[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les racines $n$-ièmes dans $\mathbb{C}$, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Dans $\mathbb{C}$, l'équation $z^{4} = 1$ admet exactement quatre solutions distinctes.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les solutions sont $1, i, -1, -i$, c'est-à-dire $e^{i\,k\pi/2}$ pour $k \in \{0, 1, 2, 3\}$. Plus généralement, $z^{n} = 1$ admet exactement $n$ solutions distinctes dans $\mathbb{C}$ (les racines $n$-ièmes de l'unité).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Une erreur fréquente est de ne penser qu'aux solutions réelles ($\pm 1$). Mais les imaginaires purs $i$ et $-i$ vérifient également $z^{4} = 1$, ce qui porte le total à quatre.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Les quatre racines quatrièmes de l'unité sont $1, i, -1, -i$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans $\mathbb{C}$, l'équation $z^{3} = 8$ admet une seule solution, à savoir $z = 2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
$z = 2$ est solution, mais ce n'est pas la seule. En posant $z = re^{i\theta}$, on trouve $r = 2$ et $3\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}$, ce qui donne trois solutions : $2$, $2j = 2e^{i\,2\pi/3}$ et $2j^{2} = 2e^{-i\,2\pi/3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La règle générale : dans $\mathbb{C}$, l'équation $z^{n} = a$ ($a \neq 0$) admet exactement $n$ solutions distinctes. Ici $n = 3$, donc trois racines cubiques différentes.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. L'équation $z^{3} = 8$ a trois solutions dans $\mathbb{C}$ : $2$, $2j$ et $2j^{2}$ avec $j = e^{i\,2\pi/3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout entier $n \geqslant 1$, chaque racine $n$-ième de l'unité a pour module $1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Si $z^{n} = 1$, alors $|z|^{n} = |z^{n}| = 1$, donc $|z| = 1$ (car $|z|$ est un réel positif). Toutes les racines $n$-ièmes de l'unité sont situées sur le cercle unité du plan complexe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : le module est multiplicatif, donc $|z^{n}| = |z|^{n}$. De $|z|^{n} = 1$ on déduit $|z| = 1$ (l'unique réel positif solution de $x^{n} = 1$).[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Toutes les racines $n$-ièmes de l'unité ont pour module $1$ et sont donc sur le cercle unité.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour résoudre $z^{4} = 16$ dans $\mathbb{C}$, il suffit de prendre $z = 2$ et $z = -2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$2$ et $-2$ sont effectivement solutions, mais l'équation $z^{4} = 16$ a en tout quatre solutions dans $\mathbb{C}$. Les deux autres sont $2i$ et $-2i$, qui vérifient $(2i)^{4} = 16 \times i^{4} = 16$ et de même pour $-2i$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
On a oublié les solutions imaginaires pures. En forme exponentielle : $z = 2e^{i\,k\pi/2}$ pour $k \in \{0, 1, 2, 3\}$, ce qui donne $2, 2i, -2, -2i$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. L'équation $z^{4} = 16$ admet quatre solutions dans $\mathbb{C}$ : $2$, $2i$, $-2$ et $-2i$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Les images des racines cubiques de l'unité dans $\mathbb{C}$ sont les sommets d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle unité.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Les trois racines $1$, $j = e^{i\,2\pi/3}$ et $j^{2} = e^{i\,4\pi/3}$ ont toutes pour module $1$ et leurs arguments sont régulièrement espacés de $\dfrac{2\pi}{3}$. Elles forment donc un triangle équilatéral centré à l'origine et inscrit dans le cercle unité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Plus généralement, les $n$ racines $n$-ièmes de l'unité forment toujours un polygone régulier à $n$ sommets inscrit dans le cercle unité, leurs arguments étant des multiples de $\dfrac{2\pi}{n}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Les trois racines $1, j, j^{2}$ sont régulièrement espacées sur le cercle unité et forment un triangle équilatéral.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le nombre $-1$ est racine $n$-ième de l'unité pour tout entier $n \geqslant 1$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$(-1)^{n}$ vaut $1$ uniquement quand $n$ est pair. Pour $n$ impair, $(-1)^{n} = -1 \neq 1$ : par exemple pour $n = 3$, $(-1)^{3} = -1$ et l'équation $z^{3} = 1$ n'admet pas $-1$ comme solution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Bien examiner la parité de $n$. $-1$ est racine $n$-ième de l'unité si et seulement si $n$ est pair. Pour les $n$ impairs, seule la racine $1$ est réelle parmi les $n$ racines.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $-1$ est racine $n$-ième de l'unité uniquement pour les entiers $n$ pairs.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur les racines carrées et n-ièmes d'un complexe : équations de la forme $z^{n} = a$, racines $n$-ièmes de l'unité et utilisation de la forme exponentielle. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Les solutions de l'équation $z^{3} = 1$ dans $\mathbb{C}$ sont :
[qcm]
[option]Seulement $1$[/option]
[option]$1$ et $-1$[/option]
[option correct="true"]$1$, $j = e^{i\,2\pi/3}$ et $j^{2} = e^{-i\,2\pi/3}$[/option]
[option]Aucune[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On écrit $z = re^{i\theta}$ avec $z^{3} = 1$, donc $r^{3} = 1$ (d'où $r = 1$) et $3\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}$. On obtient $\theta \in \left\{0, \dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{4\pi}{3}\right\}$, soit trois solutions : $1$, $j = e^{i\,2\pi/3}$ et $j^{2} = e^{i\,4\pi/3} = e^{-i\,2\pi/3}$.[/reponse]
[reponse motif="Seulement $1$"]Non.
$1$ est solution, mais ce n'est pas la seule. Dans $\mathbb{C}$, l'équation $z^{n} = a$ (avec $a \neq 0$) admet exactement $n$ solutions distinctes.[/reponse]
[reponse motif="$1$ et $-1$"]Non.
$(-1)^{3} = -1$ et non $1$, donc $-1$ n'est pas solution. Pour les puissances impaires, on n'a pas la propriété $\pm 1$ comme pour $z^{2} = 1$.[/reponse]
[reponse motif="Aucune"]Non.
$1$ est trivialement solution puisque $1^{3} = 1$. Et il y en a deux autres, complexes non réelles, formant les racines cubiques de l'unité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour $z^{n} = 1$, écrire $z = e^{i\theta}$ et résoudre $n\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}$ : on obtient $n$ angles distincts dans $[0, 2\pi[$, soit $n$ racines.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Combien l'équation $z^{4} = 1$ a-t-elle de solutions dans $\mathbb{C}$ ?
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option]$2$[/option]
[option correct="true"]$4$[/option]
[option]Une infinité[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Dans $\mathbb{C}$, l'équation $z^{n} = 1$ a exactement $n$ solutions distinctes (les racines $n$-ièmes de l'unité).
Ici $n = 4$ : ces solutions sont $1, i, -1, -i$, c'est-à-dire $e^{i\,k\pi/2}$ pour $k \in \{0, 1, 2, 3\}$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
On a peut-être considéré uniquement la solution réelle positive. Or $-1$, $i$ et $-i$ sont aussi solutions ($(-1)^{4} = 1$, $i^{4} = 1$, $(-i)^{4} = 1$).[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
On a recensé uniquement les solutions réelles ($1$ et $-1$). Mais les solutions imaginaires pures $i$ et $-i$ vérifient aussi $z^{4} = 1$.[/reponse]
[reponse motif="Une infinité"]Non.
L'équation est polynomiale de degré $4$ : elle admet au plus $4$ racines dans $\mathbb{C}$ (et exactement $4$ pour $z^{4} = 1$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Théorème : dans $\mathbb{C}$, l'équation $z^{n} = a$ avec $a \neq 0$ admet exactement $n$ solutions distinctes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une racine carrée de $-9$ dans $\mathbb{C}$ est :
[qcm]
[option]$3$[/option]
[option]$9i$[/option]
[option correct="true"]$3i$[/option]
[option]$-9i$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On cherche $z$ tel que $z^{2} = -9$. Avec $z = 3i$ : $z^{2} = (3i)^{2} = 9 \times i^{2} = -9$.
Les deux racines carrées de $-9$ sont $3i$ et $-3i$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
$3^{2} = 9$ et non $-9$. Le carré d'un réel est positif ou nul ; il faut donc faire intervenir $i$ pour obtenir un carré négatif.[/reponse]
[reponse motif="$9i$"]Non.
$(9i)^{2} = 81 \times i^{2} = -81$, et non $-9$. On a confondu le module avec sa racine carrée. Pour $z^{2} = -9$, il faut $|z|^{2} = 9$, soit $|z| = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$-9i$"]Non.
$(-9i)^{2} = 81 \times i^{2} = -81$. Comme pour la réponse précédente, on a oublié de prendre la racine carrée de $9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour $z^{2} = a$ avec $a < 0$, les racines sont $z = \pm i\sqrt{-a}$. Ici $\sqrt{9} = 3$, donc $z = \pm 3i$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $z_{0} = 2\, e^{i\pi/3}$. Les solutions de l'équation $z^{2} = z_{0}$ sont :
[qcm]
[option]$\sqrt{2}\, e^{i\pi/6}$ uniquement[/option]
[option correct="true"]$\sqrt{2}\, e^{i\pi/6}$ et $-\sqrt{2}\, e^{i\pi/6}$[/option]
[option]$2\, e^{i\pi/6}$ et $-2\, e^{i\pi/6}$[/option]
[option]$\sqrt{2}\, e^{i\pi/3}$ et $-\sqrt{2}\, e^{i\pi/3}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On pose $z = re^{i\theta}$ : alors $z^{2} = r^{2} e^{2i\theta} = 2\, e^{i\pi/3}$.
On identifie : $r^{2} = 2$ donc $r = \sqrt{2}$, et $2\theta \equiv \dfrac{\pi}{3} \pmod{2\pi}$, soit $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ ou $\theta = \dfrac{\pi}{6} + \pi$.
Les deux solutions sont donc $\sqrt{2}\, e^{i\pi/6}$ et son opposé $-\sqrt{2}\, e^{i\pi/6}$.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{2}\, e^{i\pi/6}$ uniquement"]Non.
On a oublié la deuxième racine. L'équation $z^{2} = z_{0}$ admet toujours deux racines opposées dans $\mathbb{C}$ (sauf si $z_{0} = 0$).[/reponse]
[reponse motif="$2\, e^{i\pi/6}$ et $-2\, e^{i\pi/6}$"]Non.
Erreur sur le module : on cherche $r$ tel que $r^{2} = 2$, donc $r = \sqrt{2}$ et non $r = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{2}\, e^{i\pi/3}$ et $-\sqrt{2}\, e^{i\pi/3}$"]Non.
On a oublié de diviser l'argument par $2$. La relation $2\theta \equiv \dfrac{\pi}{3}$ donne $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ et non $\theta = \dfrac{\pi}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Méthode : poser $z = re^{i\theta}$, identifier le module ($r^{2} = |z_{0}|$, donc $r = \sqrt{|z_{0}|}$) et l'argument (diviser celui de $z_{0}$ par $2$, puis ajouter $\pi$ pour la deuxième solution).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les solutions de $z^{3} = 8$ dans $\mathbb{C}$ sont :
[qcm]
[option]Seulement $2$[/option]
[option correct="true"]$2$, $2j$ et $2j^{2}$ avec $j = e^{i\,2\pi/3}$[/option]
[option]$2$ et $-2$[/option]
[option]Seulement $\sqrt[3]{8} = 2$ (les autres n'existent pas dans $\mathbb{C}$)[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On pose $z = re^{i\theta}$ : $r^{3} = 8$ donne $r = 2$, et $3\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}$ donne $\theta \in \left\{0, \dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{4\pi}{3}\right\}$.
Les trois solutions sont $2, 2e^{i\,2\pi/3}, 2e^{i\,4\pi/3}$, c'est-à-dire $2, 2j, 2j^{2}$.[/reponse]
[reponse motif="Seulement $2$"]Non.
$2$ est solution, mais ce n'est pas la seule dans $\mathbb{C}$. L'équation $z^{n} = a$ admet $n$ solutions distinctes dans $\mathbb{C}$.[/reponse]
[reponse motif="$2$ et $-2$"]Non.
$(-2)^{3} = -8$, et non $8$. Dans $z^{3} = 8$, l'opposé d'une solution n'est pas en général solution (contrairement au cas $z^{2} = a$).[/reponse]
[reponse motif="Seulement $\sqrt[3]{8} = 2$ (les autres n'existent pas dans $\mathbb{C}$)"]Non.
Au contraire, $\mathbb{C}$ permet d'obtenir plus de solutions que $\mathbb{R}$, pas moins. Il y a exactement trois racines cubiques de $8$ dans $\mathbb{C}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour $z^{n} = a$ avec $a \neq 0$, écrire $a = |a|e^{i\alpha}$ et $z = re^{i\theta}$. On obtient $r = |a|^{1/n}$ et $\theta = \dfrac{\alpha + 2k\pi}{n}$ pour $k \in \{0, 1, \ldots, n-1\}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour tout entier $n \geqslant 2$, la somme des racines $n$-ièmes de l'unité vaut :
[qcm]
[option correct="true"]$0$[/option]
[option]$1$[/option]
[option]$n$[/option]
[option]Cette somme dépend de $n$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les racines $n$-ièmes de l'unité sont les puissances de $\omega = e^{i\,2\pi/n}$ : $1, \omega, \omega^{2}, \ldots, \omega^{n-1}$.
Leur somme est celle d'une suite géométrique de raison $\omega \neq 1$ : $S = \dfrac{1 - \omega^{n}}{1 - \omega} = \dfrac{1 - 1}{1 - \omega} = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$1$ est l'une des racines, mais la somme des autres racines compense exactement ce $1$. Le résultat global est $0$.[/reponse]
[reponse motif="$n$"]Non.
$n$ correspondrait à la situation où chaque racine vaut $1$, ce qui n'est pas le cas (sauf trivialement pour $n = 1$). Les racines $n$-ièmes de l'unité (pour $n \geqslant 2$) ne sont pas toutes égales à $1$.[/reponse]
[reponse motif="Cette somme dépend de $n$"]Non.
Le calcul utilisant la somme géométrique donne le même résultat pour tout $n \geqslant 2$ : la somme est constamment nulle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la formule de la somme d'une suite géométrique : $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \omega^{k} = \dfrac{1 - \omega^{n}}{1 - \omega}$. Comme $\omega^{n} = 1$, le numérateur est nul.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]