Lier une suite géométrique et la fonction exponentielle

Vrai/Faux : Dérivée et suites liées à l’exponentielle

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse. Certaines questions mobilisent la dérivée, d'autres les suites géométriques liées à l'exponentielle.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \text{e}^{-3x+2}$.

Affirmation : Pour tout réel $x$, $f^{\prime}(x) = -3\,\text{e}^{-3x+2}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On applique la formule $\left(\text{e}^{ax+b}\right)^{\prime} = a\,\text{e}^{ax+b}$ avec $a = -3$ et $b = 2$.
On obtient bien $f^{\prime}(x) = -3\,\text{e}^{-3x+2}$, en conservant le signe négatif du coefficient $a$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la dérivée de $\text{e}^{ax+b}$ est $a\,\text{e}^{ax+b}$, où $a$ est le coefficient de $x$ dans l'exposant, avec son signe.
Ici $a = -3$, donc $f^{\prime}(x) = -3\,\text{e}^{-3x+2}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec $a = -3$ et $b = 2$, la formule $\left(\text{e}^{ax+b}\right)^{\prime} = a\,\text{e}^{ax+b}$ donne $f^{\prime}(x) = -3\,\text{e}^{-3x+2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \text{e}^{-2x+5}$.

Affirmation : La fonction $g$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La dérivée est $g^{\prime}(x) = -2\,\text{e}^{-2x+5}$.
Comme $\text{e}^{-2x+5} > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et $-2 < 0$, le produit est strictement négatif.
Donc $g^{\prime}(x) < 0$ sur $\mathbb{R}$ : $g$ est strictement décroissante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas confondre avec la fonction exponentielle de base, toujours croissante. Pour une fonction $\text{e}^{ax+b}$, le sens de variation dépend du signe de $a$.
Ici $g^{\prime}(x) = -2\,\text{e}^{-2x+5}$ : l'exponentielle est positive, donc $g^{\prime}$ est du signe de $-2$, strictement négatif. La fonction est bien décroissante.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La dérivée $g^{\prime}(x) = -2\,\text{e}^{-2x+5}$ est strictement négative sur $\mathbb{R}$ car $\text{e}^{-2x+5} > 0$ et $-2 < 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout entier naturel $n$, $\left(\text{e}^{2}\right)^{n} = \text{e}^{n+2}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La propriété $\left(\text{e}^{a}\right)^{n} = \text{e}^{na}$ donne une multiplication des exposants, pas une addition.
Avec $a = 2$ : $\left(\text{e}^{2}\right)^{n} = \text{e}^{2n}$, qui n'est égal à $\text{e}^{n+2}$ que si $2n = n + 2$, c'est-à-dire uniquement pour $n = 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de confondre puissance et produit : pour une puissance, les exposants se multiplient ($\left(\text{e}^{a}\right)^{n} = \text{e}^{na}$) ; pour un produit, ils s'additionnent ($\text{e}^{a} \times \text{e}^{n} = \text{e}^{a+n}$).
On a donc $\left(\text{e}^{2}\right)^{n} = \text{e}^{2n}$, et non $\text{e}^{n+2}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La formule $\left(\text{e}^{a}\right)^{n} = \text{e}^{na}$ donne $\left(\text{e}^{2}\right)^{n} = \text{e}^{2n}$, et non $\text{e}^{n+2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = \text{e}^{0{,}5n}$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $0{,}5$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Calcul du rapport :

$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{\text{e}^{0{,}5(n+1)}}{\text{e}^{0{,}5n}} = \text{e}^{0{,}5(n+1) - 0{,}5n} = \text{e}^{0{,}5} = \sqrt{\text{e}}$

La suite est bien géométrique, mais de raison $\text{e}^{0{,}5} = \sqrt{\text{e}} \approx 1{,}649$, et non $0{,}5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : dans $u_n = \text{e}^{an}$, la raison de la suite géométrique est $\text{e}^{a}$, et pas $a$.
Ici $a = 0{,}5$, donc la raison est $\text{e}^{0{,}5} = \sqrt{\text{e}} \approx 1{,}649$. La suite est bien géométrique, mais sa raison n'est pas $0{,}5$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La suite $(u_n)$ est géométrique, mais de raison $\text{e}^{0{,}5} = \sqrt{\text{e}}$, pas $0{,}5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = 3\,\text{e}^{-n}$.

Affirmation : La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{\text{e}}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Calcul du rapport :

$\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = \dfrac{3\,\text{e}^{-(n+1)}}{3\,\text{e}^{-n}} = \text{e}^{-(n+1) - (-n)} = \text{e}^{-1} = \dfrac{1}{\text{e}}$

Ce rapport est constant, donc $(v_n)$ est géométrique de raison $\text{e}^{-1} = \dfrac{1}{\text{e}}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le coefficient multiplicatif $3$ n'influence pas la raison : il se simplifie dans le rapport $v_{n+1}/v_n$.
Le rapport vaut $\text{e}^{-(n+1)-(-n)} = \text{e}^{-1} = \dfrac{1}{\text{e}}$, donc la suite est bien géométrique de raison $\dfrac{1}{\text{e}}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le calcul $v_{n+1}/v_n = \text{e}^{-1} = \dfrac{1}{\text{e}}$ montre que $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{\text{e}}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = x\,\text{e}^{x}$.

Affirmation : Pour tout réel $x$, $h^{\prime}(x) = \text{e}^{x}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La fonction $h$ est un produit $h = uv$ avec $u(x) = x$ et $v(x) = \text{e}^{x}$. La formule de dérivation du produit donne :

$h^{\prime}(x) = u^{\prime}(x)v(x) + u(x)v^{\prime}(x) = 1 \times \text{e}^{x} + x \times \text{e}^{x} = (1 + x)\,\text{e}^{x}$

La dérivée $h^{\prime}(x) = (1+x)\,\text{e}^{x}$ n'est pas égale à $\text{e}^{x}$ (sauf ponctuellement en $x = 0$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège classique est d'oublier un des deux termes de la dérivée d'un produit : $(uv)^{\prime} = u^{\prime}v + uv^{\prime}$ donne deux termes.
Avec $u(x) = x$ et $v(x) = \text{e}^{x}$ : $h^{\prime}(x) = 1 \times \text{e}^{x} + x \times \text{e}^{x} = (1+x)\,\text{e}^{x}$, pas simplement $\text{e}^{x}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. En appliquant la dérivée d'un produit : $h^{\prime}(x) = 1 \times \text{e}^{x} + x \times \text{e}^{x} = (1+x)\,\text{e}^{x}$.
[/solution]
[/etape]

Modélisation par une fonction exponentielle

Le maire d'une ville française a effectué un recensement de la population de sa municipalité pendant 7 ans.
Les données recueillies sont présentées dans le tableau ci-dessous :

Année	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019
Rang	0	1	2	3	4	5	6
Habitants	2 502	2 475	2 452	2 430	2 398	2 378	2 351

Dans la première partie de l'exercice, on modélisera le nombre d'habitants à l'aide d'une suite géométrique et dans la seconde partie, on utilisera une fonction exponentielle.

Partie 1 : Modélisation à l'aide d'une suite

Calculer le pourcentage d'évolution de la population de la ville entre 2013 et 2014, entre 2014 et 2015, entre 2015 et 2016 et entre 2018 et 2019.
Par la suite on estimera que la population diminue de 1% par an.

On note $ p_n $ le nombre d'habitants l'année 2013+$ n $.

Montrer que la suite $ (p_n) $ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
À l'aide de la suite $ (p_n) $ estimer la population de la ville en 2030 en supposant que la diminution de la population s'effectue au même rythme pendant les années à venir.

Partie 2 : Modélisation à l'aide d'une fonction exponentielle

On cherche à modéliser le nombre d'habitants à l'aide de la fonction $ f $ définie sur $ \left[ 0~;~ +\infty \right[ $ par :

$ f~: \ t \longmapsto 2500\ \text{e}^{ - 0{,}01t } $

où $ t $ désigne la durée écoulée, en année, depuis 2013.

Montrer que la fonction $ f $ est strictement décroissante sur l'intervalle $ \left[ 0~;~ +\infty \right[ $.
Compléter la fonction Python ci-dessous afin qu'elle retourne les images de la variable $ t $ par la fonction $ f $ :
```
def f(t) :
    return ...
```
À l'aide d'une boucle, écrire un script Python qui retourne les images par $ f $ des entiers compris entre 0 et 6.
Comparer aux données de l'énoncé.
Cette modélisation vous semble-t-elle valable ?
Le maire souhaite prévoir en quelle année le nombre d'habitants de sa ville passera sous la barre des 2 200 d'après ce modèle.

En utilisant la fonction précédente, écrire un programme Python qui répond à cette question.

Corrigé

Partie 1

Le pourcentage d'évolution de la population entre 2013 et 2014 est (voir formule de calcul d'une évolution) :

$ t_1 = \dfrac{ p_1 - p_0 }{ p_0 } = \dfrac{ 2\,475 - 2\,502 }{ 2\,502 } \approx - 0{,}0108 \approx \dfrac{ - 1{,}08 }{ 100 } = - 1{,}08\% $

De même, le pourcentage d'évolution entre 2014 et 2015 est :

$ t_2 = \dfrac{ p_2 - p_1}{ p_1 } = \dfrac{ 2\,452 - 2\,475 }{ 2\,475 } \approx - 0{,}0093 \approx \dfrac{ - 0{,}93 }{ 100 } = - 0{,}93\% $

entre 2015 et 2016 :

$ t_3 = \dfrac{ p_3 - p_2}{ p_2 } = \dfrac{ 2\,430 - 2\,452 }{ 2\,452 } \approx - 0{,}0090 \approx \dfrac{ - 0{,}90 }{ 100 } = - 0{,}90\% $

enfin, entre 2018 et 2019 :

$ t_6 = \dfrac{ p_6 - p_5}{ p_5 } = \dfrac{ 2\,351 - 2\,378 }{ 2\,378 } \approx - 0{,}0114 \approx \dfrac{ - 1{,}14 }{ 100 } = - 1{,}14\% $

On remarque que, dans tous les cas, la diminution est proche de 1%.
Le coefficient multiplicateur qui fait passer de $ p_n $ à $ p_{n+1} $ correspondant à une baisse de 1% est (voir coefficient multiplicateur) :

$ CM=1 - \dfrac{ 1 }{ 100 } =0{,}99 $

On a donc, pour tout entier naturel $ n $ :

$ p_{n+1} = 0{,}99p_n $

La suite $ \left( p_n \right) $ est donc une suite géométrique de raison $ q = 0{,}99. $ Son premier terme est $ p_0=2502. $
La population de la ville à l'année de rang $ n $ est :

$ p_n=p_0\ q^n = 2502 \times 0{,}99^n $

L'année 2030 correspond au rang 17. La population en 2030 peut donc, d'après ce modèle, être estimée à :

$ p_{ 17 } = 2502 \times 0{,}99^{ 17 } \approx 2109. $

Partie 2

$ f $ est dérivable sur $ \left[ 0~;~ +\infty \right[ $. Pour déterminer le sens de variation de $ f $, on calcule sa dérivée $ f^{\prime} $.
Sachant que la dérivée de la fonction $ t \longmapsto \text{e}^{ at } $ est la fonction $ t \longmapsto a\ \text{e}^{ at } $ on obtient :

$ f^{\prime}(t)=2500 \times (-0{,}01) \times \text{e}^{-0{,}01t} = -25\,\text{e}^{-0{,}01t} $

$ - 25 $ est strictement négatif tandis que $ \text{e}^{ - 0{,}01t } $ est strictement positif (car la fonction exponentielle ne prend que des valeurs strictement positives) donc $ f^{\prime}(t) < 0 $ sur $ \left[ 0~;~ +\infty \right[ $.

Par conséquent, la fonction $ f $ est strictement décroissante sur l'intervalle $ \left[ 0~;~ +\infty \right[ $.
La fonction Python se définit simplement comme suit :
```
def f(t) :
    return 2500 * exp(-0.01 * t)
```
On doit toutefois importer le module math qui contient la fonction exp ; par exemple :
```
from math import exp
def f(t) :
    return 2500 * exp(-0.01 * t)
```
Comme on connait le nombre d'itérations, on peut employer une boucle for pour afficher les images des 7 premières valeurs entières de $ t $ :
```
from math import exp
def f(t) :
    return 2500 * exp(-0.01 * t)

for t in range(7) : 
    print(f(t))
```
On obtient le résultat suivant :
```
2500.0
2475.1245843729203
2450.4966832668883
2426.1138338712703
2401.973597880808
2378.073561251785
2354.411333960622
```
Ces valeurs sont suffisamment proches de celles du tableau donné dans l'énoncé pour considérer que cette modélisation est satisfaisante.
On utilise une boucle while pour répondre à la question.
On reste dans la boucle tant que le nombre d'habitants est supérieur ou égal à 2 200 et on sort de la boucle dès que ce nombre devient strictement inférieur à 2 200.

Il faut penser à initialiser la variable t avant la boucle et à l’incrémenter à l'intérieur de la boucle (voir : boucles while). On peut ensuite afficher la valeur de t à la sortie de la boucle :
```
from math import exp
def f(t) :
    return 2500 * exp(-0.01 * t)

t=0
while f(t) >= 2200: 
    t=t+1
print(t)
```
Ce programme affiche la valeur 13.

D'après ce modèle, la population passera sous la barre des 2 200 l'année de rang 13 c'est à dire en 2013+13 = 2026.

Pour réviser : Lier une suite géométrique et la fonction exponentielle