[enonce]
Ce QCM porte sur la réciproque du théorème de Thalès : prouver que deux droites sont parallèles, ou montrer qu'elles ne le sont pas. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]
[etape]
Dans une configuration de triangles emboîtés $OAB$ et $OA'B'$ (avec $O$, $A$, $A'$ alignés dans cet ordre et $O$, $B$, $B'$ alignés dans cet ordre), pour démontrer que $(AB)$ et $(A'B')$ sont parallèles, on utilise :
[qcm]
[option]L'égalité $OA + OB = OA' + OB'$.[/option]
[option correct="true"]L'égalité $\dfrac{OA}{OA'} = \dfrac{OB}{OB'}$.[/option]
[option]Le fait que $OA = OB$ et $OA' = OB'$.[/option]
[option]L'égalité $AB = A'B'$.[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La réciproque du théorème de Thalès affirme : si les points sont dans le même ordre et si $\dfrac{OA}{OA'} = \dfrac{OB}{OB'}$, alors $(AB) /\!/ (A'B')$.[/reponse]
[reponse motif="L'égalité $OA + OB = OA' + OB'$."]Non.
Le théorème de Thalès porte sur des rapports de longueurs, pas sur des sommes.
La condition utilise une proportionnalité, donc une égalité de fractions.[/reponse]
[reponse motif="Le fait que $OA = OB$ et $OA' = OB'$."]Non.
Cette condition impose une symétrie particulière. La réciproque de Thalès n'a pas besoin de cette hypothèse.
La condition utilise une égalité de rapports, pas une égalité directe de longueurs.[/reponse]
[reponse motif="L'égalité $AB = A'B'$."]Non.
Si $AB = A'B'$, les deux triangles auraient des côtés parallèles de même longueur, ce qui n'arrive que si le coefficient d'agrandissement vaut $1$ — donc dans une configuration dégénérée.
La condition utilisée par la réciproque concerne $\dfrac{OA}{OA'}$ et $\dfrac{OB}{OB'}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La réciproque du théorème de Thalès s'appuie sur l'égalité des rapports $\dfrac{OA}{OA'} = \dfrac{OB}{OB'}$ avec des points dans le même ordre.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $OAB$ et $OA'B'$ deux triangles emboîtés avec $O$, $A$, $A'$ alignés dans cet ordre et $O$, $B$, $B'$ alignés dans cet ordre.
On donne $OA = 3$ cm, $OA' = 5$ cm, $OB = 6$ cm et $OB' = 10$ cm. Les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont-elles parallèles ?
[qcm]
[option correct="true"]Oui, car $\dfrac{OA}{OA'} = \dfrac{OB}{OB'} = \dfrac{3}{5}$.[/option]
[option]Oui, car les longueurs sont entières.[/option]
[option]Non, car $OA + OB \neq OA' + OB'$.[/option]
[option]On ne peut pas conclure sans connaître $AB$.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On calcule séparément : $\dfrac{OA}{OA'} = \dfrac{3}{5}$ et $\dfrac{OB}{OB'} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$.
Les deux rapports sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(AB) /\!/ (A'B')$.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car les longueurs sont entières."]Non.
Le caractère entier des longueurs n'a aucun rapport avec le parallélisme. Il faut comparer les rapports $\dfrac{OA}{OA'}$ et $\dfrac{OB}{OB'}$.[/reponse]
[reponse motif="Non, car $OA + OB \neq OA' + OB'$."]Non.
La condition de la réciproque porte sur des rapports, pas sur des sommes. Calcule $\dfrac{OA}{OA'}$ et $\dfrac{OB}{OB'}$.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas conclure sans connaître $AB$."]Non.
Pour appliquer la réciproque, il suffit de connaître les longueurs $OA$, $OA'$, $OB$ et $OB'$ : on peut tout à fait conclure ici.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer séparément $\dfrac{OA}{OA'}$ et $\dfrac{OB}{OB'}$ pour comparer.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $OAB$ et $OA'B'$ deux triangles emboîtés avec les points dans le même ordre des deux côtés.
On donne $OA = 4$ cm, $OA' = 6$ cm, $OB = 5$ cm et $OB' = 8$ cm. Les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont-elles parallèles ?
[qcm]
[option]Oui, car $4 < 6$ et $5 < 8$.[/option]
[option correct="true"]Non, car $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{5}{8}$ n'est pas égal à $\dfrac{2}{3}$.[/option]
[option]Oui, par le théorème de Thalès.[/option]
[option]Impossible à dire.[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$\dfrac{OA}{OA'} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{OB}{OB'} = \dfrac{5}{8}$.
On compare : $\dfrac{2}{3} = \dfrac{16}{24}$ et $\dfrac{5}{8} = \dfrac{15}{24}$, donc $\dfrac{2}{3} \neq \dfrac{5}{8}$.
D'après la contraposée du théorème de Thalès, $(AB)$ et $(A'B')$ ne sont pas parallèles.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car $4 < 6$ et $5 < 8$."]Non.
L'inégalité des longueurs assure seulement que les triangles sont emboîtés, pas que $(AB) /\!/ (A'B')$. Il faut comparer les rapports.[/reponse]
[reponse motif="Oui, par le théorème de Thalès."]Non.
Le théorème de Thalès suppose déjà le parallélisme : on l'utilise pour calculer des longueurs, pas pour démontrer le parallélisme.
Pour démontrer le parallélisme, on utilise la réciproque, et il faut vérifier l'égalité des rapports.[/reponse]
[reponse motif="Impossible à dire."]Non.
Avec $OA$, $OA'$, $OB$ et $OB'$, on peut comparer les rapports $\dfrac{OA}{OA'}$ et $\dfrac{OB}{OB'}$ et conclure.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\dfrac{4}{6}$ et $\dfrac{5}{8}$, et vérifier s'ils sont égaux.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $OAB$ et $OA'B'$ deux triangles emboîtés avec les points dans le même ordre des deux côtés.
On donne $OA = 2$ cm, $OA' = 8$ cm, $OB = 3$ cm et $OB' = 12$ cm. Les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont-elles parallèles ?
[qcm]
[option]Non, car $2 \neq 3$.[/option]
[option correct="true"]Oui, car $\dfrac{OA}{OA'} = \dfrac{OB}{OB'} = \dfrac{1}{4}$.[/option]
[option]Oui, car $OA + OB' = OA' + OB$.[/option]
[option]Non, car les longueurs sont différentes.[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\dfrac{OA}{OA'} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$ et $\dfrac{OB}{OB'} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$.
Les deux rapports sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(AB) /\!/ (A'B')$.[/reponse]
[reponse motif="Non, car $2 \neq 3$."]Non.
Comparer $OA$ et $OB$ ne sert à rien : il faut comparer le rapport $\dfrac{OA}{OA'}$ avec le rapport $\dfrac{OB}{OB'}$.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car $OA + OB' = OA' + OB$."]Non.
La condition $2 + 12 = 8 + 3 = 14$ est une coïncidence de somme. La réciproque utilise des rapports, pas des sommes.[/reponse]
[reponse motif="Non, car les longueurs sont différentes."]Non.
Toutes les configurations de Thalès non triviales ont des longueurs différentes : c'est précisément l'idée d'agrandissement. Il faut comparer les rapports.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\dfrac{2}{8}$ et $\dfrac{3}{12}$ pour les comparer.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $OAB$ et $OA'B'$ deux triangles avec $O$, $A$, $A'$ alignés dans cet ordre, mais $O$, $B'$, $B$ alignés dans cet ordre (attention à l'ordre !). On suppose $\dfrac{OA}{OA'} = \dfrac{OB'}{OB}$. Peut-on conclure que $(AB) /\!/ (A'B')$ ?
[qcm]
[option]Oui, puisque les rapports sont égaux.[/option]
[option correct="true"]Non, car les points doivent être dans le même ordre des deux côtés.[/option]
[option]Oui, par définition de la réciproque.[/option]
[option]Non, car le rapport est inversé.[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La réciproque du théorème de Thalès exige que $O$, $A$, $A'$ et $O$, $B$, $B'$ soient dans le même ordre. Ici, l'ordre $O$, $B'$, $B$ est inversé du côté de $B$, donc on ne peut pas appliquer la réciproque.[/reponse]
[reponse motif="Oui, puisque les rapports sont égaux."]Non.
L'égalité des rapports ne suffit pas seule : il faut aussi que les points soient dans le même ordre des deux côtés. Sans cette condition, on peut tomber sur des triangles symétriques par rapport à $O$ qui ne donnent pas de droites parallèles.[/reponse]
[reponse motif="Oui, par définition de la réciproque."]Non.
La définition de la réciproque inclut la condition d'ordre des points, qui n'est pas vérifiée ici.[/reponse]
[reponse motif="Non, car le rapport est inversé."]Pas tout à fait.
Le rapport $\dfrac{OB'}{OB}$ est bien l'inverse de $\dfrac{OB}{OB'}$, mais peu importe : si les rapports sont égaux, l'égalité tient aussi inversée. Le vrai problème est l'ordre des points sur la demi-droite, qui n'est pas respecté.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Réciter précisément l'énoncé de la réciproque du théorème de Thalès : il y a une condition sur l'ordre des points.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $OAB$ et $OA'B'$ deux triangles emboîtés avec les points dans le même ordre.
On donne $OA = 3$ cm, $AA' = 4$ cm, $OB = 5{,}4$ cm et $BB' = 7{,}2$ cm. Les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont-elles parallèles ?
[qcm]
[option]Non, car $3 + 4 \neq 5{,}4 + 7{,}2$.[/option]
[option correct="true"]Oui, car $\dfrac{OA}{OA'} = \dfrac{OB}{OB'} = \dfrac{3}{7}$.[/option]
[option]Non, car $\dfrac{3}{4} \neq \dfrac{5{,}4}{7{,}2}$.[/option]
[option]Impossible à dire.[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On calcule $OA' = OA + AA' = 3 + 4 = 7$ et $OB' = OB + BB' = 5{,}4 + 7{,}2 = 12{,}6$.
Puis $\dfrac{OA}{OA'} = \dfrac{3}{7}$ et $\dfrac{OB}{OB'} = \dfrac{5{,}4}{12{,}6}$.
Pour comparer : $\dfrac{5{,}4}{12{,}6} = \dfrac{54}{126} = \dfrac{3}{7}$ (en simplifiant par $18$).
Les deux rapports sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(AB) /\!/ (A'B')$.[/reponse]
[reponse motif="Non, car $3 + 4 \neq 5{,}4 + 7{,}2$."]Non.
La réciproque utilise des rapports, pas des sommes. Calcule $OA'$, $OB'$ puis les rapports $\dfrac{OA}{OA'}$ et $\dfrac{OB}{OB'}$.[/reponse]
[reponse motif="Non, car $\dfrac{3}{4} \neq \dfrac{5{,}4}{7{,}2}$."]Pas tout à fait.
Tu as comparé $\dfrac{OA}{AA'}$ et $\dfrac{OB}{BB'}$ au lieu de $\dfrac{OA}{OA'}$ et $\dfrac{OB}{OB'}$.
Calculer d'abord $OA' = OA + AA'$ et $OB' = OB + BB'$ avant de comparer les rapports.[/reponse]
[reponse motif="Impossible à dire."]Non.
On peut calculer $OA' = 7$ et $OB' = 12{,}6$, puis comparer les rapports : c'est suffisant pour conclure.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord $OA'$ et $OB'$ par addition, puis comparer $\dfrac{OA}{OA'}$ et $\dfrac{OB}{OB'}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
![Triangle SAB avec M sur [SA] et N sur [SB], SM = 3, MA = 5, SN = 4,5, NB = 7,5](/assets/svg/4e-thales-triangle-paralleles-mn-ab-graph-bb-1.svg?v=1779475880)
