Notes d’un contrôle de mathématiques

[enonce]
Les élèves d'un petit groupe de mathématiques ont passé un contrôle noté sur $20$. Le tableau ci-dessous donne les effectifs pour chaque note obtenue.

Note	5	7	10	12	14	16
Effectif	1	2	4	4	3	1

On souhaite étudier la réussite de ce groupe à l'aide de différents indicateurs statistiques.
[/enonce]

[etape]
Déterminer l'effectif total $N$ du groupe.
[[eff]]
[math id="eff" attendu="15"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$N = 1 + 2 + 4 + 4 + 3 + 1 = 15$ élèves.[/reponse]
[reponse motif="6"]Non.
$6$ est le nombre de notes différentes, pas le nombre d'élèves.
L'effectif total se lit sur la ligne des effectifs, pas sur celle du caractère.[/reponse]
[reponse motif="64"]Non.
$64 = 5+7+10+12+14+16$ : c'est la somme des notes possibles, pas des effectifs.
Les notes forment les valeurs du caractère, pas la population.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'effectif total est la somme des effectifs.[/reponse]
[aide essai="2"]Additionner tous les nombres figurant sur la ligne « Effectif ».[/aide]
[aide essai="3"]Sommer $1 + 2 + 4 + 4 + 3 + 1$.[/aide]
[/math]
[solution]$N = 1 + 2 + 4 + 4 + 3 + 1 = 15$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la moyenne du groupe à ce contrôle.
[[moy]]
[math id="moy" attendu="11"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$\bar{x} = \dfrac{1 \times 5 + 2 \times 7 + 4 \times 10 + 4 \times 12 + 3 \times 14 + 1 \times 16}{15} = \dfrac{165}{15} = 11$.[/reponse]
[reponse motif="10,67"]Non.
Tu as calculé la moyenne des $6$ notes distinctes, sans pondérer par les effectifs.
Chaque note doit être multipliée par le nombre d'élèves qui l'ont obtenue.[/reponse]
[reponse motif="165"]Non.
$165$ est la somme pondérée $\sum n_i x_i$. Il reste une dernière opération à effectuer pour obtenir la moyenne.[/reponse]
[reponse motif="64"]Non.
$64$ est la somme des notes distinctes. Il faut tenir compte de l'effectif de chaque note et diviser par l'effectif total.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour une série avec effectifs, la moyenne pondérée tient compte du nombre d'élèves pour chaque note.[/reponse]
[aide essai="2"]Multiplier chaque note par son effectif, sommer, puis diviser par $N$.[/aide]
[aide essai="3"]Appliquer $\bar{x} = \dfrac{\sum n_i x_i}{N}$ avec $N$ trouvé à l'étape précédente.[/aide]
[/math]
[solution]$\bar{x} = \dfrac{5 + 14 + 40 + 48 + 42 + 16}{15} = \dfrac{165}{15} = 11$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Pour déterminer la médiane, quelle méthode est correcte ici ?
[qcm]
[option]La médiane est la moyenne des valeurs de rangs $\dfrac{15}{2}$ et $\dfrac{15}{2} + 1$ dans la série ordonnée.[/option]
[option correct="true"]La médiane est la valeur de rang $\dfrac{15 + 1}{2}$ dans la série ordonnée.[/option]
[option]La médiane est la valeur de rang $\dfrac{15}{2}$ dans la série ordonnée.[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$N = 15$ est impair, donc la médiane est la valeur de rang $\dfrac{15+1}{2} = 8$.
Cette $8^\text{e}$ valeur laisse $7$ valeurs en dessous et $7$ au-dessus.[/reponse]
[reponse motif="La médiane est la moyenne des valeurs de rangs $\dfrac{15}{2}$ et $\dfrac{15}{2} + 1$ dans la série ordonnée."]Non.
Cette formule concerne le cas où $N$ est pair. Or ici $N = 15$ est impair, donc une seule valeur occupe la position centrale.[/reponse]
[reponse motif="La médiane est la valeur de rang $\dfrac{15}{2}$ dans la série ordonnée."]Non.
$\dfrac{15}{2} = 7{,}5$ n'est pas un entier, donc ne peut pas être un rang. Pour $N$ impair, le rang central est bien entier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Vérifier la parité de $N$ : pour $N$ impair, une seule valeur occupe la position centrale.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
En déduire la médiane de la série.
[[med]]
[math id="med" attendu="12"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
En cumulant les effectifs : $1, 3, 7, 11, 14, 15$. Le rang $8$ tombe dans la plage $[8\,;\,11]$, qui correspond à la note $12$.[/reponse]
[reponse motif="11"]Non.
$11$ est la moyenne, pas la médiane. La médiane est une valeur effectivement obtenue par un élève du groupe.[/reponse]
[reponse motif="10"]Non.
Le rang $8$ ne se situe pas dans la plage des notes $10$. En cumulant : jusqu'à la note $10$, on atteint seulement le rang $7$.[/reponse]
[reponse motif="8"]Non.
$8$ est le rang de la médiane dans la série ordonnée, pas la médiane elle-même. Il faut lire la note occupant ce rang.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser les effectifs cumulés pour repérer à quelle note correspond le rang trouvé à l'étape précédente.[/reponse]
[aide essai="2"]Calculer les effectifs cumulés croissants de chaque note, puis repérer la plage contenant le rang cherché.[/aide]
[aide essai="3"]Cumuls : $1$ ; $1+2 = 3$ ; $3+4 = 7$ ; $7+4 = 11$. Le rang $8$ tombe entre $7+1$ et $11$, donc quelle note ?[/aide]
[/math]
[solution]Effectifs cumulés : $1, 3, 7, 11, 14, 15$. Le rang $8$ est dans $[8\,;\,11]$, donc la médiane est $12$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer l'étendue de la série.
[[et]]
[math id="et" attendu="11"]
[reponse statut="correct"]Parfait !
L'étendue est $16 - 5 = 11$ points.[/reponse]
[reponse motif="16"]Non.
$16$ est la plus grande note, pas l'étendue. L'étendue compare les deux valeurs extrêmes.[/reponse]
[reponse motif="5"]Non.
$5$ est la plus petite note, pas l'étendue.[/reponse]
[reponse motif="21"]Non.
$21 = 16 + 5$. L'étendue est une différence, pas une somme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'étendue est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série.[/reponse]
[aide essai="2"]Repérer la plus petite et la plus grande note du tableau, puis calculer leur différence.[/aide]
[aide essai="3"]Étendue $= x_{\max} - x_{\min}$ : identifier ces deux valeurs sur la ligne des notes.[/aide]
[/math]
[solution]Étendue $= 16 - 5 = 11$.[/solution]
[/etape]

QCM : Médiane et quartiles

[enonce]
Ce QCM porte sur la médiane, les quartiles et l'écart interquartile. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
On considère la série : $3$ ; $7$ ; $2$ ; $9$ ; $5$ ; $12$ ; $4$.
Quelle est la médiane de cette série ?
[qcm]
[option]$9$[/option]
[option]$4$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$6$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On ordonne d'abord la série : $2$ ; $3$ ; $4$ ; $\mathbf{5}$ ; $7$ ; $9$ ; $12$.
$N = 7$ est impair : la médiane est la valeur de rang $\dfrac{7+1}{2} = 4$, soit $5$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
$9$ est la valeur de rang $4$ dans la série non ordonnée. Avant de chercher la médiane, il faut toujours ranger les valeurs dans l'ordre croissant.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
$4$ est la valeur de rang $3$ dans la série ordonnée. Attention au rang : pour $N = 7$ impair, la médiane est au rang $\dfrac{N+1}{2}$, pas $\dfrac{N-1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
$6 = \dfrac{2+3+4+5+7+9+12}{7}$ est la moyenne de la série. La moyenne et la médiane sont deux indicateurs distincts.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Il faut d'abord ordonner la série par ordre croissant, puis prendre la valeur de rang $\dfrac{N+1}{2}$ quand $N$ est impair.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère la série : $8$ ; $3$ ; $15$ ; $10$ ; $6$ ; $12$ ; $4$ ; $9$.
Quelle est la médiane de cette série ?
[qcm]
[option]$8$[/option]
[option correct="true"]$8{,}5$[/option]
[option]$9$[/option]
[option]$8{,}375$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Série ordonnée : $3$ ; $4$ ; $6$ ; $\mathbf{8}$ ; $\mathbf{9}$ ; $10$ ; $12$ ; $15$.
$N = 8$ est pair : la médiane est la moyenne des valeurs de rangs $\dfrac{8}{2} = 4$ et $\dfrac{8}{2} + 1 = 5$.
Médiane $= \dfrac{8 + 9}{2} = 8{,}5$[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
$8$ est la valeur de rang $4$ (avant). Quand $N$ est pair, la médiane n'est pas une seule des deux valeurs centrales : il faut faire leur moyenne.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
$9$ est la valeur de rang $5$ (après). Quand $N$ est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, pas l'une des deux.[/reponse]
[reponse motif="$8{,}375$"]Non.
$8{,}375 = \dfrac{3+4+6+8+9+10+12+15}{8}$ est la moyenne de la série. Ne pas confondre moyenne et médiane.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quand $N$ est pair, la médiane est la moyenne des valeurs de rangs $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2} + 1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le tableau donne le nombre d'enfants par famille dans un quartier :

Nombre d'enfants	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Effectif	$4$	$10$	$8$	$5$	$3$

Quelle est la médiane de cette série ?
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option]$1{,}5$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$3$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'effectif total est $N = 4 + 10 + 8 + 5 + 3 = 30$ (pair). On cherche la moyenne des valeurs aux rangs $\dfrac{30}{2} = 15$ et $16$.
Effectifs cumulés croissants : $4$ ; $14$ ; $\mathbf{22}$ ; $27$ ; $30$.
Les rangs $15$ et $16$ se situent dans la catégorie $2$ (l'ECC saute de $14$ à $22$).
Médiane $= \dfrac{2 + 2}{2} = 2$[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
La catégorie $1$ couvre les rangs $5$ à $14$ (ECC $= 14$). Les rangs $15$ et $16$ sont strictement au-delà : il faut poursuivre le cumul.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}5$"]Non.
La médiane n'est pas la moyenne entre deux valeurs voisines du tableau. Avec des effectifs, on repère dans quelle catégorie tombent les rangs centraux en cumulant les effectifs.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
La catégorie $3$ commence au rang $23$ (ECC précédent $= 22$). Les rangs $15$ et $16$ se trouvent dans la catégorie précédente. Vérifier les ECC.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Avec $N = 30$, la médiane est la moyenne des $15$e et $16$e valeurs. Les effectifs cumulés croissants ($4$ ; $14$ ; $22$...) permettent de repérer la catégorie correspondante.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère la série ordonnée :
$2$ ; $4$ ; $5$ ; $7$ ; $8$ ; $10$ ; $11$ ; $12$ ; $14$ ; $15$ ; $17$ ; $20$.
Quelle est la valeur du premier quartile $Q_1$ ?
[qcm]
[option]$3$[/option]
[option]$4$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$7$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$N = 12$. Le rang de $Q_1$ est le plus petit entier $\geqslant \dfrac{N}{4} = 3$ : c'est donc le rang $3$.
La $3$e valeur de la série ordonnée est $5$, donc $Q_1 = 5$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
$3$ est le rang de $Q_1$, pas sa valeur. Une fois le rang déterminé, il faut lire la valeur correspondante dans la série.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
$4$ est la valeur de rang $2$. Le rang de $Q_1$ est le plus petit entier supérieur ou égal à $\dfrac{N}{4}$. Recalculer ce rang.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
$7$ est la valeur de rang $4$, ce qui correspondrait à $\dfrac{N+1}{4}$ arrondi à l'entier supérieur. La bonne règle utilise $\dfrac{N}{4}$, pas $\dfrac{N+1}{4}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le rang de $Q_1$ est le plus petit entier supérieur ou égal à $\dfrac{N}{4}$. Il reste à lire la valeur située à ce rang dans la série ordonnée.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Voici la répartition des notes à un contrôle :

Note	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$
Effectif	$3$	$5$	$8$	$6$	$4$	$4$

Quelle est la valeur du troisième quartile $Q_3$ ?
[qcm]
[option]$13$[/option]
[option correct="true"]$14$[/option]
[option]$15$[/option]
[option]$22$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$N = 3 + 5 + 8 + 6 + 4 + 4 = 30$. Rang de $Q_3$ : plus petit entier $\geqslant \dfrac{3N}{4} = 22{,}5$, soit le rang $23$.
Effectifs cumulés croissants : $3$ ; $8$ ; $16$ ; $22$ ; $\mathbf{26}$ ; $30$.
Le rang $23$ se situe dans la catégorie $14$ (l'ECC passe de $22$ à $26$), donc $Q_3 = 14$.[/reponse]
[reponse motif="$13$"]Non.
La catégorie $13$ couvre les rangs $17$ à $22$ (ECC $= 22$). Le rang $23$ est strictement au-delà : il faut poursuivre le cumul d'un cran.[/reponse]
[reponse motif="$15$"]Non.
La catégorie $15$ commence au rang $27$ (ECC précédent $= 26$). Le rang $23$ est en deçà : vérifier attentivement les effectifs cumulés.[/reponse]
[reponse motif="$22$"]Non.
$22$ est proche du rang de $Q_3$ ($3N/4 = 22{,}5$), pas de sa valeur. La valeur s'obtient en lisant la série au rang correspondant.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le rang de $Q_3$ est le plus petit entier supérieur ou égal à $\dfrac{3N}{4}$. Les effectifs cumulés croissants permettent de repérer la catégorie à laquelle ce rang appartient.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère la série ordonnée :
$2$ ; $4$ ; $5$ ; $5$ ; $7$ ; $8$ ; $9$ ; $10$ ; $10$ ; $12$ ; $14$ ; $15$.
Quel est l'écart interquartile de cette série ?
[qcm]
[option]$7{,}5$[/option]
[option]$13$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$15$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$N = 12$. Rang de $Q_1$ : plus petit entier $\geqslant 3$, soit rang $3$ : $Q_1 = 5$.
Rang de $Q_3$ : plus petit entier $\geqslant 9$, soit rang $9$ : $Q_3 = 10$.
Écart interquartile $= Q_3 - Q_1 = 10 - 5 = 5$[/reponse]
[reponse motif="$7{,}5$"]Non.
$7{,}5 = \dfrac{Q_1 + Q_3}{2}$ serait une moyenne des quartiles. L'écart interquartile se calcule avec une différence, pas une moyenne.[/reponse]
[reponse motif="$13$"]Non.
$13 = 15 - 2$ est l'étendue de la série (max $-$ min). L'écart interquartile utilise $Q_1$ et $Q_3$, pas les valeurs extrêmes.[/reponse]
[reponse motif="$15$"]Non.
$15 = Q_1 + Q_3$. La définition de l'écart interquartile utilise la différence $Q_3 - Q_1$, pas la somme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'écart interquartile est la différence $Q_3 - Q_1$. Il faut d'abord déterminer les deux quartiles en utilisant les rangs $\dfrac{N}{4}$ et $\dfrac{3N}{4}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Médiane et quartiles

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la médiane et les quartiles, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pour une série ordonnée de $20$ valeurs, la médiane est la $10^e$ valeur.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Comme $N = 20$ est pair, la médiane est la moyenne des $10^e$ et $11^e$ valeurs, pas la $10^e$ seule.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : quand $N$ est pair, la médiane n'est pas une valeur unique de la série.
On prend la moyenne des valeurs de rang $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2} + 1$, soit ici la moyenne des $10^e$ et $11^e$ valeurs.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Pour $N = 20$ (pair), la médiane est la moyenne des $10^e$ et $11^e$ valeurs ordonnées.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère la série ordonnée : $3\,;\,5\,;\,7\,;\,8\,;\,10\,;\,12\,;\,14\,;\,16$.

Affirmation : La médiane de cette série vaut $9$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Avec $N = 8$ (pair), la médiane est la moyenne des $4^e$ et $5^e$ valeurs : $\dfrac{8 + 10}{2} = 9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : $N = 8$ est pair, donc la médiane est la moyenne des valeurs de rang $4$ et $5$.
La $4^e$ valeur est $8$, la $5^e$ est $10$, donc la médiane vaut $\dfrac{8 + 10}{2} = 9$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La médiane est $\dfrac{8 + 10}{2} = 9$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour une série ordonnée de $40$ valeurs, $Q_1$ est la $10^e$ valeur.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On cherche le plus petit rang tel qu'au moins $\dfrac{1}{4} \times 40 = 10$ valeurs soient inférieures ou égales : c'est le rang $10$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas confondre le rang de $Q_1$ avec $\dfrac{N}{4}$ arrondi. On cherche la plus petite valeur telle qu'au moins $25\,\%$ des valeurs lui soient inférieures ou égales.
Ici $25\,\% \times 40 = 10$ pile, donc $Q_1$ est la $10^e$ valeur.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le rang de $Q_1$ est le plus petit entier supérieur ou égal à $\dfrac{40}{4} = 10$, donc $Q_1$ est la $10^e$ valeur.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On donne $Q_1 = 7$ et $Q_3 = 15$ pour une série.

Affirmation : L'écart interquartile de la série vaut $11$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'écart interquartile est la différence $Q_3 - Q_1 = 15 - 7 = 8$, et non la moyenne des deux quartiles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est d'avoir calculé $\dfrac{7 + 15}{2} = 11$, ce qui correspond au milieu de l'intervalle interquartile, pas à son écart.
L'écart interquartile est la différence $Q_3 - Q_1 = 15 - 7 = 8$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'écart interquartile vaut $Q_3 - Q_1 = 15 - 7 = 8$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'intervalle interquartile $[Q_1\,;\,Q_3]$ contient exactement $50\,\%$ des valeurs de la série.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le cours indique qu'au moins $50\,\%$ des valeurs appartiennent à cet intervalle : la proportion peut être supérieure à $50\,\%$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel précis du cours : au moins $50\,\%$ des valeurs sont dans $[Q_1\,;\,Q_3]$. Selon les effectifs, la proportion réelle peut dépasser $50\,\%$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'intervalle interquartile contient au moins $50\,\%$ des valeurs, pas exactement.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Ajouter une valeur très élevée à une série peut laisser la médiane presque inchangée, alors que la moyenne est fortement modifiée.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
La médiane dépend seulement du rang central : une valeur extrême ne déplace ce rang que d'une position. La moyenne, elle, intègre la valeur elle-même et peut être tirée vers le haut.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il faut comparer les deux indicateurs : la médiane est robuste (elle ne regarde que la position), la moyenne est sensible (elle intègre chaque valeur).
Une seule valeur extrême a donc un impact fort sur la moyenne, mais souvent faible sur la médiane.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La médiane est peu sensible aux valeurs extrêmes, contrairement à la moyenne qui les intègre pleinement.
[/solution]
[/etape]

Températures matinales d’automne

Un passionné de météo relève chaque matin à 8 heures la température (en °C) dans son jardin pendant 20 jours d'automne. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

Température (en °C)	8	9	10	11	12	13	14
Effectif	1	3	4	5	4	2	1

Vérifier que l'effectif total est bien $N = 20$.
Calculer la température moyenne sur cette période.
Déterminer la médiane de cette série. Interpréter le résultat.
Calculer l'étendue de cette série.

Corrigé

L'effectif total est :
$N = 1 + 3 + 4 + 5 + 4 + 2 + 1 = 20$
La température moyenne est la moyenne pondérée des valeurs :
$\bar{x} = \dfrac{1 \times 8 + 3 \times 9 + 4 \times 10 + 5 \times 11 + 4 \times 12 + 2 \times 13 + 1 \times 14}{20}$
$\bar{x} = \dfrac{8 + 27 + 40 + 55 + 48 + 26 + 14}{20} = \dfrac{218}{20} = 10{,}9$
La température moyenne sur cette période est $10{,}9$ °C.
L'effectif $N = 20$ est pair : la médiane est la moyenne des valeurs de rangs $\dfrac{N}{2} = 10$ et $\dfrac{N}{2} + 1 = 11$.

On calcule les effectifs cumulés croissants :

Température (en °C) 8 9 10 11 12 13 14

Effectif cumulé croissant 1 4 8 13 17 19 20

La $10$e valeur et la $11$e valeur se situent toutes les deux dans la colonne de la température $11$ °C (car l'effectif cumulé passe de $8$ à $13$).
La médiane est donc :
$\text{Me} = \dfrac{11 + 11}{2} = 11$
La médiane est $11$ °C. Cela signifie qu'au cours de ces 20 jours, la moitié des températures matinales étaient inférieures ou égales à $11$ °C et l'autre moitié supérieures ou égales à $11$ °C.
L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur :
$e = 14 - 8$ = $6$ °C.

→ Pour réviser : Calculer une moyenne pondérée

Statistiques : Regroupement en classes

Le tableau ci-dessous (source INSEE) présente la répartition par âge de la population française métropolitaine au $ 1^\text{er} $ janvier 2018 (L'âge révolu est l'âge de la personne à son dernier anniversaire).

À cette date, la doyenne des français était âgée de 113 ans.

Âge révolu	Effectifs	Effectifs cumulés croissants
0	691 165	691 165
1	710 534	1 401 699
2	728 579	2 130 278
3	749 270	2 879 548
4	763 228	3 642 776
5	782 484	4 425 260
6	792 558	5 217 818
7	813 001	6 030 819
8	808 393	6 839 212
9	813 680	7 652 892
10	807 548	8 460 440
11	822 302	9 282 742
12	802 674	10 085 416
13	800 480	10 885 896
14	796 320	11 682 216
15	800 560	12 482 776
16	816 021	13 298 797
17	828 193	14 126 990
18	785 471	14 912 461
19	775 524	15 687 985
20	750 885	16 438 870
21	751 084	17 189 954
22	734 838	17 924 792
23	705 808	18 630 600
24	698 780	19 329 380
25	732 693	20 062 073
26	742 199	20 804 272
27	758 458	21 562 730
28	763 258	22 325 988
29	774 435	23 100 423
30	778 738	23 879 161
31	793 507	24 672 668
32	794 025	25 466 693
33	789 604	26 256 297
34	781 093	27 037 390

Âge révolu	Effectifs	Effectifs cumulés croissants
35	829 365	27 866 755
36	837 426	28 704 181
37	849 108	29 553 289
38	804 184	30 357 473
39	788 264	31 145 737
40	794 640	31 940 377
41	773 344	32 713 721
42	793 019	33 506 740
43	836 502	34 343 242
44	885 498	35 228 740
45	903 921	36 132 661
46	897 885	37 030 546
47	881 680	37 912 226
48	868 783	38 781 009
49	860 664	39 641 673
50	856 564	40 498 237
51	873 805	41 372 042
52	875 149	42 247 191
53	884 018	43 131 209
54	874 390	44 005 599
55	842 410	44 848 009
56	844 453	45 692 462
57	840 074	46 532 536
58	833 430	47 365 966
59	813 824	48 179 790
60	809 540	48 989 330
61	801 271	49 790 601
62	790 864	50 581 465
63	788 149	51 369 614
64	769 877	52 139 491
65	780 203	52 919 694
66	760 764	53 680 458
67	788 609	54 469 067
68	771 267	55 240 334
69	763 386	56 003 720

Âge révolu	Effectifs	Effectifs cumulés croissants
70	746 205	56 749 925
71	703 078	57 453 003
72	526 166	57 979 169
73	510 477	58 489 646
74	493 523	58 983 169
75	452 195	59 435 364
76	399 640	59 835 004
77	410 887	60 245 891
78	424 148	60 670 039
79	410 734	61 080 773
80	394 185	61 474 958
81	385 845	61 860 803
82	365 057	62 225 860
83	356 869	62 582 729
84	327 225	62 909 954
85	319 458	63 229 412
86	290 749	63 520 161
87	268 489	63 788 650
88	227 255	64 015 905
89	201 758	64 217 663
90	171 893	64 389 556
91	147 011	64 536 567
92	123 524	64 660 091
93	98 697	64 758 788
94	78 283	64 837 071
95	61 359	64 898 430
96	46 186	64 944 616
97	34 225	64 978 841
98	14 599	64 993 440
99	8 401	65 001 841
100	5 174	65 007 015
101	3 135	65 010 150
102	2 297	65 012 447
103	2 281	65 014 728
104	1 208	65 015 936
105 ou plus	2 160	65 018 096
Total	65 018 096

Tableau A

Partie A

Quel sont le mode et l'étendue de cette série statistique ?
Calculer le pourcentage de personnes mineures (c'est à dire ayant un âge révolu inférieur ou égal à 17 ans) en métropole au $ 1^\text{er} $ janvier 2018.
Déterminer la médiane ainsi que les premier et troisième quartiles de cette série.
Représenter cette série par un diagramme en boîte.

Partie B

Le tableau A comporte trop de lignes pour être facilement exploitable.

On décide donc de regrouper ces résultats en classes d'amplitude 10 ans (à l'exception de la dernière).

On obtient alors le tableau suivant :

Classes d'âge	[0 ; 10[	[10 ; 20[	[20 ; 30[	[30 ; 40[	[40 ; 50[	[50 ; 60[	[60 ; 70[	[70 ; 80[	[80 ; 90[	[90 ; 100[	[100 ; 114[
Effectifs	7 652 892	8 035 093	7 412 438	8 045 314	8 495 936	8 538 117	7 823 930	5 077 053	3 136 890	784 178	16 255
E.C.C	7 652 892	15 687 985	23 100 423	31 145 737	39 641 673	48 179 790	56 003 720	61 080 773	64 217 663	65 001 841	65 018 096

Tableau B

Expliquer comment, à partir du tableau A, on a obtenu le tableau B.
Calculer la moyenne de cette série en utilisant le tableau B.
Tracer le graphique des effectifs cumulés croissants en choisissant une échelle appropriée.
À l'aide du graphique de la question précédente, déterminer des valeurs approchées à l'unité près de la médiane et des premier et troisième quartiles.

Comparer ce résultat à celui de la question 3. de la partie A.

Corrigé

Partie A

Mode et étendue :
Le mode est la valeur du caractère dont l'effectif est le plus grand.
D'après le tableau A, l'effectif maximal est $ 903\,921 $, ce qui correspond à l'âge de 45 ans.

$\mathbf{\text{Mode} = 45 \text{ ans}}$

L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale du caractère.
Ici, la doyenne a 113 ans et la valeur minimale est 0 an.

$\mathbf{\text{Étendue} = 113 - 0 = 113 \text{ ans}}$
Pourcentage de personnes mineures :
Une personne est mineure si son âge révolu est inférieur ou égal à 17 ans.
D'après la colonne des effectifs cumulés croissants (ECC), l'effectif total des personnes ayant un âge inférieur ou égal à 17 ans est $ 14\,126\,990 $.
L'effectif total de la population est $ N = 65\,018\,096 $.
Le pourcentage $ p $ est donc :

$\mathbf{p = \dfrac{14\,126\,990}{65\,018\,096} \times 100 \approx 21{,}7\%}$
Médiane et quartiles :
L'effectif total est $ N = 65\,018\,096 $.

Médiane :
On cherche la plus petite valeur pour laquelle l'ECC est supérieur ou égal à $ \dfrac{N}{2} = 32\,509\,048 $.
D'après le tableau A :
- Pour l'âge 40, l'ECC est $ 31\,940\,377 $.
- Pour l'âge 41, l'ECC est $ 32\,713\,721 $.
La médiane est donc $ M = 41 $ ans.

Premier quartile :
On cherche la plus petite valeur pour laquelle l'ECC est supérieur ou égal à $ \dfrac{N}{4} = 16\,254\,524 $.
- Pour l'âge 19, l'ECC est $ 15\,687\,985 $.
- Pour l'âge 20, l'ECC est $ 16\,438\,870 $.
Le premier quartile est donc $ Q_1 = 20 $ ans.

Troisième quartile :
On cherche la plus petite valeur pour laquelle l'ECC est supérieur ou égal à $ \dfrac{3N}{4} = 48\,763\,572 $.
- Pour l'âge 59, l'ECC est $ 48\,179\,790 $.
- Pour l'âge 60, l'ECC est $ 48\,989\,330 $.
Le troisième quartile est donc $ Q_3 = 60 $ ans.
Diagramme en boîte :
Le diagramme en boîte est construit sur un axe gradué avec les valeurs suivantes :
- Minimum : $ 0 $
- Premier quartile $ Q_1 $ : $ 20 $
- Médiane $ M $ : $ 41 $
- Troisième quartile $ Q_3 $ : $ 60 $
- Maximum : $ 113 $

Partie B

Explication du regroupement :
Le tableau B est obtenu en regroupant les effectifs par classes d'âge.
Par exemple, pour la classe $ [0 ; 10[ $, on additionne les effectifs des âges révolus de 0 à 9 ans inclus.
L'effectif cumulé croissant à l'âge 9 ans dans le tableau A est $ 7\,652\,892 $, ce qui correspond bien à l'effectif de la classe $ [0 ; 10[ $.

Calcul de la moyenne :
Pour calculer la moyenne à partir d'un regroupement en classes, on utilise le centre de chaque classe.

Classes	[0;10[	[10;20[	[20;30[	[30;40[	[40;50[	[50;60[	[60;70[	[70;80[	[80;90[	[90;100[	[100;114[
Centres	5	15	25	35	45	55	65	75	85	95	107

La moyenne $ \bar{x} $ est :

$ \bar{x} = \dfrac{7\,652\,892 \times 5 + 8\,035\,093 \times 15 + \dots + 16\,255 \times 107}{65\,018\,096} = \dfrac{2\,709\,807\,620}{65\,018\,096} $

Après calcul :

$\mathbf{\bar{x} \approx 41{,}7 \text{ ans}}$

Graphique des ECC :
On place les points dont l'abscisse est la borne supérieure de chaque classe et l'ordonnée l'ECC correspondant :
$ (10 ; 7\,652\,892) $, $ (20 ; 15\,687\,985) $, $ (30 ; 23\,100\,423) $, etc.
On relie ces points par des segments pour obtenir le polygone des effectifs cumulés croissants.
Détermination graphique et comparaison :
Par lecture graphique sur le polygone des ECC :
- Pour la médiane ($ y = 32\,509\,048 $), on trouve $ M \approx 42 $.
- Pour $ Q_1 $ ($ y = 16\,254\,524 $), on trouve $ Q_1 \approx 21 $.
- Pour $ Q_3 $ ($ y = 48\,763\,572 $), on trouve $ Q_3 \approx 61 $.
Comparaison :
Les valeurs obtenues avec le regroupement en classes ($ Q_1 \approx 21 $, $ M \approx 42 $, $ Q_3 \approx 61 $) sont très proches des valeurs exactes calculées en partie A ($ Q_1 = 20 $, $ M = 41 $, $ Q_3 = 60 $).
Le regroupement en classes fournit donc une bonne approximation de la réalité statistique tout en simplifiant la lecture des données.

Pour réviser : Déterminer la médiane d'une série statistique

Courbe des fréquences cumulées croissantes

Les tailles des élèves d'une classe de Seconde ont été recensées dans le tableau ci-dessous :

Tailles (en cm)	[150 ; 155[	[155 ; 160[	[160 ; 165[	[165 ; 170[	[170 ; 175[	[175 ; 180[	[180 ; 185[
Effectifs	3	4	6	7	5	3	2

Donner l'étendue et la classe modale de cette série statistique.
Combien d'élèves mesurent entre 1,55m et 1,70m.
Construire le tableau des fréquences et des fréquences cumulées croissantes (en % et arrondies à 1% près).
Tracer la courbe des fréquences cumulées croissantes.
À l'aide du graphique précédent, déterminer la médiane et les premier et troisième quartile de cette série statistique.
Donner une approximation du pourcentage d'élèves mesurant entre 1,58m et 1,68m.

Corrigé

Donner l'étendue et la classe modale de cette série statistique. L'étendue d'une série est la différence entre la valeur la plus grande et la valeur la plus petite de cette série. Ici :

E = 185 - 150 = 35.

Lorsque toutes les classes ont la même amplitude, la classe modale correspond à la classe ayant le plus grand effectif. Dans cet exercice, la classe modale est donc [165 ; 170[ (effectif 7).
Combien d'élèves mesurent entre 1,55m et 1,70m. Le nombre d'élèves mesurant entre 1,55m et 1,70m s'obtient en additionnant les effectifs des classes [155 ; 160[, [160 ; 165[ et [165 ; 170[. 4+6+7=17.

Il y a 17 élèves qui mesurent entre 1,55m et 1,70m.

Construire le tableau des fréquences et des fréquences cumulées croissantes (en % et arrondies à 1% près). Les fréquences s'obtiennent en divisant les effectifs par l'effectif total et en multipliant ce résultat par 100 si on souhaite présenter ce résultat sous forme d'un pourcentage.

L'effectif total est :

N = 3 + 4 + 6 + 7 + 5 + 3 + 2 = 30

La fréquence de la classe [150 ; 155[ est donc $\dfrac{3}{30} = 0{,}1 = 10\%$. En procédant de façon similaire pour toutes les classes on obtient le tableau des fréquences suivant :

Tailles (en cm)	[150;155[	[155;160[	[160;165[	[165;170[	[170;175[	[175;180[	[180;185[
Effectifs	3	4	6	7	5	3	2
Fréquences (en $ \% $)	10	13	20	23	17	10	7

La fréquence cumulée croissante (fcc) associée à une valeur est la somme des fréquences des valeurs inférieures ou égales. Par exemple, la fcc associée à la classe [165;170[ correspond aux 20 premiers élèves sur 30, soit $\dfrac{20}{30} \times 100 \approx 67$ % (arrondi à 1 % près). On obtient alors le tableau ci-dessous :

Tailles (en cm)	[150;155[	[155;160[	[160;165[	[165;170[	[170;175[	[175;180[	[180;185[
Effectifs	3	4	6	7	5	3	2
Fréquences (en $ \% $)	10	13	20	23	17	10	7
FCC (en $ \% $)	10	23	43	67	83	93	100

Tracer la courbe des fréquences cumulées croissantes. Sur le tableau précédent on voit que :
- Il n'y a aucun élève qui mesure moins de 150 cm donc on place le point de coordonnées (150 ; 0)
- 10% des élèves mesurent moins de 155 cm donc on place le point de coordonnées (155 ; 10)
- 23% des élèves mesurent moins de 160 cm donc on place le point de coordonnées (160 ; 23)
- etc.
Pour des raisons de commodité, on gradue l'axe des abscisses en partant de 150.

On obtient le graphique suivant :
À l'aide du graphique précédent, déterminer la médiane et les premier et troisième quartile de cette série statistique. La médiane (Méd) correspond à la valeur dont la fréquence cumulée croissante est égale à 50% (puisque par définition de la médiane, 50% des élèves mesurent moins de la médiane).

Le premier quartile (Q1) correspond à la valeur dont la fréquence cumulée croissante est égale à 25%.

Le troisième quartile (Q3) correspond à la valeur dont la fréquence cumulée croissante est égale à 75%.

Le graphique ci-dessus donne approximativement :Méd = 166 ; Q1=160 ; Q3=172.
Donner une approximation du pourcentage d'élèves mesurant entre 1,58m et 1,68m.

À l'aide du graphique on voit que :
- environ 57% des élèves mesurent moins de 1,68m
- environ 18% des élèves mesurent moins de 1,58
Le pourcentage d'élèves mesurant entre 1,58m et 1,68m est donc d'environ 57% - 18% = 39%

Statistiques : Salaire médian – quartiles

La grille des salaires des employés d'une PME est données par le tableau ci-dessous :

Catégorie	Ouvrier simple	Ouvrier qualifié	Cadre moyen	Cadre supérieur	Dirigeant
Effectif	40	19	12	8	1
Salaire en euros	950	1300	1700	3500	8000

Quel est l'effectif total de l'entreprise ? Calculer le salaire moyen.
Quel est le salaire médian pour cette entreprise.
Quels sont les premier et troisième quartiles ?

Corrigé

L'effectif total est :
$ N = 40 + 19 + 12 + 8 + 1 = 80 $
Le salaire moyen s'obtient en faisant la moyenne pondérée des salaires :
$ m = \dfrac{40 \times 950 + 19 \times 1300 + 12 \times 1700 + 8 \times 3500 + 1 \times 8000}{80} = 1488{,}75 $
Le salaire moyen est donc de $1488{,}75$ euros.
L'effectif étant pair, le salaire médian est la moyenne des salaires de l'employé de rang $\dfrac{N}{2}$ et de l'employé de rang $\dfrac{N}{2} + 1$.
Il s'agit ici des 40e et 41e employés. Le 40e employé est un ouvrier simple et le 41e est un ouvrier qualifié.
Le salaire médian est donc :
$ M = \dfrac{950 + 1300}{2} = 1125 $ euros
Pour déterminer les quartiles, on divise l'effectif total par $4$ : $80 \div 4 = 20$.
Le premier quartile est le salaire du 20e employé, donc $Q_1 = 950$ euros.
Le troisième quartile est le salaire du 60e employé (cadre moyen), donc $Q_3 = 1700$ euros.

Température (en °C)	8	9	10	11	12	13	14
Effectif cumulé croissant	1	4	8	13	17	19	20