Vidange d’une cuve et fonction affine
[enonce]
Une cuve se vide à débit constant. On mesure le volume d'eau restant à deux instants :
- Après $2$ heures : $30$ litres.
- Après $6$ heures : $20$ litres.
On note $V(t)$ le volume d'eau (en litres) dans la cuve au bout de $t$ heures. On admet que $V$ est une fonction affine.
On cherche à déterminer l'expression de $V$, puis à exploiter cette fonction.
[/enonce]
[etape]
Calculer le coefficient directeur de $V$.
$a = $ [[coeff]]
[math id="coeff" attendu="-\dfrac{5}{2}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$a = \dfrac{V(6) - V(2)}{6 - 2} = \dfrac{20 - 30}{4} = \dfrac{-10}{4} = -\dfrac{5}{2}$
La cuve perd $\dfrac{5}{2} = 2{,}5$ litres par heure.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais il faut simplifier la fraction.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{5}{2}"]Attention au signe : le volume diminue, donc le coefficient directeur est négatif.[/reponse]
[reponse motif="5"]Ce n'est pas tout à fait ça.
Le coefficient directeur est un quotient : $a = \dfrac{\Delta V}{\Delta t}$.[/reponse]
[reponse motif="-10"]$-10$ est la variation de volume, mais il faut la diviser par la variation de temps.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Appliquer la formule du coefficient directeur avec les deux points connus.
$a = \dfrac{V(6) - V(2)}{6 - 2}$.[/reponse]
[aide essai="2"]$a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ avec les points $(2~;~30)$ et $(6~;~20)$.[/aide]
[aide essai="3"]$a = \dfrac{20 - 30}{6 - 2} = \dfrac{-10}{4}$. Simplifier cette fraction.[/aide]
[/math]
[solution]$a = \dfrac{20 - 30}{6 - 2} = \dfrac{-10}{4} = -\dfrac{5}{2}$.[/solution]
[/etape]
[etape]
Calculer l'ordonnée à l'origine $b$ (volume initial de la cuve).
$b = $ [[ord]]
[math id="ord" attendu="35"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On utilise $V(2) = 30$ : $b = 30 - a \times 2 = 30 - \left(-\dfrac{5}{2}\right) \times 2 = 30 + 5 = 35$.
La cuve contenait $35$ litres au départ.[/reponse]
[reponse motif="25"]Attention au signe de $a$ : on soustrait un nombre négatif, ce qui revient à additionner.[/reponse]
[reponse motif="30"]$30$ est le volume à $t = 2$, pas le volume initial.
Il faut remonter à $t = 0$ en utilisant $b = V(2) - a \times 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Utiliser la relation $b = y_1 - a \times x_1$ avec un des deux points connus.[/reponse]
[aide essai="2"]$b = V(2) - a \times 2 = 30 - \left(-\dfrac{5}{2}\right) \times 2$.[/aide]
[aide essai="3"]$-\dfrac{5}{2} \times 2 = -5$, donc $b = 30 - (-5) = 30 + 5$.[/aide]
[/math]
[solution]$b = 30 - \left(-\dfrac{5}{2}\right) \times 2 = 30 + 5 = 35$ litres.[/solution]
[/etape]
[etape]
Calculer le volume d'eau restant après $10$ heures.
$V(10) = $ [[v10]] litres
[math id="v10" attendu="10"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$V(10) = -\dfrac{5}{2} \times 10 + 35 = -25 + 35 = 10$ litres.[/reponse]
[reponse motif="-25"]Il manque l'ordonnée à l'origine.
$V(10) = a \times 10 + b$, pas seulement $a \times 10$.[/reponse]
[reponse motif="60"]Attention au signe du coefficient directeur : la cuve se vide, donc $a$ est négatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Remplacer $t$ par $10$ dans l'expression $V(t) = -\dfrac{5}{2}t + 35$.[/reponse]
[aide essai="2"]$V(t) = -\dfrac{5}{2}t + 35$. Calculer $-\dfrac{5}{2} \times 10$.[/aide]
[aide essai="3"]$-\dfrac{5}{2} \times 10 = -25$, puis $-25 + 35 = ?$[/aide]
[/math]
[solution]$V(10) = -\dfrac{5}{2} \times 10 + 35 = -25 + 35 = 10$ litres.[/solution]
[/etape]
[etape]
Au bout de combien d'heures la cuve sera-t-elle vide ?
$t = $ [[tvide]] heures
[math id="tvide" attendu="14"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$V(t) = 0 \Leftrightarrow -\dfrac{5}{2}t + 35 = 0 \Leftrightarrow \dfrac{5}{2}t = 35 \Leftrightarrow t = 35 \times \dfrac{2}{5} = 14$.
La cuve sera vide après $14$ heures.[/reponse]
[reponse motif="35"]$35$ est le volume initial, pas le temps de vidange.
Il faut résoudre $V(t) = 0$.[/reponse]
[reponse motif="7"]Vérifier le calcul : $V(7) = -\dfrac{5}{2} \times 7 + 35 = -17{,}5 + 35 = 17{,}5 \neq 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Résoudre $V(t) = 0$, c'est-à-dire $-\dfrac{5}{2}t + 35 = 0$.[/reponse]
[aide essai="2"]$-\dfrac{5}{2}t + 35 = 0 \Leftrightarrow \dfrac{5}{2}t = 35$.[/aide]
[aide essai="3"]$t = 35 \div \dfrac{5}{2} = 35 \times \dfrac{2}{5}$. Calculer ce produit.[/aide]
[/math]
[solution]$-\dfrac{5}{2}t + 35 = 0 \Leftrightarrow \dfrac{5}{2}t = 35 \Leftrightarrow t = 35 \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{70}{5} = 14$ heures.[/solution]
[/etape]
[etape]
Au bout de combien d'heures la cuve est-elle à moitié pleine ?
$t = $ [[tmoitie]] heures
[math id="tmoitie" attendu="7"]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La moitié du volume initial est $\dfrac{35}{2} = 17{,}5$ litres.
$V(t) = 17{,}5 \Leftrightarrow -\dfrac{5}{2}t + 35 = 17{,}5 \Leftrightarrow -\dfrac{5}{2}t = -17{,}5 \Leftrightarrow t = 17{,}5 \times \dfrac{2}{5} = 7$.
La cuve est à moitié pleine au bout de $7$ heures.[/reponse]
[reponse motif="14"]$14$ heures correspond à une cuve vide, pas à moitié pleine.[/reponse]
[reponse motif="17.5"]$17{,}5$ est le volume à mi-remplissage, pas le temps correspondant.
Il faut résoudre $V(t) = 17{,}5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Calculer d'abord la moitié du volume initial, puis résoudre $V(t) = \dfrac{35}{2}$.[/reponse]
[aide essai="2"]Le volume initial est $35$ litres, donc la moitié vaut $17{,}5$ litres. Résoudre $-\dfrac{5}{2}t + 35 = 17{,}5$.[/aide]
[aide essai="3"]$-\dfrac{5}{2}t = 17{,}5 - 35 = -17{,}5$, donc $t = \dfrac{17{,}5}{5/2}$.[/aide]
[/math]
[solution]$V(t) = \dfrac{35}{2} \Leftrightarrow -\dfrac{5}{2}t + 35 = 17{,}5 \Leftrightarrow -\dfrac{5}{2}t = -17{,}5 \Leftrightarrow t = 7$ heures.[/solution]
[/etape]
Tarifs de location et fonctions affines
[enonce]
Deux magasins proposent la location de vélos à la journée :
- Magasin A : $15$ € de frais fixes + $3$ € par heure de location.
- Magasin B : $5$ € de frais fixes + $5$ € par heure de location.
On note $x$ le nombre d'heures de location, $f(x)$ le coût total au Magasin A et $g(x)$ le coût total au Magasin B.
On cherche à déterminer quelle offre est la plus avantageuse selon le nombre d'heures.
[/enonce]
[etape]
Exprimer $f(x)$ (coût au Magasin A) en fonction de $x$.
$f(x) = $ [[fa]]
[math id="fa" attendu="3x+15"]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le Magasin A facture $15$ € fixes + $3$ € par heure, donc $f(x) = 3x + 15$.
C'est une fonction affine de coefficient directeur $3$ et d'ordonnée à l'origine $15$.[/reponse]
[reponse motif="15x+3"]Attention à ne pas inverser le prix par heure et les frais fixes.
Le coût par heure ($3$ €) multiplie $x$, les frais fixes ($15$ €) forment la constante.[/reponse]
[reponse motif="3x"]Il manque les frais fixes.
Même sans rouler ($x = 0$), on paie $15$ €.[/reponse]
[reponse motif="18x"]Les $15$ € et les $3$ € ne jouent pas le même rôle : l'un est fixe, l'autre dépend du nombre d'heures.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le coût total est la somme d'une partie fixe et d'une partie variable.
Identifier le montant fixe et le montant par heure dans l'énoncé.[/reponse]
[aide essai="2"]Le coût est composé de deux parties : un fixe (indépendant de $x$) et un variable (proportionnel à $x$).[/aide]
[aide essai="3"]$f(x) = \text{coût par heure} \times x + \text{frais fixes}$.[/aide]
[/math]
[solution]$f(x) = 3x + 15$ (coefficient directeur $3$, ordonnée à l'origine $15$).[/solution]
[/etape]
[etape]
Exprimer $g(x)$ (coût au Magasin B) en fonction de $x$.
$g(x) = $ [[fb]]
[math id="fb" attendu="5x+5"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le Magasin B facture $5$ € fixes + $5$ € par heure, donc $g(x) = 5x + 5$.[/reponse]
[reponse motif="5x"]Il manque les frais fixes de $5$ €.[/reponse]
[reponse motif="10x"]Les $5$ € de frais fixes et les $5$ € par heure ne jouent pas le même rôle : l'un est constant, l'autre dépend de $x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Même raisonnement que pour le Magasin A : coût fixe + coût par heure $\times$ nombre d'heures.[/reponse]
[aide essai="2"]$g(x) = \text{coût par heure} \times x + \text{frais fixes}$.[/aide]
[aide essai="3"]Le coût par heure est $5$ € et les frais fixes sont $5$ €.[/aide]
[/math]
[solution]$g(x) = 5x + 5$ (coefficient directeur $5$, ordonnée à l'origine $5$).[/solution]
[/etape]
[etape]
Pour combien d'heures les deux magasins proposent-ils le même prix ?
$x = $ [[egal]] heures
[math id="egal" attendu="5"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$3x + 15 = 5x + 5$
$15 - 5 = 5x - 3x$
$10 = 2x$
$x = 5$
Les deux magasins coûtent le même prix pour $5$ heures de location.[/reponse]
[reponse motif="10"]$10$ est la différence des frais fixes, mais il reste une étape de calcul.[/reponse]
[reponse motif="2"]$2$ est le coefficient obtenu en regroupant les termes en $x$, pas la solution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Résoudre $f(x) = g(x)$, c'est-à-dire $3x + 15 = 5x + 5$.
Regrouper les termes en $x$ d'un côté et les constantes de l'autre.[/reponse]
[aide essai="2"]$3x + 15 = 5x + 5$ donne $15 - 5 = 5x - 3x$, soit $10 = 2x$.[/aide]
[aide essai="3"]$2x = 10$, donc $x = ?$[/aide]
[/math]
[solution]$3x + 15 = 5x + 5 \Leftrightarrow 10 = 2x \Leftrightarrow x = 5$ heures.[/solution]
[/etape]
[etape]
La fonction $h(x) = f(x) - g(x)$ représente la différence de coût entre les deux magasins.
La fonction $h$ est [[nature]].
[select id="nature"]
[option correct="true"]décroissante[/option]
[option]croissante[/option]
[option]constante[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$h(x) = f(x) - g(x) = (3x + 15) - (5x + 5) = -2x + 10$.
Le coefficient directeur de $h$ est $-2 < 0$, donc $h$ est décroissante.[/reponse]
[reponse motif="croissante"]Le coefficient directeur de $h$ est négatif.
Calculer $h(x) = f(x) - g(x)$ et identifier le signe du coefficient directeur.[/reponse]
[reponse motif="constante"]$h$ n'est pas constante car les coefficients directeurs de $f$ et $g$ sont différents.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Calculer $h(x) = f(x) - g(x)$, puis identifier le signe de son coefficient directeur.[/reponse]
[aide essai="2"]$h(x) = (3x + 15) - (5x + 5)$. Développer et simplifier pour obtenir une expression de la forme $ax + b$.[/aide]
[aide essai="3"]$h(x) = -2x + 10$. Le coefficient directeur est $-2$. Quel est son signe ?[/aide]
[/select]
[/etape]
[etape]
Pour $8$ heures de location, quel magasin est le moins cher ?
[qcm]
[option correct="true"]Le Magasin A[/option]
[option]Le Magasin B[/option]
[option]Les deux sont au même prix[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$f(8) = 3 \times 8 + 15 = 39$ € et $g(8) = 5 \times 8 + 5 = 45$ €.
Comme $8 > 5$ (seuil d'égalité), $h(8) = f(8) - g(8) = -2 \times 8 + 10 = -6 < 0$, donc $f(8) < g(8)$ : le Magasin A est le moins cher.[/reponse]
[reponse motif="Le Magasin B"]Pour $x > 5$, la différence $h(x) = f(x) - g(x)$ est négative.
Cela signifie que $f(x) < g(x)$, donc le Magasin A coûte moins cher.[/reponse]
[reponse motif="Les deux sont au même prix"]Les deux magasins ne sont au même prix que pour $x = 5$ heures, or $8 \neq 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Utiliser le signe de $h(x) = f(x) - g(x)$ pour $x = 8$.
Comme $8 > 5$, déterminer le signe de $h(8)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
QCM Bilan : Fonctions linéaires et affines
[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : fonctions linéaires, coefficient directeur et ordonnée à l'origine, sens de variation et signe. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]
[etape]
Parmi les fonctions suivantes, laquelle n'est ni linéaire ni affine ?
[qcm]
[option]$f(x) = 3 - \dfrac{x}{2}$[/option]
[option]$g(x) = 7x$[/option]
[option correct="true"]$h(x) = x^2 + 3x$[/option]
[option]$k(x) = -4$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La fonction $h(x) = x^2 + 3x$ contient un terme en $x^2$ : ce n'est pas une fonction de la forme $ax + b$. Elle n'est donc ni linéaire ni affine.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = 3 - \dfrac{x}{2}$"]Non.
En réécrivant $f(x) = -\dfrac{1}{2}x + 3$, on reconnaît une fonction affine avec $a = -\dfrac{1}{2}$ et $b = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$g(x) = 7x$"]Non.
La fonction $g(x) = 7x$ est de la forme $ax$ avec $a = 7$ : c'est une fonction linéaire (cas particulier d'affine avec $b = 0$).[/reponse]
[reponse motif="$k(x) = -4$"]Non.
La fonction $k(x) = -4$ est une fonction constante, c'est-à-dire une fonction affine particulière avec $a = 0$ et $b = -4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une fonction est affine si elle s'écrit sous la forme $f(x) = ax + b$. Vérifier quelle expression ne correspond pas à cette forme.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $f(x) = -\dfrac{3}{2}x + 4$. Calculer $f(-6)$.
[qcm]
[option]$-5$[/option]
[option correct="true"]$13$[/option]
[option]$-13$[/option]
[option]$5$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$f(-6) = -\dfrac{3}{2} \times (-6) + 4 = \dfrac{18}{2} + 4 = 9 + 4 = 13$
Le produit de deux nombres négatifs est positif : $-\dfrac{3}{2} \times (-6) = +9$.[/reponse]
[reponse motif="$-5$"]Non.
Tu as sans doute calculé $-\dfrac{3}{2} \times (-6) = -9$ en oubliant la règle des signes. Le produit de deux nombres négatifs est positif, donc $-\dfrac{3}{2} \times (-6) = +9$.[/reponse]
[reponse motif="$-13$"]Non.
La valeur absolue $13$ est correcte, mais le signe est positif. En effet, $-\dfrac{3}{2} \times (-6)$ est un produit de deux négatifs, donc positif.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
Tu as probablement calculé $9 - 4 = 5$ au lieu de $9 + 4$. L'ordonnée à l'origine est $b = +4$, donc on ajoute $4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Remplacer $x$ par $-6$ dans $-\dfrac{3}{2}x + 4$. Attention à la règle des signes pour le produit $-\dfrac{3}{2} \times (-6)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $f$ une fonction affine telle que $f(-1) = 5$ et $f(2) = -4$. Calculer le coefficient directeur de $f$.
[qcm]
[option]$3$[/option]
[option]$-\dfrac{1}{3}$[/option]
[option]$-9$[/option]
[option correct="true"]$-3$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$a = \dfrac{f(2) - f(-1)}{2 - (-1)} = \dfrac{-4 - 5}{2 + 1} = \dfrac{-9}{3} = -3$[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
La valeur absolue est correcte, mais le signe est négatif. Au numérateur, $f(2) - f(-1) = -4 - 5 = -9$, ce qui donne un coefficient négatif.[/reponse]
[reponse motif="$-\dfrac{1}{3}$"]Non.
Tu as inversé le numérateur et le dénominateur. Le coefficient directeur est $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ : la variation des images au numérateur et la variation des $x$ au dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$-9$"]Non.
Tu as calculé $f(2) - f(-1) = -9$ mais tu as oublié de diviser par $2 - (-1) = 3$. Le coefficient directeur est le rapport $\dfrac{-9}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la formule $a = \dfrac{f(2) - f(-1)}{2 - (-1)}$. Attention au signe de $2 - (-1) = 3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Les droites représentant $f(x) = 2x - 3$ et $g(x) = -x + 6$ se coupent en un point. Quelles sont ses coordonnées ?
[qcm]
[option]$(1\,;\,-1)$[/option]
[option]$(9\,;\,15)$[/option]
[option correct="true"]$(3\,;\,3)$[/option]
[option]$(-3\,;\,-9)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On résout $f(x) = g(x)$ :
$2x - 3 = -x + 6$
$2x + x = 6 + 3$
$3x = 9$
$x = 3$
Puis $f(3) = 2 \times 3 - 3 = 3$. Le point d'intersection est $(3\,;\,3)$.[/reponse]
[reponse motif="$(1\,;\,-1)$"]Non.
Vérification : $f(1) = 2 - 3 = -1$ et $g(1) = -1 + 6 = 5$. Comme $-1 \neq 5$, ce point n'est pas l'intersection. Reprendre la résolution de $2x - 3 = -x + 6$.[/reponse]
[reponse motif="$(9\,;\,15)$"]Non.
Tu as trouvé $3x = 9$ mais tu n'as pas divisé par $3$ : tu as pris $x = 9$. La dernière étape est $x = \dfrac{9}{3} = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$(-3\,;\,-9)$"]Non.
Tu as probablement fait une erreur de signe en transposant le $-x$. Le terme $-x$ passe à gauche en $+x$, ce qui donne $2x + x = 3x$ et non $2x - x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résoudre $2x - 3 = -x + 6$ en regroupant les $x$ d'un côté, puis calculer l'ordonnée avec $f(x)$ ou $g(x)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $f(x) = -2x + 6$. Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $f(x) \leqslant 0$ ?
[qcm]
[option]$x \leqslant 3$[/option]
[option correct="true"]$x \geqslant 3$[/option]
[option]$x \geqslant -3$[/option]
[option]$x \leqslant -3$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La racine de $f$ est $x_0 = \dfrac{6}{2} = 3$.
Comme $a = -2 < 0$, la fonction est décroissante : elle est positive avant la racine et négative après.
Donc $f(x) \leqslant 0$ pour $x \geqslant 3$.[/reponse]
[reponse motif="$x \leqslant 3$"]Non.
Pour $x \leqslant 3$, la fonction est positive (ou nulle), pas négative. Comme $a < 0$, $f$ est décroissante : elle passe de valeurs positives à des valeurs négatives en traversant la racine.[/reponse]
[reponse motif="$x \geqslant -3$"]Non.
La racine est $x_0 = 3$ (et non $-3$). Résoudre $-2x + 6 = 0$ donne $x = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$x \leqslant -3$"]Non.
La racine de $f$ est $x_0 = 3$ (pas $-3$) et le sens de l'inégalité est inversé. Recalculer la racine puis utiliser la décroissance de $f$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Trouver la racine ($f(x) = 0$) puis utiliser le signe du coefficient directeur pour déterminer où $f$ est négative.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
La fonction $f$ est définie par $f(x) = 4x + b$ avec $b$ inconnu. On sait que $f(3) = 5$. Calculer $f(-1)$.
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option]$-3$[/option]
[option correct="true"]$-11$[/option]
[option]$3$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On détermine d'abord $b$ : $f(3) = 4 \times 3 + b = 12 + b = 5$, donc $b = 5 - 12 = -7$.
La fonction est $f(x) = 4x - 7$.
Puis $f(-1) = 4 \times (-1) - 7 = -4 - 7 = -11$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Tu as pris $b = 5$ directement (la valeur de $f(3)$) sans résoudre l'équation. Il faut d'abord calculer $b$ à partir de $f(3) = 12 + b = 5$.[/reponse]
[reponse motif="$-3$"]Non.
Tu as calculé $f(1)$ au lieu de $f(-1)$. Attention au signe : $f(-1) = 4 \times (-1) + b$ et non $4 \times 1 + b$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
Tu as probablement utilisé $+7$ au lieu de $-7$ pour $b$. Vérifier que $12 + b = 5$ donne bien $b = -7$ (et non $+7$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Commencer par trouver $b$ en résolvant $f(3) = 4 \times 3 + b = 5$, puis calculer $f(-1)$ avec l'expression complète.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
QCM : Coefficient directeur et ordonnée à l’origine
[enonce]
Ce QCM porte sur le coefficient directeur, l'ordonnée à l'origine et le taux d'accroissement d'une fonction affine. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]
[etape]
Soit $f(x) = 5 - 2x$. Quel est le coefficient directeur de $f$ ?
[qcm]
[option]$5$[/option]
[option correct="true"]$-2$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]$-5$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On réécrit $f(x) = 5 - 2x = -2x + 5$. C'est une fonction affine de la forme $ax + b$ avec $a = -2$ et $b = 5$. Le coefficient directeur est $a = -2$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
Le nombre $5$ est l'ordonnée à l'origine, pas le coefficient directeur. Réécrire $f(x) = 5 - 2x$ sous la forme $ax + b$ pour identifier $a$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Le coefficient devant $x$ est bien $2$ en valeur absolue, mais attention au signe. Dans $5 - 2x$, le terme en $x$ est $-2x$, donc $a = -2$.[/reponse]
[reponse motif="$-5$"]Non.
Tu as pris l'opposé du premier terme. Le coefficient directeur est le nombre qui multiplie $x$. Réécrire sous la forme $ax + b$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Réécrire $f(x) = 5 - 2x$ sous la forme $f(x) = ax + b$ et identifier le coefficient $a$ devant $x$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $f$ une fonction affine telle que $f(1) = 5$ et $f(4) = -1$. Calculer le coefficient directeur de $f$.
[qcm]
[option correct="true"]$-2$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]$-\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$-6$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$a = \dfrac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \dfrac{-1 - 5}{3} = \dfrac{-6}{3} = -2$[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Tu as obtenu la bonne valeur absolue mais avec le mauvais signe. Attention à l'ordre de la soustraction au numérateur : $f(4) - f(1) = -1 - 5 = -6$.[/reponse]
[reponse motif="$-\dfrac{1}{2}$"]Non.
Tu as inversé le numérateur et le dénominateur. Le coefficient directeur est $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ et non $\dfrac{\Delta x}{\Delta y}$. Vérifier la formule $a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$.[/reponse]
[reponse motif="$-6$"]Non.
Tu as calculé $f(4) - f(1) = -6$ mais tu as oublié de diviser par $4 - 1 = 3$. Le coefficient directeur est le rapport $\dfrac{f(4) - f(1)}{4 - 1}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la formule $a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ avec les deux couples de valeurs données.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $f$ une fonction affine de coefficient directeur $3$. On sait que $f(2) = 11$. Quelle est l'ordonnée à l'origine de $f$ ?
[qcm]
[option]$17$[/option]
[option]$-5$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$8$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On a $f(x) = 3x + b$, donc $f(2) = 3 \times 2 + b = 6 + b = 11$.
D'où $b = 11 - 6 = 5$.[/reponse]
[reponse motif="$17$"]Non.
Tu as additionné au lieu de soustraire : $6 + 11 = 17$. Pourtant $6 + b = 11$ donne $b = 11 - 6$.[/reponse]
[reponse motif="$-5$"]Non.
Tu as soustrait dans le mauvais sens : $6 - 11 = -5$. L'équation est $6 + b = 11$, donc $b = 11 - 6$.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
Tu as calculé $11 - 3 = 8$ en oubliant de multiplier le coefficient par $x$. Il faut d'abord calculer $a \times 2 = 3 \times 2 = 6$, puis en déduire $b$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Écrire $f(2) = 3 \times 2 + b = 11$ puis isoler $b$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $f(x) = -4x + 3$. Calculer le taux d'accroissement de $f$ entre $x = 1$ et $x = 3$.
[qcm]
[option]$-8$[/option]
[option]$4$[/option]
[option]$-5$[/option]
[option correct="true"]$-4$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$f(1) = -4 \times 1 + 3 = -1$ et $f(3) = -4 \times 3 + 3 = -9$.
Le taux d'accroissement est $\dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \dfrac{-9 - (-1)}{2} = \dfrac{-8}{2} = -4$.
Pour une fonction affine, le taux d'accroissement est toujours égal au coefficient directeur $a$.[/reponse]
[reponse motif="$-8$"]Non.
Tu as calculé $f(3) - f(1) = -9 - (-1) = -8$ mais tu as oublié de diviser par $3 - 1 = 2$. Le taux d'accroissement est un rapport : $\dfrac{\Delta f}{\Delta x}$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
La valeur absolue est correcte, mais le taux d'accroissement est négatif ici. Vérifier le signe de $f(3) - f(1)$.[/reponse]
[reponse motif="$-5$"]Non.
Tu as probablement fait une erreur de signe en calculant $f(3) - f(1)$. Reprendre : $f(3) = -9$ et $f(1) = -1$, donc $f(3) - f(1) = -9 - (-1) = -9 + 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $f(1)$ et $f(3)$, puis appliquer la formule $\dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Soit $f(x) = 2x - 8$. Quelle est l'ordonnée du point de la droite représentant $f$ dont l'abscisse vaut $5$ ?
[qcm]
[option]$18$[/option]
[option]$-3$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$10$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'ordonnée du point d'abscisse $5$ est $f(5) = 2 \times 5 - 8 = 10 - 8 = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$18$"]Non.
Tu as additionné au lieu de soustraire : $2 \times 5 + 8 = 18$. L'expression est $2x - 8$, avec un signe « moins » devant $8$.[/reponse]
[reponse motif="$-3$"]Non.
Tu as calculé $5 - 8 = -3$ en oubliant le coefficient $2$ devant $x$. Il faut d'abord calculer $2 \times 5 = 10$ puis soustraire $8$.[/reponse]
[reponse motif="$10$"]Non.
Tu as calculé $2 \times 5 = 10$ mais tu as oublié de soustraire l'ordonnée à l'origine. L'expression complète est $2 \times 5 - 8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Remplacer $x$ par $5$ dans l'expression $2x - 8$ et effectuer le calcul complet.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Déterminer l'expression de la fonction affine $f$ telle que $f(1) = 4$ et $f(3) = 10$.
[qcm]
[option]$f(x) = 3x + 4$[/option]
[option]$f(x) = 7x$[/option]
[option correct="true"]$f(x) = 3x + 1$[/option]
[option]$f(x) = 3x - 1$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le coefficient directeur est $a = \dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \dfrac{10 - 4}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$.
Puis $f(1) = 3 \times 1 + b = 3 + b = 4$, donc $b = 4 - 3 = 1$.
La fonction est $f(x) = 3x + 1$.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = 3x + 4$"]Non.
Le coefficient directeur $a = 3$ est correct, mais tu as pris $b = f(1) = 4$ directement. L'ordonnée à l'origine se déduit de $f(1) = a \times 1 + b$, soit $b = f(1) - a$.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = 7x$"]Non.
Tu as additionné les images au numérateur : $\dfrac{10 + 4}{2} = 7$. La formule du coefficient directeur utilise la différence, pas la somme : $a = \dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1}$.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = 3x - 1$"]Non.
Le coefficient directeur $a = 3$ est correct, mais tu as soustrait dans le mauvais sens pour $b$. L'équation est $3 + b = 4$, donc $b = 4 - 3 = 1$ et non $3 - 4 = -1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord $a = \dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1}$, puis utiliser $f(1) = a + b$ pour trouver $b$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
Vrai/Faux : Droites et propriétés des fonctions affines
[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les droites et les propriétés des fonctions affines, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : Deux fonctions affines ayant le même coefficient directeur ont la même représentation graphique.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Deux fonctions affines de même coefficient directeur mais d'ordonnées à l'origine différentes sont représentées par des droites parallèles distinctes. Par exemple $f(x) = 2x + 1$ et $g(x) = 2x + 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le coefficient directeur seul ne suffit pas à déterminer une droite. Deux droites de même coefficient directeur sont parallèles, mais elles ne sont confondues que si elles ont aussi la même ordonnée à l'origine.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Même coefficient directeur signifie droites parallèles, pas nécessairement confondues.
[/solution]
[/etape]
[etape]
La droite représentant une fonction affine $f$ passe par les points $(0 ; 3)$ et $(2 ; 7)$.
Affirmation : $f(x) = 2x + 3$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le coefficient directeur est $a = \dfrac{7 - 3}{2 - 0} = \dfrac{4}{2} = 2$ et l'ordonnée à l'origine est $b = 3$ (image de $0$). Donc $f(x) = 2x + 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
On calcule le coefficient directeur : $a = \dfrac{7 - 3}{2 - 0} = 2$. Le point $(0 ; 3)$ donne directement l'ordonnée à l'origine $b = 3$. L'expression est bien $f(x) = 2x + 3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec $a = \dfrac{7 - 3}{2 - 0} = 2$ et $b = 3$, on obtient $f(x) = 2x + 3$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Les droites d'équations $y = 3x - 1$ et $y = -3x + 1$ sont parallèles.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Ici les coefficients directeurs sont $3$ et $-3$, ils sont différents.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « même coefficient directeur » et « coefficients opposés ». Pour que deux droites soient parallèles, il faut $a_1 = a_2$. Ici $3 \neq -3$, les droites sont sécantes.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Les coefficients directeurs $3$ et $-3$ sont différents, les droites sont sécantes.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On considère la fonction $f(x) = ax + b$ avec $a > 0$ et $b < 0$.
Affirmation : La droite représentative de $f$ coupe l'axe des ordonnées en dessous de l'origine.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La droite coupe l'axe des ordonnées au point $(0 ; b)$. Comme $b < 0$, ce point est situé en dessous de l'origine.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'ordonnée à l'origine $b$ est le point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées : c'est le point $(0 ; b)$. Comme $b < 0$, ce point est situé sous l'axe des abscisses, donc en dessous de l'origine.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Comme $b < 0$, l'intersection avec l'axe des ordonnées $(0 ; b)$ est sous l'origine.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On sait que $f(1) = 5$ et $f(3) = 5$.
Affirmation : $f$ est une fonction affine de coefficient directeur $5$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le coefficient directeur est $a = \dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \dfrac{5 - 5}{2} = 0$. La fonction est constante ($f(x) = 5$), son coefficient directeur est $0$, pas $5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, la valeur $5$ est l'image, pas le coefficient directeur. Le coefficient directeur se calcule : $a = \dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \dfrac{0}{2} = 0$. La fonction est constante égale à $5$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le coefficient directeur est $0$ (fonction constante), la valeur $5$ est l'ordonnée à l'origine.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : La fonction $f(x) = \dfrac{x}{3} - 2$ est une fonction affine de coefficient directeur $\dfrac{1}{3}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On réécrit $f(x) = \dfrac{1}{3}x + (-2)$. C'est bien la forme $ax + b$ avec $a = \dfrac{1}{3}$ et $b = -2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'écriture $\dfrac{x}{3}$ est équivalente à $\dfrac{1}{3} \times x$. La fonction s'écrit donc $f(x) = \dfrac{1}{3}x - 2$, ce qui est bien de la forme $ax + b$ avec $a = \dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. On a $f(x) = \dfrac{1}{3}x - 2$, donc $a = \dfrac{1}{3}$ et $b = -2$.
[/solution]
[/etape]
