[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : théorèmes de comparaison, théorème des gendarmes, croissances comparées et composition. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ une fonction telle que $f(x) \geqslant x^{2}$ pour tout $x \geqslant 0$. On peut alors affirmer que :
[qcm]
[option correct="true"]$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$[/option]
[option]$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$[/option]
[option]$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0$[/option]
[option]on ne peut pas conclure[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On utilise le théorème de comparaison : si $f(x) \geqslant g(x)$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$, alors $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. Ici $g(x) = x^{2}$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} x^{2} = +\infty$, donc $f$ tend vers $+\infty$.[/reponse]
[reponse motif="$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$"]Non.
$f(x) \geqslant x^{2} \geqslant 0$ : la fonction est minorée par une quantité positive. Sa limite ne peut pas être $-\infty$.[/reponse]
[reponse motif="$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0$"]Non.
$f$ est minorée par $x^{2}$ qui tend vers $+\infty$. Une fonction supérieure à une quantité qui tend vers l'infini ne peut pas tendre vers $0$.[/reponse]
[reponse motif="on ne peut pas conclure"]Non.
On dispose d'une minoration par $x^{2}$ qui tend vers $+\infty$. Le théorème de comparaison s'applique et permet de conclure.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Théorème de comparaison : si $f(x) \geqslant g(x)$ et $g(x) \to +\infty$, alors $f(x) \to +\infty$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour tout $x > 0$, on a $-\dfrac{1}{x} \leqslant g(x) \leqslant \dfrac{1}{x}$. Alors $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)$ vaut :
[qcm]
[option]$+\infty$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]$0$[/option]
[option]on ne peut pas conclure[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On applique le théorème des gendarmes :
$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(-\dfrac{1}{x}\right) = 0$.
Comme $-\dfrac{1}{x} \leqslant g(x) \leqslant \dfrac{1}{x}$ et que les deux bornes ont la même limite $0$, on conclut $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$+\infty$"]Non.
$g(x)$ est encadré par deux fonctions qui tendent vers $0$. La fonction $g$ ne peut donc pas diverger.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
La moyenne des bornes n'est pas une formule valide pour une limite. Ici les deux bornes tendent vers la même valeur ($0$), donc $g$ tend vers cette valeur commune.[/reponse]
[reponse motif="on ne peut pas conclure"]Non.
On a un encadrement par deux fonctions qui ont la même limite : c'est exactement le cadre du théorème des gendarmes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Théorème des gendarmes : si $u(x) \leqslant g(x) \leqslant v(x)$ et $u(x), v(x) \to l$, alors $g(x) \to l$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x}$ vaut :
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option]n'existe pas car $\sin$ oscille[/option]
[option correct="true"]$0$[/option]
[option]on ne peut pas conclure[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Pour tout $x > 0$, on utilise $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$, donc :
$-\dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{\sin x}{x} \leqslant \dfrac{1}{x}$.
Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(-\dfrac{1}{x}\right) = 0$. Par le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x} = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
La limite $\dfrac{\sin x}{x} \to 1$ existe en $0$ (limite classique du nombre dérivé), pas en $+\infty$. À ne pas confondre.[/reponse]
[reponse motif="n'existe pas car $\sin$ oscille"]Non.
$\sin x$ oscille bien entre $-1$ et $1$, mais le facteur $\dfrac{1}{x}$ écrase ces oscillations vers $0$. Une oscillation amortie peut très bien admettre une limite.[/reponse]
[reponse motif="on ne peut pas conclure"]Non.
On dispose d'un encadrement classique grâce à $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$. Le théorème des gendarmes s'applique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Encadrer $\dfrac{\sin x}{x}$ entre $-\dfrac{1}{x}$ et $\dfrac{1}{x}$, qui tendent toutes deux vers $0$, et appliquer les gendarmes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^{x}}{x^{3}}$ vaut :
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$+\infty$[/option]
[option]forme indéterminée sans solution[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On a une forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$. C'est un cas typique de croissance comparée : pour tout entier naturel $n$, $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^{x}}{x^{n}} = +\infty$. Avec $n = 3$, la limite vaut $+\infty$. L'exponentielle « l'emporte » sur toute puissance de $x$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
La limite $\dfrac{x^{3}}{\text{e}^{x}} \to 0$ est correcte (le polynôme est dominé par l'exponentielle), mais ici la fraction est inversée : c'est $\dfrac{\text{e}^{x}}{x^{3}}$, qui tend vers l'infini.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$\text{e}^{x}$ et $x^{3}$ tendent tous deux vers $+\infty$, mais à des vitesses très différentes. Le rapport ne tend pas vers une constante, il diverge.[/reponse]
[reponse motif="forme indéterminée sans solution"]Non.
La forme est indéterminée au départ, mais la croissance comparée la lève : l'exponentielle l'emporte toujours sur tout polynôme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Croissance comparée : pour tout entier $n \geqslant 0$, $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^{x}}{x^{n}} = +\infty$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$\lim\limits_{x \to -\infty} x^{2} \text{e}^{x}$ vaut :
[qcm]
[option]$+\infty$[/option]
[option]$-\infty$[/option]
[option correct="true"]$0$[/option]
[option]forme indéterminée sans solution[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Forme indéterminée $\infty \times 0$ (car $x^{2} \to +\infty$ et $\text{e}^{x} \to 0$ en $-\infty$). C'est un cas direct de croissance comparée : pour tout entier $n$, $\lim\limits_{x \to -\infty} x^{n} \text{e}^{x} = 0$. L'exponentielle écrase la puissance de $x$.[/reponse]
[reponse motif="$+\infty$"]Non.
$\text{e}^{x} \to 0$ en $-\infty$ très rapidement, plus vite que $x^{2} \to +\infty$. Le produit s'écrase vers $0$, il ne diverge pas.[/reponse]
[reponse motif="$-\infty$"]Non.
$x^{2} \geqslant 0$ et $\text{e}^{x} > 0$ : le produit reste positif. Sa limite ne peut pas être négative.[/reponse]
[reponse motif="forme indéterminée sans solution"]Non.
La forme est indéterminée au départ ($\infty \times 0$), mais la croissance comparée donne directement la limite : $\text{e}^{x}$ écrase toute puissance.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Croissance comparée en $-\infty$ : pour tout entier $n$, $\lim\limits_{x \to -\infty} x^{n} \text{e}^{x} = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On pose $X = x^{2} + 1$. Alors $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x^{2} + 1}$ vaut :
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option]$0$[/option]
[option correct="true"]$+\infty$[/option]
[option]$\sqrt{1}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On applique le théorème de composition. Avec $X = x^{2} + 1$ :
$\lim\limits_{x \to +\infty} X = \lim\limits_{x \to +\infty} (x^{2} + 1) = +\infty$.
Puis $\lim\limits_{X \to +\infty} \sqrt{X} = +\infty$. Par composition, $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x^{2} + 1} = +\infty$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$\sqrt{1} = 1$ correspond à la valeur en $x = 0$, pas à la limite en $+\infty$. Quand $x$ grandit, $x^{2} + 1$ explose et sa racine aussi.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
$x^{2} + 1$ ne tend pas vers $0$ en $+\infty$ : c'est l'inverse, il croît sans borne. Sa racine carrée croît également.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{1}$"]Non.
$\sqrt{1} = 1$ : même réponse que « $1$ ». La constante $+1$ devient négligeable devant $x^{2}$ quand $x$ grandit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Composition : $X = x^{2} + 1 \to +\infty$ quand $x \to +\infty$, puis $\sqrt{X} \to +\infty$ quand $X \to +\infty$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]