QCM : Tangente à une courbe

[enonce]
Ce QCM porte sur la tangente à une courbe : équation, coefficient directeur et cas particuliers. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 3x + 2$. Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $2$ ?
[qcm]
[option]$y = 0$[/option]
[option correct="true"]$y = x - 2$[/option]
[option]$y = 2x - 4$[/option]
[option]$y = -x + 2$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On a $f'(x) = 2x - 3$, donc $f'(2) = 1$. Et $f(2) = 4 - 6 + 2 = 0$.
L'équation est : $y = f'(2)(x - 2) + f(2) = 1 \times (x - 2) + 0 = x - 2.$[/reponse]
[reponse motif="$y = 0$"]Non.
L'ordonnée $f(2) = 0$ donne seulement l'ordonnée du point de contact, pas l'équation de la tangente. Il faut inclure le terme $f'(2)(x - 2)$ dans l'équation.[/reponse]
[reponse motif="$y = 2x - 4$"]Non.
Le coefficient directeur utilisé est $x_0 = 2$, pas $f'(x_0) = 1$. La pente de la tangente est la dérivée évaluée en $x_0$, pas $x_0$ lui-même.[/reponse]
[reponse motif="$y = -x + 2$"]Non.
Erreur de signe : $f'(2) = 2 \times 2 - 3 = +1$, pas $-1$. Reprendre le calcul du nombre dérivé en $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $f'(x)$, puis $f'(x_0)$ et $f(x_0)$, et enfin appliquer la formule $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$. Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$ ?
[qcm]
[option]$y = x$[/option]
[option]$y = 1$[/option]
[option correct="true"]$y = -x + 2$[/option]
[option]$y = -x + 1$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On a $f(1) = 1$ et $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$, donc $f'(1) = -1$.
L'équation est : $y = f'(1)(x - 1) + f(1) = -1 \times (x - 1) + 1 = -x + 1 + 1 = -x + 2.$[/reponse]
[reponse motif="$y = x$"]Non.
Le signe du coefficient directeur est faux : $f'(1) = -\dfrac{1}{1^2} = -1$, pas $+1$. La tangente a donc une pente négative.[/reponse]
[reponse motif="$y = 1$"]Non.
Cela correspondrait à $f'(1) = 0$, une tangente horizontale. Or $f'(1) = -\dfrac{1}{1^2} = -1 \neq 0$ : la tangente n'est pas horizontale.[/reponse]
[reponse motif="$y = -x + 1$"]Non.
Erreur dans l'ordonnée à l'origine. En appliquant la formule $y = -1 \times (x - 1) + 1 = -x + 1 + 1 = -x + 2$, on obtient bien $-x + 2$ (et non $-x + 1$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $f(1)$ et $f'(1)$, puis appliquer $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$ en développant soigneusement les signes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3$. Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$ ?
[qcm]
[option]$y = x$[/option]
[option correct="true"]$y = 0$[/option]
[option]$y = x^3$[/option]
[option]$y = 3x$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On a $f'(x) = 3x^2$, donc $f'(0) = 0$. Et $f(0) = 0$.
L'équation est : $y = 0 \times (x - 0) + 0 = 0.$
La tangente est l'axe des abscisses.[/reponse]
[reponse motif="$y = x$"]Non.
Ici $f'(0) = 3 \times 0^2 = 0$, donc la pente de la tangente est nulle. La tangente n'a pas pour équation $y = x$.[/reponse]
[reponse motif="$y = x^3$"]Non.
La tangente est toujours une droite, pas une courbe. Son équation est du type $y = ax + b$, jamais $y = x^3$.[/reponse]
[reponse motif="$y = 3x$"]Non.
L'expression $3x$ correspond à $f'(x)$ évaluée en $x$ générique, mais la pente est $f'(0) = 0$ (on doit remplacer $x$ par $0$). La tangente est donc horizontale.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $f'(x)$, puis évaluer $f'(0)$ et $f(0)$, avant d'appliquer la formule de la tangente.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^2 + 3$ et $A$ le point de la courbe de $g$ de coordonnées $(1~;~4)$. Quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $g$ au point $A$ ?
[qcm]
[option]$4$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$5$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $x_0$ est $g'(x_0)$.
Ici $g'(x) = 2x$, donc $g'(1) = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
C'est l'ordonnée du point $A$ : $g(1) = 4$. Ne pas confondre $g(x_0)$ avec $g'(x_0)$ : le coefficient directeur de la tangente est la dérivée évaluée en $x_0$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
C'est l'abscisse $x_0 = 1$. Le coefficient directeur de la tangente est $g'(x_0)$, pas $x_0$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
Cela ressemble à $g(1) + 1$ ou à une confusion. Le coefficient directeur est $g'(1) = 2 \times 1 = 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $g'(x)$ puis évaluer cette dérivée en $x_0 = 1$, abscisse du point $A$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 1$. Pour quelle valeur de $x_0$ la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_0$ a-t-elle pour coefficient directeur $6$ ?
[qcm]
[option]$6$[/option]
[option]$2$[/option]
[option correct="true"]$3$[/option]
[option]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le coefficient directeur de la tangente en $x_0$ est $f'(x_0)$.
On a $f'(x) = 2x$, on résout $2x_0 = 6$, soit $x_0 = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
Il faut résoudre l'équation $f'(x_0) = 6$, pas prendre $x_0 = 6$ directement. Avec $f'(x) = 2x$, on divise par $2$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
$f'(2) = 2 \times 2 = 4$, et non $6$. Reprendre la résolution de l'équation $2x_0 = 6$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3}$"]Non.
Confusion entre « diviser par $6$ » et « résoudre $2x = 6$ ». Il faut diviser $6$ par $2$ (coefficient de $x$ dans la dérivée), pas faire l'inverse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $f'(x)$, puis poser l'équation $f'(x_0) = 6$ et la résoudre pour trouver $x_0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $3$ est horizontale. Que peut-on en déduire ?
[qcm]
[option correct="true"]$f'(3) = 0$[/option]
[option]$f(3) = 0$[/option]
[option]$f'(3)$ n'existe pas[/option]
[option]$f(3) = 3$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $3$ est $f'(3)$.
Une droite horizontale a un coefficient directeur nul, donc $f'(3) = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$f(3) = 0$"]Non.
$f(3) = 0$ signifierait que la courbe passe par l'axe des abscisses, pas que sa tangente est horizontale. L'information « tangente horizontale » concerne la pente en ce point.[/reponse]
[reponse motif="$f'(3)$ n'existe pas"]Non.
Au contraire : dire que la tangente est horizontale suppose que cette tangente existe, donc que $f$ est dérivable en $3$. La valeur $f'(3)$ est bien définie — elle est simplement nulle.[/reponse]
[reponse motif="$f(3) = 3$"]Non.
L'information « tangente horizontale au point d'abscisse $3$ » ne donne aucune indication directe sur la valeur $f(3)$ : elle porte uniquement sur la pente de la tangente.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le coefficient directeur de la tangente est $f'(x_0)$. Une tangente horizontale a une pente nulle.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Nombre dérivé

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ une fonction de courbe $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{T}$ la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point de coordonnées $(0~;~3)$, représentés ci-dessous.

Courbe de f passant par (0 ; 3) et tangente T de pente -1 en ce point

Affirmation : $f'(0) = -1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le nombre dérivé $f'(0)$ est égal au coefficient directeur de la tangente $\mathscr{T}$.
Par lecture graphique, la tangente passe par $(0~;~3)$ et $(3~;~0)$, donc :

$f'(0) = \dfrac{0 - 3}{3 - 0} = -1$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de confondre l'ordonnée à l'origine de la tangente ($3$) avec son coefficient directeur, ou de lire la pente avec un mauvais sens de variation.
$f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente $\mathscr{T}$.
La tangente passe par $(0~;~3)$ et $(3~;~0)$, d'où $f'(0) = \dfrac{0-3}{3-0} = -1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $f'(0)$ est le coefficient directeur de $\mathscr{T}$. La tangente passe par $(0, 3)$ et $(3, 0)$, donc $f'(0) = \dfrac{0-3}{3-0} = -1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
La tangente à la courbe représentative d'une fonction $f$ au point de coordonnées $(1~;~1)$ a pour équation $y = 2x - 1$.

Affirmation : Alors $f'(1) = 1$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente au point $(1~;~1)$.
L'équation de la tangente étant $y = 2x - 1$, ce coefficient vaut $2$.
Donc $f'(1) = 2$, et non $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de confondre l'ordonnée du point de tangence ($y = 1$) avec le coefficient directeur de la tangente. Dans $y = 2x - 1$, le coefficient directeur est $2$, pas $1$.
$f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente : ici $y = 2x - 1$ a pour coefficient directeur $2$, donc $f'(1) = 2 \neq 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente $y = 2x - 1$, qui vaut $2$. On a donc $f'(1) = 2$, pas $1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + 1$.

Affirmation : Le taux d'accroissement de $f$ entre $-1$ et $1$ est égal à $\dfrac{1}{2}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le taux d'accroissement de $f$ entre $-1$ et $1$ est :

$t = \dfrac{f(1) - f(-1)}{1 - (-1)} = \dfrac{2 - 0}{2} = 1$

Le taux vaut $1$, et non $\dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est d'oublier le $+1$ dans l'expression de $f$ lors du calcul de $f(-1)$ : on obtient $f(-1) = (-1)^3 + 1 = 0$, et non $-1$, ce qui change le résultat.
$t = \dfrac{f(1) - f(-1)}{2} = \dfrac{(1+1) - (-1+1)}{2} = \dfrac{2}{2} = 1 \neq \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $f(1) = 2$, $f(-1) = 0$, donc le taux d'accroissement vaut $\dfrac{2-0}{1-(-1)} = \dfrac{2}{2} = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction de courbe $\mathscr{C}_f$ représentée ci-dessous.

Parabole de f avec sa tangente T au point d'abscisse 2, de pente négative

Affirmation : $f'(2)$ est négatif.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Au point d'abscisse $2$, le coefficient directeur de la tangente vaut $-2$, donc $f'(2)$ est négatif.
(On peut aussi dire que la fonction $f$ est décroissante en $2$.)[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de confondre le signe de la valeur de la fonction ($f(2) = 3 > 0$) avec le signe de la dérivée. La dérivée correspond à la pente de la tangente, ici orientée vers le bas.
La tangente $\mathscr{T}$ au point d'abscisse $2$ a un coefficient directeur négatif ($-2$), donc $f'(2) < 0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La tangente au point d'abscisse $2$ est descendante (coefficient directeur $-2$), donc $f'(2) < 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ telle que $f(0) = 1$ et $f'(0) = 0$.

Affirmation : La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $0$ a pour équation $y = x$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'équation de la tangente au point d'abscisse $0$ est :
$y = f'(0)(x - 0) + f(0)$
$y = 0 \times x + 1$
$y = 1$
Il s'agit d'une droite parallèle à l'axe des abscisses.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de confondre $f'(0) = 0$ (pente nulle) avec l'équation $y = x$ (pente $1$), ou d'oublier l'ordonnée $f(0) = 1$ dans la formule de la tangente.
$y = f'(0)(x - 0) + f(0)$
$y = 0 \times x + 1$
$y = 1$
Ce n'est pas $y = x$ mais $y = 1$ (droite horizontale).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La tangente a pour équation $y = f'(0)(x-0) + f(0) = 0 \cdot x + 1 = 1$, c'est une droite horizontale.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + x$.

Pour calculer $f'(0)$, un élève a effectué le calcul suivant :

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{h^2 + h}{h} = \lim_{h \to 0}(h + 1) = 1$

Affirmation : Ce calcul est correct.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'élève a correctement utilisé la définition du nombre dérivé :

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$

et le calcul est exact : $f'(0) = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de penser qu'il faudrait écrire $\dfrac{f(0+h) - f(0)}{h}$ avec le développement de $f(0+h) = (0+h)^2 + (0+h) = h^2 + h$ au lieu de $f(h)$. Les deux écritures sont identiques car $f(0+h) = f(h)$.
Le calcul est bien correct : l'élève a appliqué la définition du nombre dérivé en $0$ et obtenu $f'(0) = 1$, ce qui est juste.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'élève applique correctement la définition $f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - f(0)}{h}$ et obtient $f'(0) = 1$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Dérivée d’une fonction polynôme

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{x^2+1}{2}$.

Affirmation : Pour tout réel $x$, $f'(x) = x$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On réécrit $f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{2}$, donc pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
$f'(x) = \dfrac{1}{2} \times 2x = x.$[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de dériver directement $\dfrac{x^2+1}{2}$ comme si c'était un quotient, en appliquant la règle du quotient à tort. Il suffit de factoriser $\dfrac{1}{2}$ devant pour obtenir $f'(x) = \dfrac{1}{2} \times 2x = x$.
On réécrit $f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{2}$, donc $f'(x) = \dfrac{1}{2} \times 2x = x$. L'affirmation est bien vraie.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. En réécrivant $f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{2}$, on dérive terme à terme : $f'(x) = \dfrac{1}{2} \times 2x = x$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = x^3 + 2x^2 + x + \sqrt{2}$ et $g(x) = x^3 + 2x^2 + x - \sqrt{2}$.

Affirmation : Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f'(x) = g'(x)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La constante $\sqrt{2}$ disparaît lors de la dérivation. On obtient :
$f'(x) = 3x^2 + 4x + 1$ et $g'(x) = 3x^2 + 4x + 1.$[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de penser que $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$ contribuent différemment à la dérivée. Or, toute constante a une dérivée nulle, qu'elle soit $+\sqrt{2}$ ou $-\sqrt{2}$.
La constante $\sqrt{2}$ disparaît lors de la dérivation. On obtient bien $f'(x) = g'(x) = 3x^2 + 4x + 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les deux fonctions ne diffèrent que par leur constante, qui s'annule à la dérivation. On obtient $f'(x) = g'(x) = 3x^2 + 4x + 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3x^4 - 4x^3 + 1$.

Affirmation : $f'(1) = 1$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour tout réel $x$ : $f'(x) = 12x^3 - 12x^2$.
Donc $f'(1) = 12 - 12 = 0 \neq 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de calculer $f'(1)$ en remplaçant $x$ par $1$ dans $f(x)$ plutôt que dans $f'(x)$, ce qui donnerait $3 - 4 + 1 = 0$ — ou d'oublier de dériver avant d'évaluer.
On calcule $f'(x) = 12x^3 - 12x^2$, donc $f'(1) = 12 - 12 = 0$, pas $1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. On calcule $f'(x) = 12x^3 - 12x^2$, donc $f'(1) = 12 - 12 = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
La fonction $h$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = x^3 - 3x^2 + 1$.
On note $\mathscr{T}$ la tangente à la courbe représentative de $h$ au point de coordonnées $(0~;~1)$.

Affirmation : L'équation de la droite $\mathscr{T}$ est $y = 1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'équation de la tangente au point d'abscisse $0$ est $y = h'(0)(x - 0) + h(0)$.
Or $h'(x) = 3x^2 - 6x$, donc $h'(0) = 0$ et $h(0) = 1$.
L'équation est bien $y = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de confondre $h'(0)$ avec la valeur de la fonction en $0$, et de penser que la tangente a une pente non nulle. Ici $h'(0) = 0$, donc la tangente est horizontale.
On calcule $h'(x) = 3x^2 - 6x$, donc $h'(0) = 0$ et $h(0) = 1$.
La tangente a pour équation $y = 0 \cdot x + 1 = 1$. L'affirmation est vraie.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On calcule $h'(0) = 0$ et $h(0) = 1$, donc l'équation de la tangente est $y = 0 \cdot x + 1 = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $m$ un nombre réel et $f$ la fonction polynôme définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + mx + 1$.
On note $(T)$ la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$.

Affirmation : La droite $(T)$ est parallèle à l'axe des abscisses si et seulement si $m = -2$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour tout réel $x$ : $f'(x) = 2x + m$, donc $f'(1) = 2 + m$.
La tangente $(T)$ est parallèle à l'axe des abscisses si et seulement si $f'(1) = 0$, c'est-à-dire $m = -2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de chercher quand $f(1) = 0$ (annulation de la fonction) au lieu de chercher quand $f'(1) = 0$ (annulation de la dérivée, condition de tangente horizontale).
On calcule $f'(x) = 2x + m$, donc $f'(1) = 2 + m$. La tangente est horizontale ssi $f'(1) = 0$, soit $m = -2$. L'affirmation est vraie.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $f'(x) = 2x + m$, donc $f'(1) = 2 + m = 0$ si et seulement si $m = -2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 4x^4 + 3x^3 + 2x^2 + x + 1$.

Affirmation : Pour tout réel $x$, $f'(x) = 16x^4 + 9x^3 + 4x^2 + x + 1$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La dérivation diminue les degrés de $1$ et la constante $1$ disparaît :
$f'(x) = 16x^3 + 9x^2 + 4x + 1.$[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de multiplier le coefficient par l'exposant sans diminuer le degré : on écrit $16x^4$ au lieu de $16x^3$. La dérivée de $ax^n$ est $nax^{n-1}$, l'exposant diminue de $1$.
La dérivation diminue les degrés de $1$ (on ne multiplie pas les exposants sans les réduire) et la constante disparaît. La bonne réponse est $f'(x) = 16x^3 + 9x^2 + 4x + 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. En dérivant terme à terme, les degrés diminuent de $1$ et la constante disparaît : $f'(x) = 16x^3 + 9x^2 + 4x + 1$.
[/solution]
[/etape]

Courbe et tangentes

Soit une fonction $ f $ définie par une formule du type :

$ f\left(x\right)=a+ \dfrac{bx+c}{x^{2}+2x+3} $

et soit $ \mathscr C $ sa courbe représentative.

Déterminer $ a $, $ b $ et $ c $ pour que :

la courbe $ \mathscr C $ passe par le point $ A\left(1\,;0\right) $
la tangente à $ \mathscr C $ en $ A $ ait pour coefficient directeur $ 1 $
la tangente à $ \mathscr C $ au point d'abscisse $ 3 $ soit parallèle à l'axe des abscisses.

Corrigé

La courbe $ \mathscr C $ passe par le point $ A\left(1\,;0\right) $ :

En remplaçant $ x $ par 1 et $ y $ par 0 dans l'équation de la courbe $ y=a+ \dfrac{bx+c}{x^{2}+2x+3} $, on obtient :

Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul.

$ a+\dfrac{b+c}{6}=0 $

$ \dfrac{6a+b+c}{6}=0 $

$ 6a+b+c=0 $
La tangente à $ \mathscr C $ en $ A $ a pour coefficient directeur $ 1 $ si et seulement si $ f^{\prime}\left(1\right)=1 $

La dérivée de la fonction $ x\mapsto a $ est nulle ; pour dériver le quotient on pose :

Pour calculer $ f^{\prime}\left(1\right) $ on calcule $ f^{\prime}\left(x\right) $ puis on remplace $ x $ par $ 1 $.

$ u\left(x\right)=bx+c $ donc $ u^{\prime}\left(x\right)=b $

$ v\left(x\right)=x^{2}+2x+3 $ donc $ v^{\prime}\left(x\right)=2x+2 $

Donc :

$ f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right) - u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)}{v\left(x\right)^{2}}=\dfrac{b\left(x^{2}+2x+3\right) - \left(bx+c\right)\left(2x+2\right)}{\left(x^{2}+2x+3\right)^{2}} $

$ f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{ - bx^{2} - 2cx+3b - 2c}{\left(x^{2}+2x+3\right)^{2}} $

donc :

$ f^{\prime}\left(1\right)=\dfrac{ - b - 2c+3b - 2c}{36} $

L'égalité $ f^{\prime}\left(1\right)=1 $ se traduit par :

$ \dfrac{ - b - 2c+3b - 2c}{36}=1 $

$ 2b - 4c=36 $

$ b - 2c=18 $
La tangente à $ \mathscr C_f $ au point d'abscisse $ a $ est « horizontale » si et seulement si $ f^{\prime}\left(a\right)=0 $.

La tangente au point d'abscisse 3 est parallèle à l'axe des abscisses si et seulement si $ f^{\prime}\left(3\right)=0 $ soit :

$ \dfrac{ - 9b - 6c+3b - 2c}{18^{2}}=0 $

$ - 6b - 8c=0 $

$ 3b+4c=0 $
On doit donc résoudre le système :

$ \left(S\right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6a+b+c=0 \\ b - 2c=18 \\ 3b+4c=0 \end{matrix}\right. $

De la seconde équation on tire $ b=18+2c $ et on remplace $ b $ par $ 18+2c $ dans les autres équations :

$ \left(S\right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6a+\left(18+2c\right)+c=0 \\ b=18+2c \\ 3\left(18+2c\right)+4c=0 \end{matrix}\right. $

$ \phantom{\left(S\right)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b=18+2c \\ 10c+54=0 \\ 6a+3c+18=0 \end{matrix}\right. $

$ \phantom{\left(S\right)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c= - 5{,}4 \\ b=18 - 2\times 5{,}4 \\ a=\dfrac{1}{6}\left( - 18 + 3\times 5{,}4\right)=\dfrac{ - 1{,}8}{6}= - 0{,}3 \end{matrix}\right. $

On trouve donc :

$\mathbf{a= - 0{,}3}$ ; $\mathbf{b=7{,}2}$ ; $\mathbf{c= - 5{,}4}$

En conclusion :

$\mathbf{f\left(x\right)= - 0{,}3+\dfrac{7{,}2x - 5{,}4}{x^{2}+2x+3}}$

Pour réviser : Déterminer l'équation d'une tangente à une courbe

Points d’intersection avec une tangente

Soit la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par :

$ f (x) =x^3 - x^2 - x $

On note $ \mathscr{C} $ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Étudier les variations de la fonction $ f $ sur $ \mathbb{R} . $
Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $ \mathscr{C} $ avec l'axe des abscisses.
Donnez l'équation réduite de la tangente $ (T_a) $ à la courbe $ \mathscr{C} $ au point d'abscisse $ a. $
1. Développer $ (x - a) ^2 (x+2a - 1) . $
2. Déterminer, en fonction de $ a $, le nombre et les abscisses des points d'intersection de la courbe $ \mathscr{C} $ et de la tangente $ (T_a). $

Corrigé

La fonction $ f $ est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur $ \mathbb{R} . $

Sa dérivée est définie par :
$ f^{\prime} (x) =3x^2 - 2x - 1 $

Étudions le signe de $ f^{\prime} $ :
$ \Delta = ( - 2) ^2 - 4 \times 3 \times ( - 1) = 16 > 0 $

$ f^{\prime} $ admet donc 2 racines :
$ x_1= \dfrac{ 2 - \sqrt { 16 }}{ 2 \times 3 } = - \dfrac{ 2 }{ 6 } = - \dfrac{ 1 }{ 3 } $
$ x_2= \dfrac{ 2 +\sqrt { 16 }}{ 2 \times 3 } = \dfrac{ 6 }{ 6 } = 1 $

Le coefficient de $ x^2 ~ (a=3) $, est strictement positif. On en déduit le tableau de signes de $ f^{\prime} $ et le tableau de variations de $ f $ , compte tenu du fait que :

$ f \left( - \dfrac{ 1 }{ 3 } \right) = - \dfrac{ 1 }{ 27 } - \dfrac{ 1 }{ 9 } + \dfrac{ 1 }{ 3 } = \dfrac{ 5 }{ 27 } $
$ f (1) =1 - 1 - 1= - 1 $
Les abscisses des points d'intersection de la courbe $ \mathscr{C} $ avec l'axe des abscisses sont les solutions de l'équation :
$ x^{ 3 } - x^2 - x=0 $

Cette équation équivaut à :
$ x \left( x^2 - x - 1 \right) =0 $

soit $ x=0 $ ou $ x^2 - x - 1=0 $

Le discriminant de $ x^2 - x - 1 $ est :
$ \Delta = ( - 1) ^2 - 4 \times 1 \times ( - 1) =5 >0 $

L'équation $ x^2 - x - 1 $ admet donc 2 solutions :
$ x= \dfrac{ 1+ \sqrt { 5 } }{ 2 } $ ou $ x= \dfrac{ 1 - \sqrt { 5 } }{ 2 } . $

En conclusion, la courbe $ \mathscr{C} $ coupe l'axe des abscisses en trois points de coordonnées respectives :
$ \left( 0 ; 0 \right) , \left( \dfrac{ 1 - \sqrt { 5 } }{ 2 } ; 0 \right) , \left( \dfrac{ 1 + \sqrt { 5 } }{ 2 } ; 0 \right) $.
L'équation de la tangente $ \left( T_{ a } \right) $ au point d'abscisse $ a $ est donnée par la formule :

$ y=f^{\prime} (a) (x - a) +f (a) $

Ici, on obtient :
$ y= (3a^2 - 2a - 1) (x - a) +a^{ 3 } - a^2 - a $
$ y= (3a^2 - 2a - 1) x - 3a^{ 3} +2a^2 +a+a^{ 3 } - a^2 - a $
$ y = (3a^2 - 2a - 1) x - 2a^{ 3 } +a^2 $
1. $ (x - a) ^2 (x+2a - 1) = (x^2 - 2ax+a^2 ) (x+2a - 1) $
  $ \phantom{ (x - a) ^2 (x+2a - 1) } = x^{ 3} +2ax^2 - x^2 - 2ax^2 - 4a^2 x+2ax +a^2 x+2a^{ 3 } - a^2 $
  $ \phantom{ (x - a) ^2 (x+2a - 1) } = x^{ 3} - x^2 - 3a^2 x+2ax+2a^{ 3 } - a^2 . $
2. Pour déterminer les abscisses des points d'intersection de $ \mathscr{C} $ et de $ \left( T_{ a } \right) $, on résout l'équation :
  
  $ x^{ 3} - x^2 - x= (3a^2 - 2a - 1) x - 2a^{ 3 } +a^2 $
  $ x^{ 3} - x^2 - x - (3a^2 - 2a - 1) x+ 2a^{ 3 } - a^2=0 $
  $ x^{ 3} - x^2 - 3a^2 x+2ax+2a^{ 3 } - a^2=0 $
  
  d'après la question précédente, cette équation équivaut à :
  $ (x - a) ^2 (x+2a - 1) =0 $
  
  par conséquent :
  $ (x - a) ^2 =0 $ ou $ x+2a - 1=0 $
  $ x=a $ ou $ x= - 2a+1 $
  
  On a donc, en général, deux points d'intersection d'abscisses respectives $\mathbf{a}$ et $\mathbf{- 2a+1}$.
  
  Toutefois, ces points peuvent être confondus si $ a= - 2a+1 $ c'est-à-dire si $ 3a=1 $ soit $ a= \dfrac{ 1 }{ 3 } $ ; on a alors un seul point d'intersection : le point d'abscisse $ \dfrac{ 1 }{ 3 } $.

Pour réviser : Déterminer l'équation d'une tangente à une courbe

Intersections de tangentes

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $ \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) $.

$ P $ est la parabole d'équation $ y=x^{2} $

$ D_{m} $ est la droite d'équation $ 8mx - 4y+1=0 $ où $ m\in \mathbb{R} $

Montrer que pour tout $ m\in \mathbb{R} $, $ P $ et $ D_{m} $ se coupent en deux points distincts $ A_{m} $ et $ B_{m} $.
1. Calculer les coordonnées du point d'intersection $ I_{m} $ des tangentes à la courbe $ P $ aux points $ A_{m} $ et $ B_{m} $.
2. Quel est l'ensemble des points $ I_{m} $ lorsque $ m $ décrit $ \mathbb{R} $ ?

Corrigé

$ M\left(x;y\right) $ est un point d'intersection de $ P $ et de $ D_{m} $ si et seulement si :

$ \begin{cases} y=x^{2} \\8mx - 4y+1=0 \end{cases} $

On remplace $ y $ par $ x^2 $ dans la seconde équation :

$ 8mx - 4x^{2}+1=0 $

$ - 4x^{2}+8mx+1=0 $

$ \Delta =\left(8m\right)^{2} - 4 \times ( - 4) \times 1=64m^{2}+16 $

$ \Delta $ est strictement positif donc l'équation a deux solutions distinctes :

$ x_{1}=\dfrac{ - 8m+\sqrt{64m^{2}+16}}{ - 8}=\dfrac{ - 8m+4\sqrt{4m^{2}+1}}{ - 8}=m - \dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2} $

$ x_{2}=m+\dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2} $

On a alors $ y_{1}=x_{1}^{2} $ et $ y_{2}=x_{2}^{2} $

$ P $ et $ D_{m} $ se coupent donc en deux points distincts $ A_m\left( m - \dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2} ; \left(m - \dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)^{2} \right) $ et $ B_m\left(m+\dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2} ; \left(m+\dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)^{2}\right) $
1. $\ $
  
  Cas $ m=1 $
  
  Comme $ f\left(x\right)=x^{2} $, $ f^{\prime}\left(x\right)=2x $.
  
  L'équation de la tangente à la parabole en $ A_{m} $ a pour équation :
  
  $ y=f^{\prime}\left(x_{1}\right)\left(x - x_{1}\right)+f\left(x_{1}\right) $
  
  c'est à dire
  
  $ y=2x_{1}\left(x - x_{1}\right)+x_{1}^{2} $
  
  $ y=2x_{1}x - x_{1}^{2} $
  
  De même, l'équation de la tangente à la parabole en $ B_{m} $ a pour équation :
  
  $ y=2x_{2}x - x_{2}^{2} $
  
  Pour trouver les coordonnées de l'intersection $ I_{m} $ on résout le système :
  
  $ \left\{ \begin{matrix} y=2x_{1}x - x_{1}^{2} \\ y=2x_{2}x - x_{2}^{2} \end{matrix}\right. $
  
  Par substitution, il est équivalent à :
  
  $ \left\{ \begin{matrix} y=2x_{1}x - x_{1}^{2} \\ 2x_{1}x+x_{1}^{2}=2x_{2}x - x_{2}^{2} \end{matrix}\right. $
  
  La deuxième équation donne successivement :
  
  $ 2x_{1}x - 2x_{2}x=x_{1}^{2} - x_{2}^{2} $
  
  $ 2\left(x_{1} - x_{2}\right)x=\left(x_{1} - x_{2}\right)\left(x_{1}+x_{2}\right) $
  
  $ 2x=x_{1}+x_{2} $
  
  or $ x_{1}+x_{2}=m+\dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}+m - \dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}=2m $
  
  donc l'équation devient :
  
  $ 2x=2m $ c'est à dire $ x=m $.
  
  En remplaçant $ x $ par $ m $ dans la première équation du système on obtient :
  
  $ y=2mx_{1} - x_{1}^{2}=x_{1}\left(2m - x_{1}\right) $
  
  $ y=\left(m+\dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)\times \left(2m - m - \dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right) $
  
  $ y=\left(m+\dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)\times \left(m - \dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right) $
  
  C'est une identité remarquable :
  
  $ y=m^{2} - \left(\dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)^{2}=m^{2} - \dfrac{4m^{2}+1}{4}=\dfrac{4m^{2} - 4m^{2} - 1}{4}= - \dfrac{1}{4} $
  
  Les coordonnées de $ I_{m} $ sont donc $ \left(m; - \dfrac{1}{4}\right) $.
2. Lorsque $ m $ décrit $ \mathbb{R} $ l'abscisse de $ I_{m} $ décrit $ \mathbb{R} $ tandis que son ordonnée est constante et égale à $ - \dfrac{1}{4} $.
  
  L'ensemble des points $ I_{m} $ lorsque $ m $ décrit $ \mathbb{R} $ est donc la droite d'équation $ y= - \dfrac{1}{4} $

Famille de fonctions

On considère les fonctions $ f_n $ définies sur $ \mathbb{R} \backslash \{1\} $ par :

$ f_n(x)=\dfrac{1 - nx}{x - 1} $

où $ n $ est un entier relatif quelconque.

On note $ (C_n) $ la courbe représentative de $ f_n $ dans un repère orthonormal $ (O;I,J) $.

Montrer que pour tout entier $ n $, la courbe $ (C_n) $ passe par le point $ A(0; - 1) $.
Caractériser la courbe $ (C_{1}) $ représentant la fonction $ f_{1} $.
Déterminer, suivant les valeurs de $ n $, le sens de variation de la fonction $ f_n $.
Tracer les courbes $ (C_{0}) $, $ (C_{1}) $ et $ (C_{2}) $ dans le même repère.
On note $ (T_n) $ la tangente à la courbe $ (C_{n}) $ au point $ A $.

Donner les équations des droites $ (T_{0}) $ et $ (T_{2}) $ et tracer ces droites sur la figure précédente.

Corrigé

Rappel
Pour montrer que la courbe représentative d'une fonction $ f $ passe par un point $ A(x_A;y_A) $, il suffit de montrer que $ f(x_A)=y_A $

Pour tout entier $ n $ :

$ f_n(0)=\dfrac{1 - n \times 0}{0 - 1}=\dfrac{1}{ - 1}= - 1 $

Donc la courbe $ (C_n) $ passe par le point $ A $ de coordonnées $ A(0; - 1) $.
Pour $ n=1 $ et $ x \in \mathbb{R} \backslash \{1\} $ on obtient :

$ f_1(x)=\dfrac{1 - x}{x - 1}=\dfrac{ - (x - 1)}{x - 1}= - 1 $

La fonction $ f_1 $ est donc constante et égale à $ - 1 $ sur $ \mathbb{R} \backslash \{1\} $.

Il faut toutefois faire attention au fait que $ f_1 $ n'est pas définie pour $ x=1 $. La courbe $ (C_1) $ est donc la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par le point $ A(0; - 1) $ (d'après la question précédente) dont on a retiré le point d'abscisse $ 1 $ (voir figure à la question 4.).
$ f_n $ est dérivable sur son ensemble de définition comme quotient de fonctions dérivables.

$ f_n $ est de la forme $ \dfrac{u}{v} $ avec :

$ u(x)=1 - nx $ donc $ u^{\prime}(x)= - n $

$ v(x)=x - 1 $ donc $ v^{\prime}(x)=1 $

On obtient alors :

$ f^{\prime}(x)=\dfrac{u^{\prime}(x)v(x) - u(x)v(x)^{\prime}}{v(x)^2} =\dfrac{ - n(x - 1) - (1 - nx)}{(x - 1)^2}=\dfrac{n - 1}{(x - 1)^2} $

$ f^{\prime} $ est du signe de $ n - 1 $ :
- si $ n < 1 $, $ f^{\prime} $ est négative sur $ \mathbb{R} \backslash \{1\} $ donc $ f $ est décroissante sur $ ] - \infty ; 1[ $ et sur $ ]1 ; +\infty[ $
- si $ n > 1 $, $ f^{\prime} $ est positive sur $ \mathbb{R} \backslash \{1\} $ donc $ f $ est croissante sur $ ] - \infty ; 1[ $ et sur $ ]1 ; +\infty[ $
- si $ n=1 $, $ f $ est constante sur $ \mathbb{R} \backslash \{1\} $. Ce cas a été traité à la question précédente.
Voir graphique ci-dessous.
L'équation de la tangente à $ (C_0) $ au point $ A $ d'abscisse $ 0 $ est :

$ y=f_0^{\prime}(0)(x - 0)+f_0(0) $

Or $ f_0(0)= - 1 $ (d'après la question 1.)

et $ f_0^{\prime}(x)= - \dfrac{1}{(x - 1)^2} $ (d'après la question 3.) donc $ f^{\prime}_0(0)= - 1 $

L'équation de $ (T_0) $ est donc :

$\mathbf{y= - x - 1}$

De même, l'équation de $ (T_2) $ est :

$ y=f_2^{\prime}(0)(x - 0)+f_2(0) $

avec $ f_2(0)= - 1 $ et $ f_2^{\prime}(x)=\dfrac{1}{(x - 1)^2} $ donc $ f^{\prime}_2(0)=1 $

L'équation de $ (T_2) $ est donc :

$\mathbf{y=x - 1}$

Les droites $ (T_0) $ et $ (T_2) $ sont représentées ci-dessous :

Tangentes communes

Soient $ C_{f} $ la courbe représentant la fonction définie par $ f\left(x\right)=x^{2} - 4x+3 $

et $ C_{g} $ la courbe représentant la fonction définie par $ g\left(x\right)= - x^{2}+2x - 3 $

Démontrer que $ C_{f} $ et $ C_{g} $ ont deux tangentes communes.

Corrigé

$ f^{\prime}\left(x\right)=2x - 4 $

$ g^{\prime}\left(x\right)= - 2x+2 $

Soit $ A $ un point de $ C_{f} $ d'abscisse $ a $. La tangente à $ C_{f} $ au point $ A $ a pour équation :

$ y=f^{\prime}\left(a\right)\left(x - a\right)+f\left(a\right) $

Ce qui donne :

$ y=\left(2a - 4\right)x - \left(2a - 4\right)a+a^{2} - 4a+3 $

$ y=\left(2a - 4\right)x - a^{2}+3 $

Soit $ B $ un point de $ C_{g} $ d'abscisse $ b $. La tangente à $ C_{g} $ au point $ B $ a pour équation :

$ y=g^{\prime}\left(b\right)\left(x - b\right)+g\left(b\right) $

Après calcul :

$ y=\left( - 2b+2\right)x+b^{2} - 3 $

Ces deux tangentes sont identiques si et seulement si :

$ \left\{ \begin{matrix} 2a - 4= - 2b+2 \\ - a^{2}+3=b^{2} - 3 \end{matrix}\right. $

On obtient un système de 2 équations à 2 inconnues. La première équation donne $ a=3 - b $ puis par substitution dans la seconde :

$ - \left(3 - b\right)^{2}+3=b^{2} - 3 $

Soit : $ 2b^{2} - 6b+3=0 $

Ce qui donne les solutions :

$ b_{1}=\dfrac{3+\sqrt{3}}{2} $ et $ b_{2}=\dfrac{3 - \sqrt{3}}{2} $

et comme $ a=3 - b $

$ a_{1}=\dfrac{3 - \sqrt{3}}{2} $ et $ a_{2}=\dfrac{3+\sqrt{3}}{2} $

Il suffit ensuite de remplacer $ a $ par $ a_{1} $ et $ a_{2} $ dans l'équation de la tangente à $ C_{f} $ au point $ A $ (ou de remplacer $ b $ par $ b_{1} $ et $ b_{2} $ dans l'équation de la tangente à $ C_{g} $ au point $ B $) pour trouver les équations des tangentes :

$\mathbf{y=\left(\sqrt{3} - 1\right)x - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}}$
$\mathbf{y=\left( - \sqrt{3} - 1\right)x+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}}$

Fonctions – Contour d’une piscine

Pour les besoins d'un centre de loisirs, un architecte élabore les plans d'une future piscine carrelée.

Le graphique ci-dessous présente le contour de cette piscine dans un repère orthonormé $ (O,I,J) $ d'unité 1 mètre.

$ C_1 $ est un demi-cercle de centre $ O $ et de rayon $ 8 $ ;

$ C_2 $ est un demi-cercle de centre $ P(12 ; 0) $ et de rayon $ 6 $. Les courbes $ F_1 $ et $ F_2 $ relient ces deux demi-cercles.

Le contour de la piscine est symétrique par rapport à l'axe des abscisses. On suppose, par ailleurs, que les tangentes à la courbe $ F_1 $ aux points $ M(0;8) $ et $ N(12;6) $ sont parallèles à l'axe des abscisses.

Partie 1

La courbe $ F_1 $ est la représentation graphique d'une fonction $ f $ définie sur $ [0;12] $.

Quelles sont les valeurs de $ f(0) $, $ f(12) $ , $ f^{\prime}(0) $, $ f^{\prime}(12) $ ?
$ f $ est définie sur $ [0;12] $ par $ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d $.

Déduire de la question précédente un système de quatre équations à quatre inconnues vérifié par $ (a;b;c;d) $.
En déduire les valeurs de $ a, b, c $ et $ d $.

Partie 2

Dans la suite du problème on suppose que $ f $ est définie sur $ [0;12] $ par $ f(x)=\dfrac{1}{432}x^3 - \dfrac{1}{24}x^2+8 $.

Montrer que le milieu $ I $ de $ [MN] $ appartient à la courbe $ F_1 $
Donner une équation de la tangente $ (T) $ à la courbe $ F_1 $ au point $ I $.

Partie 3

Dans le but de carreler le fond de la piscine, l'architecte cherche à estimer l'aire $ \mathscr A $ de la surface située à l'intérieur de ce contour.

On admet que l'aire de la surface délimitée par la courbe $ F_1 $ et les segments $ [OM], [OP], [PN] $ est égale à l'aire du trapèze $ OMNP $.

Calculer l'aire $ \mathscr A $ en $ \text{m}^2 $ (on arrondira au $ \text{m}^2 $ près).
La profondeur de la piscine sera constante et égale à $ 1,5\text{m} $.

Quel sera, en $ \text{m}^3 $, le volume d'eau de la piscine ?

Corrigé

Partie 1

La courbe $ F_1 $ passe par le point $ M(0;8) $ donc $ f(0)=8 $.

La courbe $ F_1 $ passe par le point $ N(12;6) $ donc $ f(12)=6 $.

Rappel

La tangente à $ F_1 $ au point d'abscisse $ a $ est parallèle à l'axe des abscisses si et seulement si $ f ^{\prime}(a)=0 $

La tangente à $ F_1 $ au point $ M $ est parallèle à l'axe des abscisses donc $ f ^{\prime}(0)=0 $.
La tangente à $ F_1 $ au point $ N $ est parallèle à l'axe des abscisses donc $ f ^{\prime}(12)=0 $.
$ f(0)=a\times 0^3+b \times 0^2+c \times 0+d=d $

Donc d'après la question précédente $ d=8 $.

De même :

$ f(12)=a\times 12^3+b \times 12^2+c \times 12+d =1728a+144b+12c+d $

Donc $ 1728a+144b+12c+d=6 $.

$ f ^{\prime}(x)=3ax^2+2bx+c $

$ f ^{\prime}(0)=3a \times 0^2+2b \times 0+c=c $

Donc $ c=0 $.

$ f ^{\prime}(12)=3a \times 12^2+2b \times 12+c=432a+24b+c $

Donc $ 432a+24b+c=0 $.

Le quadruplet $ (a;b;c;d) $ est donc solution du système :

$ \begin{cases} d=8 \\ 1728a+144b+12c+d=6 \\ c=0 \\ 432a+24b+c=0 \end{cases} $
Les première et troisième équations donnent $ c=0 $ et $ d=8 $.

En remplaçant $ c $ par $ 0 $ et $ d $ par $ 8 $ dans les deux autres équations on obtient :

$ (S) \ \begin{cases} 1728a+144b+8=6 \\ 432a+24b=0 \end{cases} $

Ce système équivaut à :

$ (S) \Leftrightarrow \ \begin{cases} 1728a+144b+8=6 \\ b= - 18a \end{cases} $

$ (S) \Leftrightarrow \ \begin{cases} 1728a+144 \times ( - 18a)= - 2 \\ b= - 18a \end{cases} $

$ (S) \Leftrightarrow \ \begin{cases} - 864a= - 2 \\ b= - 18a \end{cases} $

$ (S) \Leftrightarrow \ \begin{cases} a=\dfrac{2}{864} \\ \\ b= - 18 \times \dfrac{2}{864} \end{cases} $

$ (S) \Leftrightarrow \ \begin{cases} a=\dfrac{1}{432} \\ \\ b= - \dfrac{1}{24} \end{cases} $

Finalement $ a=\dfrac{1}{432}, b= - \dfrac{1}{24}, c=0 $ et $ d=8 $.

Donc $ f(x)=\dfrac{1}{432}x^3 - \dfrac{1}{24}x^2+8 $.

Partie 2

Les coordonnées du point $ I $ sont :

$ x_I=\dfrac{x_M+x_N}{2}=\dfrac{0+12}{2}=6 $

$ y_I=\dfrac{y_M+y_N}{2}=\dfrac{8+6}{2}=7 $

Rappel

Le point $ I $ appartient à la courbe $ F_1 $ si et seulement si $ f(x_I)=y_I $

$ f(6)=\dfrac{1}{432} \times 216 - \dfrac{1}{24} \times 36+8 =0,5 - 1,5+8=7 $

$ f(x_I)=y_I $ donc le milieu $ I $ de $ [MN] $ appartient à la courbe $ F_1 $.
L'équation réduite de la tangente à la courbe $ F_1 $ en $ I $ est :

$ y=f ^{\prime}(6)(x - 6)+f(6) $

$ f ^{\prime}(x)=\dfrac{3}{432}x^2 - \dfrac{2}{24}x =\dfrac{x^2}{144} - \dfrac{x}{12} $

$ f^{\prime}(6)=\dfrac{36}{144} - \dfrac{6}{12}= - \dfrac{1}{4} $

L'équation réduite de $ (T) $ est donc :

$ y= - \dfrac{1}{4}(x - 6) + 7 $

$ y= - \dfrac{1}{4}x+\dfrac{17}{2} $

Partie 3

On « découpe » l'aire $ \mathscr A $ en quatre aires :
- l'aire $ \mathscr A_1 $ du demi-disque de rayon $ [OM] $
- l'aire $ \mathscr A_2 $ du demi-disque de rayon $ [PN] $
- l'aire $ \mathscr A_3 $ du trapèze $ OMNP $ et du trapèze symétrique par rapport à l'axe des abscisses.
$ \mathscr A_1=\dfrac{1}{2}\pi OM^2=32\pi $

$ \mathscr A_2=\dfrac{1}{2}\pi PN^2=18\pi $

Théorème

Rappel

L'aire d'un trapèze de bases $ b $ et $ B $ et de hauteur $ h $ est $ \mathscr A=\dfrac{b+B}{2} \times h $

$ \mathscr A_3=\dfrac{8+6}{2} \times 12 $

$ \phantom{\mathscr A_3}=7 \times 12 $

$ \phantom{\mathscr A_3}=84 $

L'aire totale est donc :

$ \mathscr A=\mathscr A_1+\mathscr A_2+2 \times \mathscr A_3 $

$ \phantom{\mathscr A}=50\pi+168 \approx 325 \text{m}^2 $
Le volume d'eau de la piscine est :

$ \mathscr V = 1,5 \times \mathscr A \approx 488 \text{m}^3 $

Nombre dérivé et tangente

Soit la fonction $ f $, définie par : $ f\left(x\right)=x^{2}+3x - 4 $ et $ \mathscr C_{f} $ sa courbe représentative.

Calculer $ \dfrac{f\left(h\right) - f\left(0\right)}{h} $ pour $ h\neq 0 $.
En déduire la valeur de $ f^{\prime}\left(0\right) $.
Déterminer l'équation de la tangente à la parabole $ \mathscr C_{f} $ au point d'abscisse $ 0 $.

Corrigé

Pour $ h\neq 0 $:

$ \dfrac{f\left(h\right) - f\left(0\right)}{h}=\dfrac{\left(h^{2}+3h - 4\right) - \left(0^{2}+3\times 0 - 4\right)}{h}=\dfrac{h^{2}+3h}{h}=h+3 $
Lorsque $ h $ tend vers $ 0 $, le rapport $ \dfrac{f\left(0+h\right) - f\left(0\right)}{h}=h+3 $ tend vers $ 3 $ donc $ f^{\prime}\left(0\right)=3 $.
L'équation cherchée est :

$ y=f^{\prime}\left(0\right)\left(x - 0\right)+f\left(0\right) $

Or $ f\left(0\right)=0^{2}+3\times 0 - 4= - 4 $ et $ f^{\prime}\left(0\right)=3 $ d'après la question précédente.

L'équation de la tangente à la parabole $ \mathscr C_{f} $ au point d'abscisse $ 0 $ est donc :

$\mathbf{y=3x - 4}$

Pour réviser : Déterminer l'équation d'une tangente à une courbe

QCM : Tangente à une courbe

Vrai/Faux : Nombre dérivé

Vrai/Faux : Dérivée d’une fonction polynôme

Courbe et tangentes

Corrigé

Points d’intersection avec une tangente

Corrigé

Intersections de tangentes

Corrigé

Famille de fonctions

Corrigé

Tangentes communes

Corrigé

Fonctions – Contour d’une piscine

Partie 1

Partie 2

Partie 3

Corrigé

Rappel

Théorème

Nombre dérivé et tangente

Corrigé