[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les suites majorées, minorées et bornées, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite définie sur $\mathbb{N}$.

Affirmation : Dire que $(u_n)$ est majorée signifie qu'il existe un réel $M$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leqslant M$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est exactement la définition d'une suite majorée : il existe un réel $M$, appelé majorant, qui est plus grand que tous les termes de la suite.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : une suite est majorée s'il existe au moins un réel $M$ qui dépasse tous ses termes. La définition met en jeu un quantificateur existentiel sur $M$ et universel sur $n$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la définition exacte d'une suite majorée.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = \dfrac{n}{n+1}$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est majorée par $1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $n < n+1$, donc $\dfrac{n}{n+1} < 1$.
La suite est strictement majorée par $1$, donc en particulier majorée par $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention, comparer $u_n$ à $1$ revient à comparer $n$ à $n+1$ : comme $n < n+1$, le quotient est strictement inférieur à $1$.
$1 - u_n = 1 - \dfrac{n}{n+1} = \dfrac{1}{n+1} > 0$, donc $u_n < 1$ pour tout $n$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Pour tout $n$, $u_n = \dfrac{n}{n+1} < 1$ : la suite est majorée par $1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si une suite $(u_n)$ admet $5$ comme majorant, alors $5$ est le seul majorant de $(u_n)$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Si $5$ est un majorant de $(u_n)$, alors tout réel supérieur à $5$ (par exemple $6$, $10$, $100$…) est aussi un majorant. Une suite majorée admet une infinité de majorants.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « un majorant » et « le plus petit majorant » : dès qu'une suite a un majorant, elle en a une infinité.
Si $u_n \leqslant 5$ pour tout $n$, alors $u_n \leqslant 6$, $u_n \leqslant 7$, etc. Tout réel supérieur à $5$ est aussi un majorant.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Toute suite majorée admet une infinité de majorants : si $M$ majore la suite, tout réel supérieur à $M$ aussi.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n = (-1)^n$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ n'est pas bornée car ses termes ne convergent pas.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Pour tout $n$, $u_n = \pm 1$, donc $-1 \leqslant u_n \leqslant 1$. La suite est bornée (par $-1$ et $1$), même si elle ne converge pas.
Bornée et convergente sont deux propriétés distinctes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « bornée » et « convergente » : une suite peut être bornée sans converger.
$u_n = (-1)^n$ ne prend que les valeurs $-1$ et $1$ : elle est minorée par $-1$ et majorée par $1$, donc bornée.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La suite $(-1)^n$ est bornée (entre $-1$ et $1$), même si elle n'a pas de limite.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite croissante définie sur $\mathbb{N}$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est nécessairement minorée par $u_0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Si $(u_n)$ est croissante, alors pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \geqslant u_0$. Donc $u_0$ est un minorant de la suite.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : une suite croissante voit ses termes augmenter (au sens large) à mesure que $n$ croît. Le premier terme est donc inférieur à tous les autres.
Pour une suite croissante : $u_0 \leqslant u_1 \leqslant u_2 \leqslant \dots$, donc $u_0$ minore tous les termes.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Une suite croissante est toujours minorée par son premier terme.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}^*$ par $u_n = n + \dfrac{(-1)^n}{n}$.

Affirmation : La suite $(u_n)$ est majorée.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Pour tout $n \geqslant 1$, $\left| \dfrac{(-1)^n}{n} \right| \leqslant 1$, donc $u_n \geqslant n - 1$.
Comme $n - 1 \to +\infty$, la suite n'est pas majorée : elle dépasse n'importe quel réel à partir d'un certain rang.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de regarder uniquement le terme $\dfrac{(-1)^n}{n}$ qui oscille en restant petit, et d'oublier la composante $n$ qui domine.
$u_n \geqslant n - 1 \to +\infty$ : aucun réel ne peut majorer tous les $u_n$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Comme $u_n \geqslant n - 1$, la suite tend vers $+\infty$ et n'admet aucun majorant.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur le sens de variation des suites et les notions de suites majorées, minorées et bornées. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
La suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = 2n + 3$ est :
[qcm]
[option]strictement décroissante[/option]
[option]constante[/option]
[option correct="true"]strictement croissante[/option]
[option]ni croissante ni décroissante[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On calcule $u_{n+1} - u_n = 2(n+1) + 3 - (2n + 3) = 2 > 0$.
La différence est strictement positive : la suite est strictement croissante.[/reponse]
[reponse motif="strictement décroissante"]Non.
Le coefficient devant $n$ vaut $+2$, et non $-2$. Quand le coefficient de $n$ est positif, $u_n$ augmente avec $n$.[/reponse]
[reponse motif="constante"]Non.
Une suite constante vérifie $u_{n+1} = u_n$, donc une expression du type $u_n = c$ (sans $n$). Ici, $u_n$ dépend explicitement de $n$.[/reponse]
[reponse motif="ni croissante ni décroissante"]Non.
Le calcul de $u_{n+1} - u_n$ donne ici un résultat de signe constant, ce qui suffit à conclure que la suite est monotone.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $u_{n+1} - u_n$ : si le résultat est strictement positif pour tout $n$, la suite est strictement croissante ; s'il est strictement négatif, elle est strictement décroissante.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = -3n + 7$. La suite est :
[qcm]
[option correct="true"]strictement décroissante[/option]
[option]strictement croissante[/option]
[option]positive pour tout $n$[/option]
[option]bornée[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On calcule $u_{n+1} - u_n = -3(n+1) + 7 - (-3n + 7) = -3 < 0$.
La différence est strictement négative : la suite est strictement décroissante.[/reponse]
[reponse motif="strictement croissante"]Non.
Attention au signe du coefficient de $n$. Ici $u_n = -3n + 7$ : ajouter $1$ à $n$ retire $3$ à $u_n$.[/reponse]
[reponse motif="positive pour tout $n$"]Non.
$u_3 = -9 + 7 = -2 < 0$. La suite prend rapidement des valeurs négatives. La question portait d'ailleurs sur les variations, pas sur le signe.[/reponse]
[reponse motif="bornée"]Non.
Une suite bornée est à la fois majorée et minorée. Or $u_n \to -\infty$ quand $n \to +\infty$ : il n'y a pas de minorant.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $u_{n+1} - u_n$. Quand le coefficient devant $n$ est négatif, la suite est strictement décroissante.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour la suite $(u_n)$ définie par $u_n = n^2 - 5n$, la différence $u_{n+1} - u_n$ vaut :
[qcm]
[option]$2n + 1$[/option]
[option correct="true"]$2n - 4$[/option]
[option]$-4$[/option]
[option]$n^2 + 2n - 4$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On développe :
$u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 5(n+1) - (n^2 - 5n)$
$= n^2 + 2n + 1 - 5n - 5 - n^2 + 5n$
$= 2n - 4$.[/reponse]
[reponse motif="$2n + 1$"]Non.
On a négligé la partie $-5(n+1) + 5n = -5$. La partie en $n^2$ donne bien $2n + 1$, mais il faut aussi développer le terme en $-5n$.[/reponse]
[reponse motif="$-4$"]Non.
Les termes en $n$ ($2n$) ne se sont pas annulés : il en reste un dans la différence. Reprendre le développement de $(n+1)^2$.[/reponse]
[reponse motif="$n^2 + 2n - 4$"]Non.
Les termes en $n^2$ se simplifient : $n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$. Il ne reste pas de $n^2$ dans la différence.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Développer $(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$ et $-5(n+1) = -5n - 5$, puis simplifier avec $u_n = n^2 - 5n$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ définie pour $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = 5 - \dfrac{1}{n+1}$. Un majorant de cette suite est :
[qcm]
[option]$4$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]il n'y a pas de majorant[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\dfrac{1}{n+1} > 0$, donc $u_n = 5 - \dfrac{1}{n+1} < 5$. Ainsi $u_n \leqslant 5$ pour tout $n$ : la suite est majorée par $5$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
On a $u_1 = 5 - \dfrac{1}{2} = 4{,}5 > 4$. La valeur $4$ ne peut donc pas être un majorant : un majorant doit être supérieur ou égal à tous les termes.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
Cette valeur correspond à $\dfrac{1}{n+1}$ pour $n=1$, mais ce n'est pas un majorant de $u_n$. Tous les termes $u_n$ sont supérieurs à $4$, donc bien plus grands que $\dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="il n'y a pas de majorant"]Non.
Le terme $\dfrac{1}{n+1}$ est toujours strictement positif, donc $u_n$ reste strictement inférieur à $5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un majorant $M$ vérifie $u_n \leqslant M$ pour tout $n$. Comparer $u_n$ à différentes valeurs en remarquant que $\dfrac{1}{n+1} > 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une suite $(u_n)$ vérifie $-3 \leqslant u_n \leqslant 5$ pour tout entier $n$. On peut affirmer que $(u_n)$ est :
[qcm]
[option]croissante[/option]
[option]convergente[/option]
[option correct="true"]bornée[/option]
[option]constante[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Une suite est bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée. Ici $u_n \leqslant 5$ (majoration) et $u_n \geqslant -3$ (minoration), donc $(u_n)$ est bornée.[/reponse]
[reponse motif="croissante"]Non.
L'encadrement ne dit rien sur les variations : la suite peut osciller dans l'intervalle $[-3\,;\,5]$ tout en y restant. Par exemple $u_n = (-1)^n$ vérifie $-3 \leqslant u_n \leqslant 5$ et n'est pas monotone.[/reponse]
[reponse motif="convergente"]Non.
Une suite bornée n'est pas nécessairement convergente : la suite $u_n = (-1)^n$ est bornée mais n'a pas de limite.[/reponse]
[reponse motif="constante"]Non.
Être encadrée par deux constantes ne signifie pas être constante. La suite peut prendre toutes les valeurs entre $-3$ et $5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quand une suite est encadrée à la fois par le bas et par le haut, elle est dite bornée. Ne pas confondre avec « monotone » ou « convergente ».[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 4$ et $u_{n+1} = u_n + n$. Cette suite est :
[qcm]
[option]décroissante car la formule fait apparaître une addition[/option]
[option]constante car la formule contient $u_n$[/option]
[option correct="true"]croissante car $u_{n+1} - u_n = n \geqslant 0$[/option]
[option]ni croissante ni décroissante[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La relation $u_{n+1} = u_n + n$ donne directement $u_{n+1} - u_n = n$. Pour $n \in \mathbb{N}$, $n \geqslant 0$, donc la différence est positive ou nulle : la suite est croissante (au sens large).[/reponse]
[reponse motif="décroissante car la formule fait apparaître une addition"]Non.
On ajoute $n$, qui est un entier naturel positif ou nul. Ajouter une quantité positive fait croître la suite.[/reponse]
[reponse motif="constante car la formule contient $u_n$"]Non.
La présence de $u_n$ ne signifie pas constance. Une suite est constante si $u_{n+1} = u_n$, ici $u_{n+1} = u_n + n$ avec $n$ qui varie.[/reponse]
[reponse motif="ni croissante ni décroissante"]Non.
Le calcul direct $u_{n+1} - u_n = n$ donne un signe constant (positif) pour $n \geqslant 0$ : la monotonie est claire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour étudier les variations d'une suite donnée par récurrence, calculer $u_{n+1} - u_n$ et étudier son signe.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Soit la suite numérique $ \left(u_{n}\right) $ définie pour tout $ n \in \mathbb{N} $ par :

1. Calculer $ u_{1} $, $ u_{2} $, $ u_{3} $ et $ u_{4} $. Quel semble être le sens de variation de cette suite ?

2. Première méthode. Étudier le sens de variation de la fonction $ f : x\mapsto \dfrac{1}{2}x^{2}+1 $ sur $ \left[0~;~+\infty \right[ $.

   En déduire le sens de variation de la suite $ \left(u_{n}\right) $.

3. Deuxième méthode. Calculer et étudier le signe de $ u_{n+1} - u_{n} $.

   Retrouver le résultat de la question 2.