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Composition d’une urne à partir des probabilités

Une urne opaque contient $ 60 $ boules indiscernables au toucher, de trois couleurs : rouges, vertes et bleues. On tire au hasard une boule de l'urne et on regarde sa couleur.

On sait que :

  • la probabilité de tirer une boule rouge vaut $ \dfrac{2}{5} $ ;
  • la probabilité de tirer une boule verte vaut $ 25\,\% $.
  1. Combien de boules rouges contient l'urne ?
  2. Combien de boules vertes contient l'urne ?
  3. Calculer la probabilité de tirer une boule bleue. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible, puis en pourcentage.
  4. En déduire le nombre de boules bleues de l'urne. Vérifier la cohérence avec la composition totale.

  5. On note $ R $ l'événement « Tirer une boule rouge » et $ V $ l'événement « Tirer une boule verte ».

    1. Les événements $ R $ et $ V $ sont-ils incompatibles ? Justifier.
    2. Calculer $ P(R \text{ ou } V) $ de deux manières différentes.

Corrigé

  1. Les boules sont indiscernables au toucher : les $ 60 $ issues sont équiprobables, donc le nombre de boules rouges est égal à $ 60 \times P(\text{rouge}) $.
    $ 60 \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{60 \times 2}{5} = \dfrac{120}{5} = 24 $
    L'urne contient $ 24 $ boules rouges.
  2. De la même manière, le nombre de boules vertes vaut :
    $ 60 \times 25\,\% = 60 \times 0{,}25 = 15 $
    L'urne contient $ 15 $ boules vertes.
  3. La somme des probabilités des trois couleurs vaut $ 1 $. Avec $ P(\text{rouge}) = \dfrac{2}{5} $ et $ P(\text{verte}) = \dfrac{1}{4} $ :
    $ P(\text{bleue}) = 1 - \dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{4} $
    On réduit au même dénominateur $ 20 $ :
    $ P(\text{bleue}) = \dfrac{20}{20} - \dfrac{8}{20} - \dfrac{5}{20} = \dfrac{7}{20} $
    Cette fraction est déjà irréductible. Sous forme de pourcentage : $ P(\text{bleue}) = \dfrac{35}{100} = 35\,\% $.
    La probabilité de tirer une boule bleue est $\mathbf{\dfrac{7}{20}}$, soit $\mathbf{35\,\%}$.
  4. Le nombre de boules bleues vaut :
    $ 60 \times \dfrac{7}{20} = \dfrac{60 \times 7}{20} = \dfrac{420}{20} = 21 $
    L'urne contient $ 21 $ boules bleues.
    Vérification : $ 24 + 15 + 21 = 60 $, ce qui correspond bien au nombre total de boules.
    1. Une boule tirée a une seule couleur : elle ne peut pas être à la fois rouge et verte. Les événements $ R $ et $ V $ sont donc incompatibles.

    2. Première méthode (somme des probabilités, événements incompatibles) :
      $ P(R \text{ ou } V) = P(R) + P(V) = \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{20} + \dfrac{5}{20} = \dfrac{13}{20} $

      Deuxième méthode (événement contraire) : « Tirer une boule rouge ou verte » est l'événement contraire de « Tirer une boule bleue ».
      $ P(R \text{ ou } V) = 1 - P(\text{bleue}) = 1 - \dfrac{7}{20} = \dfrac{13}{20} $

      Les deux méthodes donnent le même résultat : $ P(R \text{ ou } V)$ = $\mathbf{\dfrac{13}{20}}$.

Pour réviser : Calculer la probabilité d'un événement.

Compléter un tableau de probabilités

Un confiseur fabrique des bonbons de quatre parfums : citron, fraise, orange et menthe. On prend un bonbon au hasard dans un grand sac et on regarde son parfum. Les probabilités de chaque parfum sont données dans le tableau ci-dessous, mais celle d'obtenir un bonbon à l'orange a été effacée.

Parfum Citron Fraise Orange Menthe
Probabilité 0,15 0,32 ? 0,2
  1. Calculer la probabilité d'obtenir un bonbon à l'orange.
  2. On considère l'événement A : « Obtenir un bonbon au citron ou à la fraise ». Calculer $ P(A) $ et donner le résultat sous forme décimale, puis sous forme de pourcentage.
  3. Décrire par une phrase l'événement contraire $ \overline{A} $ et calculer sa probabilité.
  4. Le sac contient $ 200 $ bonbons en tout. Estimer le nombre de bonbons à l'orange qu'il contient.

Corrigé

  1. La somme des probabilités de toutes les issues est égale à $ 1 $. On note $ p $ la probabilité d'obtenir un bonbon à l'orange.
    $ 0{,}15 + 0{,}32 + p + 0{,}2 = 1 $
    $ 0{,}67 + p = 1 $
    $ p = 1 - 0{,}67 = 0{,}33 $
    La probabilité d'obtenir un bonbon à l'orange est $\mathbf{0{,}33}$.
  2. Les événements « Obtenir un bonbon au citron » et « Obtenir un bonbon à la fraise » sont incompatibles (un bonbon n'a qu'un seul parfum). La probabilité que l'un ou l'autre se réalise est donc la somme des deux probabilités.
    $ P(A) = 0{,}15 + 0{,}32 = 0{,}47 $
    Sous forme de pourcentage : $ P(A) = 47\,\% $.
    La probabilité d'obtenir un bonbon au citron ou à la fraise est $\mathbf{0{,}47}$, soit $\mathbf{47\,\%}$.
  3. L'événement contraire $ \overline{A} $ est : « Obtenir un bonbon à l'orange ou à la menthe ».
    $ P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}47 = 0{,}53 $
    La probabilité de l'événement contraire est $\mathbf{0{,}53}$.
  4. Comme on répète un grand nombre de fois l'expérience, la fréquence d'apparition d'un bonbon à l'orange est proche de sa probabilité $ 0{,}33 $. Sur $ 200 $ bonbons :
    $ 200 \times 0{,}33 = 66 $
    Le sac contient donc environ $ 66 $ bonbons à l'orange.

Pour réviser : Exprimer une probabilité sous différentes formes.

Tirage d’un bonbon dans un sachet

Un sachet contient $ 4 $ bonbons à la fraise, $ 6 $ bonbons à la menthe et $ 10 $ bonbons au caramel. Les bonbons sont indiscernables au toucher. On tire un bonbon au hasard dans le sachet et on regarde son parfum.

  1. Combien y a-t-il d'issues possibles pour cette expérience aléatoire ? Justifier que l'on est en situation d'équiprobabilité.

  2. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants. Pour l'événement A, donner la réponse sous forme de fraction irréductible, de nombre décimal et de pourcentage.

    1. A : « Obtenir un bonbon à la fraise ».
    2. B : « Obtenir un bonbon au caramel ».
    3. C : « Obtenir un bonbon au chocolat ».
    4. D : « Obtenir un bonbon à la fraise, à la menthe ou au caramel ».
  3. Parmi les événements précédents, lequel est impossible ? Lequel est certain ?

Corrigé

  1. Le sachet contient en tout $ 4 + 6 + 10 = 20 $ bonbons. Il y a donc $ 20 $ issues possibles. Comme les bonbons sont indiscernables au toucher, chaque bonbon a la même chance d'être tiré : les issues sont équiprobables.
    1. Il y a $ 4 $ bonbons à la fraise sur $ 20 $ bonbons en tout, donc (en simplifiant en fraction irréductible) :
      $ P(A) = \dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5} $
      Sous forme décimale : $ P(A) = 0{,}2 $. Sous forme de pourcentage : $ P(A) = 20\% $.
      La probabilité d'obtenir un bonbon à la fraise est donc $\mathbf{\dfrac{1}{5}}$, soit $\mathbf{0{,}2}$ ou $\mathbf{20\%}$.
    2. Il y a $ 10 $ bonbons au caramel sur $ 20 $, donc :
      $ P(B) = \dfrac{10}{20} = \dfrac{1}{2} $
      La probabilité d'obtenir un bonbon au caramel est $\mathbf{\dfrac{1}{2}}$.
    3. Le sachet ne contient aucun bonbon au chocolat, donc :
      $ P(C) = \dfrac{0}{20}$ = $\mathbf{0}$.
    4. Tous les bonbons du sachet sont à la fraise, à la menthe ou au caramel : les $ 20 $ issues réalisent l'événement D.
      $ P(D) = \dfrac{20}{20}$ = $\mathbf{1}$.
  3. L'événement C est impossible (sa probabilité vaut $ 0 $) et l'événement D est certain (sa probabilité vaut $ 1 $).

Pour réviser : Calculer la probabilité d'un événement.