[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la continuité d'une fonction, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant $a$.

Affirmation : $f$ est continue en $a$ si et seulement si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est exactement la définition de la continuité en un point : la limite de $f$ en $a$ existe et coïncide avec la valeur $f(a)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas confondre cette définition avec celle de la dérivabilité, qui fait intervenir un taux d'accroissement.
La continuité en $a$ se traduit simplement par l'égalité $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la définition même de la continuité d'une fonction en un point.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Toute fonction polynôme est continue sur $\mathbb{R}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les fonctions polynômes font partie des fonctions usuelles continues sur leur ensemble de définition, qui est $\mathbb{R}$ tout entier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : les fonctions affines, carrées, cubes, et plus généralement toutes les fonctions polynômes, sont continues sur $\mathbb{R}$, quel que soit leur degré.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$, indépendamment de leur degré.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$.

Affirmation : $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
La fonction inverse n'est pas définie en $0$ : on ne peut pas parler de continuité sur $\mathbb{R}$. Elle est continue uniquement sur son ensemble de définition $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, c'est-à-dire sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est d'oublier le domaine de définition. Une fonction ne peut être continue qu'aux points où elle est définie.
La fonction inverse n'est pas définie en $0$, donc on ne peut pas la dire continue sur $\mathbb{R}$ ; elle l'est seulement sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La fonction inverse n'est pas définie en $0$ : elle est continue sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, pas sur $\mathbb{R}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$.

Affirmation : La fonction produit $f \times g$ est continue sur $I$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les opérations sur les fonctions continues conservent la continuité : la somme, la différence et le produit de deux fonctions continues sur $I$ sont continues sur $I$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : si $f$ et $g$ sont continues sur $I$, alors $f+g$, $f-g$ et $f \times g$ sont également continues sur $I$.
Le quotient $\dfrac{f}{g}$ l'est aussi, à condition que $g$ ne s'annule pas sur $I$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Le produit de deux fonctions continues sur $I$ est continu sur $I$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si une fonction $f$ n'est pas dérivable en $a$, alors elle n'est pas continue en $a$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La dérivabilité entraîne la continuité, mais pas l'inverse. Par exemple, la fonction $x \mapsto |x|$ est continue en $0$ (sa courbe ne présente pas de saut), mais elle n'y est pas dérivable (présence d'un point anguleux).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas inverser le lien entre continuité et dérivabilité : « dérivable en $a$ » entraîne « continue en $a$ », mais pas la réciproque.
La fonction valeur absolue $x \mapsto |x|$ illustre ce cas : elle est continue en $0$ tout en n'y étant pas dérivable.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La fonction $x \mapsto |x|$ est continue en $0$ sans y être dérivable : la non-dérivabilité n'entraîne pas la non-continuité.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Une fonction définie par morceaux est forcément discontinue aux points où change la formule.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Tout dépend de la valeur prise par les deux formules au point de raccord. Si elles donnent la même valeur, la fonction est continue. Par exemple, si $f(x) = x^2$ pour $x \leqslant 1$ et $f(x) = 2x - 1$ pour $x > 1$, alors $f(1) = 1$ et $\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = 2 \times 1 - 1 = 1$ : aucun saut, $f$ est continue en $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de confondre « changement de formule » et « saut de valeur ». La continuité au point de raccord dépend uniquement de l'égalité des limites à gauche, à droite et de la valeur en ce point.
Si les deux formules coïncident au point de raccord, la fonction reste continue.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Une fonction définie par morceaux peut tout à fait être continue au point de raccord, dès que les deux formules y donnent la même valeur.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur la continuité d'une fonction : reconnaître les fonctions continues sur un intervalle, lien entre continuité et dérivabilité, étude aux points de raccord. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 3x + 1$ est continue sur :
[qcm]
[option]$\mathbb{R}^+$ seulement[/option]
[option correct="true"]$\mathbb{R}$[/option]
[option]$\mathbb{R} \setminus \{0\}$[/option]
[option]$\left]0\,;\,+\infty\right[$ seulement[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$f$ est une fonction polynôme. Or toutes les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$ tout entier.[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{R}^+$ seulement"]Non.
La continuité d'une fonction polynôme ne dépend pas du signe de $x$. Une fonction polynôme est continue partout où elle est définie.[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{R} \setminus \{0\}$"]Non.
Le réel $0$ ne pose ici aucun problème : $f(0) = 1$ est bien défini et la courbe ne présente aucun saut en $0$.[/reponse]
[reponse motif="$\left]0\,;\,+\infty\right[$ seulement"]Non.
$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier, sans restriction. Restreindre l'ensemble de continuité à un demi-axe n'a pas de raison d'être.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier le type de la fonction (polynôme, rationnelle, racine…) puis appliquer la propriété de continuité correspondante.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La fonction $g$ définie par $g(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ est continue :
[qcm]
[option]sur $\mathbb{R}$[/option]
[option]sur $\mathbb{R}^*$[/option]
[option correct="true"]sur $\left]-\infty\,;\,2\right[$ et sur $\left]2\,;\,+\infty\right[$[/option]
[option]sur $\left[2\,;\,+\infty\right[$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$g$ est une fonction rationnelle. Elle est continue sur tout intervalle contenu dans son ensemble de définition. Comme elle n'est pas définie en $2$ (le dénominateur s'y annule), elle est continue sur $\left]-\infty\,;\,2\right[$ et sur $\left]2\,;\,+\infty\right[$ — chaque intervalle pris séparément, leur réunion n'étant pas un intervalle.[/reponse]
[reponse motif="sur $\mathbb{R}$"]Non.
La fonction n'est pas définie en $2$ : le dénominateur $x - 2$ s'y annule. Une fonction ne peut pas être continue en un point où elle n'est pas définie.[/reponse]
[reponse motif="sur $\mathbb{R}^*$"]Non.
La valeur problématique n'est pas $0$ mais celle qui annule le dénominateur. Vérifier pour quelle valeur de $x$ on a $x - 2 = 0$.[/reponse]
[reponse motif="sur $\left[2\,;\,+\infty\right[$"]Non.
La fonction n'est pas définie en $2$, on ne peut donc pas l'inclure dans l'ensemble de continuité. De plus, elle est aussi continue sur $\left]-\infty\,;\,2\right[$, qui est ignoré ici.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour une fonction rationnelle, repérer d'abord les valeurs interdites (qui annulent le dénominateur) puis donner chaque intervalle ouvert du domaine de définition séparément.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Parmi les fonctions suivantes, laquelle n'est pas continue sur $\mathbb{R}$ ?
[qcm]
[option]$x \mapsto \sin(x)$[/option]
[option]$x \mapsto x^3 - 5x$[/option]
[option correct="true"]$x \mapsto \dfrac{x + 1}{x - 3}$[/option]
[option]$x \mapsto e^x + 2$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Cette fonction rationnelle n'est pas définie en $3$ (dénominateur nul). Elle ne peut donc pas être continue sur $\mathbb{R}$ tout entier : son ensemble de continuité est $\left]-\infty\,;\,3\right[ \cup \left]3\,;\,+\infty\right[$.[/reponse]
[reponse motif="$x \mapsto \sin(x)$"]Non.
La fonction sinus est continue sur $\mathbb{R}$ tout entier, c'est une propriété de référence des fonctions trigonométriques.[/reponse]
[reponse motif="$x \mapsto x^3 - 5x$"]Non.
Cette fonction est un polynôme : tous les polynômes sont continus sur $\mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse motif="$x \mapsto e^x + 2$"]Non.
La fonction exponentielle est continue sur $\mathbb{R}$, et ajouter une constante ne casse pas la continuité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Repérer les fonctions de référence (polynômes, sin, cos, exp) qui sont automatiquement continues sur $\mathbb{R}$, et identifier celle qui présente une valeur interdite.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$. On peut alors affirmer que $f$ est :
[qcm]
[option]pas forcément continue sur $I$[/option]
[option]continue uniquement aux extrémités de $I$[/option]
[option correct="true"]continue sur $I$[/option]
[option]discontinue en au moins un point[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle. C'est une propriété fondamentale : la dérivabilité est une condition plus forte que la continuité.[/reponse]
[reponse motif="pas forcément continue sur $I$"]Non.
La dérivabilité implique la continuité. Si une fonction est dérivable, elle est nécessairement continue.[/reponse]
[reponse motif="continue uniquement aux extrémités de $I$"]Non.
La continuité, comme la dérivabilité, est une propriété valable en chaque point de l'intervalle, pas seulement aux extrémités.[/reponse]
[reponse motif="discontinue en au moins un point"]Non.
Au contraire : la dérivabilité est une condition encore plus exigeante que la continuité. Une fonction dérivable est forcément continue partout.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Rappel : « dérivable » est plus fort que « continue ». Une fonction dérivable sur $I$ est automatiquement continue sur $I$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Concernant la réciproque « toute fonction continue est dérivable », on peut affirmer qu'elle est :
[qcm]
[option]vraie[/option]
[option]vraie pour les polynômes seulement[/option]
[option correct="true"]fausse[/option]
[option]vraie sur tout intervalle ouvert[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La réciproque est fausse. Le contre-exemple classique est la fonction valeur absolue $x \mapsto |x|$ : elle est continue sur $\mathbb{R}$, mais n'est pas dérivable en $0$ (la courbe présente un point anguleux).[/reponse]
[reponse motif="vraie"]Non.
Il existe des fonctions continues qui ne sont pas dérivables. Penser à une courbe avec un point anguleux : elle est tracée sans lever le crayon, mais n'admet pas de tangente en ce point.[/reponse]
[reponse motif="vraie pour les polynômes seulement"]Non.
Les polynômes sont à la fois continus et dérivables sur $\mathbb{R}$ : ils ne fournissent pas de contre-exemple. Chercher plutôt une fonction « cassée ».[/reponse]
[reponse motif="vraie sur tout intervalle ouvert"]Non.
La nature de l'intervalle (ouvert ou fermé) ne change rien au problème. Sur $\mathbb{R}$ tout entier — qui est ouvert — la fonction $|x|$ fournit déjà un contre-exemple.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Chercher un contre-exemple parmi les fonctions « cassées » : continues partout, mais avec un point anguleux où la dérivabilité tombe.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 1 \\ x^2 & \text{si } x \geqslant 1 \end{cases}$
Que peut-on conclure quant à la continuité de $f$ en $1$ ?
[qcm]
[option]$f$ est continue en $1$ car les deux limites valent $1$[/option]
[option correct="true"]$f$ n'est pas continue en $1$ car les limites à gauche et à droite diffèrent[/option]
[option]$f$ est continue en $1$ car les deux morceaux sont des polynômes[/option]
[option]on ne peut pas conclure sans tableau de variation[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On calcule les limites au point de raccord :
$\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = 2 \times 1 + 1 = 3$
$\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = 1^2 = 1$
Les limites à gauche et à droite sont différentes, donc $f$ n'est pas continue en $1$.[/reponse]
[reponse motif="$f$ est continue en $1$ car les deux limites valent $1$"]Non.
Recalculer la limite à gauche : il faut remplacer $x$ par $1$ dans l'expression $2x + 1$ et non dans $x^2$. Le résultat trouvé n'est pas $1$.[/reponse]
[reponse motif="$f$ est continue en $1$ car les deux morceaux sont des polynômes"]Non.
Que chaque morceau soit un polynôme garantit la continuité à l'intérieur de chaque morceau, mais pas au point de raccord. Il faut comparer les valeurs limites des deux côtés.[/reponse]
[reponse motif="on ne peut pas conclure sans tableau de variation"]Non.
Un tableau de variation n'est pas nécessaire pour étudier la continuité en un point. Il suffit de comparer les limites à gauche, à droite et la valeur de la fonction au point de raccord.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Méthode pour les fonctions par morceaux : aux points de raccord, comparer $\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x)$, $\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)$ et $f(x_0)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]