Calculer des longueurs avec Pythagore

[enonce]
$ ABCD $ est un rectangle tel que $ AB = 8 $ cm et $ BC = 6 $ cm.
Le point $ M $ est le milieu du segment $ [BC] $ et le point $ N $ est le milieu du segment $ [DC] $.

Rectangle ABCD avec AB = 8 cm, BC = 6 cm, M milieu de [BC] et N milieu de [DC]

Le triangle $ AMN $ est-il rectangle ?
[/enonce]

[etape]
Calculer $ AM $ (valeur exacte) : [[am]]

[math id="am" attendu="\sqrt{73}"][/math]

[reponse statut="correct"]
Bravo ! Dans le triangle $ ABM $ rectangle en $ B $ :
$ AM^{2} = AB^{2} + BM^{2} = 8^{2} + 3^{2} = 64 + 9 = 73 $
Donc $ AM = \sqrt{73} $ cm.
[/reponse]

[reponse motif="73"]
Tu as bien calculé $ AM^{2} $, mais on demande $ AM $.
Il te reste une dernière étape : prendre la racine carrée.
[/reponse]

[reponse motif="11"]
Tu as additionné les longueurs au lieu de calculer les carrés.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Repère un triangle rectangle dont $ [AM] $ est l'hypoténuse, puis applique le théorème de Pythagore.
[/reponse]

[aide essai="2"]
$ M $ est le milieu de $ [BC] $, donc $ BM = 3 $ cm.
Le triangle $ ABM $ est rectangle en $ B $.
[/aide]

[aide essai="3"]
$ AM^{2} = AB^{2} + BM^{2} = 8^{2} + 3^{2} = 64 + 9 = \ldots $
[/aide]

[solution]
$ AM = \sqrt{8^{2} + 3^{2}} = \sqrt{73} $ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer $ AN $ (valeur exacte) : [[an]]

[math id="an" attendu="2\sqrt{13}"][/math]

[reponse statut="correct"]
Exact ! Dans le triangle $ ADN $ rectangle en $ D $ :
$ AN^{2} = AD^{2} + DN^{2} = 6^{2} + 4^{2} = 36 + 16 = 52 $
Donc $ AN = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} $ cm.
[/reponse]

[reponse motif="\sqrt{52}"]
Ta valeur est juste, mais on attend la forme simplifiée.
Cherche un carré parfait qui divise $ 52 $ pour faire sortir un facteur de la racine.
[/reponse]

[reponse motif="52"]
Tu as bien calculé $ AN^{2} $, mais on demande $ AN $.
Il reste à prendre la racine carrée, puis à la simplifier.
[/reponse]

[reponse motif="10"]
Tu as additionné les longueurs au lieu de calculer les carrés.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Repère un triangle rectangle dont $ [AN] $ est l'hypoténuse.
[/reponse]

[aide essai="2"]
$ N $ est le milieu de $ [DC] $, donc $ DN = 4 $ cm (car $ DC = AB = 8 $ cm).
Le triangle $ ADN $ est rectangle en $ D $.
[/aide]

[aide essai="3"]
$ AN^{2} = AD^{2} + DN^{2} = 6^{2} + 4^{2} = 36 + 16 = \ldots $
[/aide]

[solution]
$ AN = \sqrt{6^{2} + 4^{2}} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} $ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer $ MN $ (valeur exacte) : [[mn]]

[math id="mn" attendu="5"][/math]

[reponse statut="correct"]
Bravo ! Dans le triangle $ MCN $ rectangle en $ C $ :
$ MN^{2} = MC^{2} + CN^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 $
Donc $ MN = 5 $ cm.
[/reponse]

[reponse motif="25"]
Tu as bien calculé $ MN^{2} $, mais on demande $ MN $.
Il te reste à prendre la racine carrée (ici, $ 25 $ est un carré parfait).
[/reponse]

[reponse motif="7"]
Tu as additionné les longueurs au lieu de calculer les carrés.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Repère un triangle rectangle dont $ [MN] $ est l'hypoténuse.
[/reponse]

[aide essai="2"]
$ MC = BC - BM = 6 - 3 = 3 $ cm et $ CN = DC - DN = 8 - 4 = 4 $ cm.
Le triangle $ MCN $ est rectangle en $ C $.
[/aide]

[aide essai="3"]
$ MN^{2} = MC^{2} + CN^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = \ldots $
[/aide]

[solution]
$ MN = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5 $ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Le triangle $ AMN $ est-il rectangle ?

[qcm]
[option]Oui[/option]
[option correct="true"]Non[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact. Le plus grand côté est $ [AM] $ (car $ AM^{2} = 73 $ est le plus grand carré).
$ AN^{2} + MN^{2} = 52 + 25 = 77 \neq 73 = AM^{2} $.
La réciproque du théorème de Pythagore ne s'applique pas : le triangle $ AMN $ n'est pas rectangle.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Le triangle $ AMN $ n'est pas rectangle.
Pour le vérifier, il faut appliquer la réciproque du théorème de Pythagore : comparer la somme des carrés des deux plus petits côtés avec le carré du plus grand.
$ AN^{2} + MN^{2} = 52 + 25 = 77 $ et $ AM^{2} = 73 $.
Comme $ 77 \neq 73 $, le triangle n'est pas rectangle.
[/reponse]

[aide essai="2"]
Quelle propriété du cours permet de vérifier si un triangle est rectangle quand on connait ses trois côtés ?
[/aide]

[solution]
$ AN^{2} + MN^{2} = 52 + 25 = 77 \neq 73 = AM^{2} $ : le triangle $ AMN $ n'est pas rectangle.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux – Pythagore vocabulaire et propriétés

[enonce]
Pour chaque affirmation sur le théorème de Pythagore, indique si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté le plus court.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact, cette affirmation est fausse.
L'hypoténuse est le côté le plus long du triangle rectangle, situé en face de l'angle droit.
Par exemple, dans un triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5, l'hypoténuse mesure 5 : c'est bien le plus grand côté.
Retiens que l'hypoténuse est toujours opposée à l'angle droit, et que c'est elle qui apparaît seule dans l'égalité de Pythagore.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Non, cette affirmation est fausse.
L'hypoténuse n'est pas le côté le plus court, c'est au contraire le côté le plus long du triangle rectangle.
Elle est toujours située en face de l'angle droit.
Par exemple, dans un triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5, l'hypoténuse est le côté qui mesure 5.
[/reponse]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'hypoténuse est le côté le plus long, opposé à l'angle droit.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le théorème de Pythagore s'applique uniquement dans les triangles rectangles.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact, cette affirmation est vraie.
Le théorème de Pythagore est une propriété exclusive des triangles rectangles.
C'est la présence de l'angle droit qui garantit la relation $ a^{2} + b^{2} = c^{2} $ entre les côtés.
Dans un triangle quelconque (sans angle droit), cette égalité n'est pas vérifiée.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Non, cette affirmation est vraie.
Le théorème de Pythagore ne fonctionne que dans les triangles rectangles.
C'est la condition indispensable : sans angle droit, la relation $ a^{2} + b^{2} = c^{2} $ n'est pas vérifiée.
Par exemple, dans un triangle équilatéral de côté 4, on a $ 4^{2} + 4^{2} = 32 $ mais $ 4^{2} = 16 $, donc l'égalité de Pythagore ne fonctionne pas.
[/reponse]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le théorème de Pythagore ne s'applique que dans les triangles rectangles.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $ ABC $ est un triangle rectangle en $ B $, alors $ AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} $.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact, cette affirmation est fausse.
Si le triangle est rectangle en $ B $, c'est $ B $ qui porte l'angle droit.
L'hypoténuse est donc $ [AC] $, le côté opposé à l'angle droit.
L'égalité correcte est $ AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} $.
L'affirmation proposait $ AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} $, ce qui placerait $ [AB] $ comme hypoténuse, or ce n'est pas le cas ici.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Non, cette affirmation est fausse.
L'astuce est de toujours repérer l'angle droit en premier : ici, il est en $ B $.
L'hypoténuse est donc $ [AC] $, le côté opposé à l'angle droit.
C'est le carré de l'hypoténuse qui est seul d'un côté de l'égalité : $ AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} $.
L'affirmation inversait les rôles en mettant $ AB^{2} $ seul, ce qui est incorrect.
[/reponse]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'hypoténuse est $ [AC] $, donc $ AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} $.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $ \sqrt{9 + 16} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 $.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact, cette affirmation est fausse.
Il faut d'abord additionner sous la racine : $ \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $.
Le calcul $ \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 $ est faux car on n'a pas le droit de séparer une racine carrée sur une somme.
C'est un piège très fréquent quand on applique le théorème de Pythagore pour calculer une longueur.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Non, cette affirmation est fausse.
Attention, c'est un piège classique : on ne peut pas écrire $ \sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $.
Le calcul correct est $ \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $.
Le résultat 7 est obtenu en séparant la racine, ce qui n'est pas une opération valide.
Retiens cette règle : on additionne d'abord, puis on prend la racine du résultat.
[/reponse]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $ \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $. On ne peut pas séparer la racine d'une somme.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un triangle dont les côtés mesurent 5, 12 et 13 est rectangle.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact, cette affirmation est vraie.
On identifie le plus grand côté : 13.
On calcule : $ 13^{2} = 169 $ et $ 5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169 $.
L'égalité est vérifiée, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle.
L'angle droit est opposé au côté le plus long, c'est-à-dire au côté de longueur 13.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Non, cette affirmation est vraie.
Pour vérifier, on compare le carré du plus grand côté avec la somme des carrés des deux autres.
On calcule : $ 13^{2} = 169 $ et $ 5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169 $.
Les deux résultats sont égaux, donc la réciproque du théorème de Pythagore s'applique : ce triangle est bien rectangle.
[/reponse]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $ 13^{2} = 5^{2} + 12^{2} = 169 $, donc le triangle est rectangle.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $ EFG $ est un triangle rectangle en $ F $ avec $ EF = 3 $ et $ FG = 4 $, alors $ EG = 7 $.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact, cette affirmation est fausse.
On ne peut pas simplement additionner les deux côtés pour trouver l'hypoténuse.
Il faut appliquer le théorème de Pythagore : $ EG^{2} = EF^{2} + FG^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 $.
Donc $ EG = \sqrt{25} = 5 $, et non pas $ 3 + 4 = 7 $.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur est d'additionner directement les longueurs : $ 3 + 4 = 7 $.
Dans un triangle rectangle, on utilise le théorème de Pythagore pour calculer l'hypoténuse.
Le calcul correct est $ EG^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 $, donc $ EG = 5 $.
Ce sont les carrés des longueurs qu'on additionne, pas les longueurs elles-memes.
[/reponse]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $ EG = \sqrt{9 + 16} = 5 $, pas $ 3 + 4 = 7 $.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux – Réciproque et contraposée

[enonce]
Pour chaque affirmation sur la réciproque du théorème de Pythagore, indique si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pour utiliser la réciproque du théorème de Pythagore, il faut connaitre les longueurs des trois côtés du triangle.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact, cette affirmation est vraie.
La réciproque du théorème de Pythagore s'énonce ainsi : si dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors ce triangle est rectangle.
Pour vérifier cette égalité, il faut donc connaitre les longueurs des trois côtés.
Par exemple, pour un triangle de côtés 3, 4 et 5, on calcule $ 5^{2} = 25 $ et $ 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 $, ce qui nécessite bien les trois valeurs.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Non, cette affirmation est vraie.
La réciproque du théorème de Pythagore demande de comparer le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres côtés.
Il faut donc calculer deux expressions : $ c^{2} $ d'un côté, et $ a^{2} + b^{2} $ de l'autre.
Sans connaitre les trois longueurs, il est impossible de réaliser cette comparaison.
[/reponse]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Il faut connaitre les trois côtés pour appliquer la réciproque.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $ AB^{2} + BC^{2} \neq AC^{2} $, alors le triangle $ ABC $ n'est pas rectangle.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact, cette affirmation est fausse.
La contraposée du théorème de Pythagore ne fonctionne que si on compare le carré du plus grand côté avec la somme des carrés des deux autres.
Si $ [AC] $ n'est pas le plus grand côté du triangle, l'inégalité $ AB^{2} + BC^{2} \neq AC^{2} $ ne permet aucune conclusion.
Par exemple, le triangle de côtés $ AB = 3 $, $ AC = 4 $ et $ BC = 5 $ est rectangle en $ A $ (car $ AB^{2} + AC^{2} = 9 + 16 = 25 = BC^{2} $). Pourtant $ AB^{2} + BC^{2} = 9 + 25 = 34 \neq 16 = AC^{2} $ : l'inégalité portant sur $ AC $ ne permet donc pas de conclure que le triangle n'est pas rectangle.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur est de croire que n'importe quelle inégalité suffit à conclure.
La contraposée du théorème de Pythagore exige de comparer le carré du plus grand côté avec la somme des carrés des deux autres.
Si $ [AC] $ n'est pas le plus grand côté, le calcul $ AB^{2} + BC^{2} \neq AC^{2} $ ne prouve rien du tout.
Il faut toujours identifier le plus grand côté avant de faire la comparaison.
[/reponse]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Il faut vérifier avec le plus grand côté, qui n'est pas forcément $ [AC] $.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un triangle dont les côtés mesurent 7, 24 et 25 est rectangle.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact, cette affirmation est vraie.
Le plus grand côté est 25, on calcule donc séparément les deux membres.
D'une part : $ 25^{2} = 625 $.
D'autre part : $ 7^{2} + 24^{2} = 49 + 576 = 625 $.
Les deux résultats sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle.
Le triplet (7, 24, 25) est un triplet pythagoricien, comme (3, 4, 5) ou (5, 12, 13).
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Non, cette affirmation est vraie.
Vérifions en appliquant la réciproque du théorème de Pythagore.
Le plus grand côté est 25, on calcule : $ 25^{2} = 625 $.
Puis : $ 7^{2} + 24^{2} = 49 + 576 = 625 $.
On obtient bien $ 25^{2} = 7^{2} + 24^{2} $, donc le triangle est rectangle.
Pense à toujours calculer les deux membres séparément avant de conclure.
[/reponse]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $ 25^{2} = 7^{2} + 24^{2} $.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un triangle dont les côtés mesurent 3, 4 et 6 est rectangle.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact, cette affirmation est fausse.
Le plus grand côté est 6, on applique la contraposée du théorème de Pythagore.
D'une part : $ 6^{2} = 36 $.
D'autre part : $ 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 $.
Comme $ 36 \neq 25 $, le triangle n'est pas rectangle.
Attention à ne pas confondre avec le triplet pythagoricien (3, 4, 5) : ici le troisième côté est 6, pas 5.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Non, cette affirmation est fausse.
Tu as peut-être confondu avec le triplet pythagoricien (3, 4, 5), où $ 5^{2} = 3^{2} + 4^{2} $.
Mais ici le plus grand côté est 6, pas 5.
On calcule : $ 6^{2} = 36 $ et $ 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 $.
Comme $ 36 \neq 25 $, d'après la contraposée du théorème de Pythagore, ce triangle n'est pas rectangle.
[/reponse]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $ 6^{2} = 36 \neq 25 = 3^{2} + 4^{2} $. Attention, (3, 4, 5) est un triplet pythagoricien, mais pas (3, 4, 6).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si un triangle est rectangle, alors la réciproque du théorème de Pythagore est vérifiée.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact, cette affirmation est vraie.
Le théorème de Pythagore dit : si un triangle est rectangle, alors $ c^{2} = a^{2} + b^{2} $.
La réciproque dit : si $ c^{2} = a^{2} + b^{2} $, alors le triangle est rectangle.
Ces deux résultats sont vrais simultanément, ce qui forme une équivalence.
Donc si un triangle est rectangle, l'égalité de Pythagore est automatiquement vérifiée, et la réciproque « fonctionne » dans ce cas.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Non, cette affirmation est vraie.
Le théorème de Pythagore et sa réciproque sont deux implications qui fonctionnent dans les deux sens.
Si le triangle est rectangle, le théorème de Pythagore garantit que $ c^{2} = a^{2} + b^{2} $.
Réciproquement, si cette égalité est vérifiée, le triangle est rectangle.
Les deux résultats sont donc compatibles : la réciproque est bien vérifiée pour tout triangle rectangle.
[/reponse]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Théorème et réciproque sont des implications réciproques, l'une entraine l'autre.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour démontrer qu'un triangle est rectangle, on peut écrire directement l'égalité de Pythagore sans vérification.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact, cette affirmation est fausse.
En mathématiques, on ne peut pas supposer ce que l'on cherche à démontrer.
La bonne méthode est de calculer séparément le carré du plus grand côté, puis la somme des carrés des deux autres, et enfin de constater si les résultats sont égaux ou non.
Par exemple, on écrit : « $ 5^{2} = 25 $ » puis « $ 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 $ » et on conclut : « les deux résultats sont égaux, donc... ».
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Non, cette affirmation est fausse.
Écrire directement $ c^{2} = a^{2} + b^{2} $ sans vérification revient à supposer ce que l'on veut démontrer : c'est un raisonnement circulaire.
La démarche correcte comporte trois étapes : calculer le carré du plus grand côté, calculer la somme des carrés des deux autres, puis comparer les deux résultats.
C'est seulement après cette comparaison que l'on peut conclure si le triangle est rectangle ou non.
[/reponse]

[solution]
Cette affirmation est fausse. On doit calculer séparément les deux expressions et vérifier qu'elles sont égales.
[/solution]
[/etape]

QCM – Réciproque du théorème de Pythagore

[enonce]
Teste tes connaissances sur la réciproque du théorème de Pythagore : démontrer qu'un triangle est rectangle.
[/enonce]

[etape]
La réciproque du théorème de Pythagore sert à :

[qcm]
[option correct="true"]Démontrer qu'un triangle est rectangle[/option]
[option]Calculer une longueur dans un triangle rectangle[/option]
[option]Calculer un angle dans un triangle rectangle[/option]
[option]Démontrer que deux droites sont parallèles[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact. La réciproque sert à démontrer qu'un triangle est rectangle quand on connait les trois côtés.
[/reponse]

[reponse motif="Calculer une longueur dans un triangle rectangle"]
Calculer une longueur, c'est le rôle du théorème de Pythagore (direct), pas de sa réciproque.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
La réciproque du théorème de Pythagore sert à démontrer qu'un triangle est rectangle à partir des longueurs de ses trois côtés.
[/reponse]

[solution]
La réciproque permet de démontrer qu'un triangle est rectangle quand on connait ses trois côtés.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Pour utiliser la réciproque, quelle est la première étape ?

[qcm]
[option correct="true"]Identifier le plus grand côté[/option]
[option]Calculer la somme des trois côtés[/option]
[option]Mesurer les angles[/option]
[option]Tracer la figure[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Oui, il faut d'abord identifier le plus grand côté (potentielle hypoténuse) pour savoir quel carré comparer à la somme des deux autres.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
La première étape est d'identifier le plus grand côté. On calculera ensuite son carré et la somme des carrés des deux autres pour comparer.
[/reponse]

[solution]
Il faut identifier le plus grand côté, puis comparer son carré à la somme des carrés des deux autres.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$ ABC $ est un triangle tel que $ AB = 6 $, $ AC = 8 $ et $ BC = 10 $. Ce triangle est-il rectangle ?

[qcm]
[option correct="true"]Oui, rectangle en $ A $[/option]
[option]Oui, rectangle en $ B $[/option]
[option]Oui, rectangle en $ C $[/option]
[option]Non, il n'est pas rectangle[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Bravo ! $ BC^{2} = 100 $ et $ AB^{2} + AC^{2} = 36 + 64 = 100 $. L'angle droit est en $ A $, le sommet opposé à l'hypoténuse $ [BC] $.
[/reponse]

[reponse motif="Oui, rectangle en $ B $"]
L'angle droit se trouve au sommet opposé à l'hypoténuse. Le plus grand côté est $ [BC] $, donc l'angle droit est en $ A $.
[/reponse]

[reponse motif="Oui, rectangle en $ C $"]
L'angle droit se trouve au sommet opposé à l'hypoténuse. Le plus grand côté est $ [BC] $, donc l'angle droit est en $ A $.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
$ BC^{2} = 100 $ et $ AB^{2} + AC^{2} = 36 + 64 = 100 $. Comme $ BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} $, le triangle est rectangle en $ A $.
[/reponse]

[solution]
Le triangle $ ABC $ est rectangle en $ A $ car $ 10^{2} = 6^{2} + 8^{2} $.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$ DEF $ est un triangle tel que $ DE = 5 $, $ EF = 7 $ et $ DF = 9 $. Ce triangle est-il rectangle ?

[qcm]
[option correct="true"]Non, il n'est pas rectangle[/option]
[option]Oui, rectangle en $ D $[/option]
[option]Oui, rectangle en $ E $[/option]
[option]Oui, rectangle en $ F $[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact. $ DF^{2} = 81 $ et $ DE^{2} + EF^{2} = 25 + 49 = 74 $. Comme $ 81 \neq 74 $, le triangle n'est pas rectangle.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
Le plus grand côté est $ [DF] $ avec $ DF = 9 $. On a $ DF^{2} = 81 $ et $ DE^{2} + EF^{2} = 74 $. Comme $ 81 \neq 74 $, le triangle n'est pas rectangle.
[/reponse]

[solution]
$ 9^{2} = 81 \neq 74 = 5^{2} + 7^{2} $, donc le triangle $ DEF $ n'est pas rectangle.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$ PQR $ est un triangle tel que $ PQ = 8 $, $ QR = 15 $ et $ PR = 17 $. Ce triangle est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?

[qcm]
[option correct="true"]Oui, rectangle en $ Q $[/option]
[option]Oui, rectangle en $ P $[/option]
[option]Oui, rectangle en $ R $[/option]
[option]Non, il n'est pas rectangle[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Exact. $ PR^{2} = 289 $ et $ PQ^{2} + QR^{2} = 64 + 225 = 289 $. L'angle droit est en $ Q $, opposé à $ [PR] $.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
$ PR^{2} = 17^{2} = 289 $ et $ PQ^{2} + QR^{2} = 8^{2} + 15^{2} = 289 $. Donc le triangle est rectangle en $ Q $ (sommet opposé à l'hypoténuse $ [PR] $).
[/reponse]

[solution]
$ 17^{2} = 8^{2} + 15^{2} = 289 $, donc le triangle $ PQR $ est rectangle en $ Q $.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$ KLM $ est un triangle tel que $ KL = 1 $, $ LM = 1 $ et $ KM = \sqrt{2} $. Quelle est la nature de ce triangle ?

[qcm]
[option correct="true"]Rectangle isocèle en $ L $[/option]
[option]Rectangle en $ K $[/option]
[option]Isocèle mais pas rectangle[/option]
[option]Equilatéral[/option]
[/qcm]

[reponse statut="correct"]
Bravo ! $ KM^{2} = 2 $ et $ KL^{2} + LM^{2} = 1 + 1 = 2 $. Le triangle est rectangle en $ L $. De plus, $ KL = LM = 1 $, donc il est isocèle en $ L $.
[/reponse]

[reponse motif="Isocèle mais pas rectangle"]
Le triangle est bien isocèle ($ KL = LM $), mais il est aussi rectangle : $ KM^{2} = 2 = KL^{2} + LM^{2} $.
[/reponse]

[reponse statut="incorrect"]
$ KM^{2} = (\sqrt{2})^{2} = 2 = 1 + 1 = KL^{2} + LM^{2} $. Le triangle est rectangle en $ L $ et isocèle ($ KL = LM $).
[/reponse]

[solution]
$ (\sqrt{2})^{2} = 1^{2} + 1^{2} $, donc $ KLM $ est rectangle isocèle en $ L $.
[/solution]
[/etape]

Deux triangles rectangles imbriqués

Sur la figure ci-dessous, les triangles $ ABH $ et $ ACH $ sont rectangles en $ H $.

Deux triangles rectangles ABH et ACH avec un sommet commun H, rectangles en H

On donne : $ AB = 10 $cm, $ HC = 4 $cm et $ \widehat{ACH} = 50^{\circ} $.

Calculer la longueur $ AH $, arrondie au dixième.
En déduire la longueur $ BH $, arrondie au dixième.
Calculer la longueur $ BC $.
Le triangle $ ABC $ est-il rectangle ?

Corrigé

Dans le triangle $ ACH $ rectangle en $ H $, par rapport à l'angle $ \widehat{ACH} = 50^{\circ} $ :
- $ [AH] $ est le côté opposé (cherché)
- $ [HC] $ est le côté adjacent ($ HC = 4 $ cm)
On utilise la tangente :

$ \tan(50^{\circ}) = \dfrac{AH}{HC} $
$ AH = HC \times \tan(50^{\circ}) = 4 \times \tan(50^{\circ}) $
$ AH \approx 4{,}8 $ cm
Dans le triangle $ ABH $ rectangle en $ H $, d'après le théorème de Pythagore :

$ AB^{2} = AH^{2} + BH^{2} $
$ BH^{2} = AB^{2} - AH^{2} $
$ BH^{2} = 10^{2} - (4\tan(50^{\circ}))^{2} $
$ BH^{2} = 100 - 16\tan^{2}(50^{\circ}) $
$ BH^{2} \approx 100 - 22{,}72 $
$ BH^{2} \approx 77{,}28 $

Donc $ BH \approx 8{,}8 $ cm.
Les points $ B $, $ H $ et $ C $ sont alignés ($ H $ est sur $ [BC] $), donc :

$ BC = BH + HC \approx 8{,}8 + 4 = 12{,}8 $ cm
Vérifions si le triangle $ ABC $ est rectangle en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore.

Le plus grand côté est $ [BC] $ avec $ BC \approx 12{,}8 $.

$ BC^{2} \approx 12{,}8^{2} \approx 163{,}8 $

$ AB^{2} + AC^{2} $ : il faut d'abord calculer $ AC $.

Dans le triangle $ ACH $ rectangle en $ H $, d'après le théorème de Pythagore :

$ AC^{2} = AH^{2} + HC^{2} = (4\tan(50^{\circ}))^{2} + 4^{2} $
$ AC^{2} \approx 22{,}72 + 16 = 38{,}72 $

Donc :

$ AB^{2} + AC^{2} \approx 100 + 38{,}72 = 138{,}72 $

Comme $ BC^{2} \approx 163{,}8 $ et $ AB^{2} + AC^{2} \approx 138{,}72 $, on a $ BC^{2} \neq AB^{2} + AC^{2} $.

Le triangle $ ABC $ n'est pas rectangle.

Distances dans un triangle

Soit un triangle $ ABC $ de hauteur $ \left(AH\right) $

Sachant que $ AB=6{,}7 $cm, $ AC=3{,}4 $cm et $ AH=3 $cm, le triangle $ ABC $ est-il rectangle ?

Corrigé

$ \left(AH\right) $ étant une hauteur du triangle $ ABC $, $ ABH $ est rectangle en $ H $ donc, d'après le théorème de Pythagore :

$ AB^{2}=AH^{2}+BH^{2} $

$ BH^{2}=AB^{2} - AH^{2}=6{,}7^{2} - 3^{2}=35{,}89 $
Donc : $ BH=\sqrt{35{,}89}\approx 5{,}99 $ à $ 10^{ - 2} $ près.

De même, dans le triangle $ AHC $ rectangle en $ H $ :
$ AC^{2}=AH^{2}+CH^{2} $
$ CH^{2}=AC^{2} - AH^{2}=3{,}4^{2} - 3^{2}=2{,}56 $
Donc : $ CH=\sqrt{2{,}56}=1{,}6 $.

Par conséquent,
$ BC=BH+CH\approx 7{,}59 $cm

Calculons $ AB^{2}+AC^{2} $ puis $ BC^{2} $ pour savoir si le triangle $ ABC $ est rectangle en $ A $ :
$ AB^{2}+AC^{2}=6{,}7^{2}+3{,}4^{2}=56{,}45 $
$ BC^{2}\approx 7{,}59^{2}\approx 57{,}61 $
$ AB^{2}+AC^{2}\neq BC^{2} $ donc le triangle $ ABC $ n'est pas rectangle en $ A $.

Th. de Pythagore (Brevet Nouvelle-Calédonie 2013)

(D'après Brevet Nouvelle–Calédonie Décembre 2013)

Sur le dessin ci-dessus, les points $ A, B $ et $ E $ sont alignés, et $ C $ le milieu de $ \left[BD\right] $.

Quelle est la nature du triangle $ ABC $?
Justifier.
En déduire la nature du triangle $ BDE $.
Calculer $ ED $. Arrondir le résultat au dixième.

Corrigé

Montrons que le triangle $ ABC $ est rectangle en $ B $ en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore.

$ AC^{2}=5^{2}=25 $
Comme $ C $ est le milieu de $ \left[BD\right] $, $ BC=CD=3 $; par conséquent :
$ AB^{2}+BC^{2}=4^{2}+3^{2}=16+9=25 $
$ AC^{2}=AB^{2}+BC^{2} $ donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ ABC $ est rectangle en $ B $.

(Remarque : Ce triangle n'est pas isocèle car $ AB=4 $ et $ BC=3 $.)
L'angle $ \widehat{ABC} $ est un angle droit d'après la question précédente. Comme les points $ A, B $ et $ E $ sont alignés, l'angle $ \widehat{DBE} $ est également un angle droit donc le triangle $ BDE $ est rectangle en $ B $.

(Remarque : Ce triangle n'est pas isocèle car $ BD=6 $ et $ BE=7 $.)
$ BD=2\times CD=6 $

D'après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle $ BDE $ :
$ DE^{2}=BD^{2}+BE^{2} $
$ DE^{2}=6^{2}+7^{2} $
$ DE^{2}=36+49 $
$ DE^{2}=85 $
$ DE=\sqrt{85} $
$ DE\approx 9{,}2 $ au dixième près.

Pour réviser : Calculer une longueur avec le théorème de Pythagore