Déterminer un ensemble de points défini par un produit scalaire

[ROC] Cercle de diamètre [AB] et produit scalaire

Énoncé

Soient $ A $ et $ B $ deux points distincts du plan, et $ \Omega $ le milieu du segment $ [AB] $. On considère un point $ M $ quelconque du plan.

Exprimer $ \overrightarrow{MA} $ et $ \overrightarrow{MB} $ à l'aide de $ \overrightarrow{M\Omega} $ et $ \overrightarrow{\Omega A} $.
En déduire que :

$ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = M\Omega^{2} - \dfrac{AB^{2}}{4} $
En déduire l'ensemble des points $ M $ du plan tels que $ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0 $.

Corrigé

D'après la relation de Chasles :

$ \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{M\Omega} + \overrightarrow{\Omega A} $
$ \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{M\Omega} + \overrightarrow{\Omega B} $

Or $ \Omega $ est le milieu de $ [AB] $, donc $ \overrightarrow{\Omega B} = -\overrightarrow{\Omega A} $. Par conséquent :

$ \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{M\Omega} - \overrightarrow{\Omega A} $
On calcule le produit scalaire à l'aide de l'identité $ (\vec{x}+\vec{y})\cdot(\vec{x}-\vec{y}) = \vec{x}^{2} - \vec{y}^{2} $ :

$ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = \left(\overrightarrow{M\Omega} + \overrightarrow{\Omega A}\right)\cdot\left(\overrightarrow{M\Omega} - \overrightarrow{\Omega A}\right) $
$ \phantom{\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}} = \overrightarrow{M\Omega}^{2} - \overrightarrow{\Omega A}^{2} $
$ \phantom{\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}} = M\Omega^{2} - \Omega A^{2} $

Or, $ \Omega $ étant le milieu de $ [AB] $, on a $ \Omega A = \dfrac{AB}{2} $, donc $ \Omega A^{2} = \dfrac{AB^{2}}{4} $. Finalement :

$ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = M\Omega^{2} - \dfrac{AB^{2}}{4} $
D'après la question 2 :

$ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0 \iff M\Omega^{2} = \dfrac{AB^{2}}{4} \iff M\Omega = \dfrac{AB}{2} $

(car $ M\Omega $ et $ AB $ sont des longueurs positives).

L'ensemble des points $ M $ tels que $ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0 $ est donc le cercle de centre $ \Omega $ (milieu de $ [AB] $) et de rayon $ \dfrac{AB}{2} $, c'est-à-dire le cercle de diamètre $ [AB] $.

Pour réviser : Déterminer un ensemble de points défini par un produit scalaire

Puissance d’un point par rapport à un cercle

Énoncé

$ \mathscr C $ est un cercle de centre $ O $ et de rayon $ r $ et $ \left[AB\right] $ est un diamètre de ce cercle.

$ M $ est un point situé à l'extérieur du cercle. On admettra que, dans ce cas, l'angle $ \widehat{AMB} $ est aigu.

Les droites $ \left(AM\right) $ et $ \left(BM\right) $ coupent $ \mathscr C $ respectivement en $ I $ et $ J $.

Montrer que $ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI\times MA $.
En déduire que $ MI\times MA=OM^{2} - r^{2} $

Corrigé

$ I $ étant situé sur le cercle de diamètre $ \left[AB\right] $, le triangle $ ABI $ est rectangle en $ I $

$ I $ est donc le projeté orthogonal de $ B $ sur $ \left(AM\right) $.

Comme l'angle $ \widehat{AMB} $ est aigu, en utilisant la formule du produit scalaire à l'aide d'une projection orthogonale :

$ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MA\times MI $
Par ailleurs, en utilisant la relation de Chasles et en remarquant que $ O $ est le milieu de $ [AB] $ donc $ \overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OA} $ :

$ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)\cdot\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right) $
$ \phantom{\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}}=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)\cdot\left(\overrightarrow{MO} - \overrightarrow{OA}\right) $
$ \phantom{\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}}=\overrightarrow{MO}^{2} - \overrightarrow{OA}^{2}=OM^{2} - r^{2} $

Par conséquent : $ MI\times MA=OM^{2} - r^{2} $

Remarque : Le résultat $ MI\times MA=OM^{2} - r^{2} $ montre que le produit $ MI\times MA $ ne dépend pas de la position du point $ A $ sur le cercle mais dépend uniquement du rayon du cercle et de la distance $ OM $. Ce nombre s'appelle la puissance du point $ M $ par rapport au cercle $ \mathscr C $.