Tombola : probabilités, complément et comparaison

Une association organise une tombola avec $ 200 $ billets numérotés de $ 1 $ à $ 200 $, tous identiques. Un seul billet gagnant sera tiré au sort à la fin de la soirée. Quatre élèves ont acheté des billets ; le reste est réparti entre les autres participants.

Participant	Maxime	Léa	Hugo	Sarah	Autres
Nombre de billets	$ 12 $	$ 12 $	$ 25 $	$ 51 $	$ ? $

Justifier que les $ 200 $ issues du tirage sont équiprobables.
Calculer la probabilité que Maxime gagne. Exprimer le résultat sous forme de fraction simplifiée et en pourcentage.
Léa a acheté autant de billets que Maxime. La probabilité qu'elle gagne est-elle la même que celle de Maxime ? Justifier.
1. Combien de billets ont été achetés par les autres participants ?
2. En déduire la probabilité que le gagnant ne soit ni Maxime, ni Léa, ni Hugo, ni Sarah. Donner le résultat en fraction simplifiée et en pourcentage.
Sarah affirme : « J'ai $ 51 $ billets sur $ 200 $, donc j'ai plus d'une chance sur quatre de gagner. » A-t-elle raison ? Justifier par un calcul.

Corrigé

Les $ 200 $ billets sont identiques et un seul est tiré au hasard : chaque billet a la même chance d'être choisi. Les $ 200 $ issues sont donc équiprobables.
Maxime possède $ 12 $ billets sur $ 200 $ :
$ P(\text{Maxime}) = \dfrac{12}{200} = \dfrac{3}{50} $.

On convertit en pourcentage : $ \dfrac{3}{50} = \dfrac{6}{100} = 0{,}06 $, soit $\mathbf{6\,\%}$.
Léa a acheté $ 12 $ billets, comme Maxime. Le nombre d'issues qui réalisent « Léa gagne » est donc le même que pour Maxime, et le nombre total d'issues est inchangé :
$ P(\text{Léa}) = \dfrac{12}{200} = \dfrac{3}{50} $.

Les deux probabilités sont donc égales : chaque billet ayant la même chance, seules les quantités de billets comptent.
1. Maxime, Léa, Hugo et Sarah possèdent ensemble :
  $ 12 + 12 + 25 + 51 = 100 $ billets.
  
  Comme la tombola compte $ 200 $ billets au total, il reste pour les autres participants :
  $ 200 - 100 = \mathbf{100} $ billets.
2. La probabilité que le gagnant fasse partie des autres participants vaut :
  $ P(\text{autres}) = \dfrac{100}{200} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5 $, soit $\mathbf{50\,\%}$.
La probabilité que Sarah gagne vaut :
$ P(\text{Sarah}) = \dfrac{51}{200} $.

Une chance sur quatre correspond à $ \dfrac{1}{4} = \dfrac{50}{200} $.

On compare les deux fractions de même dénominateur : $ \dfrac{51}{200} > \dfrac{50}{200} $, donc $ P(\text{Sarah}) > \dfrac{1}{4} $.

Sarah a donc raison : sa probabilité de gagner est légèrement supérieure à une chance sur quatre (elle vaut précisément $ \dfrac{51}{200} = 0{,}255 $, soit $ 25{,}5\,\% $).

Pour réviser : Calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité.

Tirage dans un jeu de 32 cartes

On dispose d'un jeu de $ 32 $ cartes bien mélangé. Ce jeu contient $ 4 $ couleurs (pique, cœur, carreau, trèfle), chacune représentée par $ 8 $ valeurs : $ 7 $, $ 8 $, $ 9 $, $ 10 $, valet, dame, roi et as. On tire une carte au hasard.

Justifier que les $ 32 $ issues sont équiprobables.
Calculer la probabilité de tirer :
1. Un trèfle.
2. Un valet.
3. La dame de pique.
4. Une figure (c'est-à-dire un valet, une dame ou un roi).
Exprimer la probabilité de tirer un trèfle sous trois formes différentes : fraction simplifiée, nombre décimal et pourcentage.
Léa affirme : « Comme il y a $ 4 $ couleurs, la probabilité de tirer chaque couleur est $ \dfrac{1}{4} $. La somme des probabilités des quatre couleurs vaut donc $ 1 $. » Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier.

Corrigé

Le jeu est bien mélangé et toutes les cartes sont indiscernables au toucher : chaque carte a la même chance d'être tirée. Les $ 32 $ issues sont donc équiprobables.
Le nombre total d'issues est $ 32 $.
1. Le jeu contient $ 8 $ trèfles, donc :
  $ P(\text{trèfle}) = \dfrac{8}{32} = \mathbf{\dfrac{1}{4}} $.
2. Il y a $ 4 $ valets (un par couleur), donc :
  $ P(\text{valet}) = \dfrac{4}{32} = \mathbf{\dfrac{1}{8}} $.
3. Il n'y a qu'une seule dame de pique :
  $ P(\text{dame de pique}) = \mathbf{\dfrac{1}{32}} $.
4. Une figure désigne un valet, une dame ou un roi : il y en a $ 4 + 4 + 4 = 12 $.
  $ P(\text{figure}) = \dfrac{12}{32} = \mathbf{\dfrac{3}{8}} $.
On part de la fraction $ \dfrac{1}{4} $ :

$ \dfrac{1}{4} = 0{,}25 = 25\,\% $
Chaque couleur contient exactement $ 8 $ cartes sur les $ 32 $ du jeu, donc chacune des quatre couleurs a la même probabilité :
$ P(\text{pique}) = P(\text{cœur}) = P(\text{carreau}) = P(\text{trèfle}) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4} $.

La somme de ces quatre probabilités vaut $ 4 \times \dfrac{1}{4} = 1 $. L'affirmation de Léa est donc exacte : on retrouve bien la propriété selon laquelle la somme des probabilités des issues d'une expérience aléatoire vaut $ 1 $ (les quatre couleurs forment une partition des $ 32 $ cartes).

Pour réviser : Calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité.

Roue de loterie : trois écritures d’une probabilité

Une roue de loterie est divisée en $ 20 $ secteurs de même taille. Le tableau ci-dessous donne le nombre de secteurs associés à chaque gain :

Gain (en €)	$ 0 $	$ 2 $	$ 5 $	$ 10 $
Nombre de secteurs	$ 6 $	$ 8 $	$ 4 $	$ 2 $

On fait tourner la roue ; chaque secteur a la même chance de s'arrêter face au repère.

1. Vérifier que le nombre total de secteurs est bien $ 20 $.
2. Justifier que les issues sont équiprobables.
Calculer la probabilité de gagner exactement $ 5 $ €. Exprimer ce résultat sous forme de fraction simplifiée, de nombre décimal et de pourcentage.
Calculer la probabilité de gagner au moins $ 2 $ €, puis l'exprimer en pourcentage.
Le directeur de la fête annonce que la probabilité de ne rien gagner (gain nul) vaut $ 25\,\% $. A-t-il raison ? Justifier par un calcul.

Corrigé

1. On additionne les nombres de secteurs : $ 6 + 8 + 4 + 2 = 20 $. La roue compte bien $ 20 $ secteurs.
2. Les $ 20 $ secteurs ont la même taille, donc chacun a la même chance que la roue s'y arrête : les issues sont équiprobables.
Sur les $ 20 $ secteurs, $ 4 $ donnent un gain de $ 5 $ €.
$ P(5\,\text{€}) = \dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5} $.

On convertit ensuite :

$ \dfrac{1}{5} = 0{,}2 = 20\,\% $
Gagner « au moins $ 2 $ € » signifie gagner $ 2 $ €, $ 5 $ € ou $ 10 $ €. Le nombre de secteurs favorables vaut :
$ 8 + 4 + 2 = 14 $.

$ P(\text{au moins } 2\,\text{€}) = \dfrac{14}{20} = \dfrac{7}{10} = 0{,}7 $, soit $\mathbf{70\,\%}$.
Le nombre de secteurs « $ 0 $ € » vaut $ 6 $, donc :
$ P(0\,\text{€}) = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10} = 0{,}3 $, soit $ 30\,\% $.

La probabilité réelle est de $ 30\,\% $, pas de $ 25\,\% $ : le directeur a tort.

Pour réviser : Exprimer une probabilité sous différentes formes.

QCM : Exprimer une probabilité (fraction, décimal, pourcentage)

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'expression d'une probabilité sous forme de fraction, de décimal ou de pourcentage, ainsi que la propriété de la somme des probabilités. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Une probabilité vaut $ \dfrac{3}{4} $. Quelle est son écriture sous forme de nombre décimal ?
[qcm]
[option]$ 0{,}34 $[/option]
[option correct="true"]$ 0{,}75 $[/option]
[option]$ 3{,}4 $[/option]
[option]$ 4{,}3 $[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour passer d'une fraction à un nombre décimal, on effectue la division : $ 3 \div 4 = 0{,}75 $.[/reponse]
[reponse motif="$ 0{,}34 $"]Non.
La fraction $ \dfrac{3}{4} $ ne se lit pas en juxtaposant les chiffres. Effectuer correctement la division $ 3 \div 4 $.[/reponse]
[reponse motif="$ 3{,}4 $"]Non.
$ 3{,}4 $ est supérieur à $ 1 $ : ce n'est même pas une probabilité valide. Bien faire la division $ 3 \div 4 $.[/reponse]
[reponse motif="$ 4{,}3 $"]Non.
Le diviseur ($ 4 $) ne se place pas devant la virgule. Pour une fraction inférieure à $ 1 $, le résultat décimal commence par $ 0{,}\dots $[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour transformer une fraction en nombre décimal, diviser le numérateur par le dénominateur. Penser à ajouter des $ 0 $ après la virgule si le numérateur est plus petit que le dénominateur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une probabilité vaut $ 0{,}2 $. Quelle est son écriture sous forme de pourcentage ?
[qcm]
[option]$ 0{,}2\,\% $[/option]
[option]$ 2\,\% $[/option]
[option correct="true"]$ 20\,\% $[/option]
[option]$ 200\,\% $[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour passer d'un nombre décimal à un pourcentage, on multiplie par $ 100 $ : $ 0{,}2 \times 100 = 20 $, donc $ 0{,}2 = 20\,\% $.[/reponse]
[reponse motif="$ 0{,}2\,\% $"]Non.
Un nombre décimal et un pourcentage ne s'écrivent pas avec la même valeur numérique : il faut multiplier par $ 100 $ pour passer de l'un à l'autre.[/reponse]
[reponse motif="$ 2\,\% $"]Non.
$ 2\,\% $ correspond à la probabilité $ 0{,}02 $, pas $ 0{,}2 $. Attention au nombre de $ 0 $ déplacés.[/reponse]
[reponse motif="$ 200\,\% $"]Non.
Une probabilité ne peut pas dépasser $ 100\,\% $ (qui correspond à un événement certain). Multiplier par $ 100 $ et non par $ 1\,000 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Multiplier le nombre décimal par $ 100 $ revient à décaler la virgule de deux rangs vers la droite. Vérifier la position de la virgule à la fin.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Parmi les écritures suivantes, laquelle n'est pas équivalente à $ \dfrac{1}{5} $ ?
[qcm]
[option]$ 0{,}2 $[/option]
[option]$ 20\,\% $[/option]
[option]$ \dfrac{2}{10} $[/option]
[option correct="true"]$ \dfrac{1}{50} $[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$ \dfrac{1}{50} = 0{,}02 = 2\,\% $, ce qui est très différent de $ \dfrac{1}{5} = 0{,}2 = 20\,\% $. C'est donc bien la seule écriture qui n'est pas équivalente.[/reponse]
[reponse motif="$ 0{,}2 $"]Non.
$ \dfrac{1}{5} = 1 \div 5 = 0{,}2 $ : cette écriture est bien équivalente à $ \dfrac{1}{5} $.[/reponse]
[reponse motif="$ 20\,\% $"]Non.
$ 0{,}2 \times 100 = 20 $, donc $ 0{,}2 = 20\,\% $ : ce pourcentage est bien équivalent à $ \dfrac{1}{5} $.[/reponse]
[reponse motif="$ \dfrac{2}{10} $"]Non.
$ \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5} $ après simplification (par $ 2 $) : ces deux fractions sont équivalentes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Convertir chaque écriture en nombre décimal pour les comparer. La valeur de $ \dfrac{1}{5} $ vaut $ 0{,}2 $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On lance un dé truqué à $ 4 $ faces. Le tableau donne les probabilités de trois issues :

Issue	1	2	3	4
Probabilité	0,2	0,3	0,1	?

Quelle est la probabilité d'obtenir le numéro $ 4 $ ?
[qcm]
[option correct="true"]$ 0{,}4 $[/option]
[option]$ 0{,}1 $[/option]
[option]$ 0{,}2 $[/option]
[option]$ 0{,}3 $[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La somme des probabilités de toutes les issues vaut toujours $ 1 $. Donc $ P(4) = 1 - (0{,}2 + 0{,}3 + 0{,}1) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4 $.[/reponse]
[reponse motif="$ 0{,}1 $"]Non.
Cette valeur est celle de l'issue $ 3 $ : il faut bien utiliser la propriété de la somme totale pour trouver la probabilité manquante.[/reponse]
[reponse motif="$ 0{,}2 $"]Non.
Cette valeur est celle de l'issue $ 1 $. Penser à utiliser la propriété : la somme des probabilités vaut $ 1 $.[/reponse]
[reponse motif="$ 0{,}3 $"]Non.
Vérifier la somme : $ 0{,}2 + 0{,}3 + 0{,}1 + 0{,}3 = 0{,}9 \neq 1 $. La probabilité manquante doit compléter la somme jusqu'à $ 1 $.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La somme des probabilités de toutes les issues vaut $ 1 $. Soustraire la somme des probabilités connues à $ 1 $ pour trouver la probabilité manquante.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un sac contenant $ 25 $ jetons indiscernables, on tire un jeton au hasard. La probabilité d'obtenir un jeton bleu est $ 40\,\% $. Combien y a-t-il de jetons bleus dans le sac ?
[qcm]
[option]$ 4 $[/option]
[option]$ 8 $[/option]
[option correct="true"]$ 10 $[/option]
[option]$ 15 $[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$ 40\,\% = \dfrac{40}{100} = \dfrac{2}{5} $. Sur $ 25 $ jetons, $ \dfrac{2}{5} $ donne $ 25 \times \dfrac{2}{5} = 10 $ jetons bleus.[/reponse]
[reponse motif="$ 4 $"]Non.
$ 4 $ correspondrait à $ 40\,\% $ d'un sac de $ 10 $ jetons. Refaire le calcul avec un sac de $ 25 $ jetons.[/reponse]
[reponse motif="$ 8 $"]Non.
$ 8 $ jetons sur $ 25 $ donne $ \dfrac{8}{25} = 0{,}32 = 32\,\% $, et non $ 40\,\% $. Reprendre la conversion du pourcentage en fraction.[/reponse]
[reponse motif="$ 15 $"]Non.
$ 15 $ jetons sur $ 25 $ donne $ \dfrac{15}{25} = \dfrac{3}{5} = 60\,\% $, ce qui correspond aux jetons non bleus, pas aux jetons bleus.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Convertir d'abord le pourcentage en fraction ou en décimal, puis calculer la fraction du nombre total de jetons.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une roue de loterie est partagée en plusieurs secteurs. La probabilité de chaque couleur est donnée :

Couleur	rouge	jaune	vert	bleu
Probabilité	25 %	0,5	?	1/10

Quelle est la probabilité d'obtenir la couleur verte ?
[qcm]
[option]$ 0{,}05 $[/option]
[option correct="true"]$ 0{,}15 $[/option]
[option]$ 0{,}25 $[/option]
[option]$ 0{,}50 $[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On convertit toutes les probabilités sous la même forme : $ 25\,\% = 0{,}25 $ ; $ \dfrac{1}{10} = 0{,}10 $. La somme connue vaut $ 0{,}25 + 0{,}5 + 0{,}10 = 0{,}85 $. Donc $ P(\text{vert}) = 1 - 0{,}85 = 0{,}15 $.[/reponse]
[reponse motif="$ 0{,}05 $"]Non.
Cette valeur vient d'une conversion ratée avant l'addition : $ 25\,\% $ se convertit en $ 0{,}25 $ (et non $ 0{,}025 $) et $ \dfrac{1}{10} $ en $ 0{,}10 $ (et non $ 0{,}01 $). Reprendre ces deux conversions avant de calculer la somme des probabilités connues.[/reponse]
[reponse motif="$ 0{,}25 $"]Non.
$ 0{,}25 $ est la probabilité du rouge ($ 25\,\% $) : ce ne peut pas être aussi celle du vert. La somme totale dépasserait alors $ 1 $.[/reponse]
[reponse motif="$ 0{,}50 $"]Non.
$ 0{,}50 $ est déjà la probabilité du jaune. La probabilité manquante vaut $ 1 $ moins la somme des trois autres, ce qui donne une valeur plus petite.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Convertir toutes les probabilités sous la même forme (par exemple en décimaux), additionner celles qui sont connues, puis utiliser le fait que la somme totale vaut $ 1 $.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]