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Déterminer une loi puis calculer espérance, variance et écart-type

[enonce]
Lors d'une kermesse, une roue de loterie est partagée en $10$ secteurs identiques. En lançant la roue, le joueur gagne le nombre de points inscrit sur le secteur où elle s'arrête :

  • $5$ secteurs portent $0$ point ;
  • $3$ secteurs portent $2$ points ;
  • $1$ secteur porte $5$ points ;
  • $1$ secteur porte $10$ points.

On note $X$ le nombre de points obtenus à l'issue d'un lancer. On souhaite établir la loi de probabilité de $X$, puis caractériser ce jeu par son espérance, sa variance et son écart-type.
[/enonce]

[etape]
Déterminer l'ensemble des valeurs que peut prendre $X$.
[qcm]
[option]$\{0\,;\,1\,;\,2\,;\,\dots\,;\,10\}$[/option]
[option correct="true"]$\{0\,;\,2\,;\,5\,;\,10\}$[/option]
[option]$\{2\,;\,5\,;\,10\}$[/option]
[option]$\{5\,;\,3\,;\,1\,;\,1\}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$X$ prend uniquement les valeurs réellement inscrites sur la roue, chacune comptée une seule fois : $0$, $2$, $5$ et $10$.[/reponse]
[reponse motif="$\{5\,;\,3\,;\,1\,;\,1\}$"]Attention : ces nombres sont les effectifs de secteurs, pas les points gagnés. $X$ représente les points obtenus.[/reponse]
[reponse motif="$\{2\,;\,5\,;\,10\}$"]Un secteur peut aussi rapporter $0$ point : cette valeur fait bien partie des résultats possibles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]$X$ ne prend que les valeurs effectivement présentes sur la roue, sans répétition. Relire la liste des secteurs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Donner la probabilité $p(X = 0)$ sous forme de fraction irréductible : $p(X = 0) = $ [[p0]]
[math id="p0" attendu="\dfrac{1}{2}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Cinq secteurs sur dix portent $0$ point, donc $p(X = 0) = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="format"]La valeur est juste, mais la fraction n'est pas réduite : simplifier numérateur et dénominateur par leur diviseur commun.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{1}{5}"]Compter le nombre de secteurs favorables : combien de secteurs portent $0$ point parmi les $10$ ?[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Une probabilité dans une situation d'équiprobabilité se lit comme le nombre de cas favorables sur le nombre total de secteurs.[/reponse]
[aide essai="2"]Combien de secteurs portent $0$ point ? Combien y a-t-il de secteurs en tout ?[/aide]
[aide essai="3"]Il y a $5$ secteurs favorables sur $10$ ; reste à simplifier la fraction obtenue.[/aide]
[solution]Cinq secteurs sur dix portent $0$ point : $p(X = 0) = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$.[/solution]
[/math]
[/etape]

[etape]
En procédant de la même manière pour chaque valeur, on obtient la loi de $X$. Donner la probabilité $p(X = 5)$ sous forme décimale : $p(X = 5) = $ [[p5]]
[math id="p5" attendu="0,1"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Un seul secteur sur dix porte $5$ points, soit $p(X = 5) = \dfrac{1}{10} = 0{,}1$.
La loi complète s'écrit alors :

$x_i$ $0$ $2$ $5$ $10$
$p(X = x_i)$ $0{,}5$ $0{,}3$ $0{,}1$ $0{,}1$

On vérifie que $0{,}5 + 0{,}3 + 0{,}1 + 0{,}1 = 1$, ce qui confirme la loi.[/reponse]
[reponse motif="0,3"]Cette valeur correspond à un autre gain : bien repérer le nombre de secteurs portant $5$ points.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Repérer le nombre de secteurs portant exactement $5$ points, puis diviser par le nombre total de secteurs.[/reponse]
[aide essai="2"]Combien de secteurs portent $5$ points sur les $10$ de la roue ?[/aide]
[aide essai="3"]Un seul secteur est favorable ; il reste à écrire la fraction correspondante sous forme décimale.[/aide]
[solution]Un seul secteur sur dix porte $5$ points : $p(X = 5) = \dfrac{1}{10} = 0{,}1$.[/solution]
[/math]
[/etape]

[etape]
À partir de la loi de $X$, calculer l'espérance $E(X)$ : $E(X) = $ [[esp]]
[math id="esp" attendu="2,1"]
[reponse statut="correct"]Parfait !
$E(X) = 0 \times 0{,}5 + 2 \times 0{,}3 + 5 \times 0{,}1 + 10 \times 0{,}1 = 0{,}6 + 0{,}5 + 1 = 2{,}1$.
En moyenne, un lancer rapporte donc $2{,}1$ points.[/reponse]
[reponse motif="4,25"]Il ne faut pas faire la moyenne des valeurs seules : chaque valeur doit être pondérée par sa probabilité.[/reponse]
[reponse motif="17"]C'est la somme des valeurs $0 + 2 + 5 + 10$ : il manque la pondération par les probabilités.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]L'espérance est une moyenne pondérée : multiplier chaque valeur par sa probabilité avant d'additionner.[/reponse]
[aide essai="2"]L'espérance combine chaque valeur $x_i$ avec sa probabilité $p_i$ sous la forme $\sum p_i x_i$.[/aide]
[aide essai="3"]Calculer $0 \times 0{,}5$, puis $2 \times 0{,}3$, $5 \times 0{,}1$ et $10 \times 0{,}1$, et additionner ces quatre produits.[/aide]
[solution]$E(X) = 0 \times 0{,}5 + 2 \times 0{,}3 + 5 \times 0{,}1 + 10 \times 0{,}1 = 2{,}1$.[/solution]
[/math]
[/etape]

[etape]
Déterminer $E(X^2)$ : $E(X^2) = $ [[esp2]]
[math id="esp2" attendu="13,7"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$E(X^2) = 0^2 \times 0{,}5 + 2^2 \times 0{,}3 + 5^2 \times 0{,}1 + 10^2 \times 0{,}1 = 0 + 1{,}2 + 2{,}5 + 10 = 13{,}7$.[/reponse]
[reponse motif="4,41"]C'est $E(X)^2$, le carré de l'espérance, et non $E(X^2)$ : ici chaque valeur doit être élevée au carré avant la pondération.[/reponse]
[reponse motif="2,1"]C'est l'espérance $E(X)$ : pour $E(X^2)$, élever d'abord chaque valeur au carré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Dans $E(X^2)$, on pondère les carrés des valeurs : remplacer chaque $x_i$ par $x_i^2$ avant de multiplier par $p_i$.[/reponse]
[aide essai="2"]$E(X^2)$ se calcule comme une espérance, mais en utilisant les valeurs $x_i^2$ au lieu des $x_i$.[/aide]
[aide essai="3"]Élever au carré : $0^2 = 0$, $2^2 = 4$, $5^2 = 25$, $10^2 = 100$, puis pondérer chacun par sa probabilité.[/aide]
[solution]$E(X^2) = 0 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}3 + 25 \times 0{,}1 + 100 \times 0{,}1 = 13{,}7$.[/solution]
[/math]
[/etape]

[etape]
Déduire des résultats précédents la variance $V(X)$, puis l'écart-type $\sigma(X)$ arrondi au centième.
$V(X) = $ [[var]] et $\sigma(X) \approx $ [[ect]]
[math id="var" attendu="9,29"]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 13{,}7 - 2{,}1^2 = 13{,}7 - 4{,}41 = 9{,}29$.[/reponse]
[reponse motif="11,6"]Vérifier le carré de l'espérance : c'est $E(X)^2$ qu'il faut retrancher, pas $E(X)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]La variance se déduit de $E(X^2)$ et de $E(X)$ : retrancher à $E(X^2)$ le carré de l'espérance.[/reponse]
[aide essai="2"]La variance relie $E(X^2)$ et $E(X)$ : il s'agit d'une soustraction faisant intervenir le carré de l'espérance.[/aide]
[aide essai="3"]Calculer d'abord $2{,}1^2 = 4{,}41$, puis le retrancher à $13{,}7$.[/aide]
[solution]$V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 13{,}7 - 4{,}41 = 9{,}29$.[/solution]
[/math]
[math id="ect" attendu="3,05"]
[reponse statut="correct"]Excellent !
$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{9{,}29} \approx 3{,}05$.
Les gains sont donc en moyenne dispersés d'environ $3$ points autour de l'espérance $2{,}1$.[/reponse]
[reponse motif="9,29"]C'est la variance : l'écart-type s'obtient en prenant sa racine carrée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]L'écart-type est la racine carrée de la variance ; ne pas oublier de prendre la racine.[/reponse]
[aide essai="2"]L'écart-type s'obtient à partir de la variance par une opération qui ramène à la même unité que $X$.[/aide]
[aide essai="3"]Calculer $\sqrt{9{,}29}$, puis arrondir le résultat au centième.[/aide]
[solution]$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{9{,}29} \approx 3{,}05$.[/solution]
[/math]
[/etape]

Vrai/Faux : Variables aléatoires réelles

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Une variable aléatoire $X$ suit la loi de probabilité ci-dessous :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline p(X=x_i) & 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}1 & 0{,}1 \\ \hline \end{array}$$

Affirmation : $p(X = 8) = 0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$X$ ne prend que les valeurs $1, 2, \ldots, 7$.
La valeur $8$ n'appartient pas à l'ensemble des valeurs possibles, donc $p(X = 8) = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de croire que $p(X = 8)$ n'est pas défini plutôt que d'être égal à $0$ : une valeur hors du support d'une variable aléatoire a une probabilité nulle.
$X$ ne prend que les valeurs $1$ à $7$. La valeur $8$ est impossible, donc $p(X = 8) = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$8$ n'appartient pas aux valeurs possibles de $X$, donc $p(X = 8) = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Une variable aléatoire $X$ suit la loi de probabilité ci-dessous :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x_i & 0 & 2 & 4 & 6 \\ \hline p(X=x_i) & 0{,}3 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}2 \\ \hline \end{array}$$

Affirmation : $p(X < 7) = 0$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$X$ ne prend que les valeurs $0, 2, 4, 6$, qui sont toutes strictement inférieures à $7$.
L'événement $(X < 7)$ est donc l'événement certain : $p(X < 7) = 1 \neq 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de confondre « $7$ n'est pas une valeur possible de $X$ » avec « $p(X < 7) = 0$ » : puisque toutes les valeurs de $X$ sont inférieures à $7$, l'événement $(X < 7)$ est l'événement certain.
Toutes les valeurs de $X$ ($0, 2, 4, 6$) sont inférieures à $7$, donc $(X < 7)$ est l'événement certain : $p(X < 7) = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
Toutes les valeurs possibles ($0, 2, 4, 6$) sont $< 7$, donc $(X < 7)$ est l'événement certain et $p(X < 7) = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
La variable aléatoire $X$ représente le gain algébrique (en euros) d'un jeu, de loi :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x_i & -2 & 0 & 1 & 2 \\ \hline p(X=x_i) & 0{,}3 & 0{,}3 & 0{,}2 & 0{,}2 \\ \hline \end{array}$$

Affirmation : Ce jeu est équitable (d'espérance nulle).

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Un jeu est équitable si $E(X) = 0$. On calcule :
$E(X) = (-2) \times 0{,}3 + 0 \times 0{,}3 + 1 \times 0{,}2 + 2 \times 0{,}2$
$= -0{,}6 + 0 + 0{,}2 + 0{,}4 = 0$
Donc le jeu est bien équitable.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'oublier le signe de la valeur $-2$ dans le calcul de l'espérance, ou de négliger la contribution de la valeur $0$ (qui est nulle).
$E(X) = (-2) \times 0{,}3 + 0 \times 0{,}3 + 1 \times 0{,}2 + 2 \times 0{,}2 = -0{,}6 + 0 + 0{,}2 + 0{,}4 = 0$.
L'espérance est nulle, le jeu est équitable.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$E(X) = -0{,}6 + 0 + 0{,}2 + 0{,}4 = 0$ : espérance nulle, jeu équitable.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance trois fois une pièce bien équilibrée. On note $X$ le nombre de « Pile » obtenues.

Affirmation : $p(X = 3) = \dfrac{1}{6}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'événement $(X = 3)$ correspond à « Pile » à chaque lancer.
Comme la pièce est équilibrée et les lancers sont indépendants :
$p(X = 3) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8} \neq \dfrac{1}{6}$[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de confondre $\dfrac{1}{6}$ (probabilité associée à un dé) avec $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$ pour une pièce équilibrée lancée trois fois.
$p(X = 3) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$, pas $\dfrac{1}{6}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
$p(X = 3) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8} \neq \dfrac{1}{6}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance cinq fois une pièce de monnaie. La variable aléatoire $X$ désigne le nombre de « Face » obtenues.

Affirmation : L'ensemble des valeurs possibles de $X$ est $\{1~;~2~;~3~;~4~;~5\}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$X$ peut aussi valoir $0$ si on n'obtient aucune « Face » sur les cinq lancers.
L'ensemble des valeurs possibles est $\{0~;~1~;~2~;~3~;~4~;~5\}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est d'oublier la valeur $0$, qui correspond au cas (possible) où aucun lancer ne donne « Face ».
La valeur $0$ est oubliée : si aucun lancer ne donne « Face », alors $X = 0$.
L'ensemble correct est $\{0~;~1~;~2~;~3~;~4~;~5\}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
La valeur $0$ est possible (aucun Face) : l'ensemble correct est $\{0~;~1~;~2~;~3~;~4~;~5\}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Un standard téléphonique reçoit $X$ appels en 15 minutes, selon la loi :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline p(X=x_i) & 0{,}35 & 0{,}2 & 0{,}15 & 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}1 \\ \hline \end{array}$$

Affirmation : $p(X \geqslant 3) = 0{,}3$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$p(X \geqslant 3) = p(X=3) + p(X=4) + p(X=5) = 0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}1 = 0{,}3$[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de calculer $p(X \geqslant 3) = 1 - p(X \leqslant 3)$ en incluant ou excluant incorrectement la valeur $3$ dans le complémentaire.
$p(X \geqslant 3) = p(X=3) + p(X=4) + p(X=5) = 0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}1 = 0{,}3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$p(X \geqslant 3) = 0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}1 = 0{,}3$.
[/solution]
[/etape]

Loi de probabilité – Espérance mathématique

Une cantine scolaire propose chaque jour aux enfants de choisir un plat entre « steak-frites » et « plat du jour ».

Le responsable de la cantine fait le bilan après un nombre élevé de jours et remarque que les enfants ont choisi le « plat du jour » dans 45% des cas et le « steak-frites » dans 55% des cas.

  1. On observe le comportement alimentaire d'un enfant choisi au hasard pendant trois jours consécutifs et on admet que ses choix sont indépendants d'un jour à l'autre.

    1. Représenter les choix possibles de l'enfant pendant ces trois jours à l'aide d'un arbre pondéré (on notera $ S $ l'événement : l'enfant choisi le « steak-frites » un jour donné et $ \overline{S} $ l'événement contraire).
    2. Quelle est la probabilité que l'enfant ait choisi le « plat du jour » à tous les repas ?
    3. Quelle est la probabilité que l'enfant ait choisi davantage de « steak-frites » que de « plat du jour » durant ces trois jours ?

  2. Un repas se compose d'un plat principal ( « steak-frites » ou « plat du jour » ), d'une entrée au coût fixe de 1,5 euros et d'un dessert au coût fixe de 2 euros.

    Le coût du « plat du jour » est de 5 euros en moyenne tandis que le « steak-frite » revient à 4,5 euros.

    On note $ X $ la variable aléatoire donnant le coût des repas scolaires d'un enfant pendant trois jours.

    1. Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $ X $ ?
    2. Donner la loi de probabilité de $ X $.
    3. Calculer l'espérance mathématique de $ X $. Quelle interprétation peut-on donner de cette espérance mathématique ?

Corrigé

  1. On observe le comportement alimentaire d'un enfant pendant trois jours consécutifs :

    1. Puisque les choix sont indépendants d'un jour à l'autre, on peut modéliser la situation par un arbre pondéré à trois niveaux :

      Arbre pondéré à trois niveaux

    2. L'événement « l'enfant a choisi le plat du jour à tous les repas » correspond au chemin unique $(\overline{S}, \overline{S}, \overline{S})$.
      La probabilité est donc :

      $ p(\overline{S} \cap \overline{S} \cap \overline{S}) = 0{,}45 \times 0{,}45 \times 0{,}45 = 0{,}45^3 = 0{,}091125 $

    3. L'événement « l'enfant a choisi davantage de steak-frites que de plat du jour » correspond à choisir au moins deux fois « steak-frites » sur les trois jours (c'est-à-dire 2 ou 3 « steak-frites »).
      Les chemins favorables sont : $(S, S, S)$, $(S, S, \overline{S})$, $(S, \overline{S}, S)$ et $(\overline{S}, S, S)$.

      La probabilité de chacun des trois chemins avec deux « steak-frites » est :
      $ 0{,}55^2 \times 0{,}45 = 0{,}136125 $

      La probabilité du chemin avec trois « steak-frites » est :
      $ 0{,}55^3 = 0{,}166375 $

      La probabilité cherchée est donc la somme des probabilités de ces quatre chemins :

      $ p = 3 \times 0{,}136125 + 0{,}166375 = 0{,}408375 + 0{,}166375 = 0{,}57475 $

  2. Étude du coût des repas : chaque repas se compose d'un plat principal, d'une entrée fixe à 1,5 € et d'un dessert fixe à 2 € (soit un coût fixe de 3,5 € par jour).

    1. Calcul des coûts journaliers :

      • Si l'enfant choisit « steak-frites » : le repas coûte $ 4{,}5 + 3{,}5 = 8 $ euros.
      • Si l'enfant choisit « plat du jour » : le repas coûte $ 5 + 3{,}5 = 8{,}5 $ euros.

      Les valeurs possibles de $ X $ sur trois jours sont :

      • 3 « steak-frites » : $ X = 3 \times 8 = 24 $
      • 2 « steak-frites » et 1 « plat du jour » : $ X = 2 \times 8 + 8{,}5 = 24{,}5 $
      • 1 « steak-frite » et 2 « plat du jour » : $ X = 8 + 2 \times 8{,}5 = 25 $
      • 3 « plat du jour » : $ X = 3 \times 8{,}5 = 25{,}5 $

      Les valeurs prises par $ X $ sont donc : $ \{24\ ;\ 24{,}5\ ;\ 25\ ;\ 25{,}5\} $.

    2. À l'aide de l'arbre et du dénombrement des chemins :

      • Pour $ X = 24 $ (3 « steak-frites ») : un seul chemin, $ p = 0{,}55^3 = 0{,}166375 $.
      • Pour $ X = 24{,}5 $ (2 « steak-frites ») : trois chemins, $ p = 3 \times 0{,}55^2 \times 0{,}45 = 0{,}408375 $.
      • Pour $ X = 25 $ (1 « steak-frite ») : trois chemins, $ p = 3 \times 0{,}55 \times 0{,}45^2 = 0{,}334125 $.
      • Pour $ X = 25{,}5 $ (0 « steak-frite ») : un seul chemin, $ p = 0{,}45^3 = 0{,}091125 $.

      Loi de probabilité de $ X $ :

      $ x_i $ 24 24,5 25 25,5
      $ p(X = x_i) $ 0,166375 0,408375 0,334125 0,091125

    3. Espérance mathématique de $ X $ :
      $ E(X) = 24 \times 0{,}166375 + 24{,}5 \times 0{,}408375 + 25 \times 0{,}334125 + 25{,}5 \times 0{,}091125 $

      $\mathbf{E(X) = 24{,}675}$

      Interprétation : Sur un grand nombre de périodes de trois jours, le coût moyen des repas d'un enfant est de 24,675 euros.

Espérance mathématique maximale

Une urne contient $ n $ boules blanches et $ 2n $ boules rouges (avec $ n \geqslant 1 $).

On tire au hasard et sans remise, trois boules de l'urne.

  1. Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.

  2. On considère le jeu suivant :

    • Si toutes les boules tirées sont blanches, le joueur perd 16 euros.
    • Si toutes les boules tirées sont rouges, le joueur gagne 2 euros.
    • Dans les autres cas, le joueur ne gagne rien et ne perd rien.

    On note $ X $ la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur.

    Déterminer la loi de probabilité de $ X $.

    Calculer l'espérance mathématique $ E(X) $.

  3. Soit la fonction $ f $ définie sur $ \left[1~;~+\infty\right[ $ par $ f(x)=\dfrac{x - 1}{(3x - 1)(3x - 2)} $.

    1. Étudier les variations de la fonction $ f $.
    2. Combien de boules doit contenir l'urne pour que l'espérance mathématique $ E(X) $ soit maximale ?

      Quelle est alors la valeur de cette espérance mathématique ?

Corrigé

  1. Pour ne pas surcharger la figure, seules les probabilités utilisées lors des questions suivantes ont été indiquées.

    Arbre pondéré
    • Au premier niveau (tirage de la première boule), l'urne contient $ n $ boules blanches sur un total de $ 3n $ boules. La probabilité de tirer une boule blanche est donc $ \dfrac{n}{3n} = \dfrac{1}{3} $.

      L'urne contient $ 2n $ boules rouges sur un total de $ 3n $ boules. La probabilité de tirer une boule rouge est donc $ \dfrac{2n}{3n} = \dfrac{2}{3} $.

    • Au second niveau (tirage de la seconde boule) :

      • Si l'on a tiré une boule blanche en premier , il reste alors $ n - 1 $ boules blanches sur un total de $ 3n - 1 $ boules. La probabilité de tirer une boule blanche est donc alors $ \dfrac{n - 1}{3n - 1} $.
      • ...
      • Si l'on a tiré une boule rouge en premier , il reste alors $ 2n - 1 $ boules rouges sur un total de $ 3n - 1 $ boules. La probabilité de tirer une boule rouge est donc alors $ \dfrac{2n - 1}{3n - 1} $.

    • Au troisième niveau (tirage de la troisième boule) :

      • Si l'on a tiré deux boules blanches lors des deux premiers tirages, il reste alors $ n - 2 $ boules blanches sur un total de $ 3n - 2 $ boules. La probabilité de tirer une boule blanche est donc alors $ \dfrac{n - 2}{3n - 2} $.
      • ...
      • Si l'on a tiré deux boules rouges lors des deux premiers tirages, il reste alors $ 2n - 2 $ boules rouges sur un total de $ 3n - 2 $ boules. La probabilité de tirer une boule rouge est donc alors $ \dfrac{2n - 2}{3n - 2} $.

  2. $ X $ prend la valeur -16 si les trois boules sont blanches, c'est à dire avec une probabilité :

    $ p(X= - 16)=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{n - 1}{3n - 1} \times \dfrac{n - 2}{3n - 2} $

    $ p(X= - 16)=\dfrac{(n - 1)(n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

    $ X $ prend la valeur 2 si les trois boules sont rouges, c'est à dire avec une probabilité :

    $ p(X=2)=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{2n - 1}{3n - 1} \times \dfrac{2n - 2}{3n - 2} $

    $ p(X=2)=\dfrac{2(2n - 1)(2n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

    Dans les autres cas $ X $ prend la valeur $ 0 $.

    Le total des probabilités étant égal à $ 1 $ on obtient :

    $ p(X=0)=1 - p(X= - 16) - p(X=2) $

    $ p(X=0)=1 - \dfrac{(n - 1)(n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} - \dfrac{2(2n - 1)(2n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

    $ p(X=0)=\dfrac{6n^2 - 4n}{(3n - 1)(3n - 2)} $

    La loi de probabilité de $ X $ est donc :

    $ x_i $ $ - 16 $ $ 0 $ $ 2 $
    $ p(X=x_i) $ $ \dfrac{(n - 1)(n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} $ $ \dfrac{6n^2 - 4n}{(3n - 1)(3n - 2)} $ $ \dfrac{2(2n - 1)(2n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

    L'espérance mathématique de $ X $ est :

    $ E(X)= - 16\times p(X= - 16)+0 \times p(X=0)+2 \times p(X=2) $

    $ \phantom{E(X)}= - 16\times \dfrac{(n - 1)(n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} + 2 \times \dfrac{2(2n - 1)(2n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

    $ \phantom{E(X)}= - 16\times \dfrac{n^2 - 3n+2}{3(3n - 1)(3n - 2)} + 2 \times \dfrac{8n^2 - 12n+4}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

    $ \phantom{E(X)}=\dfrac{24n - 24}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

    $ \phantom{E(X)}=\dfrac{8(n - 1)}{(3n - 1)(3n - 2)} $

    1. La fonction $ f $ est définie et dérivable sur $ \left[1;+\infty \right[ $.

      $ f $ est de la forme $ \dfrac{u}{v} $ avec

      $ u(x)=x - 1 $ donc $ u ^{\prime}(x)=1 $

      $ v(x)=(3x - 1)(3x - 2)=9x^2 - 9x+2 $ donc $ v^{\prime}(x) = 18x - 9 $

      Par conséquent :

      $ f^{\prime}(x)=\dfrac{9x^2 - 9x+2 - (x - 1)(18x - 9)}{(3x - 1)(3x - 2))^2} $

      $ f^{\prime}(x)=\dfrac{ - 9x^2+18x - 7}{((3x - 1)(3x - 2))^2} $

      Le dénominateur est positif et le numérateur est un polynôme du second degré.

      $ \Delta = 18^2 - 4 \times 7 \times 9=72 > 0 $

      Le numérateur admet deux racines :

      $ x_1 = \dfrac{ - 18+6\sqrt{2}}{ - 18}= \dfrac{3 - \sqrt{2}}{3} $

      $ x_2 = \dfrac{ - 18 - 6\sqrt{2}}{ - 18}= \dfrac{3+\sqrt{2}}{3} $

      $ x_1 $ est inférieur à $ 1 $ et $ x_2 \approx 1{,}47 \in \left[1;+\infty \right[ $.

      On obtient le tableau de variations suivant sur $ \left[1;+\infty \right[ $ :

      Tableau de variations de f sur [1;+infini[ : f croît de 0 (en 1) jusqu'à f(x2) puis décroît vers 0 en +infini.
    2. D'après la question 2., $ E(X)=8f(n) $

      L'espérance mathématique est donc maximale pour la valeur de $ n $ qui maximise $ f(n) $.

      D'après la question précédente $ f $ est décroissante sur $ \left[x_2;+\infty\right[ $ donc sur $ \left[2;+\infty\right[ $ puisque $ x_2 < 2 $.

      Les seules valeurs entières susceptibles de maximiser $ f $ sont donc $ 1 $ ou $ 2 $.

      Or $ f(1)=0 $ et $ f(2)=\dfrac{1}{20} $.

      Donc, l'espérance mathématique est maximale pour $ n=2 $ c'est à dire si l'urne contient $ 2 $ boules blanches et $ 4 $ boules rouges.

      Cette espérance vaut alors $ E(X)=8f(2)=\dfrac{8}{20}=0{,}4 $

Pour réviser : Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire

Espérance mathématique – Ecart-type

On lance une pièce de monnaie et on considère la variable aléatoire $ X $ qui vaut $ 1 $ si la pièce tombe sur « pile » et $ 0 $ si la pièce tombe sur « face »

  1. On suppose la pièce parfaitement équilibrée.

    Donner la loi de probabilité de $ X $. Calculer l'espérance mathématique, la variance et l'écart-type de $ X $
  2. Dans cette question, on ne suppose plus la pièce parfaitement équilibrée et on note $ p $ la probabilité que la pièce tombe sur « pile ».

    Quelle est alors la loi de probabilité de $ X $, son espérance mathématique, sa variance, son écart-type ?

    Pour quelle valeur de $ p $ l'écart-type est-il maximal ?

Corrigé

  1. La pièce est parfaitement équilibrée, donc la probabilité d'obtenir « pile » est $ 0{,}5 $ et la probabilité d'obtenir « face » est $ 0{,}5 $.

    La variable aléatoire $ X $ prend les valeurs $ 0 $ et $ 1 $.

    La loi de probabilité de $ X $ est donnée par le tableau suivant :

    $ x_i $ $ 0 $ $ 1 $
    $ P(X=x_i) $ $ 0{,}5 $ $ 0{,}5 $

    L'espérance mathématique de $ X $ est :

    $ E(X) = 0 \times 0{,}5 + 1 \times 0{,}5 = 0{,}5 $

    La variance de $ X $ est donnée par la formule $ V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 $.

    Calculons d'abord $ E(X^2) $ :

    $ E(X^2) = 0^2 \times 0{,}5 + 1^2 \times 0{,}5 = 0{,}5 $

    D'où :

    $ V(X) = 0{,}5 - 0{,}5^2 = 0{,}5 - 0{,}25 = 0{,}25 $

    L'écart-type est la racine carrée de la variance :

    $ \sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{0{,}25} = 0{,}5 $

  2. On note $ p $ la probabilité d'obtenir « pile ».

    Comme la somme des probabilités est égale à $ 1 $, la probabilité d'obtenir « face » est $ 1-p $.

    La loi de probabilité de $ X $ est :

    $ x_i $ $ 0 $ $ 1 $
    $ P(X=x_i) $ $ 1-p $ $ p $

    L'espérance mathématique est :

    $ E(X) = 0 \times (1-p) + 1 \times p = p $

    Pour la variance :

    $ E(X^2) = 0^2 \times (1-p) + 1^2 \times p = p $

    Donc :

    $ V(X) = p - p^2 = p(1-p) $

    L'écart-type vaut :

    $ \sigma(X) = \sqrt{p(1-p)} $

    On cherche pour quelle valeur de $ p $ l'écart-type est maximal.

    Cela revient à chercher pour quelle valeur de $ p $ la variance $ V(X) = p - p^2 $ est maximale (car la fonction racine carrée est croissante sur $ [0; +\infty[ $).

    Considérons la fonction $ f $ définie sur $ [0; 1] $ par $ f(p) = -p^2 + p $.

    C'est un polynôme du second degré de la forme $ ap^2 + bp + c $ avec $ a = -1 $ et $ b = 1 $.

    Comme $ a < 0 $, la parabole représentant cette fonction est orientée vers le bas et admet un maximum pour $ p = -\dfrac{b}{2a} $.

    $ p = -\dfrac{1}{2 \times (-1)} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5 $

    L'écart-type est donc maximal lorsque la pièce est parfaitement équilibrée ($ p = 0{,}5 $).

[Bac] Probabilités – Variables aléatoires

[D'après Bac S Liban 2008]

Une urne A contient quatre boules rouges et six boules noires. Une urne B contient une boule rouge et neuf boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher.

Partie A

Un joueur dispose d'un dé à six faces, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6. Il le lance une fois : s'il obtient 1, il tire au hasard une boule de l'urne A, sinon il tire au hasard une boule de l'urne B.

Soit $ R $ l'événement « le joueur obtient une boule rouge ». Montrer que $ p\left(R\right)=0{,}15 $.

Partie B

Le joueur répète deux fois l'épreuve décrite dans la partie A, dans des conditions identiques et indépendantes (c'est-à-dire qu'à l'issue de la première épreuve, les urnes retrouvent leur composition initiale).

Soit $ x $ un entier naturel non nul.

Lors de chacune des deux épreuves, le joueur gagne $ x $ euros s'il obtient une boule rouge et perd deux euros s'il obtient une boule noire.

On désigne par $ G $ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur en euros au terme des deux épreuves. La variable aléatoire $ G $ prend donc les valeurs $ 2x, x - 2 $ et $ - 4 $.

  1. Déterminer la loi de probabilité de $ G $.
  2. Exprimer l'espérance $ E\left(G\right) $ de la variable aléatoire $ G $ en fonction de $ x $.
  3. Pour quelles valeurs de $ x $ a-t-on $ E\left(G\right) \geqslant 0 $ ?

Corrigé

Partie A

On note $ A $ l'événement « le joueur tire une boule de l'urne A » et $ B $ l'événement « le joueur tire une boule de l'urne B ». Comme le dé est équilibré :

$ p\left(A\right)=\dfrac{1}{6} \quad \text{et} \quad p\left(B\right)=\dfrac{5}{6} $

L'urne A contient $ 4 $ rouges parmi $ 10 $ boules et l'urne B contient $ 1 $ rouge parmi $ 10 $ boules :

$ p_{A}\left(R\right)=\dfrac{4}{10} \quad \text{et} \quad p_{B}\left(R\right)=\dfrac{1}{10} $

Les événements $ A $ et $ B $ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

$ p\left(R\right)=p\left(A\right)\times p_{A}\left(R\right)+p\left(B\right)\times p_{B}\left(R\right) $

$ p\left(R\right)=\dfrac{1}{6}\times \dfrac{4}{10}+\dfrac{5}{6}\times \dfrac{1}{10}=\dfrac{4}{60}+\dfrac{5}{60}=\dfrac{9}{60} $

D'où $\mathbf{p\left(R\right)=0{,}15}$.

Partie B

  1. Les deux épreuves sont indépendantes et identiques. À chaque épreuve, $ p\left(R\right)=0{,}15 $ et $ p\left(\overline{R}\right)=0{,}85 $.

    $ G $ prend la valeur $ 2x $ lorsque le joueur obtient deux boules rouges :

    $ p\left(G=2x\right)=0{,}15\times 0{,}15=0{,}0225 $

    $ G $ prend la valeur $ x-2 $ lorsque le joueur obtient une rouge et une noire (deux ordres possibles) :

    $ p\left(G=x-2\right)=2\times 0{,}15\times 0{,}85=0{,}255 $

    $ G $ prend la valeur $ -4 $ lorsque le joueur obtient deux boules noires :

    $ p\left(G=-4\right)=0{,}85\times 0{,}85=0{,}7225 $

    Vérification : $ 0{,}0225+0{,}255+0{,}7225=1 $.

    La loi de probabilité de $ G $ est donnée par le tableau :

    $ g_{i} $ $ 2x $ $ x-2 $ $ -4 $
    $ p\left(G=g_{i}\right) $ $ 0{,}0225 $ $ 0{,}255 $ $ 0{,}7225 $

  2. Par définition de l'espérance :

    $ E\left(G\right)=2x\times 0{,}0225+\left(x-2\right)\times 0{,}255+\left(-4\right)\times 0{,}7225 $

    $ E\left(G\right)=0{,}045x+0{,}255x-0{,}51-2{,}89 $

    D'où $\mathbf{E\left(G\right)=0{,}3x-3{,}4}$.

  3. On résout :

    $ E\left(G\right)\geqslant 0 \iff 0{,}3x-3{,}4\geqslant 0 \iff x\geqslant \dfrac{3{,}4}{0{,}3}=\dfrac{34}{3}\approx 11{,}33 $

    Comme $ x $ est un entier naturel non nul, le jeu est favorable au joueur (en moyenne) lorsque $\mathbf{x\geqslant 12}$.

Arbre – Lancers successifs

On lance plusieurs fois un dé à six faces (numérotées de 1 à 6) bien équilibré.

On s'arrête :

  • dès que le chiffre 6 est obtenu
  • au 4ème lancer au plus tard (même si le chiffre 6 n'a pas été obtenu)
  1. Représenter cette expérience par un arbre pondéré.
  2. Quelle est la probabilité de ne jamais obtenir le chiffre 6 au cours des 4 lancés.
  3. $ X $ est la variable aléatoire qui comptabilise le nombre total de lancer avant l'arrêt.

    Quelles sont les différentes valeurs possibles pour $ X $?

    Donner la loi de probabilité de $ X $.

Corrigé

  1. Arbre pondéré

    $ S $ est l'évènement : « on obtient le chiffre 6 » ;
    $ \overline{S} $ est l'évènement contraire.

  2. La probabilité de ne jamais obtenir de « 6 » au cours de cette expérience est :

    $ p=\dfrac{5}{6}\times \dfrac{5}{6}\times \dfrac{5}{6}\times \dfrac{5}{6}=\dfrac{625}{1296} $

  3. $ X $ peut prendre les valeurs : 1, 2, 3, 4

    $ X=1 $ si on obtient un 6 lors du premier lancer.

    $ p\left(X=1\right)=\dfrac{1}{6} $

    $ X=2 $ si on n'obtient pas de 6 lors du premier lancer et si l'on en obtient un lors du second lancer.

    $ p\left(X=2\right)=\dfrac{5}{6}\times \dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{36} $

    De même :

    $ p\left(X=3\right)=\dfrac{5}{6}\times \dfrac{5}{6}\times \dfrac{1}{6}=\dfrac{25}{216} $

    La somme des probabilité de toutes les issues étant égale à 1 :

    $ p\left(X=1\right)+p\left(X=2\right)+p\left(X=3\right)+p\left(X=4\right)=1 $

    Par conséquent :

    $ p\left(X=4\right)=1 - \dfrac{1}{6} - \dfrac{5}{36} - \dfrac{25}{216}=\dfrac{125}{216} $

    On obtient donc le tableau suivant :

    $ x_{i} $ 1 2 3 4
    $ p\left(X=x_{i}\right) $ $ \dfrac{1}{6} $ $ \dfrac{5}{36} $ $ \dfrac{25}{216} $ $ \dfrac{125}{216} $

[Bac] Variables aléatoires – Espérance mathématique

[D'après Bac S Métropole 2009) Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher :

7 jetons blancs numérotés de 1 à 7 et 3 jetons noirs numérotés de 1 à 3.

On tire simultanément deux jetons de ce sac.

  1. On note A l'événement « obtenir deux jetons blancs ».

    Démontrer que la probabilité de l'événement A est égale à $ \dfrac{7}{15} $. (On pourra utiliser un arbre pondéré)

  2. Soit $ X $ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané.

    1. Déterminer la loi de probabilité de $ X $.
    2. Calculer l'espérance mathématique de $ X $.

Corrigé

  1. L'expérience peut être modélisée par l'arbre ci-dessous (les fractions n'ont volontairement pas été simplifiées) :

    Arbre pondéré

    La probabilité d'obtenir deux jetons blancs est :

    $ p\left(A\right)=\dfrac{7}{10}\times \dfrac{6}{9}=\dfrac{7}{15} $

    1. $ X $ peut prendre les valeurs $ 0; 1 $ et $ 2 $.

      Grâce à l'arbre ci-dessus on trouve :

      $ p\left(X=0\right)=\dfrac{3}{10}\times \dfrac{2}{9}=\dfrac{1}{15} $

      $ p\left(X=1\right)=\dfrac{7}{10}\times \dfrac{3}{9}+\dfrac{3}{10}\times \dfrac{7}{9}=\dfrac{21+21}{90}=\dfrac{7}{15} $

      La loi de probabilité de $ X $ est donnée par le tableau :

      $ x_{i} $ $ 0 $ $ 1 $ $ 2 $
      $ p\left(X=x_{i}\right) $ $ \dfrac{1}{15} $ $ \dfrac{7}{15} $ $ \dfrac{7}{15} $
    2. L'espérance mathématique est égale à :

      $ E\left(X\right)=0\times \dfrac{1}{15}+1\times \dfrac{7}{15}+2\times \dfrac{7}{15}=\dfrac{7}{5} $

Pour réviser : Calculer l'espérance d'une variable aléatoire

Arbre et loi de probabilité

On lance 3 pièces bien équilibrées valant respectivement 1€, 2€ et 2€.

On veut étudier la variable aléatoire $ X $ qui totalise le montant en euros des pièces tombées sur Pile.

  1. Représenter l'expérience par un arbre pondéré.
  2. Quelles sont les différentes valeurs possibles pour $ X $?

    Donner la loi de probabilité de $ X $.
  3. Quelle est la probabilité d'obtenir un résultat supérieur ou égal à 3€ ?

Corrigé

  1. Arbre pondéré

    Pour simplifier la lecture de l'arbre chaque évènement a été représenté par le montant généré (par exemple « 1 » signifie que la pièce de 1 euro a donné « Pile »)

  2. Les valeurs prises par la variable aléatoire $ X $ sont :

    0 $ \quad $ (0+0+0)

    1 $ \quad $ (1+0+0)

    2 $ \quad $ (0+2+0 ou 0+0+2)

    3 $ \quad $ (1+2+0 ou 1+0+2)

    4 $ \quad $ (0+2+2)

    5 $ \quad $ (1+2+2)

    Chaque éventualité (issue) a une probabilité de $ \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8} $. Les évènements $ X=2 $ et $ X=3 $ correspondent chacun à 2 éventualités. On obtient donc le tableau suivant :

    $ x_{i} $ 0 1 2 3 4 5
    $ p\left(X=x_{i}\right) $ $ \dfrac{1}{8} $ $ \dfrac{1}{8} $ $ \dfrac{1}{4} $ $ \dfrac{1}{4} $ $ \dfrac{1}{8} $ $ \dfrac{1}{8} $
  3. On recherche $ p\left(X\geqslant 3\right) $.

    $ p\left(X\geqslant 3\right)=p\left(X=3\right)+p\left(X=4\right)+p\left(X=5\right)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2} $

Pour réviser : Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire