considère les points $A(1~;~1)$, $B(3~;~4)$ et $C(5~;~7)$. Que peut-on dire de ces trois points ?
[qcm]
[option correct="true"]Ils sont alignés[/option]
[option]Ils ne sont pas alignés[/option]
[option]Ils forment un triangle équilatéral[/option]
[option]Ils sont confondus[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On calcule $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$.
$\det(\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AC}) = 2 \times 6 - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0$.
Le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires : les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.[/reponse]
[reponse motif="Ils ne sont pas alignés"]Non.
Calculer le déterminant des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ : s'il est nul, les vecteurs sont colinéaires et les points sont alignés.[/reponse]
[reponse motif="Ils forment un triangle équilatéral"]Non.
Pour former un triangle, les trois points doivent d'abord ne pas être alignés. Calculer le déterminant de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ pour vérifier l'alignement.[/reponse]
[reponse motif="Ils sont confondus"]Non.
Trois points sont confondus si leurs coordonnées sont identiques, ce n'est pas le cas ici. Examiner plutôt si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis le déterminant $\det(\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AC}) = x_{AB} \times y_{AC} - y_{AB} \times x_{AC}$ : nul signifie alignés.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est une équation cartésienne de la droite passant par $A(2~;~1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ ?
[qcm]
[option]$x - 3y - 5 = 0$[/option]
[option correct="true"]$3x - y - 5 = 0$[/option]
[option]$3x + y - 5 = 0$[/option]
[option]$x + 3y - 5 = 0$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Pour tout point $M(x~;~y)$ de la droite, $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x - 2 \\ y - 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ sont colinéaires :
$\det(\overrightarrow{AM}~;~\vec{u}) = (x-2) \times 3 - (y-1) \times 1 = 0$
$3x - 6 - y + 1 = 0$
$3x - y - 5 = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$x - 3y - 5 = 0$"]Non.
Les coefficients devant $x$ et $y$ ont été permutés. Reprendre le développement du déterminant en faisant attention à l'ordre des produits.[/reponse]
[reponse motif="$3x + y - 5 = 0$"]Non.
Erreur de signe sur le terme en $y$. Le déterminant donne $3(x-2) - 1 \times (y-1)$, et le signe « moins » devant le second terme se distribue : $-(y-1) = -y + 1$.[/reponse]
[reponse motif="$x + 3y - 5 = 0$"]Non.
Les coordonnées du vecteur directeur ont été utilisées comme coefficients $a$ et $b$ directement, sans appliquer la formule du déterminant. Reprendre $\det(\overrightarrow{AM}~;~\vec{u}) = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Écrire que $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires, donc $\det(\overrightarrow{AM}~;~\vec{u}) = 0$, puis développer.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère les droites $d : 2x - 3y + 1 = 0$ et $d' : kx + 6y - 5 = 0$, où $k$ est un nombre réel. Pour quelle valeur de $k$ les droites $d$ et $d'$ sont-elles parallèles ?
[qcm]
[option]$k = 4$[/option]
[option]$k = -9$[/option]
[option correct="true"]$k = -4$[/option]
[option]$k = 12$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Un vecteur directeur de $d$ est $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de $d'$ est $\vec{u'}\begin{pmatrix} -6 \\ k \end{pmatrix}$.
Les droites sont parallèles si et seulement si $\vec{u}$ et $\vec{u'}$ sont colinéaires, c'est-à-dire si $\det(\vec{u}~;~\vec{u'}) = 0$ :
$3 \times k - 2 \times (-6) = 0$
$3k + 12 = 0$
$k = -4$.[/reponse]
[reponse motif="$k = 4$"]Non.
La valeur absolue est correcte, mais le signe est faux. Reprendre l'équation $3k + 12 = 0$ : on isole $3k = -12$, donc $k$ est négatif.[/reponse]
[reponse motif="$k = -9$"]Non.
La relation de colinéarité a été mal posée. Pour deux vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ et $\vec{u'}\begin{pmatrix} a' \\ b' \end{pmatrix}$ colinéaires, c'est $a \times b' - b \times a' = 0$ (et non $a \times a' - b \times b'$).[/reponse]
[reponse motif="$k = 12$"]Non.
Erreur de signe lors du calcul du déterminant : $-2 \times (-6) = +12$. L'équation correcte est $3k + 12 = 0$, et non $3k - 12 = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Trouver un vecteur directeur de chaque droite (formule $\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$), puis exprimer la condition de colinéarité avec un déterminant nul.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]

Quelle est une équation cartésienne de la droite tracée ?
[qcm]
[option]$3x + 2y - 6 = 0$[/option]
[option correct="true"]$3x - 2y + 6 = 0$[/option]
[option]$2x - 3y + 6 = 0$[/option]
[option]$3x - 2y - 6 = 0$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La droite passe par $(-2~;~0)$ et $(0~;~3)$, donc $m = \dfrac{3 - 0}{0 - (-2)} = \dfrac{3}{2}$ et $p = 3$.
Équation réduite : $y = \dfrac{3}{2}x + 3$.
En multipliant par $2$ : $2y = 3x + 6$, soit $3x - 2y + 6 = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$3x + 2y - 6 = 0$"]Non.
Tester un point : avec $(0~;~3)$, on obtient $0 + 6 - 6 = 0$, ce qui marche. Mais avec $(-2~;~0)$ : $-6 + 0 - 6 = -12 \neq 0$. L'équation est donc fausse. Reprendre la conversion de la forme réduite vers la forme cartésienne.[/reponse]
[reponse motif="$2x - 3y + 6 = 0$"]Non.
Les coefficients devant $x$ et $y$ ont été permutés. À partir de $y = \dfrac{3}{2}x + 3$, multiplier par $2$ donne $2y = 3x + 6$, donc le coefficient devant $x$ est $3$.[/reponse]
[reponse motif="$3x - 2y - 6 = 0$"]Non.
Le signe du terme constant est faux. Tester $(0~;~3)$ : $0 - 6 - 6 = -12 \neq 0$. À partir de $2y = 3x + 6$, on obtient $3x - 2y + 6 = 0$ (le $+6$ change de signe en passant à gauche : $-2y + 6 = -3x$, soit $3x - 2y + 6 = 0$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Trouver d'abord l'équation réduite à partir des deux points lus sur la droite, puis la transformer en équation cartésienne en chassant le dénominateur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]