[enonce]
Ce QCM porte sur la représentation paramétrique d'un plan dans l'espace et les positions relatives associées. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Le plan $\mathscr{P}$ passe par $A(1~;~0~;~-1)$ et a pour vecteurs directeurs $\vec{u}(1~;~1~;~0)$ et $\vec{v}(0~;~1~;~1)$. Quelle est une représentation paramétrique de $\mathscr{P}$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\left\{\begin{matrix}x = 1 + s \\ y = s + t \\ z = -1 + t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$[/option]
[option]$\left\{\begin{matrix}x = s \\ y = s + t \\ z = t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$[/option]
[option]$\left\{\begin{matrix}x = 1 + s \\ y = 1 + s + t \\ z = -1 + t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$[/option]
[option]$\left\{\begin{matrix}x = 1 + s + t \\ y = s \\ z = -1 + t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On applique la formule générale $x = x_A + as + a't$, $y = y_A + bs + b't$, $z = z_A + cs + c't$, où $\vec{u}(a~;~b~;~c)$ et $\vec{v}(a'~;~b'~;~c')$.
Avec $A(1~;~0~;~-1)$, $\vec{u}(1~;~1~;~0)$ et $\vec{v}(0~;~1~;~1)$, on obtient $x = 1 + s + 0t$, $y = 0 + s + t$, $z = -1 + 0s + t$.[/reponse]
[reponse motif="$\left\{\begin{matrix}x = s \\ y = s + t \\ z = t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$"]Non.
Les coordonnées du point $A$ ont été oubliées : cette représentation est celle du plan vectoriel parallèle, passant par l'origine. Ajouter les coordonnées de $A$ comme termes constants.[/reponse]
[reponse motif="$\left\{\begin{matrix}x = 1 + s \\ y = 1 + s + t \\ z = -1 + t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$"]Non.
La deuxième coordonnée du point $A$ est $0$, pas $1$. Le terme constant de la deuxième équation doit donc être $0$, pas $1$.[/reponse]
[reponse motif="$\left\{\begin{matrix}x = 1 + s + t \\ y = s \\ z = -1 + t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$"]Non.
La répartition des coefficients de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne correspond pas aux coordonnées des deux vecteurs : la première coordonnée de $\vec{v}$ est $0$, donc $t$ ne doit pas apparaître dans l'équation en $x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer $x = x_A + a s + a' t$, $y = y_A + b s + b' t$, $z = z_A + c s + c' t$, en respectant l'ordre des coordonnées de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ pour chaque équation.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le point $B(3~;~5~;~1)$ appartient-il au plan de représentation paramétrique $\left\{\begin{matrix}x = 1 + s + t \\ y = 2 + s - t \\ z = -1 + s + 2t\end{matrix}\right.$ ?
[qcm]
[option]Oui, pour $s = \dfrac{5}{2}$ et $t = -\dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]Non, le système n'a pas de solution[/option]
[option]Oui, le système est compatible[/option]
[option]On ne peut pas conclure sans connaître les vecteurs directeurs[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On résout le système $1 + s + t = 3$, $2 + s - t = 5$, $-1 + s + 2t = 1$, soit $s + t = 2$, $s - t = 3$, $s + 2t = 2$.
Les deux premières équations donnent $s = \dfrac{5}{2}$ et $t = -\dfrac{1}{2}$.
On vérifie la troisième : $\dfrac{5}{2} + 2 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{3}{2} \neq 2$.
Le système est incompatible : $B$ n'appartient pas au plan.[/reponse]
[reponse motif="Oui, pour $s = \dfrac{5}{2}$ et $t = -\dfrac{1}{2}$"]Non.
Ce couple est obtenu à partir des deux premières équations, mais il faut absolument vérifier la troisième. Substituer $s$ et $t$ dans la troisième équation pour voir si elle est satisfaite.[/reponse]
[reponse motif="Oui, le système est compatible"]Non.
Le système n'est pas compatible : la valeur de $(s~;~t)$ obtenue à partir des deux premières équations ne vérifie pas la troisième. Effectuer la vérification numérique avant de conclure.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas conclure sans connaître les vecteurs directeurs"]Non.
Les vecteurs directeurs sont lisibles directement dans la représentation paramétrique : ce sont les coefficients de $s$ et de $t$. Mais ici, il suffit de tester l'existence d'un couple $(s~;~t)$ qui rende les trois équations vraies.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour tester l'appartenance de $B$ au plan, écrire les trois équations avec ses coordonnées et vérifier l'existence d'un couple $(s~;~t)$ qui les satisfait toutes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quels sont des vecteurs directeurs du plan de représentation paramétrique $\left\{\begin{matrix}x = 2 + s - t \\ y = 1 + 2s \\ z = 3 - s + t\end{matrix}\right.$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\vec{u}(1~;~2~;~-1)$ et $\vec{v}(-1~;~0~;~1)$[/option]
[option]$\vec{u}(2~;~1~;~3)$ et $\vec{v}(1~;~-1~;~1)$[/option]
[option]$\vec{u}(1~;~2~;~-1)$ et $\vec{v}(1~;~0~;~1)$[/option]
[option]$\vec{u}(s~;~2s~;~-s)$ et $\vec{v}(-t~;~0~;~t)$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Les vecteurs directeurs sont les coefficients de $s$ et de $t$ dans la représentation paramétrique.
Pour $s$ : on lit $1$ (en $x$), $2$ (en $y$), $-1$ (en $z$), donc $\vec{u}(1~;~2~;~-1)$.
Pour $t$ : on lit $-1$ (en $x$), $0$ (en $y$), $1$ (en $z$), donc $\vec{v}(-1~;~0~;~1)$.[/reponse]
[reponse motif="$\vec{u}(2~;~1~;~3)$ et $\vec{v}(1~;~-1~;~1)$"]Non.
Le premier vecteur correspond au point particulier (termes constants), pas à un vecteur directeur. Lire les coefficients de $s$ et de $t$ pour obtenir les vecteurs directeurs.[/reponse]
[reponse motif="$\vec{u}(1~;~2~;~-1)$ et $\vec{v}(1~;~0~;~1)$"]Non.
Le signe de la première coordonnée du second vecteur est incorrect : le coefficient de $t$ dans la première équation est $-1$, pas $+1$.[/reponse]
[reponse motif="$\vec{u}(s~;~2s~;~-s)$ et $\vec{v}(-t~;~0~;~t)$"]Non.
Les coordonnées d'un vecteur sont des nombres, pas des expressions contenant les paramètres. Lire les coefficients de $s$ et de $t$ sans les paramètres eux-mêmes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Les vecteurs directeurs ont pour coordonnées les coefficients (signes inclus) de $s$ et de $t$ dans les trois équations de la représentation paramétrique.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère $A(1~;~0~;~0)$, $B(0~;~1~;~0)$ et $C(0~;~0~;~1)$. Quelle est une représentation paramétrique du plan $(ABC)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\left\{\begin{matrix}x = 1 - s - t \\ y = s \\ z = t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$[/option]
[option]$\left\{\begin{matrix}x = s \\ y = s + t \\ z = t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$[/option]
[option]$\left\{\begin{matrix}x = 1 + s + t \\ y = s \\ z = t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$[/option]
[option]$\left\{\begin{matrix}x = s + t \\ y = 1 + s \\ z = 1 + t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est juste !
On choisit $A(1~;~0~;~0)$ comme point et $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ comme vecteurs directeurs :
$\overrightarrow{AB}(-1~;~1~;~0)$ et $\overrightarrow{AC}(-1~;~0~;~1)$.
La représentation paramétrique est donc $x = 1 - s - t$, $y = s$, $z = t$.[/reponse]
[reponse motif="$\left\{\begin{matrix}x = s \\ y = s + t \\ z = t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$"]Non.
Cette représentation passe par l'origine, qui n'est pas dans le plan $(ABC)$ : par exemple pour $s = 0$ et $t = 0$, on trouve $(0~;~0~;~0)$. Reprendre avec un point du plan, comme $A(1~;~0~;~0)$.[/reponse]
[reponse motif="$\left\{\begin{matrix}x = 1 + s + t \\ y = s \\ z = t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$"]Non.
Le signe des coefficients de $s$ et de $t$ dans la première équation est incorrect. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ont une première coordonnée négative ($-1$).[/reponse]
[reponse motif="$\left\{\begin{matrix}x = s + t \\ y = 1 + s \\ z = 1 + t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$"]Non.
Les rôles des coordonnées du point ont été permutés : avec $A(1~;~0~;~0)$, le terme constant doit apparaître dans l'équation en $x$, pas en $y$ ou en $z$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Choisir un point du plan (par exemple $A$), calculer les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis appliquer la formule $x = x_A + a s + a' t$, etc.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $\mathscr{D}$ la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{matrix}x = 1 + t \\ y = 2t \\ z = t\end{matrix}\right.$ et $\mathscr{P}$ le plan passant par $O(0~;~0~;~0)$ avec vecteurs directeurs $\vec{u}(1~;~0~;~0)$ et $\vec{v}(0~;~1~;~0)$. Quelle est leur position relative ?
[qcm]
[option]strictement parallèles[/option]
[option correct="true"]sécants en $M(1~;~0~;~0)$[/option]
[option]la droite est incluse dans le plan[/option]
[option]sécants en $O(0~;~0~;~0)$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le vecteur directeur de $\mathscr{D}$ est $\vec{u_D}(1~;~2~;~1)$. Sa troisième coordonnée vaut $1$, alors que celles de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont nulles : $\vec{u_D}$ ne peut pas être combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, donc $\mathscr{D}$ n'est pas parallèle à $\mathscr{P}$.
On cherche le point d'intersection en imposant $z = 0$ dans la droite : $t = 0$, ce qui donne $M(1~;~0~;~0)$. Ce point est bien dans $\mathscr{P}$ car $\overrightarrow{OM} = \vec{u}$.[/reponse]
[reponse motif="strictement parallèles"]Non.
Pour que $\mathscr{D}$ soit parallèle à $\mathscr{P}$, son vecteur directeur doit être combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Or la troisième coordonnée de $\vec{u_D}$ est $1$ alors que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont des troisièmes coordonnées nulles : impossible.[/reponse]
[reponse motif="la droite est incluse dans le plan"]Non.
Pour que la droite soit incluse, il faudrait à la fois $\vec{u_D}$ combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, et un point de la droite dans le plan. La première condition n'est pas vérifiée.[/reponse]
[reponse motif="sécants en $O(0~;~0~;~0)$"]Non.
Le point $O$ n'est pas sur la droite : pour $t = 0$ on obtient $(1~;~0~;~0)$, pas $(0~;~0~;~0)$. Trouver la valeur de $t$ qui rend la troisième coordonnée nulle (le plan a $z = 0$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Tester d'abord si le vecteur directeur de la droite est combinaison linéaire des vecteurs directeurs du plan. Si non, la droite est sécante : trouver le point d'intersection en cherchant un point de la droite qui appartienne au plan.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $\mathscr{P}_1 : \left\{\begin{matrix}x = s \\ y = t \\ z = 0\end{matrix}\right.$ et $\mathscr{P}_2 : \left\{\begin{matrix}x = 1 + s \\ y = t \\ z = 2\end{matrix}\right.$. Quelle est la position relative de ces deux plans ?
[qcm]
[option correct="true"]strictement parallèles[/option]
[option]sécants selon une droite[/option]
[option]confondus[/option]
[option]on ne peut pas savoir car les vecteurs directeurs sont différents[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les deux plans ont les mêmes vecteurs directeurs $\vec{u}(1~;~0~;~0)$ et $\vec{v}(0~;~1~;~0)$ : ils sont parallèles ou confondus.
$\mathscr{P}_1$ contient les points de cote $z = 0$ et $\mathscr{P}_2$ ceux de cote $z = 2$ : aucun point n'est commun aux deux plans.
Ils sont donc strictement parallèles.[/reponse]
[reponse motif="sécants selon une droite"]Non.
Pour que les plans soient sécants, leurs vecteurs directeurs ne doivent pas pouvoir engendrer le même plan vectoriel. Or ici, les deux paires de vecteurs directeurs sont identiques : les plans ne sont pas sécants.[/reponse]
[reponse motif="confondus"]Non.
Les vecteurs directeurs sont bien identiques, mais il faut encore vérifier qu'un point de $\mathscr{P}_1$ appartient à $\mathscr{P}_2$. Or aucun point de $\mathscr{P}_1$ n'a une cote $z = 2$ : les plans ne sont pas confondus.[/reponse]
[reponse motif="on ne peut pas savoir car les vecteurs directeurs sont différents"]Non.
Les vecteurs directeurs sont en fait identiques dans les deux représentations : $\vec{u}(1~;~0~;~0)$ et $\vec{v}(0~;~1~;~0)$. La conclusion est donc accessible.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Comparer les vecteurs directeurs des deux plans : s'ils engendrent la même direction, les plans sont parallèles ou confondus. Tester ensuite si un point d'un plan est dans l'autre.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]