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QCM : Colinéarité et déterminant

[enonce]
Ce QCM porte sur le déterminant et la colinéarité de vecteurs. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$. Quelle est la valeur de $\det(\vec{u},\vec{v})$ ?
[qcm]
[option]$11$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$-11$[/option]
[option]$-1$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
$\det(\vec{u},\vec{v}) = 5 \times (-1) - 2 \times 3 = -5 - 6 = -11$.[/reponse]
[reponse motif="$11$"]Non.
La formule a été appliquée à l'envers. Le déterminant est $xy' - yx'$ et non $yx' - xy'$. Recalculer : $5 \times (-1) - 2 \times 3$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Les produits ont été additionnés au lieu d'être soustraits : $5 \times (-1) + 2 \times 3 = 1$. La formule du déterminant est $xy' - yx'$, avec un signe $-$.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
Vérifier les produits. Le déterminant est $xy' - yx' = 5 \times (-1) - 2 \times 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La formule du déterminant est $\det(\vec{u},\vec{v}) = xy' - yx'$ avec $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} 4 \\ -6 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$. Que peut-on dire de ces vecteurs ?
[qcm]
[option]non colinéaires car $\det(\vec{u},\vec{v}) = 24$[/option]
[option correct="true"]colinéaires car $\det(\vec{u},\vec{v}) = 0$[/option]
[option]non colinéaires car $\det(\vec{u},\vec{v}) = -24$[/option]
[option]colinéaires car $\vec{u} + \vec{v} = \vec{0}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$\det(\vec{u},\vec{v}) = 4 \times 3 - (-6) \times (-2) = 12 - 12 = 0$.
Le déterminant est nul donc les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.[/reponse]
[reponse motif="non colinéaires car $\det(\vec{u},\vec{v}) = 24$"]Non.
Les deux produits ont été additionnés : $12+12 = 24$. La formule du déterminant utilise une soustraction : $xy' - yx'$.[/reponse]
[reponse motif="non colinéaires car $\det(\vec{u},\vec{v}) = -24$"]Non.
Recalculer le déterminant en appliquant la formule $xy' - yx' = 4 \times 3 - (-6) \times (-2)$.[/reponse]
[reponse motif="colinéaires car $\vec{u} + \vec{v} = \vec{0}$"]Non.
La conclusion est correcte (les vecteurs sont colinéaires), mais la justification est fausse. $\vec{u}+\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} \neq \vec{0}$. Pour justifier la colinéarité, calculer le déterminant.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\det(\vec{u},\vec{v}) = xy' - yx'$. Si le résultat est $0$, les vecteurs sont colinéaires.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A(1 ; 3)$, $B(3 ; 7)$ et $C(5 ; 11)$. Quelle est la valeur de $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ ?
[qcm]
[option]$32$[/option]
[option]$16$[/option]
[option]$-16$[/option]
[option correct="true"]$0$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 4 \\ 8 \end{pmatrix}$.
$\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) = 2 \times 8 - 4 \times 4 = 16-16 = 0$.
Les vecteurs sont colinéaires, donc les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.[/reponse]
[reponse motif="$32$"]Non.
Les produits ont été additionnés : $16+16=32$. La formule du déterminant utilise une soustraction, pas une addition.[/reponse]
[reponse motif="$16$"]Non.
C'est la valeur du premier produit $2 \times 8 = 16$, mais il faut en soustraire le second : $4 \times 4 = 16$.[/reponse]
[reponse motif="$-16$"]Non.
Recalculer en appliquant la formule dans le bon ordre : $2 \times 8 - 4 \times 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis appliquer la formule $\det = xy' - yx'$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 9 \\ k \end{pmatrix}$. Pour quelle valeur de $k$ les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils colinéaires ?
[qcm]
[option]$k = -6$[/option]
[option]$k = 18$[/option]
[option]$k = 3$[/option]
[option correct="true"]$k = 6$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Les vecteurs sont colinéaires si $\det(\vec{u},\vec{v}) = 0$.
$\det(\vec{u},\vec{v}) = 3k - 2 \times 9 = 3k - 18$.
$3k - 18 = 0$ donne $k = 6$.[/reponse]
[reponse motif="$k = -6$"]Non.
Le signe est incorrect. L'équation $3k - 18 = 0$ donne $3k = 18$, soit $k = 6$ (positif).[/reponse]
[reponse motif="$k = 18$"]Non.
L'équation $3k = 18$ a été résolue sans diviser par $3$. Calculer $k = \dfrac{18}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$k = 3$"]Non.
La division a été faite dans le mauvais sens. L'équation $3k = 18$ donne $k = \dfrac{18}{3}$, pas $\dfrac{3}{18}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Poser $\det(\vec{u},\vec{v}) = 0$, soit $3k - 2 \times 9 = 0$, et résoudre l'équation.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]

Points A, B, C et D dans un repère orthonormé

D'après la figure, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ?
[qcm]
[option]non, car $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}) = 8$[/option]
[option correct="true"]oui, car $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}) = 0$[/option]
[option]oui, car $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$[/option]
[option]non, car $\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{CD}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$.
$\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}) = 2 \times 2 - 4 \times 1 = 4-4 = 0$.
Le déterminant est nul donc les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.[/reponse]
[reponse motif="non, car $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}) = 8$"]Non.
Les produits ont été additionnés : $4+4 = 8$. La formule du déterminant utilise une soustraction : $2 \times 2 - 4 \times 1$.[/reponse]
[reponse motif="oui, car $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$"]Non.
La conclusion est correcte (les droites sont parallèles), mais la justification est fausse. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \neq \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$. La bonne justification est que le déterminant est nul.[/reponse]
[reponse motif="non, car $\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{CD}$"]Non.
Deux vecteurs non égaux peuvent tout de même être colinéaires. Le parallélisme se vérifie avec le déterminant, pas avec l'égalité des vecteurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$, puis calculer le déterminant. Si le déterminant est nul, les droites sont parallèles.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A(-1 ; 3)$, $B(2 ; -1)$ et $C(5 ; 1)$. Quelle est la valeur de $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ ?
[qcm]
[option]$-30$[/option]
[option]$-18$[/option]
[option correct="true"]$18$[/option]
[option]$-6$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix}$.
$\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) = 3 \times (-2) - (-4) \times 6 = -6-(-24) = -6+24 = 18$.
Le déterminant n'est pas nul, donc les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.[/reponse]
[reponse motif="$-30$"]Non.
Le signe de l'ordonnée de $\overrightarrow{AB}$ a été oublié dans le calcul. Recalculer : $-(-4) \times 6 = +24$ et non $-4 \times 6 = -24$.[/reponse]
[reponse motif="$-18$"]Non.
La formule a été appliquée à l'envers : $(-4) \times 6 - 3 \times (-2) = -24+6 = -18$. Vérifier l'ordre : c'est $xy' - yx'$.[/reponse]
[reponse motif="$-6$"]Non.
C'est seulement le premier produit $3 \times (-2) = -6$. Il faut en soustraire le second produit : $(-4) \times 6 = -24$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis appliquer $\det = xy' - yx'$ en faisant attention aux signes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Identifier un trapèze par le déterminant

[enonce]
Dans un repère orthonormé $(O ; \vec{i}, \vec{j})$, on considère les points $A(0 ; 0)$, $B(4 ; 6)$, $C(5 ; 2)$ et $D(3 ; -1)$.
On souhaite déterminer la nature du quadrilatère $ABCD$.
[/enonce]

[etape]
Calculer le déterminant $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC})$.
$\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC}) =$ [[det1]]
[math id="det1" attendu="0"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, donc $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC}) = 4 \times 3 - 6 \times 2 = 0$.[/reponse]
[reponse motif="6"]Vérifier l'application de la formule : $\det(\vec{u}, \vec{v}) = x_{\vec{u}} \times y_{\vec{v}} - y_{\vec{u}} \times x_{\vec{v}}$.[/reponse]
[reponse motif="-6"]Le signe est incorrect. Vérifier l'ordre dans la formule du déterminant.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Commencer par calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et de $\overrightarrow{DC}$, puis appliquer la formule du déterminant.[/reponse]
[aide essai="2"]$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 - 0 \\ 6 - 0 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 5 - 3 \\ 2 - (-1) \end{pmatrix}$. Appliquer $\det = x \times y' - y \times x'$.[/aide]
[aide essai="3"]$\det = 4 \times 3 - 6 \times 2$.[/aide]
[/math]
[solution]$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$.
$\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC}) = 4 \times 3 - 6 \times 2 = 12 - 12 = 0$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Le déterminant est nul. Que peut-on en conclure sur les droites $(AB)$ et $(DC)$ ?
[select id="concl1"]
[option correct="true"]Les droites $(AB)$ et $(DC)$ sont parallèles[/option]
[option]Les droites $(AB)$ et $(DC)$ sont perpendiculaires[/option]
[option]Les droites $(AB)$ et $(DC)$ sont sécantes[/option]
[reponse statut="correct"]Oui !
Le déterminant nul signifie que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ sont colinéaires, donc les droites $(AB)$ et $(DC)$ sont parallèles.[/reponse]
[reponse motif="Les droites $(AB)$ et $(DC)$ sont perpendiculaires"]La perpendicularité n'est pas liée au déterminant nul. Un déterminant nul traduit la colinéarité des vecteurs.[/reponse]
[reponse motif="Les droites $(AB)$ et $(DC)$ sont sécantes"]Deux droites dont les vecteurs directeurs sont colinéaires ne peuvent pas être sécantes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Deux vecteurs de déterminant nul sont colinéaires. En déduire la position relative des droites.[/reponse]
[/select]
[aide essai="2"]$\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$ si et seulement si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.[/aide]
[aide essai="3"]Des vecteurs directeurs colinéaires signifient que les droites sont parallèles (ou confondues).[/aide]
[/etape]

[etape]
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ sont colinéaires : il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{DC}$. Donner la valeur de $k$.
$k =$ [[k]]
[math id="k" attendu="2"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix} = 2 \times \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2\,\overrightarrow{DC}$, donc $k = 2$.
Le côté $[AB]$ est deux fois plus long que le côté $[DC]$.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{1}{2}"]C'est le coefficient dans l'autre sens : $\overrightarrow{DC} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Ici on cherche $k$ tel que $\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{DC}$.[/reponse]
[reponse motif="-2"]Les deux vecteurs sont de même sens (coordonnées toutes positives), donc le coefficient est positif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Comparer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ pour trouver le coefficient multiplicateur.[/reponse]
[aide essai="2"]$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$. Quel nombre multiplie chaque coordonnée de $\overrightarrow{DC}$ pour obtenir celles de $\overrightarrow{AB}$ ?[/aide]
[aide essai="3"]$4 = k \times 2$ donne $k = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$.
$\dfrac{4}{2} = 2$ et $\dfrac{6}{3} = 2$, donc $\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{DC}$ et $k = 2$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Tester maintenant l'autre paire de côtés opposés. Calculer $\det(\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{BC})$.
$\det(\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{BC}) =$ [[det2]]
[math id="det2" attendu="-11"]
[reponse statut="correct"]C'est ça !
$\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix}$, donc $\det = 3 \times (-4) - (-1) \times 1 = -12 + 1 = -11 \neq 0$.
Les vecteurs ne sont pas colinéaires : $(AD)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.[/reponse]
[reponse motif="11"]Attention au signe. Vérifier : $3 \times (-4) - (-1) \times 1 = -12 - (-1)$.[/reponse]
[reponse motif="0"]Vérifier les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{BC}$, puis refaire le calcul du déterminant.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{BC}$, puis appliquer la formule du déterminant.[/reponse]
[aide essai="2"]$\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix} 3 - 0 \\ -1 - 0 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 5 - 4 \\ 2 - 6 \end{pmatrix}$.[/aide]
[aide essai="3"]$\det = 3 \times (-4) - (-1) \times 1$.[/aide]
[/math]
[solution]$\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix}$.
$\det(\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{BC}) = 3 \times (-4) - (-1) \times 1 = -12 + 1 = -11 \neq 0$.[/solution]
[/etape]

[etape]
On a montré que $(AB) \parallel (DC)$ avec $\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{DC}$, mais que $(AD)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles. Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ?
[qcm]
[option]$ABCD$ est un parallélogramme[/option]
[option correct="true"]$ABCD$ est un trapèze[/option]
[option]On ne peut pas conclure[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le quadrilatère $ABCD$ possède exactement une paire de côtés opposés parallèles ($(AB) \parallel (DC)$), c'est donc un trapèze de bases $[AB]$ et $[DC]$.
De plus, $\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{DC}$ : la grande base $[AB]$ est deux fois plus longue que la petite base $[DC]$.[/reponse]
[reponse motif="$ABCD$ est un parallélogramme"]Un parallélogramme nécessite que les deux paires de côtés opposés soient parallèles. Or $(AD)$ et $(BC)$ ne le sont pas.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas conclure"]Les résultats obtenus suffisent : une seule paire de côtés parallèles caractérise un type de quadrilatère bien précis.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Colinéarité et déterminant

[enonce]
On considère les points $P(1\,;\,0)$, $Q(3\,;\,1)$, $R(5\,;\,2)$, $S(2\,;\,3)$ et $T(5\,;\,-2)$ placés dans le repère orthonormé ci-dessous.

Repère orthonormé avec les points P, Q, R, S, T

Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Les points $P$, $Q$ et $R$ sont alignés.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\overrightarrow{PQ} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{PR} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$. Le déterminant vaut $2 \times 2 - 1 \times 4 = 0$ : les vecteurs sont colinéaires, donc les trois points sont alignés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour vérifier l'alignement, on calcule le déterminant de $\overrightarrow{PQ}$ et $\overrightarrow{PR}$.
$\det(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR}) = 2 \times 2 - 1 \times 4 = 4 - 4 = 0$.
Le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires et les points $P$, $Q$, $R$ sont alignés.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\det(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR}) = 2 \times 2 - 1 \times 4 = 0$, donc $P$, $Q$ et $R$ sont alignés.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\det\left(\overrightarrow{PQ},\, \overrightarrow{PS}\right) = 7$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$\overrightarrow{PQ} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{PS} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$. Le déterminant vaut $2 \times 3 - 1 \times 1 = 6 - 1 = 5$, et non $7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : $\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - yx'$, c'est une soustraction et non une addition.
$\det(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PS}) = 2 \times 3 - 1 \times 1 = 5$, et non $2 \times 3 + 1 \times 1 = 7$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\det(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PS}) = 2 \times 3 - 1 \times 1 = 5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Les points $P$, $Q$ et $S$ sont alignés.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\det(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PS}) = 5 \neq 0$, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires et les points ne sont pas alignés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Trois points sont alignés si et seulement si le déterminant de deux vecteurs formés par ces points est nul.
$\det(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PS}) = 2 \times 3 - 1 \times 1 = 5 \neq 0$ : les points ne sont pas alignés.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\det(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PS}) = 5 \neq 0$, donc $P$, $Q$ et $S$ ne sont pas alignés.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Les vecteurs $\overrightarrow{PQ}$ et $\overrightarrow{PT}$ ne sont pas colinéaires.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$\overrightarrow{PQ} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{PT} \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$. Le déterminant vaut $2 \times (-2) - 1 \times 4 = -4 - 4 = -8 \neq 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
$\det(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PT}) = 2 \times (-2) - 1 \times 4 = -4 - 4 = -8$.
Le déterminant n'est pas nul, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\det(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PT}) = -8 \neq 0$, donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} -6 \\ 9 \end{pmatrix}$.

Affirmation : $\det(\vec{u},\, \vec{v}) = 36$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\det(\vec{u}, \vec{v}) = 2 \times 9 - (-3) \times (-6) = 18 - 18 = 0$, et non $36$. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont donc colinéaires.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention aux signes dans le produit $(-3) \times (-6)$ : le produit de deux nombres négatifs est positif, donc $(-3) \times (-6) = 18$.
$\det(\vec{u}, \vec{v}) = 2 \times 9 - (-3) \times (-6) = 18 - 18 = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 18 - 18 = 0$. Les vecteurs sont colinéaires ($\vec{v} = -3\vec{u}$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Les vecteurs $\overrightarrow{QT}$ et $\overrightarrow{QS}$ ne sont pas colinéaires.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$\overrightarrow{QT} \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{QS} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$. Le déterminant vaut $2 \times 2 - (-3) \times (-1) = 4 - 3 = 1 \neq 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
$\overrightarrow{QT} \begin{pmatrix} 5-3 \\ -2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{QS} \begin{pmatrix} 2-3 \\ 3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$.
$\det(\overrightarrow{QT}, \overrightarrow{QS}) = 2 \times 2 - (-3) \times (-1) = 4 - 3 = 1 \neq 0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\det(\overrightarrow{QT}, \overrightarrow{QS}) = 4 - 3 = 1 \neq 0$, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.
[/solution]
[/etape]

Droites parallèles et trapèze

Le plan est muni d'un repère orthonormé $ (O~;~\vec{i},~\vec{j}) $. On considère les points $ A(0~;~1) $, $ B(3~;~3) $, $ C(7~;~3) $ et $ D(1~;~-1) $.

  1. Calculer les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{DC} $.
  2. Montrer que les droites $ (AB) $ et $ (DC) $ sont parallèles.
  3. Les droites $ (AD) $ et $ (BC) $ sont-elles parallèles ? Justifier.
  4. En déduire la nature du quadrilatère $ ABCD $.

Corrigé

  1. Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AB} $ sont :

    $ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 - 0 \\ 3 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} $

    Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{DC} $ sont :

    $ \overrightarrow{DC} \begin{pmatrix} 7 - 1 \\ 3 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} $

    Repère orthonormé avec le quadrilatère ABCD

  2. On calcule le déterminant des vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{DC} $ :

    $ \det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC}\right) = 3 \times 4 - 2 \times 6 = 12 - 12 = 0 $

    Le déterminant est nul, donc les vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{DC} $ sont colinéaires.

    Les droites $ (AB) $ et $ (DC) $ sont donc parallèles.

    On peut remarquer que $ \overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{AB} $.

  3. Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AD} $ sont :

    $ \overrightarrow{AD} \begin{pmatrix} 1 - 0 \\ -1 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} $

    Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{BC} $ sont :

    $ \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} 7 - 3 \\ 3 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} $

    On calcule le déterminant :

    $ \det\left(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BC}\right) = 1 \times 0 - (-2) \times 4 = 0 + 8 = 8 \neq 0 $

    Le déterminant n'est pas nul, donc les vecteurs $ \overrightarrow{AD} $ et $ \overrightarrow{BC} $ ne sont pas colinéaires. Les droites $ (AD) $ et $ (BC) $ ne sont pas parallèles.

  4. Le quadrilatère $ ABCD $ possède exactement une paire de côtés parallèles : $ (AB) \parallel (DC) $.

    C'est donc un trapèze de bases $ [AB] $ et $ [DC] $.

→ Pour réviser : Montrer que deux droites sont parallèles avec les coordonnées

Trapèze et vecteurs

Le plan est muni d'un repère orthonormé $ (O~,~\vec{i},~\vec{j}) $. On considère les points $ A(2~;~4), B(5~;~5), C(1~;~1) $ et $ D(7~;~3). $

  1. Faire une figure.
  2. Montrer que le quadrilatère $ ABDC $ est un trapèze.
  3. On note $ E $ le symétrique de $ C $ par rapport à $ A $.

    Déterminer, par le calcul les coordonnées de $ E $.
  4. Montrer que $ B $ est le milieu du segment $ [ED] $.
  5. Soient $ M $ et $ N $ les milieux respectifs des segments $ [AB] $ et $ [CD] $.

    Déterminer les coordonnées de $ M $ et de $ N $.

    En déduire que les points $ E $, $ M $ et $ N $ sont alignés.

Corrigé

  1.  
    $\ $

    trapèze

  2. Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AB} $ sont :

    $ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} $

    $ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 5 - 2 \\ 5 - 4 \end{pmatrix} $

    $ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} $

    De même, les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{CD} $ sont :

    $ \overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} x_D - x_C \\ y_D - y_C \end{pmatrix} $

    $ \overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} 7 - 1 \\ 3 - 1 \end{pmatrix} $

    $ \overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} $

    On calcule le déterminant de $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{CD} $ :

    $ \det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right) = 3 \times 2 - 1 \times 6 = 6 - 6 = 0 $

    Le déterminant est nul donc les vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{CD} $ sont colinéaires et les droites $ (AB) $ et $ (CD) $ sont parallèles.

    Par conséquent, $ ABDC $ est un trapèze.

  3. Notons $ (x_E~;~y_E) $ les coordonnées du point $ E $.

    $ E $ le symétrique de $ C $ par rapport à $ A $, par conséquent $ A $ est le milieu de $ [EC] $.

    Les coordonnées du milieu de $ [EC] $ sont $ \left(\dfrac{x_E+x_C}{2}~;~\dfrac{y_E+y_C}{2}\right) $, c'est à dire $ \left(\dfrac{x_E+1}{2}~;~\dfrac{y_E+1}{2}\right) $.

    Les coordonnées de $ A $ sont $ (2~;~4) $ ; $ A $ est donc le milieu de $ [EC] $ si et seulement si :

    $ \begin{cases} \dfrac{x_E+1}{2}=2 \\~\\ \dfrac{y_E+1}{2}=4\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_E+1=4 \\ y_E+1=8\end{cases} $

    $ \phantom{\begin{cases} \dfrac{x_E+1}{2}=2 \\~\\ \dfrac{y_E+1}{2}=4\end{cases}} \Leftrightarrow \begin{cases} x_E=3 \\ y_E=7\end{cases} $

    Le point $ E $ a donc pour coordonnées $ (3~;~7) $.

    Position de E
  4. Le milieu de $ [ED] $ a pour coordonnées :

    $ \left(\dfrac{x_E+x_D}{2}~;~\dfrac{y_E+y_D}{2}\right) =\left(\dfrac{3+7}{2}~;~\dfrac{7+3}{2}\right) =(5~;~5). $

    Le milieu de $ [ED] $ est donc le point $ B. $
  5. Points alignés

    Les coordonnées du milieu $ M $ de $ [AB] $ sont $ \left(\dfrac{x_A+x_B}{2}~;~\dfrac{y_A+y_B}{2}\right) =\left(\dfrac{7}{2}~;~\dfrac{9}{2}\right). $

    Les coordonnées du milieu $ N $ de $ [CD] $ sont $ \left(\dfrac{x_C+x_D}{2}~;~\dfrac{y_C+y_D}{2}\right) =\left(4~;~2\right). $

    Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{EM} $ sont alors :

    $ \begin{pmatrix} x_M - x_E\\y_M - y_E \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \dfrac{7}{2} - 3\\ \\ \dfrac{9}{2} - 7 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2}\\ \\ - \dfrac{5}{2} \end{pmatrix} $

    et les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{EN} $ : $ \begin{pmatrix} x_N - x_E\\y_N - y_E \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 4 - 3 \\ 2 - 7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ - 5 \end{pmatrix} . $

    On calcule le déterminant de $ \overrightarrow{EM} $ et $ \overrightarrow{EN} $ :

    $ \det\left(\overrightarrow{EM},\overrightarrow{EN}\right) = \dfrac{1}{2} \times ( - 5) - \left( - \dfrac{5}{2}\right) \times 1 = - \dfrac{5}{2} + \dfrac{5}{2} = 0 $

    Le déterminant est nul donc les vecteurs $ \overrightarrow{EM} $ et $ \overrightarrow{EN} $ sont colinéaires et les points $ E, M $ et $ N $ sont alignés.

→ Pour réviser : Calculer les coordonnées du milieu d'un segment