[enonce]
Une salle d'escalade propose deux formules pour ses adhérents.

• Formule Liberté : $ 30 $ euros de frais d'inscription, puis $ 12 $ euros par séance.
• Formule Confort : aucun frais d'inscription, mais $ 18 $ euros par séance.

On souhaite déterminer le nombre de séances pour lequel les deux formules reviennent au même prix total.
[/enonce]

[etape]
Pour traduire ce problème par une équation, il faut d'abord décider ce que représente l'inconnue $ x $. Que choisir ?
[qcm]
[option]Le prix total payé avec la formule Liberté[/option]
[option correct="true"]Le nombre de séances[/option]
[option]Le prix d'une séance[/option]
[option]La différence de prix entre les deux formules[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La grandeur cherchée est le nombre de séances : c'est elle que l'on appelle $ x $.
Une fois ce choix fait, les deux prix totaux pourront s'exprimer en fonction de $ x $.[/reponse]
[reponse motif="Le prix total payé avec la formule Liberté"]Ce prix dépend justement de la grandeur cherchée.
On choisit comme inconnue ce que le problème demande de déterminer.[/reponse]
[reponse motif="Le prix d'une séance"]Les prix par séance sont déjà donnés dans l'énoncé : ce ne sont pas des inconnues.
Relire la question posée pour repérer la grandeur réellement cherchée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Repérer dans la dernière phrase de l'énoncé la grandeur que l'on cherche à déterminer.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On note donc $ x $ le nombre de séances. Quelle expression représente le prix total payé avec la formule Liberté ?
[qcm]
[option]$ 30x + 12 $[/option]
[option correct="true"]$ 12x + 30 $[/option]
[option]$ 42x $[/option]
[option]$ 12 + 30 $[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Chaque séance coûte $ 12 $ euros, donc $ x $ séances coûtent $ 12x $ euros. On ajoute une seule fois les $ 30 $ euros d'inscription.[/reponse]
[reponse motif="$ 30x + 12 $"]Attention à ne pas inverser les deux nombres.
Lequel se paie une seule fois, et lequel se paie à chaque séance ?[/reponse]
[reponse motif="$ 42x $"]Les frais d'inscription ne se paient pas à chaque séance.
Distinguer ce qui dépend du nombre de séances de ce qui est payé une seule fois.[/reponse]
[reponse motif="$ 12 + 30 $"]Cette expression ne contient pas $ x $ : elle ne tient pas compte du nombre de séances.
Comment écrire le prix de $ x $ séances à $ 12 $ euros l'unité ?[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Séparer ce qui est payé une seule fois de ce qui est payé à chaque séance, puis exprimer ce dernier en fonction de $ x $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On a établi que la formule Liberté coûte $ 12x + 30 $ euros.

Écrire l'équation qui traduit le fait que les deux formules reviennent au même prix : [[eq]]
[math id="eq" attendu="12x+30=18x" format="strict" compare="string"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les deux prix sont égaux, ce qui se traduit par $ 12x + 30 = 18x $.[/reponse]
[reponse motif="18x=12x+30"]C'est correct au fond : tu as juste écrit les deux membres dans l'autre sens, ce qui revient au même.
Pour la suite, garde la forme avec $ 12x + 30 $ à gauche.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le mot « même prix » signifie que les deux expressions sont égales.
Placer un signe $ = $ entre les deux prix totaux écrits ci-dessus.[/reponse]
[aide essai="2"]Une égalité de prix s'écrit avec le signe $ = $ entre les deux expressions du prix total.[/aide]
[aide essai="3"]À gauche, le prix de la formule Liberté ; à droite, celui de la formule Confort.[/aide]
[/math]
[solution]Les deux prix totaux sont égaux : $ 12x + 30 = 18x $.[/solution]
[/etape]

[etape]
On regroupe les termes en $ x $ d'un même côté. En retranchant $ 12x $ aux deux membres, à quelle égalité aboutit-on ?
[qcm]
[option correct="true"]$ 30 = 6x $[/option]
[option]$ 30 = 30x $[/option]
[option]$ 30 = 6 $[/option]
[option]$ -30 = 6x $[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
À gauche, $ 12x - 12x $ disparaît et il reste $ 30 $. À droite, $ 18x - 12x = 6x $.[/reponse]
[reponse motif="$ 30 = 30x $"]Pour retrancher $ 12x $, on calcule $ 18x - 12x $, on n'additionne pas les coefficients.
Recalculer $ 18 - 12 $.[/reponse]
[reponse motif="$ 30 = 6 $"]Le terme de droite contient $ x $ : il ne faut pas l'oublier en écrivant le résultat.
Que devient $ 18x - 12x $ ?[/reponse]
[reponse motif="$ -30 = 6x $"]Le terme $ 30 $ reste à gauche sans changer de signe, car on ne le déplace pas.
On retranche seulement $ 12x $, pas $ 30 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Retrancher $ 12x $ à chaque membre : le terme en $ x $ disparaît à gauche et se réduit à droite.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
L'égalité est maintenant $ 30 = 6x $.

Résoudre cette équation : $ x = $ [[sol]]
[math id="sol" attendu="5"]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
En divisant les deux membres par $ 6 $, on obtient $ x = \dfrac{30}{6} = 5 $.[/reponse]
[reponse motif="24"]Ici on ne soustrait pas $ 6 $ : le $ 6 $ multiplie $ x $.
Quelle opération annule une multiplication par $ 6 $ ?[/reponse]
[reponse motif="180"]On cherche à isoler $ x $, donc on divise par $ 6 $ au lieu de multiplier.
Reprendre en divisant les deux membres par $ 6 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le $ 6 $ est multiplié par $ x $ : pour isoler $ x $, diviser les deux membres par $ 6 $.[/reponse]
[aide essai="2"]Pour isoler $ x $ dans $ 6x $, l'opération inverse de la multiplication est la division.[/aide]
[aide essai="3"]Calculer $ \dfrac{30}{6} $.[/aide]
[/math]
[solution]On divise les deux membres par $ 6 $ : $ x = \dfrac{30}{6} = 5 $.[/solution]
[/etape]

[etape]
On a trouvé $ x = 5 $. Pour répondre vraiment au problème, calculer le prix total payé pour ce nombre de séances (en euros) : [[prix]]
[math id="prix" attendu="90"]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Avec la formule Confort : $ 18 \times 5 = 90 $ euros. Avec la formule Liberté : $ 12 \times 5 + 30 = 60 + 30 = 90 $ euros.
Les deux formules reviennent bien au même prix au bout de $ 5 $ séances, pour $ 90 $ euros.[/reponse]
[reponse motif="5"]Le nombre $ 5 $ est le nombre de séances, pas le prix demandé.
Remplacer $ x $ par $ 5 $ dans l'un des deux prix totaux.[/reponse]
[reponse motif="60"]Avec la formule Liberté, il ne faut pas oublier d'ajouter les frais d'inscription après avoir calculé le prix des séances.
Reprendre en ajoutant les $ 30 $ euros.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Remplacer $ x $ par $ 5 $ dans l'une des deux expressions du prix total, par exemple $ 18x $.[/reponse]
[aide essai="2"]Le prix cherché s'obtient en remplaçant $ x $ par $ 5 $ dans $ 18x $ (ou dans $ 12x + 30 $).[/aide]
[aide essai="3"]Calculer $ 18 \times 5 $, puis vérifier avec $ 12 \times 5 + 30 $.[/aide]
[/math]
[solution]Pour $ x = 5 $ séances, le prix total est $ 18 \times 5 = 90 $ euros (et $ 12 \times 5 + 30 = 90 $ euros pour l'autre formule). Les deux formules reviennent au même prix, $ 90 $ euros, au bout de $ 5 $ séances.[/solution]
[/etape]

Un jardinier souhaite délimiter un potager rectangulaire. Il dispose de $ 76 $ m de grillage qu'il veut utiliser entièrement pour clôturer le tour du potager. La longueur du potager doit mesurer $ 8 $ m de plus que le double de sa largeur.

1. On note $ x $ la largeur du potager (en mètres). Exprimer en fonction de $ x $ :

   1. la longueur du potager ;
   2. le périmètre du potager.
2. Écrire l'équation traduisant le fait que ce périmètre est égal à $ 76 $ m.
3. Résoudre cette équation.
4. En déduire la largeur, la longueur, puis l'aire du potager.
5. Le jardinier compare avec un autre potager carré ayant le même périmètre. Quelle serait la longueur du côté de ce carré ? Son aire est-elle plus grande ou plus petite que celle du potager rectangulaire ?

Pour son téléphone portable, Marine hésite entre deux forfaits.

• Forfait A : $ 28 $ € par mois, sans limite d'appels.
• Forfait B : $ 15 $ € par mois, plus $ 0{,}50 $ € par minute d'appel passé.

1. Marine prévoit de passer $ 20 $ minutes d'appels dans le mois.

   1. Quel est le prix du forfait A ?
   2. Quel est le prix du forfait B ?
   3. Quel forfait est le moins cher pour cette consommation ?
2. Mêmes questions pour $ 40 $ minutes d'appels dans le mois.

3. On note $ x $ le nombre de minutes d'appels dans le mois.

   1. Exprimer en fonction de $ x $ le prix payé avec le forfait B.
   2. Écrire l'équation qui traduit le fait que les deux forfaits ont le même prix.
4. Résoudre cette équation et interpréter le résultat.

Maxime, Léa et Tom sont trois cousins. Léa a $ 4 $ ans de plus que Tom. Maxime a le triple de l'âge de Tom. À eux trois, ils ont $ 89 $ ans.

1. On note $ x $ l'âge de Tom (en années). Exprimer en fonction de $ x $ :

   1. l'âge de Léa ;
   2. l'âge de Maxime ;
   3. la somme des trois âges.
2. Écrire l'équation qui traduit le fait que la somme des trois âges est $ 89 $ ans.
3. Résoudre cette équation.
4. En déduire l'âge de chaque cousin et vérifier que la somme vaut bien $ 89 $.

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur la mise en équation d'un énoncé, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : La phrase « le double de $x$, diminué de $7$, est égal à $11$ » se traduit par l'équation $2x - 7 = 11$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
« Le double de $x$ » signifie $2x$, « diminué de $7$ » signifie $-7$, « est égal à $11$ » donne le second membre. L'équation est bien $2x - 7 = 11$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Décomposer la phrase : « le double de $x$ » donne $2x$, « diminué de $7$ » donne $2x - 7$, « est égal à $11$ » donne le signe $=$ et le second membre.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La traduction littérale donne $2x - 7 = 11$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'expression « le triple de la somme de $x$ et de $4$ » se traduit par $3x + 4$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
« La somme de $x$ et de $4$ » s'écrit $(x + 4)$ entre parenthèses ; « le triple » multiplie cette somme entière par $3$. On obtient $3(x + 4)$, c'est-à-dire $3x + 12$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Confusion sur l'ordre des opérations : « le triple de la somme » porte sur la somme complète, donc $3(x + 4)$. L'expression $3x + 4$ correspondrait à « le triple de $x$, augmenté de $4$ ».[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La traduction correcte est $3(x + 4) = 3x + 12$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pierre a $x$ ans et son frère a $5$ ans de moins. La phrase « la somme de leurs âges vaut $27$ ans » se traduit par l'équation $x + (x - 5) = 27$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'âge du frère est $x - 5$. La somme des deux âges est $x + (x - 5)$, qui vaut $27$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
« $5$ ans de moins » se traduit par $x - 5$. La somme des âges est $x + (x - 5)$, et l'énoncé dit que cette somme vaut $27$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'âge du frère est $x - 5$ et la somme s'écrit bien $x + (x - 5) = 27$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le périmètre d'un carré de côté $x + 1$ est $4x + 1$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le périmètre d'un carré est $4 \times \text{côté}$, soit $4(x + 1) = 4x + 4$. La distribution doit porter sur les deux termes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le périmètre vaut $4 \times (x + 1)$. La distribution donne $4x + 4$, et non $4x + 1$ : il ne faut pas oublier de multiplier le second terme.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le périmètre est $4(x + 1) = 4x + 4$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'expression « le quart de $x$ » se traduit par $\dfrac{x}{4}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
« Le quart de $x$ » signifie « $x$ divisé en $4$ parts égales », ce qui s'écrit $\dfrac{x}{4}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
« Le quart de » signifie « divisé par $4$ ». L'expression correspondante est bien $\dfrac{x}{4}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. « Le quart de $x$ » s'écrit $\dfrac{x}{4}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $x + 5 = x + 5$ n'a aucune solution.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Cette équation est vérifiée pour toute valeur de $x$ : les deux membres sont identiques. L'équation a donc une infinité de solutions, et non aucune.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Les deux membres sont identiques quel que soit $x$. L'équation est toujours vraie : elle a une infinité de solutions.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'équation est vérifiée pour toute valeur de $x$ : elle a une infinité de solutions.
[/solution]
[/etape]