[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{x^2+1}{2}$.

Affirmation : Pour tout réel $x$, $f'(x) = x$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On réécrit $f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{2}$, donc pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
$f'(x) = \dfrac{1}{2} \times 2x = x.$[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de dériver directement $\dfrac{x^2+1}{2}$ comme si c'était un quotient, en appliquant la règle du quotient à tort. Il suffit de factoriser $\dfrac{1}{2}$ devant pour obtenir $f'(x) = \dfrac{1}{2} \times 2x = x$.
On réécrit $f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{2}$, donc $f'(x) = \dfrac{1}{2} \times 2x = x$. L'affirmation est bien vraie.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. En réécrivant $f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{2}$, on dérive terme à terme : $f'(x) = \dfrac{1}{2} \times 2x = x$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = x^3 + 2x^2 + x + \sqrt{2}$ et $g(x) = x^3 + 2x^2 + x - \sqrt{2}$.

Affirmation : Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f'(x) = g'(x)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La constante $\sqrt{2}$ disparaît lors de la dérivation. On obtient :
$f'(x) = 3x^2 + 4x + 1$ et $g'(x) = 3x^2 + 4x + 1.$[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de penser que $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$ contribuent différemment à la dérivée. Or, toute constante a une dérivée nulle, qu'elle soit $+\sqrt{2}$ ou $-\sqrt{2}$.
La constante $\sqrt{2}$ disparaît lors de la dérivation. On obtient bien $f'(x) = g'(x) = 3x^2 + 4x + 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les deux fonctions ne diffèrent que par leur constante, qui s'annule à la dérivation. On obtient $f'(x) = g'(x) = 3x^2 + 4x + 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3x^4 - 4x^3 + 1$.

Affirmation : $f'(1) = 1$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour tout réel $x$ : $f'(x) = 12x^3 - 12x^2$.
Donc $f'(1) = 12 - 12 = 0 \neq 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de calculer $f'(1)$ en remplaçant $x$ par $1$ dans $f(x)$ plutôt que dans $f'(x)$, ce qui donnerait $3 - 4 + 1 = 0$ — ou d'oublier de dériver avant d'évaluer.
On calcule $f'(x) = 12x^3 - 12x^2$, donc $f'(1) = 12 - 12 = 0$, pas $1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. On calcule $f'(x) = 12x^3 - 12x^2$, donc $f'(1) = 12 - 12 = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
La fonction $h$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = x^3 - 3x^2 + 1$.
On note $\mathscr{T}$ la tangente à la courbe représentative de $h$ au point de coordonnées $(0~;~1)$.

Affirmation : L'équation de la droite $\mathscr{T}$ est $y = 1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'équation de la tangente au point d'abscisse $0$ est $y = h'(0)(x - 0) + h(0)$.
Or $h'(x) = 3x^2 - 6x$, donc $h'(0) = 0$ et $h(0) = 1$.
L'équation est bien $y = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de confondre $h'(0)$ avec la valeur de la fonction en $0$, et de penser que la tangente a une pente non nulle. Ici $h'(0) = 0$, donc la tangente est horizontale.
On calcule $h'(x) = 3x^2 - 6x$, donc $h'(0) = 0$ et $h(0) = 1$.
La tangente a pour équation $y = 0 \cdot x + 1 = 1$. L'affirmation est vraie.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On calcule $h'(0) = 0$ et $h(0) = 1$, donc l'équation de la tangente est $y = 0 \cdot x + 1 = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $m$ un nombre réel et $f$ la fonction polynôme définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + mx + 1$.
On note $(T)$ la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$.

Affirmation : La droite $(T)$ est parallèle à l'axe des abscisses si et seulement si $m = -2$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour tout réel $x$ : $f'(x) = 2x + m$, donc $f'(1) = 2 + m$.
La tangente $(T)$ est parallèle à l'axe des abscisses si et seulement si $f'(1) = 0$, c'est-à-dire $m = -2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de chercher quand $f(1) = 0$ (annulation de la fonction) au lieu de chercher quand $f'(1) = 0$ (annulation de la dérivée, condition de tangente horizontale).
On calcule $f'(x) = 2x + m$, donc $f'(1) = 2 + m$. La tangente est horizontale ssi $f'(1) = 0$, soit $m = -2$. L'affirmation est vraie.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $f'(x) = 2x + m$, donc $f'(1) = 2 + m = 0$ si et seulement si $m = -2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 4x^4 + 3x^3 + 2x^2 + x + 1$.

Affirmation : Pour tout réel $x$, $f'(x) = 16x^4 + 9x^3 + 4x^2 + x + 1$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La dérivation diminue les degrés de $1$ et la constante $1$ disparaît :
$f'(x) = 16x^3 + 9x^2 + 4x + 1.$[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de multiplier le coefficient par l'exposant sans diminuer le degré : on écrit $16x^4$ au lieu de $16x^3$. La dérivée de $ax^n$ est $nax^{n-1}$, l'exposant diminue de $1$.
La dérivation diminue les degrés de $1$ (on ne multiplie pas les exposants sans les réduire) et la constante disparaît. La bonne réponse est $f'(x) = 16x^3 + 9x^2 + 4x + 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. En dérivant terme à terme, les degrés diminuent de $1$ et la constante disparaît : $f'(x) = 16x^3 + 9x^2 + 4x + 1$.
[/solution]
[/etape]

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $ \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) $.

$ P $ est la parabole d'équation $ y=x^{2} $

$ D_{m} $ est la droite d'équation $ 8mx - 4y+1=0 $ où $ m\in \mathbb{R} $

1. Montrer que pour tout $ m\in \mathbb{R} $, $ P $ et $ D_{m} $ se coupent en deux points distincts $ A_{m} $ et $ B_{m} $.
2. 1. Calculer les coordonnées du point d'intersection $ I_{m} $ des tangentes à la courbe $ P $ aux points $ A_{m} $ et $ B_{m} $.
   2. Quel est l'ensemble des points $ I_{m} $ lorsque $ m $ décrit $ \mathbb{R} $ ?

Soient $ C_{f} $ la courbe représentant la fonction définie par $ f\left(x\right)=x^{2} - 4x+3 $

et $ C_{g} $ la courbe représentant la fonction définie par $ g\left(x\right)= - x^{2}+2x - 3 $

Démontrer que $ C_{f} $ et $ C_{g} $ ont deux tangentes communes.

Pour les besoins d'un centre de loisirs, un architecte élabore les plans d'une future piscine carrelée.

Le graphique ci-dessous présente le contour de cette piscine dans un repère orthonormé $ (O,I,J) $ d'unité 1 mètre.

$ C_1 $ est un demi-cercle de centre $ O $ et de rayon $ 8 $ ;

$ C_2 $ est un demi-cercle de centre $ P(12 ; 0) $ et de rayon $ 6 $. Les courbes $ F_1 $ et $ F_2 $ relient ces deux demi-cercles.

Le contour de la piscine est symétrique par rapport à l'axe des abscisses. On suppose, par ailleurs, que les tangentes à la courbe $ F_1 $ aux points $ M(0;8) $ et $ N(12;6) $ sont parallèles à l'axe des abscisses.

Partie 1

1. La courbe $ F_1 $ est la représentation graphique d'une fonction $ f $ définie sur $ [0;12] $.
   
   Quelles sont les valeurs de $ f(0) $, $ f(12) $ , $ f^{\prime}(0) $, $ f^{\prime}(12) $ ?
2. $ f $ est définie sur $ [0;12] $ par $ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d $.
   
   Déduire de la question précédente un système de quatre équations à quatre inconnues vérifié par $ (a;b;c;d) $.
3. En déduire les valeurs de $ a, b, c $ et $ d $.

Partie 2

Dans la suite du problème on suppose que $ f $ est définie sur $ [0;12] $ par $ f(x)=\dfrac{1}{432}x^3 - \dfrac{1}{24}x^2+8 $.

1. Montrer que le milieu $ I $ de $ [MN] $ appartient à la courbe $ F_1 $
2. Donner une équation de la tangente $ (T) $ à la courbe $ F_1 $ au point $ I $.

Partie 3

1. Dans le but de carreler le fond de la piscine, l'architecte cherche à estimer l'aire $ \mathscr A $ de la surface située à l'intérieur de ce contour.
   
   On admet que l'aire de la surface délimitée par la courbe $ F_1 $ et les segments $ [OM], [OP], [PN] $ est égale à l'aire du trapèze $ OMNP $.
   
   Calculer l'aire $ \mathscr A $ en $ \text{m}^2 $ (on arrondira au $ \text{m}^2 $ près).
2. La profondeur de la piscine sera constante et égale à $ 1,5\text{m} $.
   
   Quel sera, en $ \text{m}^3 $, le volume d'eau de la piscine ?