Nombres premiers : tests, contre-exemples et démonstration

Parmi les nombres suivants, déterminer ceux qui sont premiers. Pour ceux qui ne le sont pas, donner un produit de deux entiers (autres que $ 1 $ et le nombre lui-même).
1. $ 51 $
2. $ 91 $
3. $ 97 $
4. $ 113 $
Léo affirme : « Tout nombre impair est un nombre premier. » Donner un contre-exemple pour montrer que cette affirmation est fausse.
Marie souhaite distribuer $ 91 $ cartes entre ses amis, en donnant le même nombre de cartes à chacun, sans qu'il en reste. Elle ne se compte pas elle-même et ne souhaite pas avoir un seul ami qui prendrait toutes les cartes. Trouver tous les nombres possibles d'amis.
Démontrer que tout nombre premier autre que $ 2 $ et $ 3 $ a un reste égal à $ 1 $ ou à $ 5 $ dans la division euclidienne par $ 6 $.

Corrigé

1. La somme des chiffres de $ 51 $ est $ 5 + 1 = 6 $, divisible par $ 3 $.
  Donc $ 51 = 3 \times 17 $ et $ 51 $ n'est pas premier.
2. $ 91 $ n'est pas divisible par $ 2 $, $ 3 $ ni $ 5 $. On teste $ 7 $ : $ 91 = 7 \times 13 $.
  $ 91 $ n'est pas premier.
3. On teste les nombres premiers successifs :
  - $ 97 $ est impair, donc non divisible par $ 2 $.
  - $ 9 + 7 = 16 $, non divisible par $ 3 $.
  - Le chiffre des unités est $ 7 $, donc non divisible par $ 5 $.
  - $ 97 = 7 \times 13 + 6 $, donc non divisible par $ 7 $.
  Comme $ 11 \times 11 = 121 > 97 $, il est inutile d'aller plus loin : si $ 97 $ avait un diviseur premier $ p \geqslant 11 $, le diviseur associé serait inférieur à $ 11 $ et aurait déjà été trouvé.
  $ 97 $ est premier.
4. On teste les nombres premiers successifs :
  - $ 113 $ est impair.
  - $ 1 + 1 + 3 = 5 $, non divisible par $ 3 $.
  - Le chiffre des unités est $ 3 $, donc non divisible par $ 5 $.
  - $ 113 = 7 \times 16 + 1 $, donc non divisible par $ 7 $.
  Comme $ 11 \times 11 = 121 > 113 $, on s'arrête.
  $ 113 $ est premier.
Le nombre $ 9 $ est impair (il s'écrit $ 2 \times 4 + 1 $) mais $\mathbf{9 = 3 \times 3}$, donc $ 9 $ admet $ 3 $ comme diviseur en plus de $ 1 $ et $ 9 $.
$ 9 $ n'est donc pas premier : c'est un contre-exemple à l'affirmation de Léo.
(D'autres contre-exemples possibles : $ 15 = 3 \times 5 $, $ 21 = 3 \times 7 $, $ 25 = 5 \times 5 $...)
Le nombre d'amis de Marie doit être un diviseur de $ 91 $, autre que $ 1 $ et $ 91 $.
D'après la question 1.b, $ 91 = 7 \times 13 $. Les diviseurs de $ 91 $ sont donc : $ 1 $, $ 7 $, $ 13 $ et $ 91 $.
En excluant $ 1 $ et $ 91 $, Marie peut distribuer ses cartes à $ 7 $ amis (chacun reçoit $ 13 $ cartes) ou à $ 13 $ amis (chacun reçoit $ 7 $ cartes).
Soit $ p $ un nombre premier autre que $ 2 $ et $ 3 $. La division euclidienne de $ p $ par $ 6 $ s'écrit :

$ p = 6q + r $ avec $ 0 \leqslant r < 6 $

Ainsi, $ r $ peut prendre l'une des valeurs : $ 0 $, $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $, $ 4 $ ou $ 5 $.

On examine chaque cas :
- Si $ r = 0 $ : $ p = 6q = 2 \times (3q) $, donc $ p $ est divisible par $ 2 $. Or $ p $ est premier et différent de $ 2 $ : impossible.
- Si $ r = 2 $ : $ p = 6q + 2 = 2 \times (3q + 1) $, donc $ p $ est divisible par $ 2 $ : impossible.
- Si $ r = 3 $ : $ p = 6q + 3 = 3 \times (2q + 1) $, donc $ p $ est divisible par $ 3 $. Or $ p $ est premier et différent de $ 3 $ : impossible.
- Si $ r = 4 $ : $ p = 6q + 4 = 2 \times (3q + 2) $, donc $ p $ est divisible par $ 2 $ : impossible.
Il ne reste donc que les valeurs $ r = 1 $ ou $ r = 5 $.
On peut le vérifier sur quelques exemples : $ 5 = 6 \times 0 + 5 $, $ 7 = 6 \times 1 + 1 $, $ 11 = 6 \times 1 + 5 $, $ 13 = 6 \times 2 + 1 $, $ 17 = 6 \times 2 + 5 $, $ 19 = 6 \times 3 + 1 $...

→ Pour réviser : Reconnaître si un nombre est premier

Division euclidienne : ranger des livres

La bibliothèque d'un collège vient de recevoir $ 437 $ nouveaux livres. Le bibliothécaire souhaite les ranger dans des étagères pouvant accueillir exactement $ 24 $ livres chacune.

Effectuer la division euclidienne de $ 437 $ par $ 24 $. Donner le quotient et le reste.
En déduire le nombre d'étagères qui peuvent être entièrement remplies, ainsi que le nombre de livres qui resteront sur l'étagère incomplète.
Le bibliothécaire achète ensuite $ 12 $ livres supplémentaires. Avec ce nouveau total, peut-il remplir entièrement toutes les étagères qu'il utilise, sans aucun livre restant ? Justifier.
Combien de livres faudrait-il en plus du stock initial de $ 437 $ pour pouvoir remplir entièrement un nombre exact d'étagères, sans qu'aucun livre ne soit isolé ?

Corrigé

On cherche le plus grand multiple de $ 24 $ inférieur ou égal à $ 437 $.
$ 24 \times 18 = 432 $ et $ 24 \times 19 = 456 $, donc le quotient est $ 18 $.
Le reste vaut $ 437 - 432 = 5 $.
La division euclidienne s'écrit :

$ 437 = 24 \times 18 + 5 $ avec $ 0 \leqslant 5 < 24 $

Le quotient est $\mathbf{18}$ et le reste est $\mathbf{5}$.
Le quotient indique combien d'étagères sont entièrement remplies, et le reste donne les livres restants.
Le bibliothécaire peut remplir entièrement $ 18 $ étagères, et il restera $ 5 $ livres sur une dernière étagère incomplète.
Avec $ 12 $ livres supplémentaires, le total devient $ 437 + 12 = 449 $.
On effectue la division euclidienne de $ 449 $ par $ 24 $ :
$ 24 \times 18 = 432 $ et $ 449 - 432 = 17 $, donc $ 449 = 24 \times 18 + 17 $.
Le reste est $ 17 \neq 0 $, donc le bibliothécaire ne peut pas remplir entièrement toutes les étagères. Il aura $ 18 $ étagères pleines et $ 17 $ livres sur une étagère incomplète.
Pour remplir un nombre exact d'étagères, le total doit être un multiple de $ 24 $.
Le plus petit multiple de $ 24 $ supérieur ou égal à $ 437 $ est :
$ 24 \times 19 = 456 $.
Il faut donc ajouter $ 456 - 437 = $ $ 19 $ livres au stock initial.
Vérification : $ 437 + 19 = 456 = 24 \times 19 $, qui correspond à $ 19 $ étagères pleines.

Multiples et diviseurs : repérer et lister

Lister tous les diviseurs de $ 48 $.
Lister tous les multiples de $ 9 $ inférieurs à $ 100 $.
Parmi les nombres $ 24 $, $ 35 $, $ 48 $, $ 56 $ et $ 72 $ :
1. Lesquels sont des multiples de $ 8 $ ?
2. Lesquels sont des diviseurs de $ 144 $ ?
Une fleuriste dispose de $ 56 $ roses qu'elle souhaite répartir en bouquets identiques, sans qu'il reste de roses. Donner toutes les manières possibles d'organiser ces bouquets (nombre de bouquets et nombre de roses par bouquet).

Corrigé

On cherche les entiers qui divisent $ 48 $ en associant les diviseurs par paires :
$ 48 = 1 \times 48 = 2 \times 24 = 3 \times 16 = 4 \times 12 = 6 \times 8 $
Les diviseurs de $ 48 $ sont donc : $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $, $ 4 $, $ 6 $, $ 8 $, $ 12 $, $ 16 $, $ 24 $ et $ 48 $.
On obtient les multiples de $ 9 $ en multipliant $ 9 $ par $ 0 $, $ 1 $, $ 2 $, ... :
$ 0 $, $ 9 $, $ 18 $, $ 27 $, $ 36 $, $ 45 $, $ 54 $, $ 63 $, $ 72 $, $ 81 $, $ 90 $ et $ 99 $.
1. Un nombre est multiple de $ 8 $ s'il s'écrit $ 8 \times k $ avec $ k $ entier.
  $ 24 = 8 \times 3 $, $ 48 = 8 \times 6 $, $ 56 = 8 \times 7 $, $ 72 = 8 \times 9 $.
  $ 35 $ n'est pas multiple de $ 8 $ ($ 35 = 8 \times 4 + 3 $).
  Les multiples de $ 8 $ sont : $ 24 $, $ 48 $, $ 56 $ et $ 72 $.
2. Un nombre est diviseur de $ 144 $ si la division euclidienne de $ 144 $ par ce nombre a pour reste $ 0 $.
  $ 144 = 24 \times 6 $, $ 144 = 48 \times 3 $, $ 144 = 72 \times 2 $.
  $ 144 = 35 \times 4 + 4 $ et $ 144 = 56 \times 2 + 32 $.
  Les diviseurs de $ 144 $ parmi cette liste sont : $ 24 $, $ 48 $ et $ 72 $.
Le nombre de bouquets doit être un diviseur de $ 56 $.
On cherche les diviseurs de $ 56 $ : $ 56 = 1 \times 56 = 2 \times 28 = 4 \times 14 = 7 \times 8 $.
Les diviseurs de $ 56 $ sont : $ 1 $, $ 2 $, $ 4 $, $ 7 $, $ 8 $, $ 14 $, $ 28 $ et $ 56 $.
La fleuriste a donc $ 8 $ manières de former ses bouquets :
- $ 1 $ bouquet de $ 56 $ roses
- $ 2 $ bouquets de $ 28 $ roses
- $ 4 $ bouquets de $ 14 $ roses
- $ 7 $ bouquets de $ 8 $ roses
- $ 8 $ bouquets de $ 7 $ roses
- $ 14 $ bouquets de $ 4 $ roses
- $ 28 $ bouquets de $ 2 $ roses
- $ 56 $ bouquets de $ 1 $ rose

→ Pour réviser : Déterminer si un nombre est multiple ou diviseur d'un autre

Vrai/Faux : Vocabulaire de la divisibilité

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur le vocabulaire de la divisibilité (multiples, diviseurs, division euclidienne, nombres premiers), indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si $8$ est un diviseur de $56$, alors $56$ est un multiple de $8$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Dire que $8$ divise $56$ revient à dire qu'il existe un entier $k$ tel que $56 = 8 \times k$ (ici $k = 7$). C'est exactement la définition d'un multiple : $56$ est un multiple de $8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : « $a$ divise $b$ » et « $b$ est un multiple de $a$ » sont deux façons de dire la même chose. La relation s'écrit $b = a \times k$ pour un entier $k$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. « $a$ divise $b$ » et « $b$ est un multiple de $a$ » sont équivalents : $56 = 8 \times 7$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le nombre $1$ est un nombre premier.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Un nombre premier doit posséder exactement deux diviseurs distincts : $1$ et lui-même. Or $1$ n'a qu'un seul diviseur (lui-même), donc il n'est pas premier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au piège fréquent : $1$ est exclu des nombres premiers par convention. La définition exige deux diviseurs distincts, et $1$ n'en a qu'un. Le plus petit nombre premier est donc $2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Un nombre premier a exactement deux diviseurs distincts ; or $1$ n'en a qu'un seul. Le plus petit nombre premier est $2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Tout entier naturel est un multiple de $1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Pour tout entier naturel $n$, on a $n = 1 \times n$. Cela signifie que $n$ est un multiple de $1$ (et que $1$ est un diviseur de tout entier naturel).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : tout entier naturel $n$ vérifie $n = 1 \times n$. C'est exactement la condition pour être un multiple de $1$. Conséquence : $1$ est un diviseur universel.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Pour tout entier $n$, on a $n = 1 \times n$, donc $n$ est multiple de $1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le seul nombre premier pair est le nombre $4$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$4$ n'est pas premier : il admet $1$, $2$ et $4$ comme diviseurs (trois diviseurs au total). Le seul nombre premier pair est en réalité $2$, car tous les autres nombres pairs sont divisibles par $2$ et par eux-mêmes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Vérifier les diviseurs de $4$ : $1$, $2$ et $4$. Avec trois diviseurs, $4$ n'est pas premier. Le seul nombre premier pair est $2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le nombre $4$ admet $1$, $2$ et $4$ comme diviseurs : il n'est pas premier. Le seul nombre premier pair est $2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le reste de la division euclidienne de $50$ par $7$ vaut $1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On a $7 \times 7 = 49$, donc $50 = 7 \times 7 + 1$ avec $0 \leqslant 1 < 7$. Le quotient vaut $7$ et le reste vaut bien $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Reposer le calcul : trouver le plus grand multiple de $7$ inférieur ou égal à $50$. Comme $7 \times 7 = 49$, il reste $50 - 49 = 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $50 = 7 \times 7 + 1$ avec $0 \leqslant 1 < 7$, donc le reste est $1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si l'on peut écrire $a = b \times q + r$, alors $r$ est nécessairement le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'écriture $a = b \times q + r$ ne garantit pas la division euclidienne : il manque la condition essentielle $0 \leqslant r < b$. Par exemple, $50 = 7 \times 6 + 8$ est correct, mais $8$ n'est pas le reste car $8 > 7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il manque la condition la plus importante : le reste $r$ doit vérifier $0 \leqslant r < b$. Sans cette condition, l'écriture $a = b \times q + r$ peut être réalisée de plusieurs façons et ne caractérise pas la division euclidienne.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Pour que $r$ soit le reste de la division euclidienne, il faut aussi imposer $0 \leqslant r < b$. Cette condition d'encadrement est essentielle.
[/solution]
[/etape]

QCM : Division euclidienne et nombres premiers

[enonce]
Ce QCM porte sur la division euclidienne et les nombres premiers. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
La division euclidienne de $167$ par $12$ donne :
[qcm]
[option]quotient $13$, reste $1$[/option]
[option correct="true"]quotient $13$, reste $11$[/option]
[option]quotient $14$, reste $-1$[/option]
[option]quotient $12$, reste $23$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On cherche $q$ et $r$ tels que $167 = 12 \times q + r$ avec $0 \leqslant r < 12$. Comme $12 \times 13 = 156$ et $167 - 156 = 11$, on a $167 = 12 \times 13 + 11$ avec $0 \leqslant 11 < 12$.[/reponse]
[reponse motif="quotient $13$, reste $1$"]Non.
Le quotient est correct, mais le calcul du reste est faux. Reposer la soustraction $167 - 12 \times 13$ avec attention.[/reponse]
[reponse motif="quotient $14$, reste $-1$"]Non.
Le reste d'une division euclidienne est toujours positif ou nul. Si le calcul donne un reste négatif, c'est que le quotient est trop grand : essayer un quotient plus petit.[/reponse]
[reponse motif="quotient $12$, reste $23$"]Non.
Le reste $r$ doit vérifier $0 \leqslant r < 12$. Or $23$ est plus grand que $12$ : il reste donc encore au moins une fois $12$ à retirer, donc le quotient est plus grand.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Trouver le plus grand entier $q$ tel que $12 \times q \leqslant 167$, puis calculer $r = 167 - 12 \times q$. Ce reste doit vérifier $0 \leqslant r < 12$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans la division euclidienne d'un entier naturel $a$ par $7$, quelles sont les valeurs possibles du reste $r$ ?
[qcm]
[option]$1$, $2$, $3$, $4$, $5$ ou $6$[/option]
[option]$0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ ou $7$[/option]
[option correct="true"]$0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ ou $6$[/option]
[option]n'importe quel entier naturel[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Dans la division euclidienne par $7$, le reste $r$ vérifie $0 \leqslant r < 7$. Les valeurs possibles sont donc $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ ou $6$.[/reponse]
[reponse motif="$1$, $2$, $3$, $4$, $5$ ou $6$"]Non.
Cette liste oublie une valeur importante. Lorsque la division « tombe juste » (par exemple $14$ divisé par $7$), que vaut le reste ?[/reponse]
[reponse motif="$0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ ou $7$"]Non.
La condition est $r < 7$, donc strictement inférieur. La valeur $7$ est exclue, sinon on pourrait soustraire encore $7$ et augmenter le quotient.[/reponse]
[reponse motif="n'importe quel entier naturel"]Non.
Si le reste pouvait être très grand, la division ne serait pas terminée : on pourrait encore retirer $7$ au reste. Le reste est borné par le diviseur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le reste de la division euclidienne par $b$ vérifie toujours $0 \leqslant r < b$. Lister toutes les valeurs possibles avec $b = 7$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Parmi ces nombres, lequel est premier ?
[qcm]
[option]$51$[/option]
[option]$87$[/option]
[option]$91$[/option]
[option correct="true"]$97$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$97$ n'est divisible ni par $2$, ni par $3$ ($9 + 7 = 16$ non divisible par $3$), ni par $5$, ni par $7$ ($97 = 7 \times 13 + 6$). Aucun nombre premier $\leqslant 9$ ne le divise, donc $97$ est premier.[/reponse]
[reponse motif="$51$"]Non.
La somme des chiffres de $51$ vaut $5 + 1 = 6$, divisible par $3$. Donc $51$ est divisible par $3$ : ce n'est pas un nombre premier.[/reponse]
[reponse motif="$87$"]Non.
La somme des chiffres vaut $8 + 7 = 15$, divisible par $3$. Donc $87$ est divisible par $3$ : ce n'est pas un nombre premier.[/reponse]
[reponse motif="$91$"]Non.
$91$ ne se laisse pas attraper par les critères classiques, mais il est divisible par un petit nombre premier qu'il faut tester. Essayer $7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Tester pour chaque proposition la divisibilité par les petits nombres premiers ($2$, $3$, $5$, $7$). Un nombre premier ne sera divisible par aucun.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Combien y a-t-il de nombres premiers entre $20$ et $30$ (bornes incluses) ?
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$3$[/option]
[option]$4$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Entre $20$ et $30$, on teste : $21 = 3 \times 7$, $22$ pair, $23$ premier, $24$ pair, $25 = 5^2$, $26$ pair, $27 = 3^3$, $28$ pair, $29$ premier. Il y a donc deux nombres premiers : $23$ et $29$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Un nombre premier a sans doute été oublié. Reprendre la liste des nombres impairs entre $20$ et $30$ et tester ceux qui ne sont pas multiples de $3$ ou de $5$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
Un des nombres a été identifié à tort comme premier. Vérifier la divisibilité de chaque candidat par $3$, $5$ ou $7$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
Tous les nombres pairs de cet intervalle ($22$, $24$, $26$, $28$) sont divisibles par $2$, donc non premiers. Les compter en moins.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lister tous les entiers de $20$ à $30$ et éliminer ceux qui sont divisibles par $2$, $3$, $5$ ou $7$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le nombre $143$ est-il premier ?
[qcm]
[option]oui, car il est impair[/option]
[option]oui, car la somme de ses chiffres n'est pas divisible par $3$[/option]
[option correct="true"]non, car il est divisible par $11$[/option]
[option]non, car il est divisible par $7$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On a $143 = 11 \times 13$. Comme $143$ admet $11$ comme diviseur (différent de $1$ et de $143$), il n'est pas premier.[/reponse]
[reponse motif="oui, car il est impair"]Non.
Être impair ne suffit pas pour être premier ($9$, $15$, $21$, $25$, $27$ sont impairs et non premiers). Tester d'autres petits nombres premiers comme diviseurs possibles.[/reponse]
[reponse motif="oui, car la somme de ses chiffres n'est pas divisible par $3$"]Non.
Cela montre seulement que $143$ n'est pas divisible par $3$. Il faut tester aussi les autres petits nombres premiers ($7$, $11$, ...) avant de conclure.[/reponse]
[reponse motif="non, car il est divisible par $7$"]Non.
Vérifier en posant la division euclidienne de $143$ par $7$ : le reste n'est pas nul. Tester un autre nombre premier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour montrer qu'un nombre n'est pas premier, il suffit d'exhiber un diviseur autre que $1$ et lui-même. Tester $7$, $11$, $13$, ...[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Avec $250$ timbres rangés dans des albums comportant $16$ pages chacune et $1$ timbre par page, on remplit complètement combien d'albums et combien de timbres restent ?
[qcm]
[option]$14$ albums, $26$ timbres restants[/option]
[option correct="true"]$15$ albums, $10$ timbres restants[/option]
[option]$16$ albums, $6$ timbres restants[/option]
[option]$15$ albums, $16$ timbres restants[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On effectue la division euclidienne de $250$ par $16$ : $250 = 16 \times 15 + 10$ avec $0 \leqslant 10 < 16$. Donc $15$ albums sont remplis et $10$ timbres restent.[/reponse]
[reponse motif="$14$ albums, $26$ timbres restants"]Non.
Le reste $26$ est plus grand que $16$ : on peut donc encore remplir un album entier. Augmenter le quotient et recalculer le reste.[/reponse]
[reponse motif="$16$ albums, $6$ timbres restants"]Non.
Vérifier le calcul : $16 \times 16 = 256$, ce qui dépasse déjà $250$. Le quotient est trop grand.[/reponse]
[reponse motif="$15$ albums, $16$ timbres restants"]Non.
Le reste $16$ est égal au diviseur : on peut donc encore remplir un album et il restera $0$ timbres. Mais un reste doit vérifier $r < 16$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Effectuer la division euclidienne de $250$ par $16$ : trouver le plus grand $q$ tel que $16 \times q \leqslant 250$, puis calculer le reste.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Multiples et diviseurs

[enonce]
Ce QCM porte sur les multiples et les diviseurs d'un entier naturel. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Parmi les nombres suivants, lequel est un multiple de $7$ ?
[qcm]
[option]$27$[/option]
[option correct="true"]$35$[/option]
[option]$47$[/option]
[option]$60$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$35 = 7 \times 5$, donc $35$ est bien un multiple de $7$.[/reponse]
[reponse motif="$27$"]Non.
Le chiffre $7$ apparaît dans l'écriture de $27$, mais cela ne suffit pas. Vérifier si $27$ peut s'écrire $7 \times k$ avec $k$ entier.[/reponse]
[reponse motif="$47$"]Non.
$47$ est juste après un multiple de $7$ : essayer de poser la division euclidienne de $47$ par $7$ pour voir s'il y a un reste.[/reponse]
[reponse motif="$60$"]Non.
$60$ a beaucoup de diviseurs ($2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $10$...), mais $7$ n'en fait pas partie. Vérifier en faisant la division.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Tester chaque proposition en effectuant la division par $7$ : un multiple de $7$ est un nombre de la forme $7 \times k$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la liste complète des diviseurs de $12$ ?
[qcm]
[option]$\{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,6\}$[/option]
[option]$\{1\,;\,12\}$[/option]
[option correct="true"]$\{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,6\,;\,12\}$[/option]
[option]$\{2\,;\,3\,;\,4\,;\,6\}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les diviseurs de $12$ sont $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ et $12$. On vérifie que chacun divise $12$ : $12 = 1 \times 12 = 2 \times 6 = 3 \times 4$.[/reponse]
[reponse motif="$\{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,6\}$"]Non.
Il manque un diviseur : tout entier naturel est divisible par lui-même.[/reponse]
[reponse motif="$\{1\,;\,12\}$"]Non.
Cette liste correspondrait aux diviseurs d'un nombre premier. Or $12$ n'est pas premier : il a d'autres diviseurs intermédiaires.[/reponse]
[reponse motif="$\{2\,;\,3\,;\,4\,;\,6\}$"]Non.
Deux diviseurs « évidents » ont été oubliés : $1$ divise tous les entiers, et tout entier est divisible par lui-même.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Énumérer tous les couples de produits égaux à $12$ : ils donnent les diviseurs de $12$. Ne pas oublier $1$ et $12$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La phrase « $8$ est un diviseur de $56$ » signifie aussi que :
[qcm]
[option correct="true"]$56$ est un multiple de $8$[/option]
[option]$8$ est un multiple de $56$[/option]
[option]$56$ est divisible par $7$[/option]
[option]$8$ et $56$ ont les mêmes diviseurs[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Dire que $8$ divise $56$ équivaut à dire que $56$ est un multiple de $8$. En effet, $56 = 8 \times 7$.[/reponse]
[reponse motif="$8$ est un multiple de $56$"]Non.
Les rôles de « multiple » et « diviseur » sont inversés. Si $a$ divise $b$, alors $b$ est un multiple de $a$, pas l'inverse.[/reponse]
[reponse motif="$56$ est divisible par $7$"]Non.
Cette affirmation est vraie ($56 = 7 \times 8$), mais elle ne traduit pas le fait que $8$ divise $56$. Il faut faire apparaître le nombre $8$ dans la conclusion.[/reponse]
[reponse motif="$8$ et $56$ ont les mêmes diviseurs"]Non.
Deux nombres dont l'un divise l'autre n'ont pas, en général, les mêmes diviseurs. Comparer les diviseurs de $8$ et ceux de $56$ pour s'en convaincre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Reformuler : si $a$ divise $b$, cela signifie qu'il existe $k$ entier tel que $b = a \times k$, c'est-à-dire que $b$ est un multiple de $a$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est le quatrième multiple non nul de $8$ (en commençant par le plus petit) ?
[qcm]
[option]$24$[/option]
[option]$36$[/option]
[option correct="true"]$32$[/option]
[option]$40$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Les multiples non nuls de $8$ sont $8$, $16$, $24$, $32$, $40$, ... Le quatrième est $32 = 8 \times 4$.[/reponse]
[reponse motif="$24$"]Non.
$24 = 8 \times 3$ est le troisième multiple non nul de $8$, pas le quatrième.[/reponse]
[reponse motif="$36$"]Non.
$36$ n'est pas un multiple de $8$ : $36 = 8 \times 4 + 4$, le reste n'est pas nul.[/reponse]
[reponse motif="$40$"]Non.
$40 = 8 \times 5$ est le cinquième multiple non nul de $8$. Recompter en partant de $8 \times 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lister les premiers multiples non nuls de $8$ dans l'ordre : $8 \times 1$, $8 \times 2$, $8 \times 3$, ... et compter jusqu'au quatrième.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Si $n$ est un multiple de $12$, alors $n$ est nécessairement aussi un multiple de :
[qcm]
[option]$5$[/option]
[option]$7$[/option]
[option correct="true"]$4$[/option]
[option]$11$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Comme $12 = 4 \times 3$, tout multiple de $12$ s'écrit $n = 12 \times k = 4 \times (3k)$, donc $n$ est aussi un multiple de $4$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
Vérifier sur un exemple : $12$ est multiple de $12$, mais $12$ n'est pas multiple de $5$. La proposition serait donc fausse.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
$12$ est multiple de $12$, mais $12$ n'est pas un multiple de $7$. Chercher un nombre qui est diviseur de $12$ pour qu'il fonctionne pour tous les multiples.[/reponse]
[reponse motif="$11$"]Non.
$12$ lui-même est un multiple de $12$, mais n'est pas multiple de $11$. La bonne réponse doit être un diviseur de $12$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Si $a$ divise $b$ et $b$ divise $n$, alors $a$ divise $n$. Chercher parmi les options celle qui est un diviseur de $12$.[/reponse]
[/qcm]
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[etape]
Que peut-on dire du nombre $0$ ?
[qcm]
[option]$0$ n'a aucun diviseur[/option]
[option]$0$ est un nombre premier[/option]
[option]$0$ est un diviseur de $5$[/option]
[option correct="true"]$0$ est un multiple de tout entier non nul[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour tout entier $a$ non nul, on a $0 = a \times 0$. Donc $0$ est un multiple de $a$, quel que soit $a \neq 0$.[/reponse]
[reponse motif="$0$ n'a aucun diviseur"]Non.
Au contraire, $0$ est divisible par tout entier non nul ($a \times 0 = 0$). C'est la situation inverse.[/reponse]
[reponse motif="$0$ est un nombre premier"]Non.
Un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs. Or $0$ n'a pas du tout ce profil : il est divisible par tous les entiers non nuls.[/reponse]
[reponse motif="$0$ est un diviseur de $5$"]Non.
On ne peut pas diviser par $0$ : la division par $0$ n'a pas de sens. Donc $0$ n'est diviseur d'aucun nombre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Penser à l'égalité $a \times 0 = 0$ : elle exprime le fait que $0$ est un multiple de tout entier non nul.[/reponse]
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