Comparer deux forfaits téléphoniques

[enonce]
Un opérateur propose deux forfaits mensuels :

Forfait A : un abonnement fixe de $15$ € par mois, plus $2$ € par heure de communication.
Forfait B : aucun abonnement, mais $3$ € par heure de communication.

On note $x$ le nombre d'heures consommées dans le mois et $C_A(x)$, $C_B(x)$ les coûts correspondants en euros.

Droites des coûts des forfaits A et B en fonction du nombre d'heures

On souhaite déterminer à partir de combien d'heures de communication le forfait A devient plus avantageux, et comparer les deux forfaits pour une consommation donnée.
[/enonce]

[etape]
Calculer le coût du forfait A pour une consommation de $4$ heures.
$C_A(4) = $ [[ca4]] €
[math id="ca4" attendu="23"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$C_A(4) = 2 \times 4 + 15 = 8 + 15 = 23$ €.[/reponse]
[reponse motif="8"]Il manque la partie fixe de l'abonnement : le forfait A comporte aussi un montant fixe mensuel.[/reponse]
[reponse motif="15"]$15$ € est l'abonnement fixe seul. Il faut ajouter la part proportionnelle aux heures.[/reponse]
[reponse motif="19"]Vérifier le prix par heure du forfait A.[/reponse]
[reponse motif="60"]Attention à bien identifier quelle part est proportionnelle aux heures et quelle part est fixe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Sommer la partie fixe et la partie proportionnelle aux heures de communication.[/reponse]
[aide essai="2"]Le coût comporte deux parties : un abonnement fixe ($15$ €) et un prix à l'heure ($2$ €).[/aide]
[aide essai="3"]Pour $4$ heures : partie variable $= 2 \times 4 = 8$. À additionner à l'abonnement.[/aide]
[/math]
[solution]$C_A(4) = 2 \times 4 + 15 = 23$ €.[/solution]
[/etape]

[etape]
Exprimer les coûts mensuels $C_A(x)$ et $C_B(x)$ en fonction de $x$.
$C_A(x) = $ [[cax]] et $C_B(x) = $ [[cbx]]
[math id="cax" attendu="2x+15"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$C_A(x) = 2x + 15$ : $2x$ pour les heures de communication, $+15$ pour l'abonnement fixe.[/reponse]
[reponse motif="15x+2"]Les rôles sont inversés : le prix $2$ € s'applique à chaque heure, et $15$ € est le montant fixe.[/reponse]
[reponse motif="2x"]Il manque la partie fixe de l'abonnement.[/reponse]
[reponse motif="17x"]Il ne faut pas ajouter les deux nombres. Le $15$ est un montant fixe, indépendant de $x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le coût est de la forme (prix par heure) $\times x$ + (abonnement fixe).[/reponse]
[aide essai="2"]Le coût variable est proportionnel à $x$ (coefficient $2$) et s'ajoute à un montant fixe ($15$).[/aide]
[aide essai="3"]Forme $ax + b$ avec $a = 2$ et $b = 15$.[/aide]
[/math]
[math id="cbx" attendu="3x"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$C_B(x) = 3x$ : uniquement la part proportionnelle aux heures, sans abonnement fixe.[/reponse]
[reponse motif="3x+15"]Le forfait B n'a pas d'abonnement fixe, contrairement au A. Relire l'énoncé.[/reponse]
[reponse motif="3"]Le coût dépend du nombre d'heures : il faut multiplier $3$ par $x$.[/reponse]
[reponse motif="x+3"]Attention à l'ordre des facteurs : $3$ est le prix par heure, donc il multiplie $x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le forfait B n'a pas de partie fixe, il est uniquement proportionnel aux heures.[/reponse]
[aide essai="2"]Comme il n'y a pas d'abonnement, le coût est uniquement proportionnel à $x$.[/aide]
[aide essai="3"]Multiplier le prix par heure ($3$) par le nombre d'heures ($x$).[/aide]
[/math]
[solution]$C_A(x) = 2x + 15$ et $C_B(x) = 3x$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Déterminer le nombre d'heures à partir duquel les deux forfaits coûtent le même prix.
$x = $ [[seuil]] heures
[math id="seuil" attendu="15"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$2x + 15 = 3x$ donne $15 = 3x - 2x = x$, d'où $x = 15$ heures.[/reponse]
[reponse motif="5"]Revoir le regroupement des termes en $x$ : $3x - 2x = x$, pas $5x$.[/reponse]
[reponse motif="3"]Erreur lors du regroupement. Isoler d'un côté tous les termes en $x$, de l'autre les constantes.[/reponse]
[reponse motif="45"]$45$ € est le coût commun aux deux forfaits au seuil, pas le nombre d'heures.[/reponse]
[reponse motif="7.5"]Vérifier le regroupement des termes en $x$ : $3x - 2x$ ne vaut pas $2x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Écrire l'équation $C_A(x) = C_B(x)$ et résoudre.[/reponse]
[aide essai="2"]Résoudre $2x + 15 = 3x$. Regrouper les termes en $x$ d'un côté.[/aide]
[aide essai="3"]$2x + 15 = 3x \Leftrightarrow 15 = 3x - 2x \Leftrightarrow 15 = x$.[/aide]
[/math]
[solution]On résout $2x + 15 = 3x$, soit $x = 15$ heures. C'est le point $I$ de la figure.[/solution]
[/etape]

[etape]
Pour une consommation strictement inférieure à $15$ heures, quel forfait est le moins cher ?
[qcm]
[option correct="true"]Le forfait B[/option]
[option]Le forfait A[/option]
[option]Les deux coûtent le même prix[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Par exemple pour $x = 10$ : $C_A(10) = 35$ € alors que $C_B(10) = 30$ €. Sur le graphique, la droite du forfait B est au-dessous de celle du forfait A pour $x < 15$.[/reponse]
[reponse motif="Le forfait A"]Tester une valeur : pour $x = 10$, quel coût est le plus bas ? Regarder laquelle des deux droites est en dessous à gauche du point d'intersection.[/reponse]
[reponse motif="Les deux coûtent le même prix"]Les deux forfaits ne coûtent le même prix qu'au point d'équivalence ($x = 15$), pas avant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer la différence de coût entre le forfait B et le forfait A pour une consommation de $20$ heures (en euros).
$C_B(20) - C_A(20) = $ [[diff]] €
[math id="diff" attendu="5"]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$C_B(20) = 60$ € et $C_A(20) = 55$ €. La différence vaut $60 - 55 = 5$ € : le forfait A est plus avantageux de $5$ € pour $20$ h.[/reponse]
[reponse motif="-5"]Attention à l'ordre de la soustraction : on demande $C_B(20) - C_A(20)$, pas l'inverse.[/reponse]
[reponse motif="60"]$60$ € est le coût du forfait B seul, pas la différence entre les deux forfaits.[/reponse]
[reponse motif="55"]$55$ € est le coût du forfait A seul, pas la différence.[/reponse]
[reponse motif="15"]$15$ € est la différence des parts fixes, pas la différence des coûts à $20$ heures.[/reponse]
[reponse motif="115"]Il ne faut pas additionner les deux coûts, mais les soustraire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Calculer séparément $C_A(20)$ et $C_B(20)$, puis faire la soustraction.[/reponse]
[aide essai="2"]$C_A(20) = 2 \times 20 + 15$ et $C_B(20) = 3 \times 20$.[/aide]
[aide essai="3"]$C_A(20) = 55$ et $C_B(20) = 60$. Calculer $60 - 55$.[/aide]
[/math]
[solution]$C_A(20) = 2 \times 20 + 15 = 55$ €, $C_B(20) = 3 \times 20 = 60$ €. Différence : $60 - 55 = 5$ €.[/solution]
[/etape]

Lecture graphique et intersection de deux droites

[enonce]
Dans un repère orthonormé, on a tracé deux droites :

la droite $d_1$, dont l'équation réduite est affichée,
la droite $d_2$, qui passe par les deux points $A$ et $B$ représentés.

Repère avec les droites d1 et d2 et les points A et B

On lit sur la figure que la droite $d_1$ a pour équation $y = -\dfrac{1}{2}x + 4$.
On cherche à déterminer l'équation réduite de $d_2$, puis à trouver les coordonnées du point d'intersection de $d_1$ et $d_2$.
[/enonce]

[etape]
Donner le coefficient directeur de la droite $d_1$.
[qcm]
[option]$4$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]$-\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$-2$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Dans l'équation réduite $y = mx + p$, le coefficient directeur est le nombre $m$ qui multiplie $x$. Ici $m = -\dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]$4$ est l'ordonnée à l'origine, pas le coefficient directeur. Le coefficient est le nombre devant $x$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Attention au signe : le terme devant $x$ est $-\dfrac{1}{2}$, pas $\dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$-2$"]Le coefficient devant $x$ est $-\dfrac{1}{2}$, à ne pas confondre avec son inverse.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Donner l'ordonnée à l'origine de la droite $d_1$.
$p = $ [[p1]]
[math id="p1" attendu="4"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Dans $y = -\dfrac{1}{2}x + 4$, le terme constant est $4$. C'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées.[/reponse]
[reponse motif="-4"]Attention au signe : le terme constant dans l'équation est $+4$.[/reponse]
[reponse motif="-\dfrac{1}{2}"]C'est le coefficient directeur, pas l'ordonnée à l'origine.[/reponse]
[reponse motif="0"]La droite ne passe pas par l'origine ; son équation contient un terme constant non nul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Dans une équation de la forme $y = mx + p$, relire le terme constant.[/reponse]
[aide essai="2"]L'ordonnée à l'origine correspond au nombre $p$ dans $y = mx + p$.[/aide]
[aide essai="3"]L'équation donnée est $y = -\dfrac{1}{2}x + 4$. Identifier la valeur de $p$.[/aide]
[/math]
[solution]L'équation de $d_1$ est $y = -\dfrac{1}{2}x + 4$, donc $p = 4$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer le coefficient directeur de la droite $d_2$ à partir des points $A$ et $B$.
$m = $ [[m2]]
[math id="m2" attendu="1"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{4 - 1}{4 - 1} = \dfrac{3}{3} = 1$.[/reponse]
[reponse motif="3"]$3$ est la différence des ordonnées. Il faut la diviser par la différence des abscisses.[/reponse]
[reponse motif="-1"]Attention aux signes : les ordonnées et les abscisses augmentent toutes deux de $A$ vers $B$, donc le résultat est positif.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{1}{3}"]Vérifier l'ordre du calcul : différence des ordonnées au numérateur, différence des abscisses au dénominateur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Utiliser la formule du coefficient directeur à partir de deux points.[/reponse]
[aide essai="2"]$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$, avec $A(1\,;\,1)$ et $B(4\,;\,4)$.[/aide]
[aide essai="3"]$m = \dfrac{4 - 1}{4 - 1}$. Calculer cette fraction.[/aide]
[/math]
[solution]$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{4 - 1}{4 - 1} = 1$.[/solution]
[/etape]

[etape]
En déduire l'équation réduite de $d_2$.
$y = $ [[eq2]]
[math id="eq2" attendu="x"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Avec $m = 1$ et $p = 0$ (car $A(1\,;\,1)$ vérifie $1 = 1 \times 1 + p$ donne $p = 0$), l'équation est $y = x$.[/reponse]
[reponse motif="x+1"]L'ordonnée à l'origine n'est pas $1$. Injecter les coordonnées de $A$ ou $B$ dans $y = x + p$ pour trouver $p$.[/reponse]
[reponse motif="x+4"]$4$ n'est pas l'ordonnée à l'origine de $d_2$. Utiliser un point de $d_2$ pour calculer $p$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Partir de $y = mx + p$ avec le coefficient trouvé à l'étape précédente, puis utiliser un point pour déterminer $p$.[/reponse]
[aide essai="2"]Avec $m = 1$, l'équation est $y = x + p$. Substituer les coordonnées de $A(1\,;\,1)$ pour trouver $p$.[/aide]
[aide essai="3"]$1 = 1 + p$ donne $p = 0$. L'équation est de la forme $y = x + 0$, que l'on écrit plus simplement.[/aide]
[/math]
[solution]Avec $m = 1$ et $A(1\,;\,1)$ : $1 = 1 + p$ donne $p = 0$. Donc $d_2 : y = x$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Quelle est la position relative des droites $d_1$ et $d_2$ ?
[select id="pos"]
[option]Parallèles[/option]
[option correct="true"]Sécantes[/option]
[option]Confondues[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Leurs coefficients directeurs sont différents ($-\dfrac{1}{2} \neq 1$), donc elles ne sont pas parallèles : elles se coupent en un unique point.[/reponse]
[reponse motif="Parallèles"]Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur. Comparer $-\dfrac{1}{2}$ et $1$.[/reponse]
[reponse motif="Confondues"]Deux droites confondues auraient la même équation. Ici les équations $y = -\dfrac{1}{2}x + 4$ et $y = x$ sont clairement différentes.[/reponse]
[/select]
[aide essai="2"]Comparer les coefficients directeurs de $d_1$ et $d_2$. S'ils diffèrent, les droites sont sécantes.[/aide]
[aide essai="3"]Les coefficients sont $-\dfrac{1}{2}$ et $1$ : ils sont différents.[/aide]
[/etape]

[etape]
Calculer les coordonnées $(x_I\,;\,y_I)$ du point d'intersection $I$ de $d_1$ et $d_2$.
$x_I = $ [[xi]] et $y_I = $ [[yi]]
[math id="xi" attendu="\dfrac{8}{3}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
En égalisant les deux équations : $-\dfrac{1}{2}x + 4 = x$, on obtient $4 = x + \dfrac{1}{2}x = \dfrac{3}{2}x$, d'où $x = \dfrac{8}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais il faut écrire la fraction sous forme irréductible.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{4}{3}"]Attention au regroupement : $x - \left(-\dfrac{1}{2}x\right) = x + \dfrac{1}{2}x = \dfrac{3}{2}x$, pas $3x$.[/reponse]
[reponse motif="8"]Ne pas oublier de diviser par $\dfrac{3}{2}$ après avoir isolé le terme en $x$.[/reponse]
[reponse motif="2"]Vérifier le calcul : est-ce que $-\dfrac{1}{2} \times 2 + 4 = 2$ ? Cela donnerait $3 = 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Égaliser les deux expressions de $y$ et isoler $x$.[/reponse]
[aide essai="2"]Écrire $y_1 = y_2$, c'est-à-dire $-\dfrac{1}{2}x + 4 = x$. Regrouper les termes en $x$ d'un même côté.[/aide]
[aide essai="3"]$4 = x + \dfrac{1}{2}x = \dfrac{3}{2}x$. Diviser $4$ par $\dfrac{3}{2}$.[/aide]
[/math]
[math id="yi" attendu="\dfrac{8}{3}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Correct !
En remplaçant $x = \dfrac{8}{3}$ dans $y = x$, on obtient directement $y_I = \dfrac{8}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction doit être irréductible.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{4}{3}"]Substituer $x_I = \dfrac{8}{3}$ dans l'équation $y = x$ de $d_2$, c'est le plus simple.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Comme $d_2$ a pour équation $y = x$, l'ordonnée est égale à l'abscisse.[/reponse]
[aide essai="2"]Remplacer $x_I$ par sa valeur dans l'équation la plus simple des deux droites : celle de $d_2$.[/aide]
[aide essai="3"]Dans $y = x$, si $x = \dfrac{8}{3}$, alors $y = \dfrac{8}{3}$.[/aide]
[/math]
[solution]Égalité $-\dfrac{1}{2}x + 4 = x$ donne $\dfrac{3}{2}x = 4$, soit $x_I = \dfrac{8}{3}$. En remplaçant dans $y = x$ : $y_I = \dfrac{8}{3}$. Donc $I\left(\dfrac{8}{3}\,;\,\dfrac{8}{3}\right)$.[/solution]
[/etape]

QCM : Calcul d’une équation réduite

[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul de l'équation réduite d'une droite à partir de deux points ou d'un coefficient directeur. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soient $A(1~;~3)$ et $B(4~;~9)$. Quelle est l'équation réduite de la droite $(AB)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$y = 2x + 1$[/option]
[option]$y = 2x + 3$[/option]
[option]$y = \dfrac{1}{2}x + 1$[/option]
[option]$y = 2x$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{9 - 3}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2$.
La droite passe par $A(1~;~3)$, donc $3 = 2 \times 1 + p$, soit $p = 1$.
L'équation réduite est $y = 2x + 1$.[/reponse]
[reponse motif="$y = 2x + 3$"]Non.
Le coefficient directeur $m = 2$ est correct, mais l'ordonnée à l'origine n'est pas $y_A$. Pour trouver $p$, il faut écrire que les coordonnées de $A$ vérifient $y = mx + p$, donc $p = y_A - m \times x_A$.[/reponse]
[reponse motif="$y = \dfrac{1}{2}x + 1$"]Non.
Le coefficient directeur a été inversé. La formule est $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ et non l'inverse.[/reponse]
[reponse motif="$y = 2x$"]Non.
Le coefficient directeur est correct, mais l'ordonnée à l'origine a été oubliée (elle n'est pas nulle ici). Vérifier en remplaçant $x$ par $1$ dans l'équation : on obtiendrait $2$ et non $3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$, puis utiliser un point pour trouver $p$ en écrivant $y = mx + p$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A(2~;~-1)$ et $B(5~;~5)$. Quel est le coefficient directeur de la droite $(AB)$ ?
[qcm]
[option]$-2$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$6$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{5 - (-1)}{5 - 2} = \dfrac{6}{3} = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$-2$"]Non.
La valeur absolue est correcte, mais le signe est faux. Attention au calcul $5 - (-1) = 5 + 1 = 6$ : la soustraction d'un nombre négatif donne une addition.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
Le numérateur et le dénominateur ont été inversés. La formule est $m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ et non $\dfrac{\Delta x}{\Delta y}$.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
Le calcul $y_B - y_A = 6$ est juste, mais il faut diviser par $x_B - x_A = 3$. Le coefficient directeur est un rapport.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la formule $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ en faisant attention aux signes des coordonnées.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]

Points A(-1;2) et B(2;-1) dans un repère

Quelle est l'équation réduite de la droite $(AB)$ ?
[qcm]
[option]$y = x + 1$[/option]
[option correct="true"]$y = -x + 1$[/option]
[option]$y = -x - 1$[/option]
[option]$y = x - 1$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{-1 - 2}{2 - (-1)} = \dfrac{-3}{3} = -1$.
La droite passe par $A(-1~;~2)$, donc $2 = -1 \times (-1) + p$, soit $p = 1$.
L'équation est $y = -x + 1$.[/reponse]
[reponse motif="$y = x + 1$"]Non.
La droite descend de gauche à droite : son coefficient directeur est négatif. Vérifier le signe de la fraction au numérateur.[/reponse]
[reponse motif="$y = -x - 1$"]Non.
Le coefficient directeur est correct, mais l'ordonnée à l'origine ne l'est pas. Sur le graphique, la droite coupe l'axe des ordonnées au-dessus de l'origine.[/reponse]
[reponse motif="$y = x - 1$"]Non.
Les signes du coefficient directeur et de l'ordonnée à l'origine sont tous les deux faux. Reprendre les calculs en faisant attention aux signes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lire les coordonnées de $A$ et $B$ sur la figure, calculer $m$ avec la formule, puis trouver $p$ en utilisant un point.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une droite $d$ admet pour coefficient directeur $-3$ et passe par le point $A(2~;~-1)$. Quelle est son équation réduite ?
[qcm]
[option]$y = -3x - 1$[/option]
[option]$y = 3x + 5$[/option]
[option correct="true"]$y = -3x + 5$[/option]
[option]$y = -3x - 5$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'équation est de la forme $y = -3x + p$.
La droite passe par $A(2~;~-1)$, donc $-1 = -3 \times 2 + p$, soit $-1 = -6 + p$ et $p = 5$.
L'équation est $y = -3x + 5$.[/reponse]
[reponse motif="$y = -3x - 1$"]Non.
L'ordonnée à l'origine n'est pas égale à $y_A$. Pour trouver $p$, il faut écrire que les coordonnées de $A$ vérifient $y = -3x + p$, c'est-à-dire $-1 = -3 \times 2 + p$.[/reponse]
[reponse motif="$y = 3x + 5$"]Non.
Le coefficient directeur est donné dans l'énoncé : $m = -3$ (avec le signe). Conserver ce signe dans l'équation.[/reponse]
[reponse motif="$y = -3x - 5$"]Non.
La valeur absolue de $p$ est correcte, mais son signe est faux. Reprendre l'équation $-1 = -6 + p$ : on obtient $p = -1 + 6 = 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Écrire $y = -3x + p$, puis utiliser le point $A(2~;~-1)$ pour déterminer $p$ en remplaçant $x$ par $2$ et $y$ par $-1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A(-3~;~7)$ et $B(2~;~-3)$. Quel est le coefficient directeur de la droite $(AB)$ ?
[qcm]
[option]$2$[/option]
[option correct="true"]$-2$[/option]
[option]$-\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$-10$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{-3 - 7}{2 - (-3)} = \dfrac{-10}{5} = -2$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
La valeur absolue est correcte, mais le signe est faux. Le numérateur $-3 - 7 = -10$ est négatif, et le dénominateur $2 - (-3) = 5$ est positif : le rapport est négatif.[/reponse]
[reponse motif="$-\dfrac{1}{2}$"]Non.
Le numérateur et le dénominateur ont été inversés. La formule est $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ et non l'inverse.[/reponse]
[reponse motif="$-10$"]Non.
Le numérateur $y_B - y_A = -10$ est juste, mais il manque la division par $x_B - x_A = 5$. Le coefficient directeur est un rapport.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la formule $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ en faisant attention aux signes : $2 - (-3) = 2 + 3 = 5$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]

Quelle est l'équation réduite de la droite tracée ?
[qcm]
[option]$y = 2x - 2$[/option]
[option correct="true"]$y = \dfrac{1}{2}x - 2$[/option]
[option]$y = \dfrac{1}{2}x + 2$[/option]
[option]$y = -\dfrac{1}{2}x - 2$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La droite coupe l'axe des ordonnées en $-2$, donc $p = -2$.
Entre les points $(0~;~-2)$ et $(4~;~0)$, $y$ augmente de $2$ quand $x$ augmente de $4$, donc $m = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$.
L'équation est $y = \dfrac{1}{2}x - 2$.[/reponse]
[reponse motif="$y = 2x - 2$"]Non.
Le coefficient directeur a été inversé : c'est $\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ et non $\dfrac{4}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$y = \dfrac{1}{2}x + 2$"]Non.
La droite coupe l'axe des ordonnées sous l'origine, donc $p$ est négatif. Vérifier le signe de l'ordonnée à l'origine.[/reponse]
[reponse motif="$y = -\dfrac{1}{2}x - 2$"]Non.
La droite monte de gauche à droite : son coefficient directeur est positif. Vérifier le sens de la variation de $y$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lire $p$ à l'intersection avec l'axe des ordonnées, puis calculer $m$ comme $\dfrac{\text{variation de } y}{\text{variation de } x}$ entre deux points.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Lecture graphique d’une équation réduite

[enonce]
Ce QCM porte sur la lecture graphique de l'équation réduite d'une droite : coefficient directeur, ordonnée à l'origine et cas particulier des droites verticales. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]

Quelle est l'équation réduite de la droite tracée ci-dessus ?
[qcm]
[option correct="true"]$y = x + 2$[/option]
[option]$y = 2x + 1$[/option]
[option]$y = -x + 2$[/option]
[option]$y = x - 2$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La droite coupe l'axe des ordonnées en $2$, donc $p = 2$.
Entre les points $(0~;~2)$ et $(1~;~3)$, on monte d'une unité quand on avance d'une unité, donc $m = 1$.
L'équation réduite est $y = x + 2$.[/reponse]
[reponse motif="$y = 2x + 1$"]Non.
Le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine ont été échangés. Le coefficient directeur, c'est la pente (variation de $y$ pour $1$ d'avancée en $x$), et $p$ se lit à l'intersection avec l'axe des ordonnées.[/reponse]
[reponse motif="$y = -x + 2$"]Non.
La droite monte de gauche à droite : son coefficient directeur est positif. Un signe « moins » devant $x$ correspondrait à une droite descendante.[/reponse]
[reponse motif="$y = x - 2$"]Non.
L'ordonnée à l'origine se lit à l'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées. Repérer ce point sur le graphique pour identifier le bon signe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lire l'ordonnée à l'origine $p$ (intersection avec l'axe des ordonnées) puis le coefficient directeur $m$ (variation de $y$ quand $x$ augmente de $1$). L'équation est $y = mx + p$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]

Quelle est l'équation réduite de la droite tracée ?
[qcm]
[option]$y = 2x - 1$[/option]
[option correct="true"]$y = -2x - 1$[/option]
[option]$y = -2x + 1$[/option]
[option]$y = -x - 2$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La droite coupe l'axe des ordonnées en $-1$, donc $p = -1$.
Entre $(0~;~-1)$ et $(1~;~-3)$, $y$ baisse de $2$ quand $x$ augmente de $1$, donc $m = -2$.
L'équation est $y = -2x - 1$.[/reponse]
[reponse motif="$y = 2x - 1$"]Non.
La droite descend de gauche à droite : son coefficient directeur est négatif. Vérifier le signe de la variation de $y$.[/reponse]
[reponse motif="$y = -2x + 1$"]Non.
La droite coupe l'axe des ordonnées sous l'origine, donc $p$ est négatif. Repérer précisément le point d'intersection avec l'axe des ordonnées.[/reponse]
[reponse motif="$y = -x - 2$"]Non.
Le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine ont été échangés. La pente est la variation de $y$ pour $1$ d'avancée en $x$, et $p$ est l'ordonnée à l'origine.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Repérer d'abord $p$ à l'intersection avec l'axe des ordonnées, puis calculer $m$ à partir de deux points en suivant le sens de la variation.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]

Quelle est l'équation de la droite tracée ?
[qcm]
[option]$y = 3$[/option]
[option correct="true"]$x = 3$[/option]
[option]$y = 3x$[/option]
[option]$x = -3$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La droite est verticale (parallèle à l'axe des ordonnées) et passe par tous les points d'abscisse $3$.
Son équation est $x = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$y = 3$"]Non.
Cette équation correspond à une droite horizontale passant par tous les points d'ordonnée $3$. Pour une droite verticale, l'équation porte sur $x$.[/reponse]
[reponse motif="$y = 3x$"]Non.
Cette équation correspond à une droite oblique passant par l'origine. La droite tracée est verticale : tous ses points ont la même abscisse.[/reponse]
[reponse motif="$x = -3$"]Non.
La droite coupe l'axe des abscisses du côté positif. Vérifier le signe de l'abscisse commune à tous les points de la droite.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une droite verticale a une équation de la forme $x = c$ où $c$ est l'abscisse commune à tous ses points.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]

Quelle est l'équation réduite de la droite tracée ?
[qcm]
[option]$y = -2x + 3$[/option]
[option]$y = \dfrac{1}{2}x + 3$[/option]
[option correct="true"]$y = -\dfrac{1}{2}x + 3$[/option]
[option]$y = -\dfrac{1}{2}x - 3$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La droite coupe l'axe des ordonnées en $3$, donc $p = 3$.
Entre $(0~;~3)$ et $(2~;~2)$, $y$ baisse de $1$ quand $x$ augmente de $2$, donc $m = \dfrac{-1}{2} = -\dfrac{1}{2}$.
L'équation est $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$.[/reponse]
[reponse motif="$y = -2x + 3$"]Non.
Le coefficient directeur a été inversé. Quand $x$ augmente de $2$, $y$ baisse de $1$ : la pente est donc $\dfrac{-1}{2}$ et non $\dfrac{-2}{1}$.[/reponse]
[reponse motif="$y = \dfrac{1}{2}x + 3$"]Non.
La droite descend de gauche à droite : son coefficient directeur est négatif. Le signe est manquant.[/reponse]
[reponse motif="$y = -\dfrac{1}{2}x - 3$"]Non.
La droite coupe l'axe des ordonnées au-dessus de l'origine, donc $p$ est positif. Vérifier le signe de l'ordonnée à l'origine.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lire $p$ à l'intersection avec l'axe des ordonnées, puis calculer le coefficient directeur comme $m = \dfrac{\text{variation de } y}{\text{variation de } x}$ entre deux points lus sur la droite.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]

Quel est le coefficient directeur de la droite tracée ?
[qcm]
[option]$\dfrac{3}{2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{2}{3}$[/option]
[option]$-\dfrac{2}{3}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On lit deux points sur la droite : $(-1~;~0)$ et $(2~;~2)$.
Entre ces deux points, $y$ augmente de $2$ quand $x$ augmente de $3$, donc $m = \dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{2}$"]Non.
Le coefficient directeur a été inversé : c'est $\dfrac{\text{variation de } y}{\text{variation de } x}$ et non l'inverse. Vérifier l'ordre des termes dans la fraction.[/reponse]
[reponse motif="$-\dfrac{2}{3}$"]Non.
La droite monte de gauche à droite : son coefficient directeur est positif. Vérifier le sens de la variation de $y$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3}$"]Non.
La variation de $y$ a peut-être été mal lue. Reprendre deux points clairs de la droite et compter précisément les unités.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Repérer deux points dont les coordonnées sont entières, puis appliquer $m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]

Quelle est l'ordonnée à l'origine de la droite tracée ?
[qcm]
[option]$2$[/option]
[option]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[option correct="true"]$-2$[/option]
[option]$-3$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'ordonnée à l'origine est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées.
Ici, la droite coupe l'axe des ordonnées au point $(0~;~-2)$, donc $p = -2$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
La droite coupe l'axe des ordonnées sous l'origine, donc $p$ est négatif. Vérifier le signe de l'ordonnée du point d'intersection.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3}$"]Non.
Cette valeur est le coefficient directeur de la droite, pas son ordonnée à l'origine. L'ordonnée à l'origine se lit à l'intersection avec l'axe des ordonnées.[/reponse]
[reponse motif="$-3$"]Non.
Le point lu n'est pas le bon. L'ordonnée à l'origine se lit au point d'abscisse $0$, c'est-à-dire sur l'axe des ordonnées.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'ordonnée à l'origine $p$ est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées (axe vertical).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Alignement et équations de droites

[enonce]
On considère les points $A(-1\,;\,1)$, $B(2\,;\,3)$, $C(5\,;\,5)$ et $E(2\,;\,0)$ placés dans le repère orthonormé ci-dessous. Pour chaque affirmation suivante, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.

Points A(-1;1), B(2;3), C(5;5), E(2;0) dans un repère

[/enonce]

[etape]
Affirmation : Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On calcule $\overrightarrow{AB}(3\,;\,2)$ et $\overrightarrow{AC}(6\,;\,4)$. Le déterminant vaut $3 \times 4 - 2 \times 6 = 12 - 12 = 0$ : les vecteurs sont colinéaires, donc les trois points sont alignés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Méthode : trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires (déterminant nul).
$\overrightarrow{AB}(3\,;\,2)$, $\overrightarrow{AC}(6\,;\,4)$ et $\det(\overrightarrow{AB}\,;\,\overrightarrow{AC}) = 3 \times 4 - 2 \times 6 = 0$ : $A$, $B$, $C$ sont alignés.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Le déterminant de $\overrightarrow{AB}(3\,;\,2)$ et $\overrightarrow{AC}(6\,;\,4)$ vaut $0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Les points $A$, $B$ et $E$ sont alignés.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
$\overrightarrow{AB}(3\,;\,2)$ et $\overrightarrow{AE}(3\,;\,-1)$. Le déterminant vaut $3 \times (-1) - 2 \times 3 = -3 - 6 = -9 \neq 0$. Les vecteurs ne sont pas colinéaires, les points ne sont pas alignés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'alignement se vérifie par le calcul du déterminant, pas par l'impression visuelle.
$\overrightarrow{AE}(3\,;\,-1)$ tandis que $\overrightarrow{AB}(3\,;\,2)$ : $\det = 3 \times (-1) - 2 \times 3 = -9 \neq 0$. Le point $E$ n'est pas sur la droite $(AB)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le déterminant de $\overrightarrow{AB}(3\,;\,2)$ et $\overrightarrow{AE}(3\,;\,-1)$ vaut $-9$, non nul.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est $2x - 3y + 5 = 0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On vérifie avec les deux points. Pour $A(-1\,;\,1)$ : $2 \times (-1) - 3 \times 1 + 5 = -2 - 3 + 5 = 0$. Pour $B(2\,;\,3)$ : $2 \times 2 - 3 \times 3 + 5 = 4 - 9 + 5 = 0$. L'équation convient.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour vérifier une équation cartésienne, on teste les coordonnées des deux points de la droite.
Avec $A(-1\,;\,1)$ : $-2 - 3 + 5 = 0$. Avec $B(2\,;\,3)$ : $4 - 9 + 5 = 0$. Les deux points vérifient l'équation.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Les points $A(-1\,;\,1)$ et $B(2\,;\,3)$ vérifient $2x - 3y + 5 = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un vecteur directeur de la droite $(AB)$ est $\vec{u}\,(-3\,;\,2)$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\overrightarrow{AB}(3\,;\,2)$ est un vecteur directeur de $(AB)$. Pour que $\vec{u}(-3\,;\,2)$ en soit aussi un, il faudrait qu'il soit colinéaire à $\overrightarrow{AB}$. Or $\det(\vec{u}\,;\,\overrightarrow{AB}) = -3 \times 2 - 2 \times 3 = -12 \neq 0$ : pas colinéaires.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de croire qu'on peut changer un seul signe dans un vecteur directeur : il faut que les deux composantes changent de signe simultanément pour obtenir un vecteur colinéaire.
$(-3\,;\,2)$ et $(3\,;\,2)$ ont un déterminant de $-12 \neq 0$, donc ne sont pas colinéaires. Un vecteur opposé acceptable serait $(-3\,;\,-2)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $(-3\,;\,2)$ n'est pas colinéaire à $\overrightarrow{AB}(3\,;\,2)$ (déterminant $-12$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La droite $(BE)$ a pour équation $y = 2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$B(2\,;\,3)$ et $E(2\,;\,0)$ ont la même abscisse $x = 2$. La droite $(BE)$ est donc verticale, d'équation $x = 2$. L'équation $y = 2$ représente au contraire une droite horizontale.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre $x = 2$ (droite verticale) et $y = 2$ (droite horizontale). Quand deux points ont la même abscisse, la droite est verticale.
$B$ et $E$ ont même abscisse $2$ : la droite $(BE)$ est verticale, son équation est $x = 2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $B$ et $E$ ont même abscisse, donc $(BE)$ a pour équation $x = 2$, pas $y = 2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La droite $(AC)$ admet comme équation réduite $y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{5}{3}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Puisque $A$, $B$, $C$ sont alignés, $(AC) = (AB)$. Le coefficient directeur est $m = \dfrac{5 - 1}{5 - (-1)} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$. Avec $A(-1\,;\,1)$ : $1 = \dfrac{2}{3} \times (-1) + p$, d'où $p = 1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Comme $A$, $B$, $C$ sont alignés, $(AC)$ et $(AB)$ sont la même droite. Il reste à calculer coefficient directeur et ordonnée à l'origine.
$m = \dfrac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ ; avec $A(-1\,;\,1)$ on obtient $p = \dfrac{5}{3}$. Donc $y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{5}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $(AC) = (AB)$ car $A$, $B$, $C$ sont alignés, et $y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{5}{3}$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Lecture graphique d’une droite

[enonce]
On considère la droite $d$ tracée ci-dessous dans un repère orthonormé. Pour chaque affirmation suivante, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.

Droite d passant par (0;2) et (2;0) dans un repère

[/enonce]

[etape]
Affirmation : Le coefficient directeur de la droite $d$ est égal à $1$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La droite $d$ descend de gauche à droite : son coefficient directeur est négatif. Entre les points $(0\,;\,2)$ et $(2\,;\,0)$, on descend de $2$ unités en avançant de $2$ unités, donc $m = \dfrac{0-2}{2-0} = -1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est d'oublier le signe : quand une droite descend de gauche à droite, son coefficient directeur est négatif.
En calculant avec les points $(0\,;\,2)$ et $(2\,;\,0)$ : $m = \dfrac{0-2}{2-0} = -1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La droite descend : son coefficient directeur est $m = -1$, pas $1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'ordonnée à l'origine de la droite $d$ est égale à $2$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'ordonnée à l'origine est l'ordonnée du point d'intersection de $d$ avec l'axe des ordonnées. Graphiquement, $d$ coupe l'axe $(Oy)$ en $(0\,;\,2)$, donc $p = 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas confondre l'ordonnée à l'origine (lecture sur l'axe $(Oy)$) avec l'abscisse du point d'intersection avec l'axe $(Ox)$.
Le point d'intersection de $d$ avec $(Oy)$ a pour coordonnées $(0\,;\,2)$ : c'est l'ordonnée de ce point qui donne $p = 2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La droite coupe l'axe des ordonnées au point $(0\,;\,2)$, donc $p = 2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le point $A(3\,;\,-1)$ appartient à la droite $d$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'équation réduite de $d$ est $y = -x + 2$. En remplaçant $x$ par $3$ : $-3 + 2 = -1$, ce qui est bien l'ordonnée de $A$. Le point $A$ est donc sur la droite.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : un point appartient à la droite si ses coordonnées vérifient l'équation réduite.
Avec $y = -x + 2$, pour $x = 3$ on obtient $y = -3 + 2 = -1$, ce qui correspond bien à $A(3\,;\,-1)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec $y = -x + 2$, on obtient $y = -1$ pour $x = 3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le point $B(-1\,;\,1)$ appartient à la droite $d$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Avec l'équation $y = -x + 2$, pour $x = -1$ on obtient $y = -(-1) + 2 = 1 + 2 = 3$, pas $1$. Donc $B(-1\,;\,1)$ n'est pas sur la droite.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au calcul avec $-(-1)$ : beaucoup d'élèves écrivent $-1 + 2 = 1$ en oubliant le double signe moins.
Le calcul correct donne $y = -(-1) + 2 = 3$, donc le point de la droite d'abscisse $-1$ est $(-1\,;\,3)$, pas $(-1\,;\,1)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Pour $x = -1$, l'équation $y = -x + 2$ donne $y = 3$, pas $1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La droite $d$ est parallèle à la droite d'équation $y = x + 5$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur. Or $d$ a pour coefficient directeur $-1$ et la droite $y = x + 5$ a pour coefficient directeur $1$. Les coefficients sont opposés, pas égaux, donc les droites sont sécantes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « coefficients opposés » et « coefficients égaux » : le parallélisme exige l'égalité stricte, pas seulement une ressemblance.
Les coefficients directeurs sont $-1$ et $1$ : ils sont différents, donc les droites sont sécantes.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Les coefficients directeurs $-1$ et $1$ sont différents, donc les droites ne sont pas parallèles.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La droite $d$ a pour équation réduite $y = -x + 2$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le coefficient directeur est $m = -1$ et l'ordonnée à l'origine est $p = 2$. On reconstitue l'équation $y = mx + p$, soit $y = -x + 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La forme générale $y = mx + p$ s'obtient en remplaçant $m$ par le coefficient directeur lu sur le graphique et $p$ par l'ordonnée à l'origine.
Ici $m = -1$ et $p = 2$, donc $y = -1 \times x + 2 = -x + 2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec $m = -1$ et $p = 2$, l'équation réduite est $y = -x + 2$.
[/solution]
[/etape]

Intersection de droites et système d’équations

Un élève hésite entre deux plateformes de cours particuliers en ligne :

Plateforme A : $ 15 $ euros par heure, sans abonnement.
Plateforme B : un abonnement mensuel de $ 40 $ euros, puis $ 10 $ euros par heure.

On note $ x $ le nombre d'heures de cours dans le mois.

Exprimer le coût mensuel $ f(x) $ avec la plateforme A et le coût mensuel $ g(x) $ avec la plateforme B en fonction de $ x $.
Calculer le coût pour $ 5 $ heures de cours avec chaque plateforme. Laquelle est la plus avantageuse dans ce cas ?
Résoudre l'équation $ f(x) = g(x) $. Interpréter le résultat.
Pour quel nombre d'heures la plateforme B devient-elle plus avantageuse que la plateforme A ? Justifier.
Représenter graphiquement les droites $ (d_1) $ d'équation $ y = f(x) $ et $ (d_2) $ d'équation $ y = g(x) $ dans un repère orthogonal. Vérifier graphiquement les résultats précédents.

Corrigé

Avec la plateforme A, le coût est proportionnel au nombre d'heures :
$\mathbf{f(x) = 15x}$

Avec la plateforme B, le coût comprend l'abonnement fixe de $ 40 $ euros plus le tarif horaire :
$\mathbf{g(x) = 10x + 40}$
Pour $ 5 $ heures de cours :
$ f(5) = 15 \times 5 = 75 $ euros
$ g(5) = 10 \times 5 + 40 = 50 + 40 = 90 $ euros

Pour $ 5 $ heures, la plateforme A est plus avantageuse ($ 75 $ euros contre $ 90 $ euros).
On résout $ f(x) = g(x) $ :
$ 15x = 10x + 40 $
$ 15x - 10x = 40 $
$ 5x = 40 $
$ x = 8 $

Pour $ x = 8 $ heures, les deux plateformes coûtent le même prix :
$ f(8) = 15 \times 8 = 120 $ euros et $ g(8) = 10 \times 8 + 40 = 120 $ euros.

Les deux tarifs sont égaux pour $ 8 $ heures de cours, soit un coût de $ 120 $ euros.
La plateforme B est plus avantageuse lorsque $ g(x) < f(x) $, c'est-à-dire :
$ 10x + 40 < 15x $
$ 40 < 5x $
$ x > 8 $

La plateforme B devient plus avantageuse à partir de $ 9 $ heures de cours par mois.
Les fonctions $ f $ et $ g $ sont des fonctions affines. Leurs représentations graphiques sont des droites.
$ (d_1) $ : $ y = 15x $ passe par l'origine avec un coefficient directeur de $ 15 $.
$ (d_2) $ : $ y = 10x + 40 $ a un coefficient directeur de $ 10 $ et une ordonnée à l'origine de $ 40 $.

Les deux droites se coupent au point $ (8~;~120) $.

On retrouve bien graphiquement que les droites se coupent au point $ (8~;~120) $. Pour $ x < 8 $, la droite $ (d_1) $ est en dessous de $ (d_2) $ : la plateforme A est moins chère. Pour $ x > 8 $, c'est la droite $ (d_2) $ qui est en dessous : la plateforme B est plus avantageuse.

Équation de droite et alignement de trois points

Le plan est muni d'un repère orthonormé $ (O~;~\vec{i},~\vec{j}) $. On considère les points $ A(-3~;~1) $, $ B(3~;~5) $, $ C(12~;~11) $ et $ D(6~;~8) $.

Déterminer l'équation réduite de la droite $ (AB) $.
Le point $ C $ appartient-il à la droite $ (AB) $ ? En déduire que les points $ A $, $ B $ et $ C $ sont alignés.
Vérifier ce résultat à l'aide du déterminant des vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $.
Le point $ D $ est-il aligné avec $ A $ et $ B $ ? Justifier.
Déterminer une équation cartésienne de la droite $ (AB) $.

Corrigé

Le coefficient directeur de la droite $ (AB) $ est :
$ m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{5 - 1}{3 - (-3)} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} $

L'équation réduite est de la forme $ y = \dfrac{2}{3}x + p $.
Le point $ A(-3~;~1) $ appartient à $ (AB) $ :
$ 1 = \dfrac{2}{3} \times (-3) + p = -2 + p $
$ p = 3 $

L'équation réduite de la droite $ (AB) $ est $\mathbf{y = \dfrac{2}{3}x + 3}$.
On vérifie si les coordonnées de $ C(12~;~11) $ satisfont l'équation :
$ \dfrac{2}{3} \times 12 + 3 = 8 + 3 = 11 $

On obtient bien $ y_C = 11 $, donc $ C $ appartient à la droite $ (AB) $.

Puisque $ A $, $ B $ et $ C $ appartiennent tous les trois à la même droite, les points $ A $, $ B $ et $ C $ sont alignés.
Calculons les coordonnées des vecteurs :
$ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 - (-3) \\ 5 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} $

$ \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 12 - (-3) \\ 11 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ 10 \end{pmatrix} $

Le déterminant vaut :
$ \det(\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AC}) = 6 \times 10 - 4 \times 15 = 60 - 60 = 0 $

Le déterminant est nul, donc $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $ sont colinéaires. Cela confirme que les points $ A $, $ B $ et $ C $ sont alignés.
On vérifie si les coordonnées de $ D(6~;~8) $ satisfont l'équation $ y = \dfrac{2}{3}x + 3 $ :
$ \dfrac{2}{3} \times 6 + 3 = 4 + 3 = 7 $

On obtient $ 7 \neq 8 $, donc $ D $ n'appartient pas à la droite $ (AB) $. Le point $ D $ n'est pas aligné avec $ A $ et $ B $.
On utilise la condition de colinéarité : $ \det(\overrightarrow{AM},~\overrightarrow{AB}) = 0 $ avec $ M(x~;~y) $.
$ \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x + 3 \\ y - 1 \end{pmatrix} $ et $ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} $

$ (x + 3) \times 4 - (y - 1) \times 6 = 0 $
$ 4x + 12 - 6y + 6 = 0 $
$ 4x - 6y + 18 = 0 $

En divisant par $ 2 $ :

Une équation cartésienne de la droite $ (AB) $ est $\mathbf{2x - 3y + 9 = 0}$.

Pour réviser : Déterminer une équation cartésienne d'une droite

Équation cartésienne et vecteur directeur

Le plan est muni d'un repère orthonormé $ (O~;~\vec{i},~\vec{j}) $. On considère les points $ A(-1~;~2) $ et $ B(3~;~-2) $.

Calculer les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AB} $.
Déterminer une équation cartésienne de la droite $ (AB) $ en utilisant la colinéarité des vecteurs $ \overrightarrow{AM} $ et $ \overrightarrow{AB} $.
En déduire l'équation réduite de la droite $ (AB) $.
Le point $ C(5~;~-4) $ appartient-il à la droite $ (AB) $ ? Justifier.
Donner un vecteur directeur de la droite $ (AB) $ à partir de son équation cartésienne. Vérifier qu'il est colinéaire à $ \overrightarrow{AB} $.

Corrigé

Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AB} $ sont :
$ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - (-1) \\ -2 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \end{pmatrix} $

Le vecteur $ \overrightarrow{AB} $ a pour coordonnées $\mathbf{(4~;~-4)}$.
Soit $ M(x~;~y) $ un point quelconque du plan. Le point $ M $ appartient à la droite $ (AB) $ si et seulement si les vecteurs $ \overrightarrow{AM} $ et $ \overrightarrow{AB} $ sont colinéaires.

Les coordonnées de $ \overrightarrow{AM} $ sont :
$ \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x - (-1) \\ y - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + 1 \\ y - 2 \end{pmatrix} $

La condition de colinéarité s'écrit : $ \det(\overrightarrow{AM},~\overrightarrow{AB}) = 0 $, soit :
$ (x + 1) \times (-4) - (y - 2) \times 4 = 0 $
$ -4x - 4 - 4y + 8 = 0 $
$ -4x - 4y + 4 = 0 $

En divisant par $ -4 $ :

Une équation cartésienne de la droite $ (AB) $ est $\mathbf{x + y - 1 = 0}$.
On isole $ y $ dans l'équation cartésienne :
$ x + y - 1 = 0 $
$ y = -x + 1 $

L'équation réduite de la droite $ (AB) $ est $\mathbf{y = -x + 1}$.
Le coefficient directeur est $ m = -1 $ et l'ordonnée à l'origine est $ p = 1 $.
On vérifie si les coordonnées de $ C(5~;~-4) $ satisfont l'équation $ x + y - 1 = 0 $ :
$ 5 + (-4) - 1 = 0 $

L'égalité est vérifiée, donc le point $ C $ appartient à la droite $ (AB) $.
L'équation cartésienne est de la forme $ ax + by + c = 0 $ avec $ a = 1 $ et $ b = 1 $. Un vecteur directeur de la droite est $ \vec{u}(-b~;~a) = \vec{u}(-1~;~1) $.

Vérifions que $ \vec{u}(-1~;~1) $ est colinéaire à $ \overrightarrow{AB}(4~;~-4) $ :
$ \det(\vec{u},~\overrightarrow{AB}) = (-1) \times (-4) - 1 \times 4 = 4 - 4 = 0 $

Le déterminant est nul, donc $ \vec{u} $ et $ \overrightarrow{AB} $ sont bien colinéaires. On peut d'ailleurs vérifier que $ \overrightarrow{AB} = -4\vec{u} $.

Pour réviser : Déterminer une équation cartésienne d'une droite

Équation réduite à partir de deux points

Le plan est muni d'un repère orthonormé $ (O~;~\vec{i},~\vec{j}) $. On considère les points $ A(1~;~-1) $ et $ B(4~;~5) $.

Calculer le coefficient directeur de la droite $ (AB) $.
En déduire l'équation réduite de la droite $ (AB) $.
Le point $ C(7~;~11) $ appartient-il à la droite $ (AB) $ ? Justifier.
Le point $ D(0~;~-4) $ appartient-il à la droite $ (AB) $ ? Justifier.

Corrigé

Le coefficient directeur de la droite $ (AB) $ est :

$ m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{5 - (-1)}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} $

Le coefficient directeur vaut $\mathbf{m = 2}$.
L'équation réduite de $ (AB) $ est de la forme $ y = 2x + p $.

Le point $ A(1~;~-1) $ appartient à la droite $ (AB) $, donc ses coordonnées vérifient l'équation :
$ -1 = 2 \times 1 + p $
$ -1 = 2 + p $
$ p = -3 $

L'équation réduite de la droite $ (AB) $ est $\mathbf{y = 2x - 3}$.
On vérifie si les coordonnées de $ C(7~;~11) $ satisfont l'équation $ y = 2x - 3 $ :
$ 2 \times 7 - 3 = 14 - 3 = 11 $

On obtient bien $ y_C = 11 $, donc le point $ C $ appartient à la droite $ (AB) $.
On vérifie si les coordonnées de $ D(0~;~-4) $ satisfont l'équation $ y = 2x - 3 $ :
$ 2 \times 0 - 3 = -3 $

On obtient $ -3 \neq -4 $, donc le point $ D $ n'appartient pas à la droite $ (AB) $.

Pour réviser : Déterminer l'équation réduite d'une droite