[enonce]
Ce QCM porte sur les tableaux de signes et leur utilisation pour résoudre des inéquations produit et quotient. Choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Pour quelle valeur de $x$ la fonction $f$ définie par $f(x)=2x-6$ s'annule-t-elle ?
[qcm]
[option]$x=-3$[/option]
[option]$x=-6$[/option]
[option correct="true"]$x=3$[/option]
[option]$x=6$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
On résout $2x-6=0$ : $2x=6$, donc $x=\dfrac{6}{2}=3$.[/reponse]
[reponse motif="$x=-3$"]Non.
Le signe est inversé. Pour résoudre $2x-6=0$, on ajoute $6$ de chaque côté : $2x=6$, un nombre positif.[/reponse]
[reponse motif="$x=-6$"]Non.
Deux erreurs : le signe et l'oubli de la division par $2$. Isoler $x$ pas à pas.[/reponse]
[reponse motif="$x=6$"]Non.
Après avoir obtenu $2x=6$, il reste une étape : diviser par $2$ pour isoler $x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résoudre l'équation $2x-6=0$ pour trouver la valeur qui annule $f$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est le signe de $f(x)=-3x+6$ pour $x>2$ ?
[qcm]
[option]positif[/option]
[option correct="true"]négatif[/option]
[option]nul[/option]
[option]on ne peut pas savoir[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
Le coefficient de $x$ est $-3$, négatif, donc la fonction affine est décroissante. Elle s'annule en $x=2$, puis prend des valeurs négatives pour $x>2$. On peut le vérifier : $f(3)=-3\times 3+6=-3<0$.[/reponse]
[reponse motif="positif"]Non.
Attention au coefficient directeur : ici il vaut $-3$, ce qui est négatif. Cela change l'ordre des signes dans le tableau par rapport au cas d'un coefficient positif.[/reponse]
[reponse motif="nul"]Non.
La fonction ne s'annule qu'en $x=2$. Pour $x$ strictement plus grand, elle prend une autre valeur : la tester.[/reponse]
[reponse motif="on ne peut pas savoir"]Non.
Le signe d'une fonction affine $ax+b$ est entièrement déterminé par le signe de $a$ et la position de $x$ par rapport à la racine.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer la racine de $f$, puis regarder le signe de $a$ (ici $-3$) pour ordonner les signes dans le tableau.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $P(x)=(x-1)(x+2)$. Quel est l'ensemble des réels $x$ tels que $P(x)>0$ ?
[qcm]
[option]$]-2\,;\,1[$[/option]
[option]$]1\,;\,+\infty[$[/option]
[option]$]-\infty\,;\,-2[$[/option]
[option correct="true"]$]-\infty\,;\,-2[\,\cup\,]1\,;\,+\infty[$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Les facteurs s'annulent en $x=1$ et $x=-2$. Dans le tableau de signes, le produit est positif lorsque les deux facteurs sont de même signe, c'est-à-dire à l'extérieur des racines : $x<-2$ ou $x>1$.[/reponse]
[reponse motif="$]-2\,;\,1[$"]Non.
C'est précisément l'intervalle où le produit est négatif (les deux facteurs sont alors de signes contraires). On cherche l'inverse.[/reponse]
[reponse motif="$]1\,;\,+\infty[$"]Non.
Sur cet intervalle, $P(x)$ est bien positif, mais ce n'est pas la réponse complète : il existe un autre intervalle où $P(x)>0$.[/reponse]
[reponse motif="$]-\infty\,;\,-2[$"]Non.
Sur cet intervalle, $P(x)$ est bien positif, mais ce n'est pas la réponse complète : il existe un autre intervalle où $P(x)>0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Dresser le tableau de signes avec les racines $-2$ et $1$, puis repérer les intervalles où le produit est strictement positif.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la valeur interdite de la fonction $Q$ définie par $Q(x)=\dfrac{2x+4}{x-5}$ ?
[qcm]
[option]$x=-2$[/option]
[option]$x=2$[/option]
[option]$x=-5$[/option]
[option correct="true"]$x=5$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La valeur interdite est celle qui annule le dénominateur. On résout $x-5=0$, ce qui donne $x=5$.[/reponse]
[reponse motif="$x=-2$"]Non.
$-2$ annule le numérateur, pas le dénominateur. La valeur interdite est celle qui rendrait la division impossible.[/reponse]
[reponse motif="$x=2$"]Non.
Double confusion : la valeur interdite est liée au dénominateur (et non au numérateur), et on résout $x-5=0$, pas $x+5=0$ ni $x-2=0$.[/reponse]
[reponse motif="$x=-5$"]Non.
Attention au signe. Résoudre $x-5=0$ revient à ajouter $5$ de chaque côté : $x=5$, un nombre positif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La valeur interdite d'un quotient est celle qui annule le dénominateur. Résoudre $x-5=0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $\dfrac{x-3}{x+1}\leqslant 0$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$S=\,]-1\,;\,3]$[/option]
[option]$S=\,[-1\,;\,3]$[/option]
[option]$S=\,]-\infty\,;\,-1[\,\cup\,[3\,;\,+\infty[$[/option]
[option]$S=\,[-3\,;\,1]$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
Le numérateur $x-3$ s'annule en $3$ et le dénominateur $x+1$ s'annule en $-1$ (valeur interdite). Le quotient est négatif lorsque numérateur et dénominateur sont de signes contraires, soit sur $]-1\,;\,3[$. On ajoute $3$ (qui annule le quotient, inégalité large) mais on exclut $-1$ (valeur interdite). D'où $S=\,]-1\,;\,3]$.[/reponse]
[reponse motif="$S=\,[-1\,;\,3]$"]Non.
La valeur $-1$ annule le dénominateur : le quotient n'y est pas défini, donc $-1$ doit être exclu (crochet ouvert).[/reponse]
[reponse motif="$S=\,]-\infty\,;\,-1[\,\cup\,[3\,;\,+\infty[$"]Non.
C'est l'ensemble où le quotient est positif ou nul. On cherche l'inverse : les intervalles où il est négatif ou nul.[/reponse]
[reponse motif="$S=\,[-3\,;\,1]$"]Non.
Les racines du numérateur et du dénominateur sont $3$ et $-1$, pas $-3$ et $1$. Résoudre $x-3=0$ donne $x=3$, et $x+1=0$ donne $x=-1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Dresser le tableau de signes du quotient avec les racines $-1$ (valeur interdite) et $3$, puis repérer les $x$ tels que le quotient est négatif ou nul.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $(x-2)(x+4)<0$ ?
[qcm]
[option]$S=\,]-\infty\,;\,-4[\,\cup\,]2\,;\,+\infty[$[/option]
[option correct="true"]$S=\,]-4\,;\,2[$[/option]
[option]$S=\,]-2\,;\,4[$[/option]
[option]$S=\,[-4\,;\,2]$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Les facteurs s'annulent en $2$ et $-4$. Le produit est strictement négatif lorsque les deux facteurs sont de signes contraires, c'est-à-dire entre les deux racines : $S=\,]-4\,;\,2[$. Les bornes sont exclues car l'inégalité est stricte.[/reponse]
[reponse motif="$S=\,]-\infty\,;\,-4[\,\cup\,]2\,;\,+\infty[$"]Non.
C'est l'ensemble où le produit est strictement positif (deux facteurs de même signe). On cherche l'inverse.[/reponse]
[reponse motif="$S=\,]-2\,;\,4[$"]Non.
Les racines des facteurs sont $2$ et $-4$ (et non $-2$ et $4$). Résoudre $x-2=0$ donne $x=2$, et $x+4=0$ donne $x=-4$.[/reponse]
[reponse motif="$S=\,[-4\,;\,2]$"]Non.
L'inégalité est stricte ($<$ et non $\leqslant$). Les valeurs qui annulent le produit ne sont donc pas solutions : les bornes doivent être exclues.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Dresser le tableau de signes avec les racines $-4$ et $2$, puis repérer les intervalles où le produit est strictement négatif.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les inéquations-produit et inéquations-quotient, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Dans un tableau de signes pour un quotient, on place une double barre verticale sous la valeur qui annule le dénominateur.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La double barre signale que la valeur est interdite : le quotient n'est pas défini en ce point.
C'est la convention standard des tableaux de signes pour les quotients.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la double barre est la notation officielle pour marquer une valeur interdite dans un tableau de signes.
Cela permet de ne pas la confondre avec un simple zéro du numérateur.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La double barre indique que le quotient n'est pas défini pour cette valeur (dénominateur nul).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour résoudre $\dfrac{x - 2}{x + 3} \leqslant 0$, on peut multiplier les deux membres par $x + 3$ sans changer le sens de l'inégalité.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le signe de $x + 3$ dépend de $x$ : pour $x > -3$ il est positif, pour $x < -3$ il est négatif.
Multiplier par une expression dont on ignore le signe est proscrit : on passe par un tableau de signes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : multiplier une inéquation par une expression variable fait changer le sens selon que l'expression est positive ou négative.
Ici $x + 3$ peut être positif ou négatif : il faut résoudre par un tableau de signes, pas par multiplication.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. On ne peut pas multiplier par $x + 3$ sans connaître son signe : il faut utiliser un tableau de signes.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'ensemble des solutions de l'inéquation $(2x - 4)(x + 1) < 0$ est $\left] -1~;~2 \right[$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le produit s'annule en $x = 2$ et $x = -1$. En étudiant les signes, le produit est strictement négatif quand les deux facteurs sont de signes opposés.
Cela correspond à $-1 < x < 2$, donc $S = \left] -1~;~2 \right[$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est de mal lire le tableau de signes : le produit est strictement négatif quand les facteurs sont de signes contraires.
Entre les racines $-1$ et $2$, le produit est négatif ; les bornes sont exclues car l'inégalité est stricte. $S = \left] -1~;~2 \right[$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Par tableau de signes, $(2x-4)(x+1) < 0$ entre les racines $-1$ et $2$ (bornes exclues) : $S = \left] -1~;~2 \right[$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $(x - 1)(x + 3) \geqslant 0$, alors $x \geqslant 1$ ou $x \geqslant -3$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
Un produit est positif ou nul lorsque ses deux facteurs sont de même signe (ou qu'au moins un est nul).
Le tableau de signes donne $x \leqslant -3$ ou $x \geqslant 1$, soit $S = \left] -\infty~;~-3 \right] \cup \left[ 1~;~+\infty \right[$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « chaque facteur positif » avec « même signe » : un produit est positif si les deux facteurs sont positifs ou les deux négatifs.
Le tableau de signes donne $S = \left] -\infty~;~-3 \right] \cup \left[ 1~;~+\infty \right[$, pas la réunion $x \geqslant -3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le produit est positif ou nul pour $x \leqslant -3$ ou $x \geqslant 1$, soit $S = \left] -\infty~;~-3 \right] \cup \left[ 1~;~+\infty \right[$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'ensemble des solutions de l'inéquation $x^2 \leqslant 4$ est $\left[ -2~;~2 \right]$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On ramène l'inéquation à la forme $x^2 - 4 \leqslant 0$, soit $(x - 2)(x + 2) \leqslant 0$.
Le produit est négatif ou nul entre les racines : $S = \left[ -2~;~2 \right]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est de conclure à $x \leqslant 2$ sans passer par la factorisation.
En écrivant $x^2 - 4 \leqslant 0 \Leftrightarrow (x-2)(x+2) \leqslant 0$, le tableau de signes donne $-2 \leqslant x \leqslant 2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. On factorise $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ puis on utilise un tableau de signes : $S = \left[ -2~;~2 \right]$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'ensemble des solutions de l'inéquation $\dfrac{x - 2}{x + 3} \leqslant 0$ est $\left[ -3~;~2 \right]$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La valeur $x = -3$ est interdite : elle annule le dénominateur et doit être exclue (crochet ouvert).
Le tableau de signes donne $S = \left] -3~;~2 \right]$ et non $\left[ -3~;~2 \right]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à la différence entre un zéro du numérateur (borne incluse si inégalité large) et un zéro du dénominateur (borne toujours exclue).
La borne $-3$ annule le dénominateur : elle doit être exclue, donc $S = \left] -3~;~2 \right]$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La valeur $-3$ annule le dénominateur : elle doit être exclue. L'ensemble solution est $\left] -3~;~2 \right]$.
[/solution]
[/etape]

Soit la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R}\backslash\left\{ - 1\right\} $ par :

1. Écrire $ f\left(x\right) $ sous la forme d'un quotient.
2. Dresser le tableau du signe de $ f\left(x\right) $.
3. Résoudre l'inéquation $ \dfrac{4x^{2} - x - 2}{x+1} > - 1 $

1. Étudier le signe du quotient $ \dfrac{5 - 2x}{2x - 1}. $
2. En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation $ \dfrac{5 - 2x}{2x - 1} \leqslant 0 $